Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie

Chương 1 CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

3.1. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao

3.1.2. Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie

3.1.2.1. Định nghĩa tích phân và các praxéologie liên quan

GV1 chọn dạy định nghĩa tích phân theo tiến trình Đối tượng – Công cụ bằng con đường quy nạp. Phương pháp dạy học chủ yếu là thuyết trình kết hợp vấn đáp gợi mở. Chúng tôi có cơ hội dự giờ đầy đủ hai tiết dạy định nghĩa tích phân vào hai ngày liên tiếp. Theo quan sát của chúng tôi, cả 6 thời điểm nghiên cứu praxéologie liên quan đến công nghệ 𝜃𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 đều xuất hiện.

Không đi ngay vào bài toán tổng quát như SGKNC12, GV bắt đầu tiết học bằng yêu cầu HS giải 3 trong 4 bài toán cụ thể về tính diện tích hình phẳng và tính quãng đường trong phiếu học tập. Ba KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇, 𝑇𝑄Đ, 𝑇𝑇𝑇𝑃 cùng xuất hiện trong hai tiết học. Trong đó việc nghiên cứu hai KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇, 𝑇𝑄Đ phục vụ cho việc giới thiệu KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃, do đó các thời điểm nghiên cứu chúng đan xen và lồng vào nhau.

Thời điểm gặp gỡ đầu tiên (đoạn 1 - 5) với hai kiểu nhiệm vụ 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 và 𝑇𝑄Đ, mà thực ra cũng gián tiếp là thời điểm gặp gỡ KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃, thông qua việc giới thiệu của GV về

3 bài toán cần làm trong phiếu học tập và ghi tựa bài lên bảng. Hai bài toán đầu có yêu cầu tính diện tích hình phẳng, đều được cho dưới dạng hình vẽ gắn trên hệ trục tọa độ, trong đó có 1 bài trắc nghiệm:

Bài 1: Tính diện tích hình thang như hình vẽ

Bài 2: Diện tích của hình là

Cách thức cho bài toán này phù hợp với các bài trắc nghiệm trong các Đề minh họa của Bộ GD-ĐT. HS được làm quen với cách đọc các giả thiết từ hình vẽ. GV đã gợi ý một số điểm cần lưu ý cũng như cách làm bài 1 và 2:

2. [..] Bài số 1 trang đầu Tính diện tích hình thang như hình vẽ. Không có phương trình, chỉ có số liệu đề nghị các em suy ra. Bài thứ hai thầy cho một phương án trắc nghiệm của diện tích hình bị gạch chéo thì thầy thử khả năng phán đoán chính xác của các em, sau đó sẽ kiểm chứng bằng công thức.

 Thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 và xây dựng kĩ thuật giải quyết nó (đoạn 7 – 48) thông qua việc giải hai bài toán 1 và 2 nêu trên. GV dành nhiều thời gian cho thời điểm này và khuyến khích HS đưa ra nhiều lời giải. Bài toán 1, HS dễ dàng giải quyết

A .1 2 B. 1 3 C. 4 7 D.2 5

bằng các kiến thức sơ cấp, không HS nào đề cập đến việc lập phương trình cạnh xiên. Trong trường hợp này đó không phải là cách tối ưu, buộc GV phải thiết lập với lời giải thích : “Cách này có vẻ hơi dài một chút nhưng chút nữa ta tính tích phân mới được”. Trong bài toán 2, dụng ý của GV không đạt được vì các HS đã học thêm trước nên trả lời đúng đáp án nhưng lời giải thích lại là do tính tích phân – nội dung hôm nay mới học. Cuối cùng, GV phải hướng dẫn cách lập luận dựa vào hình vẽ để loại trừ các phương án.

Cách thiết kế và sắp xếp bài tập của GV đạt được hai mục đích: Tạo nhu cầu cần phải thiết lập công thức tính diện tích cho một hình bất kì hay một kĩ thuật tổng quát để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 và cho HS làm quen với hình thức đề bài và cách thức làm bài trắc nghiệm.

 Thời điểmnghiên cứu KNV 𝑇𝑄Đ và xây dựng kĩ thuật giải quyết KNV này được thực hiện thông qua việc giải bài toán 3 (đoạn 49 – 78).

Bài 3: Một viên đạn được bắn lên trời theo phương thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 500m với vận tốc ban đầu là 245m/s.

a. Tìm thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất.

b. Khi đạt độ cao lớn nhất, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu.

Nhờ nắm vững môn vật lí nên HS giải quyết trọn vẹn bài toán bằng kĩ thuật thuộc bộ môn này, kĩ thuật mới chưa được thiết lập.

 Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết (đoạn 79 – 86) liên quan đến kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇: GV yêu cầu HS đọc nội dung bài toán 1 trong SGKNC12 và thừa nhận như một kết quả, bỏ qua chứng minh vì “là nhiệm vụ của SGK, mai mốt lên đại học làm”. GV nhấn mạnh định nghĩa hình thang cong và công thức tính diện tích của nó, cùng HS nêu các bước tính diện tích.

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇(đoạn 87 -103): GV dẫn dắt HS giải chi tiết bài toán 1 và 2. Ngoài ra, GV còn giới thiệu cách tính diện tích nhờ phân chia hình cần tính thành các phần nhỏ tương tự như lưới ô vuông và giải nghĩa từ tích phân. Mặc dù không thật sự chính xác nhưng sự giải thích của GV cũng giúp HS có thể hiểu thêm về khái niệm này và nguồn gốc hình học của nó.

 Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết (đoạn 106 – 112) liên quan đến kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝑄Đ được GV tiến hành tương tự như KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 .

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 để giải quyết KNV 𝑇𝑄Đ(đoạn 103): Do yếu tố thời gian, GV thuyết trình giải bài toán 3.

 Thời điểm thể chế hóa công nghệ 𝜃𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 (đoạn 114 – 124) để giải quyết KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃: GV phát biểu và viết bảng định nghĩa tích phân, GV nhấn mạnh tính liên tục của hàm số xét trên đoạn cần lấy tích phân và chỉ ra sự thay đổi của chương trình khi xét trên đoạn [𝑎; 𝑏] chứ không phải trên khoảng K bất kì và khi đó 𝑎 < 𝑏. GV cũng nhắc nhở HS về các bước làm bài: “Như vậy để tính tích phân của hàm số thì tương tự như nguyên hàm là ta phải tìm được gì. Ta phải tìm được nguyên hàm, rồi tiếp theo làm gì hả các em, thế cận nhá, a, b gọi là cận”.

Các thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝑄Đ, 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 cũng chính là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ, lý thuyết cho KNV𝑇𝑇𝑇𝑃.

Thời điểm đánh giá (đoạn 119 – 138): GV dành nhiều thời gian cho thời điểm này để chỉ ra mối liên hệ giữa 3 khái niệm diện tích, quãng đường, tích phân. Đặc biệt là mối quan hệ giữa khái niệm tích phân và diện tích. GV nhấn mạnh sự khác biệt của hai khái niệm.

 Thời điểm thể chế hóa công nghệ 𝜃𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 đối với KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 (đoạn 142 – 143): GV trình bày trong nội dung ý nghĩa hình học của tích phân. GV nhấn mạnh yêu cầu hàm số đã cho phải dương. Thời điểm này diễn ra nhanh chóng vì nó là kết quả của hoạt động tiết trước.

Thời điểm thể chế hóa công nghệ 𝜃𝑄Đ (đoạn 144 – 148): Khác với SGK, GV còn mở rộng ý nghĩa cơ học khi đề cập giả thiết bài toán có thể là nhiệt lượng, công của nhiệt lượng. Tuy nhiên, GV lại không nhắc cho HS khi nào có thể thiết lập công thức tích phân để tính (đại lượng này là đạo hàm của đại lượng kia). Chính vì lí do đó nên khi GV thực hiện thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑄Đ (đoạn 149 – 163) áp dụng cho việc tìm vận tốc tức thời dựa vào gia tốc, HS dễ dàng giải quyết bằng kĩ thuật vật lí đã biết nhưng không em nào đưa ra được lời giải vận dụng kĩ thuật 𝜏𝑄Đ.

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 giải quyết KNV 𝑇𝑇𝑇𝑃 (đoạn 164 – 200): Kết thúc phần lí thuyết, GV cho HS giải quyết 1 bài tự luận và 2 bài trắc nghiệm.

VD1: 𝐼 = ∫ |𝑥 + 1|𝑑𝑥−11

Câu 1. Hãy chọn một mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A.∫ 𝑑𝑥 = 1−11 B. ∫ 𝑓𝑎𝑏 1(𝑥). 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓𝑎𝑏 1(𝑥)𝑑𝑥.∫ 𝑓𝑎𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥 C. f liên tục, 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) ≥ 0𝑎𝑏 D. ∫ 𝑓(𝑥) = 0−𝑎𝑎 ⟹ 𝑓(𝑥) lẻ Câu 2. Tìm a, b để 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 + 𝑏thỏa { 𝑓(1) = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 401

Ví dụ 1 của GV1 không đơn giản như SGK là có thể áp dụng ngay định nghĩa tích phân, mà đòi hỏi phải qua bước khử dấu giá trị tuyệt đối. Điều đó có thể gây khó khăn cho một số HS không nắm vững khái niệm này. GV mở đầu bằng việc nhắc lại bài toán 1 trong phiếu học tập tiết học trước và khẳng định: “Đối với tích phân hàm số bậc nhất, đôi khi ta không cần tính nguyên hàm, ta tính nhẩm nhanh hơn”. GV minh chứng điều đó qua việc giải ví dụ 1 bằng hai kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝑁 và 𝜏𝑇𝑇𝑃𝐷𝑇 .

Có thể thấy cả 2 bài toán trắc nghiệm đều là các nhiệm vụ mới và đòi hỏi HS phải nắm vững lí thuyết, lập luận tốt. Câu 2 GV không cho 4 đáp áp chỉ cho câu dẫn với mục đích giới thiệu sự đa dạng đề bài có thể có với cùng một câu dẫn. Thông qua đó GV hướng dẫn HS những cách làm nhanh, lập luận giải toán trắc nghiệm.

3.1.2. 1. Phương pháp đổi biến số

Tiết học này vắng 9 em, các em đều là các HS giỏi nhất lớp dự thi giải toán trên MTBT. Để kịp tiến trình bài dạy, GV phải trực tiếp trình bày nhiều. Đây là tiết bài tập nên GV chỉ thực hiện thời điểm làm việc với hai kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝐵1 và 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝐵2.

GV cho HS làm các nhiệm vụ thuộc cả hai hình thức tự luận (5 bài) và trắc nghiệm (2 bài). Trong đó hình thức trắc nghiệm được thực hiện vào cuối tiết. Các câu tự luận đa số sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝐵1, mức độ phức tạp tăng dần, tập trung ở những nhầm lẫn, sai sót thường gặp của HS. Mỗi bài đều được GV phân tích kĩ kết hợp

phương pháp thuyết trình và vấn đáp. GV nhấn mạnh HS phải biết nhận xét, tìm đường lối giải.

1. 𝐼 = ∫ √1 + 𝑥𝑑𝑥01 2. 𝐼 = ∫ √1 + 𝑥01 2𝑑𝑥

3. 𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑒12 𝑥2𝑑𝑥 4. 𝐼 = ∫ sin2𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 2

0

Đề thi đại học khối A năm 2011. 𝐼 = ∫ 𝑥 sin 𝑥+(𝑥+1) cos 𝑥

𝑥 sin 𝑥+cos 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 4 0

Cách tính tích phân bằng đổi vi phân cũng được GV đề cao vì đáp ứng yêu cầu nhanh của hình thức thi trắc nghiệm. Vì có thể dùng MTBT tính ngay kết quả gần đúng nên một số HS ỷ lại MTBT, không tìm cách trình bày bài giải, GV phải nghiêm khắc nhắc nhở:

226. GV nhắc nhở: Ở lớp mình học cái gì, mình học phương pháp thôi các em ạ, các thao tác cần thiết. (Thầy nghiêm giọng) Chứ em cứ cúi xuống em làm việc riêng của em thì có tác dụng gì nào, về nhà nghe không? Hân bỏ máy xuống, cứ bấm máy ra kết quả là không được, tuần sau thì thầy cho đề kiểm tra là điểm 0 đấy.

Mặc dù chỉ có 1 ví dụ sử dụng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃Đ𝐵2 nhưng được GV dành nhiều thời gian phân tích và quá trình giải bài này cung cấp nhiều thủ thuật làm bài cho HS.

Kết thúc tiết học, GV cho HS làm hai bài trắc nghiệm. 1. Kết quả của tích phân 𝐼 = ∫ 3𝑥−1

𝑥2+6𝑥+9𝑑𝑥 2 0 là A.3𝑙𝑛3 5+4 3 B. 3𝑙𝑛5 3+4 3 C. 3𝑙𝑛5 3−4 3 D. 3𝑙𝑛3 5−4 3 2. Cho 𝐼 = ∫01𝑥4𝑥+112+5𝑥+6𝑑𝑥 có kết quả dạng 𝐼 = 𝑙𝑛𝑎 𝑏 (trong đó a, b là số nguyên dương). Hãy tính 𝑎 + 𝑏 và cho kết quả là

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

Cả hai bài GV đều yêu cầu HS giải chi tiết rồi hướng dẫn sử dụng MTBT. Bài thứ nhất, thủ thuật đơn giản chỉ nhập công thức và đối chiếu kết quả. Bài thứ hai phức tạp hơn, thủ thuật MTBT đòi hỏi phải biết sử dụng tính chất 𝐼 = 𝑙𝑛𝑎

𝑏 ⟹𝑎

𝑏 = 𝑒𝐼. Cuối cùng GV khẳng định: “Tóm lại kiến thức, tri thức và kĩ năng là phải kĩ”.

3.1.2.3. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

 Thời điểm nghiên cứu KNV 𝑇𝐷𝑇2Đ𝑇 và xây dựng kĩ thuật 𝜏𝐷𝑇2Đ𝑇 (đoạn 275 – 283) và thời điểm thể chế hóa công nghệ (đoạn 284) cho kĩ thuậtmới xây dựng với trường hợp 2 đồ

thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) và trục Ox diễn ra nhanh chóng nhờ việc ghi nhận kết quả đã được GV thực hiện kĩ ở tiết định nghĩa tích phân. GV mở rộng vấn đề với đường cong bất kì và

𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị âm thông qua việc giảng kết hợp với vẽ hình. Tuy nhiên trong quá trình ôn lại công thức tính diện tích hình thang cong có 4/5 HS nhắc lại không đúng.

 Thời điểm làm việc với kĩ thuật 𝜏𝐷𝑇2Đ𝑇 (đoạn 285 – 384): GV dành nhiều thời gian cho thời điểm này. Đối với KNV 𝑇𝐷𝑇, giống như kết quả mà Nguyễn Hoàng Vũ (2012) đã chỉ ra, GV ưu tiên sử dụng kĩ thuật “xét dấu” để bỏ trị tuyệt đối, mặc dù SGK ưu tiên dùng “đồ thị”: “Các em nắm vững nguyên tắc phá dấu trị tuyệt đối là làm được hết”. GV1 có 3 ví dụ là các trường hợp chú ý khác nhau về cách xét dấu. Tuy nhiên, có nhiều HS không nắm vững kĩ thuật xét dấu mặc dù điều này đã được GV cho luyện tập nhiều khiến GV phê bình: “Khó khăn cho thầy là các em không rành, thậm chí còn không biết xét dấu. Mà cái việc này thầy quan tâm lâu rồi, đâu phải giờ này. Đa thức bậc hai, bậc nhất thì dễ rồi, lượng giác, rồi tí nữa là hàm trùng phương vô nữa thì sao đây ta. Về không học hành gì cả. Các em làm sao ấy”.

Đáng chú ý là ví dụ thứ hai chứng minh lại công thức tính diện tích hình tròn. SGKNC12 chọn ví dụ là tính diện tích hình elip được cho bởi phương trình chính tắc. Đối với ví dụ của GV1, giả thiết bài toán chỉ là tính diện tính hình tròn có bán kính R. Khi đó GV vẽ hình, từng bước dẫn dắt HS cách gắn vào hệ trục tọa độ, thiết lập phương trình đường tròn và lập công thức tích phân tính diện tích hình tròn. Đồng thời GV nhắc nhở HS trình bày sao cho ngắn gọn để đỡ mất thời gian, cảnh báo có thể gặp những câu khó: “Khi thi trắc nghiệm kết hợp kiến thức và trình bày kiến thức, em phải lập chương trình để bấm máy. Lí do có những câu khó khủng khiếp để hạn chế điểm 10 thì sao giờ? Điểm 10 quá nhiều thì làm sao mà phân loại được”. Ví dụ này là trình bày nâng cao của GV để chuẩn bị cho những câu khó. Nó tương tự như câu 28 trong Đề minh họa 2.

Có thể thấy KNV 𝑇𝐷𝑇 được GV trình bày nhiều lần trong bài định nghĩa và bài ứng dụng tích phân tính diện tích. Sự trình bày rất phong phú và uyển chuyển trong từng trường hợp. Hàm số bậc nhất dùng kĩ thuật 𝜏𝑇𝑇𝑃𝐷𝑇 . Cho hình vẽ thì chọn hệ trục

phù hợp để lập công thức hàm số từ đó thiết lập công thức tích phân. Nếu đề bài chỉ cho công thức thì dùng kĩ thuật xét dấu để bỏ trị tuyệt đối.