Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
2.2. Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập
2.2.1. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận
MTBT có phím chức năng để tính tích phân là ∫. Người sử dụng chỉ cần nhập hàm số và các cận của tích phân cần tính là có kết quả, độ nhanh hay chậm tùy thuộc vào độ phức tạp của hàm số dưới dấu tích phân. Nếu kết quả là số hữu tỉ thì MTBT cho số đúng, nếu kết quả là số vô tỉ thì cho kết quả gần đúng.
Trước đây, việc sử dụng MTBT đưa ra kết quả tích phân trong hình thức thi tự luận không được chấp nhận vì đáp án yêu cầu HS phải trình bày chi tiết lời giải. Tuy nhiên, hình thức thi trắc nghiệm chỉ đòi hỏi HS lựa chọn 1 phương án đúng trong 4 phương án đã cho nên việc sử dụng MTBT để giải quyết bài toán tính tích phân là hoàn toàn có thể. Bằng cách sử dụng phím ∫, một người không cần biết tích phân là gì, có những cách tính nào vẫn có thể tính toán được kết quả hầu hết các tích phân
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 mà trong đó 𝑓(𝑥), 𝑎, 𝑏 đã được cho cụ thể.
Ngoài ra, MTBT còn có nhiều chức năng có thể hỗ trợ cho việc tìm nhanh đáp án nhiều câu trắc nghiệm nhưng chúng lại thuộc về dạng thức cá nhân. Tùy theo cách phát biểu nhiệm vụ được cho, khả năng vận dụng kiến thức và khai thác các chức năng
của MTBT mà mức độ ứng dụng khác nhau. Trong phần này, chúng tôi chỉ đề cập vai trò MTBT ở dạng thức xã hội của nó, tức sử dụng phím chức năng tính tích phân ∫.
Dựa vào mức độ có thể can thiệp của MTBT từ nhiều đến ít, chúng tôi có thể chia các praxéologies được đề cập trong các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận trong SGK12 và SBT12 thành ba nhóm như sau (đối với các KNV hay kĩ thuật chỉ có trong chương trình Nâng cao thì chúng tôi định dạng chữ in nghiêng và tô đậm):
2.2.1.1. Nhóm 1: Các praxéologies liên quan thuần túy đến tính toán giá trị tích phân (hầu như chỉ cần nhập công thức vào MTBT là có thể tìm ra đáp án đúng ngay)
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑻𝑷: Tính tích phân từ a đến b của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Đối với KNV này có nhiều kĩ thuật để thực hiện tùy theo tình huống cụ thể:
Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑵 : Tính tích phân bằng định nghĩa
+ Tìm một nguyên hàm 𝐹(𝑥) của 𝑓(𝑥). + Tính hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). + Tích phân cần tính là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝐹(𝑥)|𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷Đ𝑵 : + Định nghĩa tích phân. + Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp. Ví dụ: “ ∫ (𝑥 +24 1𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 2 + 𝑙𝑛|𝑥|)| 2 4 = 6 + 𝑙𝑛2” [13, tr.149]. Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪 : Vận dụng các tính chất tích phân
𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜶: Áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để biến đổi tích phân cần tính về dạng tổng của các tích phân có thể tìm được nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp.
𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜷: Biến đổi tích phân cần tính thành tổng của các tích phân đã biết kết quả mà đề bài cho.
Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪 : :
+ Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp. + Các tính chất cơ bản của tích phân.
+ Hệ quả của định lý 1 trang 98 SGKCB12 liên quan đến phương pháp đổi
biến số ở bài nguyên hàm: “Với 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), ta có
∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =𝑎1𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶”. (Chỉ có ở SGKCB12)
Ví dụ: “Tính các tích phân sau: g) ∫ sin 3𝑥. cos 5𝑥𝑑𝑥
𝜋 2 −𝜋 2 ” [SGKCB12, tr.112]. Lời giải có thể: ∫ sin 3𝑥. cos 5𝑥𝑑𝑥 𝜋 2 −𝜋 2 =1 2∫ (sin 8𝑥 − sin 2𝑥)𝑑𝑥 𝜋 2 −𝜋 2 =1 2∫ sin 8𝑥𝑑𝑥 𝜋 2 −𝜋 2 −1 2∫ sin 2𝑥𝑑𝑥 𝜋 2 −𝜋 2 =1 2.−1 8 cos 8𝑥|−𝜋 2 𝜋 2 +1 2.1 2cos 2𝑥|−𝜋 2 𝜋 2 = 0.
SGKNC12 ưu tiên các bài tập dùng kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜷 khi mà hàm số cần tính tích phân không được cho cụ thể (lúc này không thể tìm đáp án dựa vào MTBT được mà phải nhớ tính chất), bài tập sử dụng kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜶 xuất hiện ở SBTNC12. SGKCB12 không hề có bài tập khai thác kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑪𝜷.
Ví dụ: “Cho biết∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −4, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6, ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 812 15 15 . Hãy tính:
∫ [4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥15 ” [SGKNC12, tr.152]. Lời giải có thể:
“∫ [4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥15 = 4 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −15 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥15 = 4. (−4) − 8 = −24” [SGVNC12, tr.193].
Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩 : Phương pháp đổi biến số
𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟏:
+ Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥), tính 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥. + Đổi cận theo biến u.
+ Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính:∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎𝑏 𝑢(𝑎)𝑢(𝑏)𝑔(𝑢)𝑑𝑢.
𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟐:
+ Đặt 𝑥 = 𝑥(𝑡) (𝑡 ∈ 𝐾), tính 𝑑𝑥 = 𝑥′(𝑡)𝑑𝑡.
+ Đổi cận: tìm , K thỏa mãn 𝑎 = 𝑥(𝛼), 𝑏 = 𝑥(𝛽). +Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡)]𝑥′(𝑡)𝑎𝑏 𝛼𝛽 𝑑𝑡.
Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷Đ𝑩 :
+ Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, cách tính chất cơ bản của tích phân.
+ Công thức (1) trang 158 SGKNC12, có thể phát biểu lại như sau: Nếu hàm số
𝑢 = 𝑢(𝑥) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục và sao cho hàm hợp
𝑓[𝑢(𝑥)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K, ta có:
∫ 𝑓[𝑢(𝑥)]𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎𝑏 𝑢(𝑎)𝑢(𝑏)𝑓(𝑢)𝑑𝑢.
Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟏 sử dụng khi phân tích được 𝑓(𝑥) = 𝑓[𝑢(𝑥)]𝑢′(𝑥), nhưng như đã nêu ở phần trước, việc phân tích không dễ dàng đối với HS. Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟐 không được
SGKHH chỉ ra thời điểm nào sử dụng. Các ví dụ và bài tập áp dụng 𝝉𝑻𝑻𝑷Đ𝑩𝟐 lại rất ít: SGKNC12 chỉ xuất hiện trong 2 ví dụ và 1 hoạt động; trong SGKCB12 cũng chỉ có 1 ví dụ và 2 bài tập. Ví dụ: Tính ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 2 0 .
Giải: Đặt 𝑢 = sin 𝑥. Ta có 𝑢′= cos 𝑥. Khi 𝑥 = 0 thì 𝑢(0) = 0, khi 𝑥 =𝜋 2 thì 𝑢 (𝜋 2) = 1. Vậy ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 2 0 = ∫ 𝑢2𝑑𝑢 =1 3𝑢3|10 1 0 =1 3. [SGKCB12, tr.109] Ví dụ:
Tính ∫ 𝑥01 2√1 − 𝑥2𝑑𝑥 nhờ đổi biến 𝑥 = sin 𝑡.
Đổi biến số 𝑥 = sin 𝑡 ta được 𝑥′= cos 𝑡 và khi 𝑥 = 0 thì lấy 𝑡 = 0, khi 𝑥 = 1 thì lấy
𝑡 =𝜋 2. Do đó ∫ 𝑥01 2√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =1 8 𝜋 2 0 ∫ (1 − cos 4𝑡)𝑑𝑡 =18(𝑡 −1 4sin 4𝑡)| 0 𝜋 2 = 𝜋 16 𝜋 2 0 . [SBTCB12, tr.150]
Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑻𝑷𝒉: Phương pháp tích phân từng phần
+ Đặt 𝑢, 𝑑𝑣 hợp lý rồi thay vào công thức
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑎𝑏 𝑏 𝑎 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑏 𝑎 Thông thường:
+Nếu 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)𝑒𝑎𝑥+𝑏, 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) sin(𝑎𝑥 + 𝑏), 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
thì đặt 𝑢 = 𝑃(𝑥), 𝑑𝑣 = 𝑣′𝑑𝑥 với 𝑣′ là nhân tử còn lại.
+ Nếu 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) ln(𝑎𝑥 + 𝑏) thì phải đặt 𝑢 = ln(𝑎𝑥 + 𝑏), 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥.
Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷𝑻𝑷𝒉:
+ Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, cách tính chất cơ bản của tích phân. + Định lý: Nếu 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[𝑎; 𝑏] thì: ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑎𝑏 𝑎𝑏− ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 . Ví dụ: Tính ∫ √𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥1𝑒 . Giải: Đặt 𝑢 = ln 𝑥 và 𝑑𝑣 = √𝑥𝑑𝑥, ta có 𝑑𝑢 =𝑑𝑥 𝑥 và 𝑣 =2 3𝑥32. Vậy ∫ √𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 =2 3𝑥 3 2ln 𝑥| 1 𝑒 −2 3∫ 𝑥 1 2𝑑𝑥 = 𝑒 1 2 3𝑥 3 2ln 𝑥| 1 𝑒 −4 9𝑥 3 2| 1 𝑒 =2 9(𝑒√𝑒 + 2) [SBTCB12, tr.150-151] Kĩ thuật không được nêu tường minh trong SGK12 mà thông qua các ví dụ để giới thiệu các dạng cơ bản thường gặp và các bài tập được cho trong SGK12 chỉ có các dạng đã xét trong ví dụ.
Đáng chú ý, SGKCB12 có một bài tích phân yêu cầu tính theo cả hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần. Đây có thể coi là trường hợp cho thấy được việc vận dụng hai kĩ thuật đổi biến số và từng phần rất đa dạng trong thực tế.
6. Tính 1 5 0 1 x x dx bằng hai phương pháp: a) Đổi biến số u 1 x. b) Tính tích phân từng phần. [SGKCB12, tr.113]
Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑷𝑫𝑻 : Áp dụng công thức tính diện tích các hình phẳng cơ bản đã biết.
+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
+ Quan sát hình phẳng tạo thành tương ứng với hình nào (tam giác, hình thang vuông, hình tròn,…) để áp dụng công thức tính diện tíchđã biết trước đó.
Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑷𝑫𝑻 :
+ Công thức tính diện tích của các hình cơ bản.
+ Định lí “Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 .”
Ví dụ: “Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau: ∫ √9 − 𝑥−33 2𝑑𝑥” [13, tr.152].
Hướng dẫn giải của SGVNC12, trang 192
“Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn 𝑥2+ 𝑦2 = 9(ℎ. 3.3). Đây là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa đường tròn là
9.𝜋
2 = 4,5𝜋”.
Kĩ thuật này chỉ có thể áp dụng khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là các hình cơ bản có công thức tính diện tính như: tam giác, hình thang, đường tròn,…Mặc dù kĩ thuật này thể hiện mối liên hệ giữa tích phân và diện tích hình phẳng nhưng nó chỉ xuất hiện trong 3 bài ít ỏi của SGKNC12. SGKCB12 không có bài tập nào dạng này.
2.2.1.2. Nhóm 2: Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến ứng dụng của tích phân (cần phải nhớ mối liên hệ của tích phân với các ứng dụng để lập công thức rồi mới có thể dùng MTBT tìm đáp án)
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑸Đ: Tính quãng đường đi được của một vật từ thời điểm 𝒕 = 𝒂
Kĩ thuật 𝝉𝑸Đ:
+ Xác định công thức tính vận tốc theo thời gian của chuyển động 𝑣 = 𝑓(𝑡)
(thường đề bài cho sẵn, nếu cho gia tốc 𝑎(𝑡) thì 𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡). + Xác định các thời điểm 𝑡 = 𝑎 và 𝑡 = 𝑏(𝑎 < 𝑏)
+ Công thức tính quãng đường đi được là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏
+ Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính tích phân thu được.
Công nghệ 𝜽𝑸Đ: Kết quả chứng minh trong hoạt động 3 SGKNC12 trang 150 có thể phát biểu là “Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian 𝑣 = 𝑓(𝑡). Khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 ”.
Ví dụ:
“Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(𝑡) = 1 − 2 sin 2𝑡 (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡 = 0(𝑠) đến thời điểm 𝑡 = 3𝜋
4” [SGKNC12, tr.153].
Hướng dẫn giải của SGVNC12 trang 193: “Quãng đường
𝑆 = ∫ (1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑡)𝑑𝑡 =3𝜋
4 − 1
3𝜋 4
0 ”.
KNV này chỉ xuất hiện trong SGKNC12 và SBTNC12, không hề xuất hiện trong SGKCB12 hay SBTCB12. Lí do có thể vì chương trình Chuẩn không đề cập đến ứng dụng vật lí của tích phân.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑫𝑻: Tính diện tích hình phẳng4
𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số5
Kĩ thuật 𝝉𝑫𝑻𝟐Đ𝑻:
4Các KNV điểm của KNV này được viết trên cơ sở tham khảo luận văn của Nguyễn Hoàng Vũ (2012), Nghiên
cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại
học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Tên gọi và thống kê số lượng bài tập được chúng tôi dùng giống luận văn này. Riêng cách đặt kí hiệu cho các KNV thì chúng tôi kí hiệu lại cho phù hợp với luận văn của mình.
+ Giải phương trình hoành độ giao điểm 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥) = 0 để tìm a, b (nếu cần) với 𝑦 = 𝑓1(𝑥), 𝑦 = 𝑓2(𝑥) là 2 hàm số đã cho.
+ Áp dụng công thức: 𝑆 = ∫ [𝑎𝑏 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)]𝑑𝑥
+ Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S.
Có 3 kĩ thuật giải quyết KNV con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S” được Nguyễn Hoàng Vũ (2012) trình bày là:
𝛼: Xét dấu.
𝛽: Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.
𝛾: Dùng đồ thị.
Công nghệ 𝜽𝑫𝑻𝟐Đ𝑻: Các định lý về phép biến đổi tương đương, các kiến thức về xét dấu và đồ thị. Công thức và chú ý ở SGKCB12 trang 115-116.
SGKCB12 sử dụng cả ba kĩ thuật để giải quyết KNV con Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối S, trong khi đó SGKNC12 chỉ sử dụng hai kĩ thuật Xét dấu, Dùng đồ thị và ưu tiên dùng kĩ thuật Dùng đồ thị.
Ví dụ:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol 𝑦 = 2 − 𝑥2 và đường thẳng 𝑦 = −𝑥. Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho bằng cách giải phương trình 2 − 𝑥2 = −𝑥. Ta có
2 − 𝑥2 = −𝑥 ⇔ 𝑥 = −1 và 𝑥 = 2.
Hình phẳng đang xét giới hạn bởi các đồ thị của hai
hàm số 𝑦 = 2 − 𝑥2, 𝑦 = −𝑥 và hai đường thẳng 𝑥 = −1, 𝑥 = 2. Theo công thức (2) ta có 𝑆 = ∫ (2 − 𝑥2− 𝑥)𝑑𝑥 = (2𝑥 +𝑥 2 2 − 𝑥3 3)|−1 2 =9 2 2 −1 [SGKNC12, tr.165-166] Từ kết quả nghiên cứu của Nguyễn Hoàng Vũ (2012) ngoài KNV 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻 cùng xuất hiện ở trong hai bộ sách với 52 ví dụ và bài tập, còn có các KNV chỉ xuất hiện trong một bộ sách:
Trong SGKCB12:
𝑻𝑫𝑻𝑻𝑺: Tính tỉ số diện tích của hai hình phẳng
𝑻𝑫𝑻Đ𝑮: Tính diện tích đa giác
𝑻𝑫𝑻𝑺𝑺: So sánh diện tích của hai hình phẳng
𝑻𝑫𝑻𝑮𝑯: Tính diện tích hình thang cong bằng giới hạn
Trong SGKNC12:
𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số
𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑪: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai đường cong6 và hai đường thẳng 𝒚 = 𝒄, 𝒚 = 𝒅.
𝑻𝑫𝑻𝑻𝒉𝑺: Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng 𝑺 > 𝟎 cho trước
Trong các KNV trên chỉ có hai KNV được trình bày trong bài học của SGKNC12 và có số lượng bài tập từ 6 – 8 bài là 𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻 và 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑪. Các KNV còn lại chỉ xuất hiện trong sách bài tập với số lượng ít ỏi là 1 bài, riêng 𝑻𝑫𝑻𝑺𝑺 có 5 bài. Nghiên cứu
của Nguyễn Hoàng Vũ cũng chỉ ra trong thực hành giảng dạy, GV dạy chương trình Chuẩn chỉ dạy KNV 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻. GV dạy chương trình nâng cao dạy 3 KNV
𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻, 𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻, 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑪. Các GV đều ưu tiên sử dụng kĩ thuật “xét dấu” thay vì “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân”, kĩ thuật “dùng đồ thị” chỉ sử dụng khi giải quyết KNV 𝑻𝑫𝑻𝟑Đ𝑻hoặc đồ thị có sẵn.
Ngoài ra, hầu hết các KNV trên sau một số phép biến đổi đều đưa về việc sử dụng kĩ thuật và công nghệ của KNV 𝑻𝑫𝑻𝟐Đ𝑻. Do đó, chúng tôi gom chung các KNV này
trong praxéologies địa phương 𝑻𝑫𝑻. Khi đó, để chỉ chung cho kĩ thuật thực hiện KNV
𝑻𝑫𝑻, chúng tôi sẽ kí hiệu là 𝝉𝑫𝑻𝜶 , 𝝉𝑫𝑻𝜷 , 𝝉𝑫𝑻𝜸 với 𝛼, 𝛽, 𝛾 là kí hiệu kĩ thuật bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cũng cần nói thêm rằng, KNV 𝑻𝑫𝑻𝑮𝑯 có kĩ thuật hoàn toàn khác, đó là chia
nhỏ, tính tổng và lấy giới hạn của tổng. Tuy nhiên, kĩ thuật và công nghệ của nó lại chỉ xuất hiện trong bài đọc thêm và một ví dụ trong SBTCB12 yêu cầu tính diện tích theo cách này và bằng công thức Newton – Leibniz. Do đó, theo chúng tôi, KNV này đưa ra chỉ nhằm giới thiệu thêm cho HS một cách tính trên cơ sở so sánh với cách được
SGK cung cấp. Vì thế, chúng tôi vẫn xếp chung KNV này trong praxéologies địa phương 𝑻𝑫𝑻.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑻: Tính thể tích vật thể
KNV 𝑻𝑻𝑻 ứng với tên của praxéologies địa phương, bao gồm 3 KNV tương ứng với 3 praxéologies điểm sau:
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑫: Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a và b khi biết thiết diện
Kĩ thuật 𝝉𝑻𝑻𝑻𝑫:
+ Tìm diện tích thiết diện 𝑆(𝑥) của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 𝑥(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)
+ Viết công thức tính thể tích vật thể: 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 . + Áp dụng các kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính.
Công nghệ 𝜽𝑻𝑻𝑻𝑫: “Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông