Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12
2.1.3. Ứng dụng hình học của tích phân
Hai ứng dụng hình học của tích phân được SGK giới thiệu là tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
Diện tích hình phẳng
Cả hai bộ sách không định nghĩa hình phẳng nói chung mà cùng xét hai loại hình phẳng mà SGKCB12 đặt tên là:
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Thực ra ta có thể coi loại hình phẳng thứ nhất là trường hợp đặc biệt của loại thứ hai. SGKNC12 không đặt tên cho các loại hình phẳng nhưng từ “đường cong” dành cho biểu diễn hình học của biểu thức dạng 𝑥 = 𝑔(𝑦), còn “đồ thị” dùng cho biểu diễn hình học của hàm số dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ngoài ra, SGKNC12 trình bày thêm trường hợp hình phẳng giới hạn bởi 3 đường cong dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥). Khi đó bằng cách coi x là hàm biến y có thể đưa về trường hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong dạng
𝑥 = 𝑔(𝑦).
Cả hai bộ sách đều bắt đầu bằng việc nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong rồi phát biểu thành công thức cho trường hợp tổng quát. Các ví dụ đều có hình vẽ minh họa và việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối hầu hết đều dựa vào hình vẽ. SGKCB12 trình bày thêm cách “đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân” và minh họa 2 ví dụ, trong đó có 1 ví dụ áp dụng đồng thời cách này và hình vẽ. Cách trên lại chỉ xuất hiện trong SGV của chương trình nâng cao, nhưng sách này cũng lưu ý: “Khi giải các bài toán tính diện tích và thể tích nếu không yêu cầu thì HS không cần vẽ hình, nhưng GV nên khuyến khích HS vẽ hình nếu có thể” [SGVNC12, tr.205].
Thể tích vật thể
Tiến trình chung của hai bộ sách là:
Thừa nhận công thức 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 (*) trong đó 𝑆(𝑥) là diện tích thiết diện của vật thể 𝒱, thiết diện này vuông góc với trục Ox tại 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] với a, b là các cận ứng với hai mặt phẳng song song và vuông góc với trục Ox, giới hạn vật thể 𝒱.
Áp dụng công thức (*) để chứng minh công thức thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 xung quanh trục Ox là 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥
𝑎 (**).
Cho 3 ví dụ minh họa chứng minh các công thức tính thể tích của các khối đã biết như lăng trụ (chỉ SGKCB12), khối chóp, khối cầu, khối nón (chỉ SGKNC12). Các công thức và ví dụ đều có hình vẽ minh họa.
SGKNC12 còn vận dụng công thức (*) để chứng minh và giới thiệu công thức tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng xung quanh trục Oy.
Ngoài ra, ví dụ của sách này đều chứng minh cho các khối cụt (khối chóp cụt, khối chỏm cầu, khối nón cụt) rồi nhận xét công thức tính các khối không cụt tương ứng (khối chóp, khối cầu, khối nón) là trường hợp đặc biệt.
Theo chúng tôi, việc chứng minh công thức thể tích của các đối tượng hình học không gian đã thể hiện sự liên môn môn giữa 2 phân môn Giải tích và Hình học, minh họa sống động cho ứng dụng hình học của tích phân. Hơn nữa, thông qua đó, cách thức gắn các hình vào hệ trục để thiết lập công thức tính được giới thiệu, HS có thể vận dụng làm tương tự với những khối trong thực tiễn. Tuy nhiên, thời lượng giảng dạy hạn hẹp có thể là rào cản để GV trình bày được hết ý tưởng SGK cũng như HS có thể lĩnh hội được chúng.