2.3.1. Các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017
Trước kì thi chính thức Bộ GD-ĐT đã lần lượt giới thiệu 3 Đề minh họa để GV và HS tham khảo. Cả ba đề đều có 7 câu về nội dung chương 4 giải tích 12, trong đó 1 câu về nguyên hàm và 6 câu liên quan đến khái niệm tích phân. Đề minh họa 1 và Đề minh họa 2 đều sắp xếp nội dung theo từng chương kiến thức của SGK, Đề minh họa 3 sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó, giống hình thức đề chính thức nhất. Thống kê các nhiệm vụ trong các Đề minh họa chúng tôi có bảng 2.3:
9 Để GV và HS làm quen với hình thức thi mới, Bộ GD-ĐT lần lượt giới thiệu 3 đề thi: Đề minh họa (5/10/2016), Đề thi thử nghiệm (20/1/2017), Đề tham khảo (14/5/2017). Để thuận tiện, chúng tôi sẽ gọi chung là Đề minh họa và thêm số 1, 2, 3 để chỉ thứ tự đề được giới thiệu
Bảng 2.3. Thống kê số lượng nhiệm vụ trong các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017
Nhóm nhiệm vụ
Đề minh họa 1 Đề minh họa 2 Đề minh họa 3 Không MTBT Có MTBT Không MTBT Có MTBT Không MTBT Có MTBT Nhóm các nhiệm vụ liên quan
đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷 2 4 4
Nhóm các nhiệm vụ liên quan
đến KNV 𝑻𝑸Đ 1
Nhóm các nhiệm vụ liên quan
đến KNV 𝑻𝑫𝑻 1 2 1
Nhóm các nhiệm vụ liên quan
đến KNV 𝑻𝑻𝑻 1 1 1
Tổng 1 5 6 5 1
Ở đây, chúng tôi ghi tiêu chí không MTBT dựa trên việc bài toán đấy không
nhập ngay vào MTBT để tìm đáp án.
Vì chúng tôi lựa chọn chia nhóm các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm dựa trên các kĩ thuật và công nghệ của các KNV cũ. Do đó các phân tích sau đây về kĩ thuật giải quyết các nhiệm vụ này đều trên cơ sở kĩ thuật của các KNV cũ có thể hỗ trợ để tìm đáp án đúng. Ngoài ra chúng tôi bổ sung cách thức sử dụng MTBT giải quyết chúng để nhận định sự tác động của MTBT lên các nhiệm vụ khi hình thức thi thay đổi.
Điểm chung của các đề là nội dung câu hỏi phong phú, trải đều các nội dung lí thuyết. Ta có thể quan sát Đề minh họa 1, đề đầu tiên được giới thiệu, có thể xem là đề giới hạn nội dung sẽ ra về khái niệm tích phân.
Câu Bình luận
Câu 22. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục Ox và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏), xung quanh trục Ox.
Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇.
Ở câu này MTBT không can thiệp được nhưng chỉ yêu cầu khả năng thuộc công thức.
A.𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓𝑎𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥. B. 𝑉 = ∫ 𝑓𝑎𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥. C. 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 . D. 𝑉 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑎𝑏 .
hỏi về lý thuyết.
Câu 24. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 𝑣(𝑡) = −5𝑡 + 10
(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m.
Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑄Đ
Câu này hàm vận tốc đã được cho, HS chỉ cần dựa vào đề bài xác định đúng cận và thay vào công thức tính đã có. Khi đó có thể dùng MTBT để tính toán.
Đây cũng có thể xem là một câu liên hệ thực tế nhưng ở mức độ đơn giản.
Câu 25. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑐𝑜𝑠0𝜋 3𝑥. sin 𝑥𝑑𝑥. A.𝐼 = −1
4𝜋4. B.𝐼 = −𝜋4. C. 𝐼 = 0. D. 𝐼 = −1
4.
Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃
HS dùng kĩ thuật đổi biến số loại 1 để giải. Có thể dùng MTBT để có ngay kết quả. Câu 26. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥1𝑒 . A.𝐼 =1 2. B.𝐼 =𝑒2−2 2 . C. 𝐼 =𝑒2+1 4 . D. 𝐼 =𝑒2−1 4 .
Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃
HS dùng kĩ thuật tích phân từng phần để giải. Có thể dùng MTBT để có ngay kết quả.
Câu 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3− 𝑥 và đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 𝑥2. A.37 12 B.9 4. C.81 12 D.13.
Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝐷𝑇
HS cần tìm cận và lập công thức tính diện tích. Khi đó có thể dùng MTBT để có ngay kết quả.
Câu 28. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 2(𝑥 − 1)𝑒𝑥, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
A.𝑉 = 4 − 2𝑒. B. 𝑉 = (4 − 2𝑒)𝜋. C.𝑉 = 𝑒2− 5. D.𝑉 = (𝑒2− 5)𝜋
Nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑇𝑇𝑇
HS cần tìm cận và lập công thức tính thể tích. Khi đó có thể dùng MTBT để có ngay kết quả.
Về nội dung của Đề minh họa 1 so với các đề thi tự luận từ năm 2009 – 2016 (thống kê ở phần mở đầu, mục 1 – lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát) đã phong phú hơn, đặc biệt có sự xuất hiện câu hỏi có nội dung thuần túy lí thuyết và câu hỏi liên hệ thực tế về ứng dụng vật lí. Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng cách phát biểu không khác gì với hình thức tự luận, chỉ thêm 4 đáp án để lựa chọn. Và do đó hầu hết các câu này dễ dàng sử dụng MTBT tìm đáp án đúng.
Đề minh họa 2 và Đề minh họa 3 giữ lại sự đa dạng các KNV nhưng cách hỏi có nhiều đổi mới, đòi hỏi khả năng hiểu và vận dụng kiến thức của HS, hạn chế sự can thiệp của MTBT.
Cụ thể chúng ta có thể quan sát cách trình bày câu hỏi của các nhiệm vụ xuất hiện nhiều nhất trong các đề liên quan đến hai KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 và 𝑇𝐷𝑇:
Nhóm các nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷
KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 có cách trình bày quen thuộc là “Tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥”. Câu trắc nghiệm có thêm 4 đáp án để lựa chọn và sự hỗ trợ của MTBT tìm kết quả khiến cho các KNV có câu dẫn phát biểu thuần túy như trên sẽ không đạt được mục đích đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức tích phân của HS. Các nhiệm vụ mới đã có nhiều biến đổi theo hướng hạn chế sử dụng MTBT.
Đề bài chọn kết quả của tích phân nhưng hàm số 𝑓(𝑥) không được cho cụ thể, HS phải dựa trên việc nắm vững kiến thức để từ giả thiết biến đổi tìm hàm số:
Câu 3. Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và thoả mãn 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) =
√2 + 2 cos 2𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ. Tính ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 3𝜋 2 −3𝜋2 . A. I 6 B. I 0. C. I 2. D. I 6. [Trích Đề minh họa 3]
Bình luận và lời giải: HS phải nhận xét được các đặc điểm của bài toán là có cận đối
xứng và tổng của hàm 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) là hàm số chẵn từ đó xác định phải dùng
phương pháp đổi biến số để giải. MTBT chỉ hỗ trợ tính toán khi đã lập được công thức tích phân cụ thể. Đặt 𝑡 = −𝑥 ⟹ 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥. Đổi cận: 𝑥 = −3𝜋 2 ⟹ 𝑡 = 3𝜋 2 , 𝑥 =3𝜋 2 ⟹ 𝑡 = −3𝜋 2 Khi đó ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫− 𝑓(−𝑥)𝑑𝑥 3𝜋 2 3𝜋 2 = ∫ 𝑓(−𝑥)𝑑𝑥 3𝜋 2 −3𝜋2 3𝜋 2 −3𝜋2 Suy ra: 𝐼 =1 2∫ √2 + 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ |cos 𝑥|𝑑𝑥 3𝜋 2 −3𝜋2 3𝜋 2 −3𝜋2 = 2 ∫ |cos 𝑥|𝑑𝑥 3𝜋 2 0 = 2 (∫ cos 𝑥𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 3𝜋 2 𝜋 2 𝜋 2 0 ) = 6
Hoặc HS phải có sự phân tích tìm kĩ thuật biến đổi hợp lí để có thể tính tích phân thông qua tích phân đề bài cho:
Câu 25. Cho ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥04 = 16. Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥02
A. 𝐼 = 32 B. 𝐼 = 8 C. 𝐼 = 16 D. 𝐼 = 4
[Trích Đề minh họa 2]
Bình luận và lời giải: Có thể giải chi tiết hoặc sử dụng thủ thuật MTBT.
Giải chi tiết: Sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝐵1 để giải. Cần suy luận được cùng loại hàm số mà
khác biến thì đổi biến (nắm được công nghệ kĩ thuật đổi biến số) và biết tính chất “giá trị tích phân chỉ phụ thuộc cận và hàm số chứ không phụ thuộc biến số”. Từ đó dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân cần tính thông qua tích phân đề bài cho.
Đặt 𝑡 = 2𝑥 ⟹ 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥. Đổi cận: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 0; 𝑥 = 2 ⟹ 𝑡 = 4. Khi đó: 𝐼 = ∫ 𝑓(2𝑥)𝑑𝑥02 = 1 2∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 2∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 804 4 0 . Chọn B.
Sử dụng MTBT:Cần suy luận được đề bài cho đối với hàm số f x bất kì thỏa mãn
điều kiện ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥04 = 16 nên có thể tìm một hàm số cụ thể thỏa mãn điều kiện trên
và tính tích phân đề bài yêu cầu đối với trường hợp hàm số cụ thể vừa tìm được (công nghệ sử dụng vẫn là đổi biến số. Tìm hàm số cụ thể giúp cho việc tính toán nhanh
chóng hơn bằng MTBT) . Ví dụ dùng MTBT tính ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥04 với 𝑓(𝑥) là một hàm đơn
giản (ưu tiên đa thức bậc nhất) và nhận thấy ∫ 2𝑥𝑑𝑥04 = 16, khi đó dùng MTBT tính
được ∫ 4𝑥𝑑𝑥02 = 8.. Tuy nhiên, HS phải có kiến thức tích phân vững mới nhận xét
được và việc tìm hàm số cụ thể cũng không dễ dàng với tất cả HS và không phải khi nào cũng tìm được.
Xuất hiện bài toán đòi hỏi HS tìm một thành phần nào đó trong công thức tích phân hoặc trong kết quả tích phân, từ đó chọn được đáp án đúng.
Câu 26. Biết ∫ 𝑑𝑥 𝑥2+𝑥 4 3 = 𝑎𝑙𝑛2 + 𝑏𝑙𝑛3 + 𝑐𝑙𝑛5 với a, b, c là các số nguyên. Tính 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. A.𝑆 = 6 B. 𝑆 = 2 C. 𝑆 = −2 D. 𝑆 = 0. [Trích Đề minh họa 2]
Bình luận và lời giải: Đề bài hỏi về các hệ số trong kết quả tích phân. Vì chỉ lập được hai phương trình mà có đến 3 ẩn nên câu này MTBT không tìm ngay đáp án được, buộc HS phải nắm vững kĩ năng tính tích phân hàm số hữu tỉ và tính chất của hàm số logarit mới cho đáp án đúng.
∫ 𝑑𝑥 𝑥2+ 𝑥 4 3 = ∫ 1 𝑥(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ ( 1 𝑥− 1 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥 + 1|)|3 4 4 3 4 3 = (𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛5) − (𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛4) = 2𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛5 − 𝑙𝑛3 = 4𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛5. Khi đó: 𝑎 = 4, 𝑏 = −1, 𝑐 = −1 ⇒ 𝑆 = 2. Chọn B.
Cùng liên quan đến câu hỏi về lí thuyết nhưng không thuần túy ở khả năng thuộc công thức mà đòi hỏi ở việc hiểu chúng:
+ Câu hỏi liên quan đến định nghĩa tích phân:
Câu 23. Cho hàm số 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], 𝑓(1) = 1 và 𝑓(2) = 2. Tính
𝐼 = ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥12 .
A. 𝐼 = 1 B. 𝐼 = −1 C. 𝐼 = 3 D. 𝐼 =7
2
[Trích Đề minh họa 2]
Bình luận và lời giải:Cần phải nắm vững định nghĩa tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) −
𝐹(𝑎) trong đó 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥): 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Ta có 𝑓(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓′(𝑥) nên 𝐼 = ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥12 = 𝑓(2) − 𝑓(1) = 1.
Sử dụng MTBT: Tương tự như bài 25 Đề minh họa 2.
+ Câu hỏi về phương pháp đổi biến số loại 1:
Câu 1. Tính tích phân 𝐼 = ∫ 2𝑥√𝑥12 2− 1𝑑𝑥 bằng cách đặt 𝑢 = 𝑥2− 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.𝐼 = 2 ∫ √𝑢𝑑𝑢03 . B. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢12 . C. 𝐼 = ∫ √𝑢𝑑𝑢03 . D. 𝐼 =1
2∫ √𝑢𝑑𝑢12
[Trích Đề minh họa 2]
Bình luận và lời giải: HS thực hiện các bước đổi biến số để đối chiếu đáp án.
Giải chi tiết:𝑢 = 𝑥2− 1 ⟹ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
Đổi cận: 𝑥 = 1 ⟹ 𝑢 = 0, 𝑥 = 2 ⟹ 𝑢 = 3
Sử dụng MTBT: HS có thể sử dụng chức năng tích tích phân của MTBT tính kết quả tích phân đề cho và kết quả tích phân của các đáp án và so sánh để chọn đáp án đúng. Cách này đơn giản nhưng mất nhiều thời gian.
Các nhiệm vu liên quan đến KNV 𝑻𝑫𝑻
Kĩ thuật dùng đồ thị trong tính diện tích hình phẳng được Đề minh họa 2 và Đề minh họa 3 khai thác.
Câu 27. Cho hình thang cong (𝐻) giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑒𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0 và 𝑥 = 𝑙𝑛4. Đường thẳng
𝑥 = 𝑘(0 < 𝑘 < 𝑙𝑛4) chia (𝐻) thành hai phần có diện tích là 𝑆1 và 𝑆2 như hình vẽ bên. Tìm 𝑘 để 𝑆1 = 2𝑆2. A. 𝑘 =2 3𝑙𝑛4 B. 𝑘 = 𝑙𝑛2 C. 𝑘 = 𝑙𝑛8 3 D.𝑘 = 𝑙𝑛3 [Trích Đề minh họa 2]
Bình luận và lời giải: Đối với câu này, yêu cầu tiên quyết là nắm vững cách lập công
thức tính diện tích hình phẳng. MTBT giúp cho việc tính toán được nhanh chóng. Hình vẽ ở đây chỉ nhằm tăng tính trực quan.
Lập công thức tính diện tích 𝑆1 và 𝑆2: 𝑆1 = ∫ 𝑒0𝑘 𝑥𝑑𝑥 và 𝑆2 = ∫𝑘𝑙𝑛4𝑒𝑥𝑑𝑥.
Giải chi tiết:𝑆1 = 2𝑆2 ⟺ ∫ 𝑒0𝑘 𝑥𝑑𝑥= 2 ∫𝑘𝑙𝑛4𝑒𝑥𝑑𝑥 ⟺ 𝑒𝑥|0𝑘 = 2𝑒𝑥|𝑘𝑙𝑛4
⟺ 𝑒𝑘− 1 = 2(4 − 𝑒𝑘) ⟺ 3𝑒𝑘= 9 ⟺ 𝑒𝑘 = 3 ⟺ 𝑘 = 𝑙𝑛3. Chọn D.
Sử dụng MTBT: Sử dụng chức năng tính tích phân. Lập hiệu
𝑆1 − 2𝑆2 = ∫ 𝑒0𝑘 𝑥𝑑𝑥− 2 ∫𝑘𝑙𝑛4𝑒𝑥𝑑𝑥.
Nhập vào MTBT với k lần lượt là 4 giá trị trong 4 đáp án đề cho, giá trị nào mà hiệu trên bằng 0 đó là đáp án đúng.
Câu 21. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = −1, 𝑥 = 2 (như hình vẽ bên). Đặt 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥−10 02 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
C. 𝑆 = −𝑏 + 𝑎. D. 𝑆 = −𝑏 − 𝑎.
[Trích Đề minh họa 3]
Bình luận và lời giải: Bài này không khó nhưng lại dễ làm sai bởi HS quen với phép
tính đại số nên chọn đáp án B. Việc nắm vững công thức tính diện tích, cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối và kĩ năng đọc đồ thị đóng vai trò quan trọng. Trong trường hợp này
công thức tính diện tích là 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|−12 𝑑𝑥. Kết hợp quan sát đồ thị ta thấy: Diện
tích cần tính được chia thành hai phần, phần phía trên trục hoành thuộc đoạn [0; 2]
mang dấu dương nên bỏ trị tuyệt đối là chính nó, phần phía dưới trục hoành thuộc
đoạn [0; 1] mang dấu âm nên bỏ trị tuyệt đối là số đối của nó, do đó đáp án đúng là
A. 𝑆 = 𝑏 − 𝑎. Câu hỏi này MTBT không giúp được gì và đồ thị là một thành phần quan trọng trong câu dẫn.
Đặc biệt, các Đề minh họa có sự xuất hiện của bài toán liên hệ thực tế, đòi hỏi khả năng mô hình hóa và vận dụng tốt kiến thức phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Câu 28. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/𝑚2. Hỏi ông
An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A.7.867.000 đồng B.7.653.000 đồng C.7.128.000 đồng D.7.826.000 đồng [Trích Đề minh họa 2]
Bình luận và lời giải: Đây là một câu gây nhiều khó khăn cho HS vì đòi hỏi khả năng mô hình hóa. Bài toán có cách phát biểu lạ lẫm chưa từng xuất hiện trong SGK12 và các đề thi trước đó của Bộ GD – ĐT. Xác
định được cần sử dụng kĩ thuật 𝜏𝐷𝑇 chỉ mang
tính định hướng cho bước giải, quá trình lập công thức tính không hề đơn giản. Để lập được hàm số dưới dấu tích phân, HS cần phải nhớ dạng phương trình chính tắc của elip đã học từ lớp 10 và biết gắn elip vào hệ trục tọa
độ.
Phương trình chính tắc của elip có dạng: 𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2 = 1. Theo đề bài ta có:
2𝑎 = 16, 2𝑏 = 10 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏 = 5
Suy ra phương trình chính tắc của elip là: 𝑥2 64+𝑦2
25= 1 ⟹ 𝑦 = ±5√1 −𝑥2
64 Khi đó phần cần tính diện tích được biểu diễn như hình vẽ bên.
Diện tích S của vườn hoa được tính theo công thức sau:
𝑆 = 4 ∫ 5√1 −𝑥 2 64 4 0 𝑑𝑥 = 20 ∫ √1 −𝑥 2 64 4 0 𝑑𝑥
Giải chi tiết: Đặt 𝑥 = 8𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑡 ∈ [−𝜋
2;𝜋 2] ⟹ 𝑑𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡. Đổi cận: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 0; 𝑥 = 4 ⟹ 𝑡 =𝜋 6. Khi đó: 𝑆 = 20 ∫ √1 −𝑥 2 64 4 0 𝑑𝑥 =20 8 ∫ √64 − 𝑥2