7. Bố cục luân văn
2.3.2. Ph−ơng thức 2: Khai thác quan điểm dạy học PH và GQVĐ
Học Toán là học phát hiện, học trình bày và giải quyết các bài toán, là học xem xét lại các bài toán d−ới ánh sáng của công cụ lí thuyết nảy sinh từ quá trình giải quyết các vấn đề [31, tr.15].
Tác dụng của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho HS học cách PH, tức là rèn luyện cho họ cách tiếp cận PH và GQVĐ một cách khoa học. Đồng thời góp phần bồi d−ỡng cho ng−ời học những đức tính cần thiết của ng−ời lao động sáng tạo nh− tính chủ động, tích cực, tính kiên trì v−ợt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm trạ..
Tùy theo mức độ độc lập của HS trong quá trình PH và GQVĐ. Theo giáo s− Nguyễn Bá Kim thì có các hình thức sau đây:
*) Ng−ời học độc lập PH và GQVĐ
Đây là một hình thức dạy học mà tính độc lập của ng−ời học đ−ợc phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, ng−ời học tự PH và GQVĐ đó. Nh− vậy, tronh hình thức này, ng−ời học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu nàỵ
*) Ng−ời học hợp tác PH và GQVĐ
Hình thức này chỉ khác hình thức thứ nhất ở chỗ quá trình PH và GQVĐ không diễn ra một cách đơn lẻ ở một ng−ời học, mà là có sự hợp tác giữa những ng−ời học với nhau, chẩng hạn d−ới hình thức học nhóm, học tổ, làm dự án,...
*) Thầy trò vấn đáp PH và GQVĐ
Trong vấn đáp PH và GQVĐ, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết. Ph−ơng tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò. Nh− vậy, có sự đan kết, thay đổi sự hoạt động của thầy và trò d−ới hình thức vấn đáp.
Với hình thức này, ta thấy dạy học PH và GQVĐ có phần giống với ph−ơng pháp vấn đáp. Tuy nhiên, hai cách dạy học này thật ra không đồng nhất với nhaụ Nét quan trọng của dạy học PH và GQVĐ không phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề. Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nh−ng nếu các câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện tri thức đe học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học PH và GQVĐ. Ng−ợc lại, trong một số tr−ờng hợp, việc PH và GQVĐ của HS có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt rạ
*) GV thuyết trình PH và GQVĐ
ở hình thức này, mức độ độc lập của HS thấp hơn ở các hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy PH và GQVĐ và trình bày quá trình say nghĩ giải quyết (chứ không phải đơn thuần nêu lời giải). Trong quá trình đó có việc tìm tòi, dự đoán, có lúc thành công, có khi thất bại, phải điều chỉnh ph−ơng h−ớng mới đi đến kết quả. Nh− vậy, tri thức đ−ợc trình bày không phải d−ới dạng có sẵn mà là trong quá trình ng−ời ta khám phá ra chúng; quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thật sự.
Những hình thức nêu trên đe đ−ợc sắp xếp theo mức độ độc lập của HS trong quá trình PH và GQVĐ, vì vậy nó cũng đồng thời là những cấp độ dạy học PH và GQVĐ về ph−ơng diện nàỵ
Theo chúng tôi để thực hiện ph−ơng thức 2 cần thực hiện các biện pháp sau:
2.3.2.1. Biện pháp 1: Bồi d−ỡng cho HS kỹ năng phối hợp giữa suy diễn và dự đoán trong quá trình PH và GQVĐ
Nhà s− phạm G. Polya phát biểu: "Toán học đ−ợc xem nh− là một môn học về sự chứng minh, tuy nhiên đó chỉ mới là một khía cạnh của nó. Muốn
việc dạy Toán phản ánh đ−ợc quá trình hình thành của Toán học thì cần phải dành chỗ cho dự đoán và suy luận có lý".
Thực tế trong dạy học Toán, việc bồi d−ỡng cho HS kỹ năng suy diễn và dự đoán là rất quan trọng nh−ng ít nhiều ch−a đ−ợc quan tâm đúng mức. Theo Nguyễn Cảnh Toàn thì hiện nay việc dạy học Toán ở nhà tr−ờng THPT th−ờng chỉ chú ý đến truyền thụ tri thức mà ít quan tâm đến việc dạy tìm tòi, bởi vậy, ph−ơng pháp thực nghiệm và quy nạp bị coi nhẹ.
Có ý kiến cho rằng, nếu dạy cho HS dự đoán thì sẽ rất tốn kém về mặt thời gian và khối l−ợng kiến thức truyền thụ đ−ợc sẽ bị hạn chế. Thực ra, tuy là có tốn kém về mặt thời gian thật, nh−ng sau đó "sẽ đ−ợc đền bù nhanh chóng khi mà t− duy học tập của HS đe đ−ợc phát triển" (Hoàng Chúng).
Nh− vậy, để phát triển cho HS năng lực suy diễn và dự đoán, ng−ời GV phải đầu t− bài giảng và tạo ra đ−ợc nhiều cơ hội, nhiều tình huống để HS có thể tiến hành các hoạt động suy diễn và dự đoán. Cần khai thác vấn đề này trên mọi nội dung dạy học, từ dạy học khái niệm và dạy học định lí cho đến dạy học giải bài tập Toán. Những tình huống đặt ra có thể có nhiều mức độ, từ dễ đến khó. Nh− vậy, ng−ời GV cần phát hiện đ−ợc những v−ớng mắc trong hoạt động suy diễn và dự đoán của HS để có thể gợi mở đúng lúc, giúp họ tháo gỡ những khó khăn. Ng−ời GV phải có khả năng gợi động cơ, tạo nhu cầu, xác định đ−ợc tri thức ph−ơng pháp để tạo điều kiện cho HS tiến hành các hoạt động suy diễn và dự đoán thông qua các tình huống đe đ−ợc GV tạo rạ
Ví dụ 2.6: Phân bậc theo dạng Toán từ dễ đến khó về các phép Toán vectơ nh− sau:
*) Dạng 1: Xác định tổng vectơ và tính độ dài của vectơ
Đây là dạng bài toán mở đầu về vectơ, đối với dạng Toán này ta th−ờng dựa vào định nghĩa tổng, hiệu của hai vectơ, tích của một vectơ với một số, các tính chất của phép cộng và phép nhân vectơ với một số để xác định tổng của các vectơ và tính độ dài của vectơ vừa xác định. Qua dạng bài toán này
góp phần bồi d−ỡng cho HS năng lực phát triển và tái hiện những khái niệm, định nghĩa, tính chất, các phép Toán, kỹ năng tính Toán và sử dụng đúng kí hiệụ
*) Dạng 2: Chứng minh một biểu thức vectơ không phụ thuộc vào điểm di động
Dạng Toán này ta th−ờng khai triển biểu thức vectơ cần chứng minh bằng cách thích hợp sao cho biểu thức vectơ đó trở thành một vectơ không đổị Để giải đ−ợc những bài toán dạng này thì HS phải có kiến thức vững vàng về quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu hai vectơ, các tính chất của phép cộng vectơ... Vì vậy, dạng bài toán này có thể bồi d−ỡng cho HS năng lực nắm vững các kiến thức vectơ, năng lực biến đổi các biểu thức vectơ và sử dụng ph−ơng pháp Toán học diễn đạt bằng ngôn ngữ vectơ.
*) Dạng 3: Xác định vị trí một điểm thỏa một đẳng thức vectơ cho tr−ớc Để giải đ−ợc dạng Toán này HS cũng cần trang bị một số kiến thức cơ bản về vectơ nh−: các định nghĩa, các tính chất của phép cộng vectơ, các quy tắc về tổng hoặc hiệu của hai vectơ, tích của một vectơ với một số và các tính chất của phép nhân vectơ với số. Ngoài ra, từ đẳng thức vectơ ban đầu HS phải biết cách biến đổi thích hợp về dạng A M =u
uuuur r
, trong đó A là điểm cho tr−ớc và u
r
là vectơ cố định để xác định đ−ợc điểm M cần tìm. Chính vấn đề này đe góp phần bồi d−ỡng cho HS năng lực nắm vững và sử dụng linh hoạt các kiến thức vectơ, năng lực biến đổi các biểu thức vectơ và sử dụng ph−ơng pháp Toán học diễn đạt bằng ngôn ngữ vectơ.
*) Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vectơ
Đối với dạng Toán này có thể sử dụng các cách sau để giải: - Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lạị
- Cách 2: Biến đổi hai vế về cùng một biểu thức vectơ.
- Cách 4: Biến đổi một đẳng thức vectơ đe biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
Đây là dạng Toán rất phổ biến, để giải đ−ợc dạng Toán này yêu cầu HS phải nắm vững và sử dụng thành thạo các kiến thức về vectơ (nh− ở dạng 3). Ngoài ra, cần sử dụng thêm kiến thức về tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm tam giác khi giải dạng Toán nàỵ Qua đó góp phần bồi d−ỡng thêm cho HS năng lực chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ và ng−ợc lạị
*) Dạng 5: Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ Ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
- Cách 1: Từ giả thiết xác định đ−ợc tính chất hình học rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng cách (thông th−ờng dùng cách xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc).
- Cách 2: Từ giả thiết lập đ−ợc mối liên hệ vectơ giữa các đại l−ợng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng cách thích hợp.
Dạng bài toán này cũng góp phần bồi d−ỡng cho HS các năng lực nh− ở dạng 4.
*) Dạng 6: Quỹ tích điểm M thỏa men một đẳng thức vectơ hay độ dài vectơ
Loại bài toán này ta th−ờng đ−a về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu MA = MB
uuur uuuur
với A, B cho tr−ớc thì M thuộc đ−ờng trung trực của đoạn AB.
- Nếu MC =k A B
uuuur uuur
với A, B, C cho tr−ớc thì M thuộc đ−ờng tròn tâm C, bán kính k A B uuur . - Nếu MA =kB C uuur uuur với B, C cho tr−ớc thì:
+ M thuộc đ−ờng thẳng qua A và song song với BC nếu k ∈R ;
+ M thuộc nữa đ−ờng thẳng qua A, song song với BC và cùng h−ớng với B C
uuur
nếu k ∈R+;
+ M thuộc nữa đ−ờng thẳng qua A, song song với BC và ng−ợc h−ớng với B C
uuur
nếu k ∈R−.
Nh− vậy, từ đẳng thức vectơ hay độ dài ban đầu cần tìm quỹ tích HS phải trei qua quá trình biến đổi để đ−a về dạng quỹ tích cơ bản. Đôi khi trong quá trình biến đổi cần phải khai thác những giả thiết của bài toán đ−ợc diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp nên buộc HS phải chuyển đổi sang ngôn ngữ vectơ.
*) Dạng 7: Xét đặc tính k của đối t−ợng S khi nó thỏa men một đẳng thức vectơ
Dạng Toán này ta th−ờng phân tích các đẳng thức vectơ của giả thiết, sau quá trình biến đổi để đi đến xác định các định tính cần chứng minh, tiếp theo HS phải làm sao từ đẳng thức vectơ này kết luận đ−ợc định tính cần chứng minh. Điều này chính là quá trình HS đe thực hiện việc chuyển ngôn ngữ từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học tổng hợp.
Tr−ớc đây, để dự đoán một vấn đề nào đó ta th−ờng khám phá nó bằng hình thức phổ biến là vẽ một số hình ảnh minh hoạ hoặc thông qua việc quy nạp không hoàn toàn nh−: thông qua một số tr−ờng hợp cụ thể, hoặc nghĩ đến một số bài toán liên quan đe từng đ−ợc giảị.. Hiện nay, ngoài những cách truyền thống đó, ta còn có một số công cụ rất hữu hiệu, đó là sử dụng các phần mềm hình học để dự đoán và phát hiện vấn đề nh−: Geometer’s Sketchpad, GeospacW, Cabri3D…
Để bồi d−ỡng cho HS kỹ năng phối hợp giữa suy diễn và dự đoán trong quá trình PH và GQVĐ, GV cần phải:
Ví dụ 2.7: Sau khi dạy học cho HS định nghĩa và tính chất của tích vô h−ớng của hai vectơ, GV có thể nêu câu hỏi sau để HS suy diễn:
− So sánh hai số: A B CD. và A B CD. uuur uuur ? Khi HS đe khẳng định đ−ợc rằng A B CD. ≥A B CD. uuur uuur , đẳng thức xảy ra khi các véc tơ A B CD, uuur uuur cùng chiều, GV có thể nhấn mạnh:
− Đây là một hệ quả rất quan trọng có thể vận dụng nhiều để giải Toán. Cần chú ý rằng A B CD.
uuur uuur
dễ dàng đ−ợc biến đổi linh hoạt hơn so với AB.CD. Để vận dụng tính chất này, GV yêu cầu HS giải các bài toán sau và hình thành nên một ph−ơng pháp giải một lớp các bài toán cùng dạng:
1) Cho đa giác đều A A1 2LAnnội tiếp đ−ờng tròn (O, R). M là một điểm bất kỳ, chứng minh rằng MA1+MA2 +L+MAn ≥nR .
Đây là một bài toán không dễ. Đứng tr−ớc bài toán này, thao tác đầu tiên của HS là dự đoán xem điểm M ở đâu thì dấu "=" xảy ra để từ đó hy vọng tìm ra cách giải bài toán. Do tính đối xứng của hình, nên HS sẽ dự đoán đ−ợc khi M trùng tâm O thì đẳng thức xảy rạ
Khi đó, vận dụng tính chất nêu trên ta có: 1. 1 1. 1 MA OA ≥ MA OA uuuur uuuur . Từ đó dẫn đến: 1 1 1 1 1 1 1 1 . . ( ). . MA OA MA OA MO OA OA MO MA R OA R R R R + = ≥ = = +
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
uuuur
T−ơng tự, ta có các bất đẳng thức với MA2,LMAn. Cộng các bất đẳng thức đó lại với chú ý OA1+OA2 + +OAn =0
uuuur uuuur uuuur r
L ta đ−ợc điều cần chứng minh. O A A A 2 1 n Hình 2.5
Nếu bài toán đ−ợc phát biểu d−ới dạng: "Cho đa giác đều A A1 2LAnnội tiếp đ−ờng tròn (O, R). M là một điểm bất kỳ, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =MA1 +MA2 +L+MAn" ta có thể vận dụng tính chất đe nêu bằng cách thức sau:
Giả sử S đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có) tại một điểm T nào đó cố định. Khi đó, sẽ có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . ( ). . MA T A MA T A MT T A T A T A MA T A MT T A T A T A T A + = ≥ = = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
uuuur
và các bất đẳng thức t−ơng tự suy ra:
1 2 1 2 1 2 n n n T A T A T A S T A T A T A MT T A T A T A ≥ + + + + + + +
uuur uuur uuuur
uuuur
L L .
Vậy nếu chọn đ−ợc điểm T sao cho: 1 2 1 2 0 n n T A T A T A T A +T A + +T A =
uuur uuur uuuur
r
L thì biểu thức S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng T. Đối với bài toán trên vì đa giác
1 2... n
A A A là đa giác đều nên T chính là tâm O của đa giác và ta có đ−ợc lời giải đe nói tớị
2) Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm M trong tam giác sao cho biểu thức F =ạMA +b.MB+c.MC nhỏ nhất.
Bằng ph−ơng pháp kết hợp suy diễn và dự đoán nh− trên, điểm M trong tr−ờng hợp này trùng với trực tâm của tam giác.
3) Cho tam giác nhọn ABC. Tìm các điểm X, Y, Z trên các cạnh BC, CA, AB sao cho tam giác XYZ có chu vi nhỏ nhất.
Kết quả bài toán: X, Y, Z t−ơng ứng là chân các đ−ờng cao hạ từ A, B, C xuống các cạnh đối diện của tam giác.
b) Nhấn mạnh cho HS hiểu rằng, dự đoán không phải bao giờ cũng chính xác, không thể thay thế thế đ−ợc phép chứng minh đầy đủ. Dự đoán chỉ là
những thao tác ban đầu trên con đ−ờng tìm kiếm lời giải và sau b−ớc dự đoán phải chứng minh đầy đủ.
Vẫn còn nhiều HS quá tin t−ởng vào những hình vẽ để đ−a ra những dự đoán của mình. Điều này rất dễ dẫn đến những định h−ớng sai lầm trong ph−ơng pháp tìm kiếm lời giải bài toán.
GV nên đ−a ra những ví dụ mà sau khi giải xong HS sẽ thấy dự đoán của mình là không đúng.
Ví dụ 2.8: Cho đ−ờng tròn (O, R) và hai