Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
2.3. Phân tích các Đề minh họa và đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học
2.3.2. thi chính thức của Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017
Đề thi chính thức có 24 mã đề thi (từ 101 đến 124) được biên soạn từ 4 đề gốc. Dạng các câu hỏi thuộc chương 4– Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – được ra tương tự giữa các đề, đa số chỉ là thay đổi hàm số, giữ nguyên KNV. Nội dung câu hỏi trải đều tất cả nội dung lý thuyết trong SGK: sử dụng kĩ thuật tính tích phân (nguyên hàm) bằng định nghĩa, tính chất, đổi biến số, từng phần; ứng dụng tích phân trong hình học và vật lí. Về hình thức, các câu trắc nghiệm trong đề chính thức đều có cách phát biểu tương tự như Đề minh họa 2 và 3 và xuất hiện những cách hỏi mới, yếu tố đồ thị được khai thác hiệu quả. Về số lượng, đề chính thức cũng có 7 câu thuộc chương 4 nhưng số lượng câu hỏi về nguyên hàm tăng từ 1 lên 2 – 3 câu.
Số lượng câu nguyên hàm tăng đồng thời xuất hiện các KNV mới giúp hạn chế MTBT. KNV quen thuộc về nguyên hàm xuất hiện trong các đề đã giới thiệu có dạng là:
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 2
𝑥2 A. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥33−2 𝑥+ 𝐶. B. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥33−1 𝑥+ 𝐶. C. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥3 3 +2 𝑥+ 𝐶. D. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥3 3 +1 𝑥+ 𝐶. [Trích Đề minh họa 3]
Bình luận và lời giải: Đây là một câu đơn giản, HS có thể giải chi tiết bằng cách sử
dụng bảng nguyên hàm thường gặp hoặc có thể dùng thủ thuật MTBT tìm nhanh đáp án.
Giải chi tiết:
Ta có ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2+ 2
𝑥2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 2 ∫𝑥12𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥33−2
𝑥+ 𝐶.
Chọn A.
Sử dụng MTBT: Dựa trên kiến thức đạo hàm của nguyên hàm chính là hàm số đó. HS
có thể sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của MTBT tính đạo hàm tại một điểm 𝑥0 thuộc tập xác định của hàm số và so sánh với 𝑓(𝑥0) để chọn đáp án đúng. Ví dụ câu nguyên hàm mới xuất hiện trong Đề thi chính thức:
Câu 32. Cho 𝐹(𝑥) = 𝑥2 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥.
A.∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2+ 2𝑥 + 𝐶. B.∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2+ 𝑥 + 𝐶.
C.∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥2− 2𝑥 + 𝐶 D.∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −2𝑥2+ 2𝑥 + 𝐶. [Trích mã đề 101]
Bình luận và lời giải: HS cần nắm vững khái niệm nguyên hàm (𝐹(𝑥) là nguyên hàm
của 𝑓(𝑥) thì 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)) và xác định được để giải bài toán cần tìm được hàm số
𝑓(𝑥).
Vì 𝐹(𝑥) = 𝑥2 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥 nên
(𝑥2)′= 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥⟹ 2𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = 2𝑥
𝑒2𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) =2−4𝑥
𝑒2𝑥 Khi đó ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫(2 − 4𝑥)𝑑𝑥 = − 2𝑥2+ 2𝑥 + 𝐶. Chọn D.
Sử dụng MTBT: Bước 1, xác định ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫(2 − 4𝑥)𝑑𝑥 . Bước 2, sử dụng
chức năng tính đạo hàm tại một điểm của MTBT tính giá trị các đáp án và so sánh với giá trị hàm số 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥 = 2 − 4𝑥 tại điểm đó để tìm đáp án đúng.
Như vậy việc đổi số lượng câu trắc nghiệm giữa hai nội dung nguyên hàm và tích phân để tăng tính mới, đa dạng của các KNV.
HS gặp lại nhiệm vụ liên hệ thực tế liên quan đến ứng dụng vật lí của tích phân. Lúc này bài toán vật lí đòi hỏi khả năng mô hình hóa cao hơn so với Đề minh họa 1 vì hàm vận tốc chưa được cho, chuyển động lại phân thành hai giai đoạn. Kiến thức về mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường là mấu chốt để giải bài toán. Bên cạnh đó, để giải thành công, việc đọc đồ thị và liên hệ tốt với kiến thức vật lí là đòi hỏi bắt buộc.
Câu 41. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc 𝑣(km/h) phụ thuộc thời gian
𝑡(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh
𝐼(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường 𝑠 mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A.𝑠 = 23,25(km). B.𝑠 = 21,58(km).
C.𝑠 = 15,50(km). D.𝑠 = 13,83(km).
Bình luận và lời giải: HS phải biết phân tích đề bài, kết hợp kiến thức toán học và vật lí để lập được công thức tính quãng đường. MTBT chỉ tham gia tính toán kết quả khi đã lập được công thức tính tích phân.
Phương trình parabol có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)
Parabol cắt trục tung tại điểm (0; 4) ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 4. Parabol có đỉnh 𝐼(2; 9) ta suy ra hệ phương trình: {
−𝑏 2𝑎=2 9=4𝑎+2𝑏+4⟺ {4𝑎+2𝑏=54𝑎+𝑏=0 ⟺ {𝑎= −5 4 𝑏=5 Phương trình parabol là 𝑦 = −5 4𝑡2+ 5𝑡 + 4 Với 𝑡 = 1 ⟹ 𝑦 =31 4
Từ quan sát đồ thị chuyển động ta suy ra rằng: Trong khoảng thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 1 giờ, vật chuyển động nhanh dần với hàm vận tốc là
𝑣 = −5
4𝑡2+ 5𝑡 + 4,
từ 1 đến 3 giờ vật chuyển động thẳng đều với vận tốc 31 4 km/h. Do đó, quãng đường vật đi được trong 3 giờ là
𝑠 = ∫ (−54𝑡2+ 5𝑡 + 4) 𝑑𝑡 + (3 − 1) 31
4 =259
12 ≈ 21,58
1
0 (km). Chọn B.
Đặc biệt, đề thi xuất hiện nhiệm vụ đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp: HS phải sử dụng được nghĩa “tích phân là diện tích hình phẳng” kết hợp với định nghĩa tích phân theo nguyên hàm và các kiến thức về hàm số, đồ thị, đạo hàm mới giải được. Ví dụ như câu 49 mã đề 101.
Câu 49. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥). Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥)
như hình bên.
Đặt ℎ(𝑥) = 2𝑓(𝑥) − 𝑥2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.ℎ(4) = ℎ(−2) > ℎ(2).
B.ℎ(4) = ℎ(−2) < ℎ(2).
C.ℎ(2) > ℎ(4) > ℎ(−2).
D.ℎ(2) > ℎ(−2) > ℎ(4).
[Trích mã đề 101] Lời giải của TS Trần Nam Dũng10 đăng trên bigschool.vn:
Ta có: ℎ′(𝑥) = 2𝑓′(𝑥) − 2𝑥 = 2(𝑓′(𝑥) − 𝑥).
Quan sát hình vẽ ta thấy với 𝑥 ∈ (2; 4), 𝑓′(𝑥) < 𝑥 ⇒ ℎ′(𝑥) < 0 ⟹ ℎ(2) > ℎ(4) . Ta có: ∫ (2𝑓−24 ′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ℎ−24 ′(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ(𝑥)|−24 = ℎ(4) − ℎ(−2). Mặt khác: ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 4 2 2 −2 4 −2 = ∫ (2𝑓′(𝑥) − 2𝑥)𝑑𝑥 − ∫ (2𝑥 − 2𝑓′(𝑥))𝑑𝑥 = 2(𝑆1− 𝑆2) > 0 4 2 2 −2 ⟹ ℎ(4) > ℎ(−2). Vậy ℎ(2) > ℎ(4) > ℎ(−2). Chọn C.
Đây là một câu phân loại để tìm kiếm HS giỏi, việc xác định dùng kiến thức tích phân là trọng tâm để giải quyết bài toán không hề đơn giản. Việc quan sát đồ thị và sử dụng hiệu quả nó đóng vai trò quan trọng. TS Trần Nam Dũng nhận xét: “Đây là câu hỏi hay nhất đề thi. Bởi nó không sa vào tính toán như một số câu hỏi khác mà phải vận dụng các kiến thức xung quanh hàm số, đạo hàm, đồ thị, tích phân” [Theo Tuệ Nguyễn – Quý Hiên, báo Thanh Niên (thanhnien.vn) ngày 23/06/2017].
Như vậy, Đề thi chính thức một lần nữa cho ta thấy được sự đa dạng và phong phú trong việc ra đề trắc nghiệm. Yếu tố đồ thị được khai thác hiệu quả. HS không thể ỷ lại vào MTBT mà phải thực học, nắm vững và vận dụng tốt khái niệm tích phân. Các bài toán liên hệ thực tế với đa dạng hình thức thể hiện giúp HS có thể biết cũng như chú ý hơn về những ứng dụng của tích phân trong đời sống. Kiến thức tích phân nhờ đó có thể không còn khô khan, hình thức đối với HS.
Chúng tôi xin nói thêm về ứng dụng vật lí của khái niệm tích phân: ứng dụng này chỉ xuất hiện trong SGKNC12 và giới hạn ở việc lập công thức tích phân tính quãng đường dựa vào hàm vận tốc nhưng lại xuất hiện trong Đề minh họa 1 và Đề chính thức – đề dùng chung cho tất cả thí sinh. Vậy cơ sở của việc ra đề này là gì? Có thể mở rộng các ứng dụng nào? Theo như lựa chọn cách tiếp cận khái niệm tích phân của SGKHH thì tích phân mang nghĩa là “phép toán ngược của đạo hàm”, do đó, những vấn đề nào mà đạo hàm giải quyết được thì vấn đề ngược lại tích phân cũng có thể giải quyết. Có 3 ứng dụng ngoài toán học của đạo hàm được SGK11 đề cập và đều thuộc lĩnh vực vật lí: vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 𝑡0 là đạo hàm của hàm số quãng đường 𝑠 = 𝑠(𝑡) tại 𝑡0, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 𝑡0
là đạo hàm của hàm số điện lượng 𝑄 = 𝑄(𝑡) tại 𝑡0, đạo hàm cấp hai 𝑓′′(𝑡) là gia tốc tức thời của chuyển động 𝑠 = 𝑓(𝑡) tại thời điểm t. Từ đó dẫn tới khái niệm tích phân trong các đề thi chỉ có thể tác động vào lĩnh vực Vật lí và ở 3 ứng dụng được kể trên.
2.4. Kết luận
Từ việc phân tích chương trình và hai bộ SGKHH, các Đề minh họa và đề thi của Bộ GD-ĐT cho phép chúng tôi rút ra những kết luận sau:
Cả ba cách tiếp cận khái niệm tích phân đều xuất hiện trong hai bộ SGK nhưng chính thức thì chỉ có hai: cách tiếp cận thứ nhất (Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể)) và thứ ba (Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm). Trong đó, cách tiếp cận thứ ba là trọng tâm, xuyên suốt và các kĩ thuật giải quyết các KNV đều trên cơ sở định nghĩa theo cách tiếp cận này.
Các kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân được trình bày không nặng tính hàn lâm. Nhiều hoạt động, câu hỏi được đề xuất để gợi ý GV tổ chức hoạt động dạy học đối với từng đơn vị kiến thức. SGKHH đã thiết kế bài toán diện tích là tiền đề dẫn tới định nghĩa tích phân giúp cho khái niệm tích phân không quá trừu tượng với HS.
Các ví dụ và bài tập trong SGK chủ yếu tập trung ở KNV tính tích phân và trình bày phần lớn ở hình thức tự luận với một môtíp quen thuộc. Các bài tập trắc nghiệm đa số được cho dưới dạng chuyển cơ học từ tự luận sang trắc nghiệm khiến cho các dạng bài này dễ dàng tìm đáp án nhờ MTBT mà không cần nắm kiến thức. SGKNC12 cũng
có một số câu hỏi trắc nghiệm hạn chế nhược điểm này nhưng số lượng rất ít. Các tác giả viết sách cũng thừa nhận các câu hỏi này “ở dạng thử nghiệm chứa chưa phải là những đề mẫu dạng chuẩn mực”. Như vậy SGK chưa chuẩn bị đầy đủ nền tảng cho việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm.
Nguồn tài liệu tin cậy và mang tính định hướng cho GV chính là các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trước khi kì thi THPT quốc gia 2017 chính thức diễn ra. Không bó hẹp ở KNV tính tích phân trong các đề thi của những năm trước, hầu hết các nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tích phân đều xuất hiện và có nội dung phong phú, trải đều các kiến thức tích phân, xuất hiện các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng vật lí và hình học. Các bài toán thực tiễn trong các Đề minh họa và đề thi chính thức 2017 có thể giúp cho cách tiếp cận thứ nhất được chú trọng hơn và cách tiếp cận thứ ba cũng không còn thuần túy là tính toán đại số. Tuy nhiên, do cách định nghĩa và giới thiệu đạo hàm của SGK11 mà ứng dụng ngoài toán học của tích phân cũng hạn chế theo.
Ngoài ra, các Đề minh họa 2 và 3 đã đưa ra nhiều cách đặt câu hỏi mới lạ mà việc giải quyết chúng đòi hỏi HS phải nắm vững kiến thức và vận dụng tốt mới giải nhanh và chính xác, không ỷ lại vào MTBT được. Đề thi chính thức đã tái khẳng định điều này. Cụ thể một số thay đổi nổi bật:
Nhóm 1: Các nhiệm vụ liên quan đến KNV 𝑻𝑻𝑻𝑷 - Tính tích phân từ a đến b của hàm số y f x .
- Nếu yêu cầu tính một tích phân I thì hàm số dưới dấu tích phân hoặc cận không được cho cụ thể, buộc HS phải vận dụng kiến thức tích phân tìm đầy đủ các thành phần của I hoặc tính I thông qua tích phân giả thiết cho.
- Đề bài hỏi về các thành phần trong công thức tích phân (cận, hàm số dưới dấu tích phân, hệ số của kết quả tích phân chứa logarit) mà việc phải trình bày chi tiết các bước tính tích phân mới tìm được đáp án đúng.
- Việc nhận dạng sử dụng kĩ thuật tính tích phân nào đòi hỏi HS nắm vững công nghệ của kĩ thuật đó mới có thể suy luận sử dụng kĩ thuật phù hợp, không thể luôn dựa vào dạng cụ thể của hàm số dưới dấu tích phân.
Nhóm 2: Các KNV liên quan đến ứng dụng của tích phân
- Yếu tố đồ thị được tăng cường và là một phần quan trọng trong giả thiết. - Khả năng mô hình hóa, vận dụng vào thực tế được đề cao.
- Đề bài tập trung ở việc HS phải vận dụng kiến thức để phân tích và suy luận lập công thức tích phân.
Nhóm 3: Các KNV liên quan đến chứng minh và tính gần đúng - Không
xuất hiện
Mặc dù có nhiều điểm đổi mới, nhưng thời điểm công bố Đề minh họa 2 và 3 là khi GV đang dạy khái niệm tích phân và khi đã kết thúc chương trình năm học. Trong khi đó, tài liệu sớm nhất mà GV có được là SGK và Đề minh họa 1 với đa số các câu trắc nghiệm có cách phát biểu như câu tự luận thêm 4 đáp án mà hầu hết đều giải được bằng MTBT. Điều này có thể gây nhiều khó khăn cho GV trong dạy học và đánh giá HS.
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN
Mục tiêu của chương nhằm trả lời cho câu hỏi:
CH3: Trước sự thay đổi hình thức thi của Bộ GD-ĐT, trong thực hành dạy học,
GV có thực hiện theo tiến trình giới thiệu các kiến thức tích phân trong SGK không? Có những điểm gì khác? Các praxéologies nào được GV đưa vào trong thực tế giảng dạy? Các praxéologies này có gì giống và khác so với các praxéologies được trình bày trong SGK và các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016-2017? Chúng tôi tiến hành quan sát thực hành dạy học của hai GV: GV1 dạy chương trình Nâng cao và GV2 dạy chương trình Chuẩn. Đối với mỗi GV chúng tôi tiến hành dự giờ tối thiểu 4 tiết, các tiết học trải đều 3 nội dung: Định nghĩa tích phân và tính chất, các phương pháp tính tích phân, ứng dụng hình học của tích phân.
Vì các lí do chủ quan và khách quan, chúng tôi không thể dự giờ đầy đủ các tiết học nên không thể đánh giá được GV có triển khai đầy đủ các praxéologies không,mà chỉ xem xét sự giống và khác nhau so với SGK và các Đề minh họa của các praxéologies được GV triển khai.