Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12
2.1.2. Hai phương pháp tính tích phân
Cùng trình bày hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần nhưng SGKCB12 chọn tiến trình bài toán → định lí còn SGKNC12 chọn tiến trình suy diễn và trình bày thêm chứng minh các định lí.
Cần nói thêm rằng hai phương pháp này đối với việc tìm nguyên hàm cũng đã được các SGK trình bày chi tiết trước đó.
Phương pháp đổi biến số
Để tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 bằng phương pháp đổi biến số, SGK giới thiệu hai cách đổi biến: Cách 1 là đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥) nếu có thể viết 𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑢(𝑥)]. 𝑢′(𝑥), cách 2 là đặt 𝑥 = 𝜑(𝑡). Trong đó cách 1 đã có sự trình bày tương tự trong phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm. SGKNC12 chọn trình bày cách 1 trước cách 2. Mặc dù có câu dẫn “tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm” nhưng SGKCB12 lại trình bày cách 2 trước.
Để vận dụng được phương pháp này, đầu tiên HS cần phải xác định nên dùng cách nào và lựa chọn được ẩn phù hợp. Tuy nhiên, theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phượng Linh (2013) thì điều này không hề dễ dàng. Mặc dù đạo hàm hàm hợp là một điều kiện sinh thái của phương pháp đổi biến số nhưng:
Muốn chọn ẩn phù hợp thì HS phải nắm vững khái niệm đạo hàm hàm hợp. Tuy nhiên khái niệm đạo hàm hàm hợp được định nghĩa một cách hình thức như là một sự thay thế các biến. SGK chỉ cung cấp các công cụ cho việc tính đạo hàm hàm hợp mà không chú ý đến việc xác định dạng của hàm số hợp. Do đó khiến HS gặp khó khăn khi áp dụng phương pháp này trong tính tích phân. Trong thực tế dạy học việc lựa chọn ẩn thường được GV cung cấp một số dấu hiệu nhận biết đối với từng dạng hàm số.
[Nguyễn Thị Phượng Linh, tr.36] Có lẽ ý thức được khó khăn này, SGVCB12 chỉ nêu yêu cầu: “ Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân”. Còn SGVNC12, nêu chú ý:
.…không có quy tắc chung để xác định đổi biến số như thế nào. Trong phạm vi chương trình phổ thông, ta chỉ xét những bài tìm nguyên hàm đơn giản, trong đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 𝑓[𝑢(𝑥)]. 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 trong trường hợp này ta đổi biến
𝑢 = 𝑢(𝑥). Nếu phương pháp đổi biến số phức tạp hơn thì GV phải chỉ cho HS phương pháp đổi biến số.
[SGVNC12, tr.184] Mặc dù hầu hết các bài tập đều không hướng dẫn cách đặt ẩn, nhưng SGKNC12 lại có sự phân tích và hướng dẫn cách đưa vi phân vào dưới dấu tích phân trong việc tìm nguyên hàm – cách này giúp phân tích dạng hàm hợp và tiết kiệm thời gian làm bài nhưng không đơn giản với mọi HS:
Ví dụ 1. Tìm ∫(2𝑥 + 1)4𝑑𝑥 Giải: Ta có (2𝑥 + 1)4𝑑𝑥 =1 2(2𝑥 + 1)4(2𝑥 + 1)′𝑑𝑥 =1 2(2𝑥 + 1)4𝑑(2𝑥 + 1) Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 1. Áp dụng công thức (2), ta có ∫(2𝑥 + 1)4𝑑𝑥 = ∫1 2(2𝑥 + 1)4𝑑(2𝑥 + 1) = ∫1 2𝑢 4𝑑𝑢 =1 2∫ 𝑢 4𝑑𝑢 =1 2. 1 5𝑢 5+ 𝐶 = 1 10(2𝑥 + 1) 5+ 𝐶 [SGKNC12, tr.142-143] Tuy nhiên, cách 2 đặt 𝑥 = 𝜑(𝑡) khi nào và chọn 𝜑(𝑡) ra sao thì SGKNC12 cũng không đề cập gì.
Phương pháp từng phần
Hai bộ sách đều có 2 ví dụ và một hoạt động minh họa cho phương pháp này. Đó là 3 trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần thường gặp: hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa giác và 1 trong các hàm lượng giác, hàm số mũ, logarit. Điều này cũng diễn ra đối với ví dụ và hoạt động minh họa cho phương pháp nguyên hàm từng phần. SGKCB12 còn có hoạt động yêu cầu lập bảng cách đặt 𝑢, 𝑑𝑣
với 3 trường hợp thường gặp nói trên.