Nhận thức cỏc đối tượng, cỏc quan hệ, cỏc mối liờn hệ toỏn học theo con đường quy nạp là hoạt động tư duy phản ỏnh những thuộc tớnh bản chất của cỏc đối tượng, cỏc quan hệ, cỏc mối liờn hệ toỏn học đi từ những cỏi riờng đến cỏi chung, cỏi khỏi quỏt.
Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Quy nạp cú vai trũ lớn trong việc rốn luyện trớ thụng minh cho học sinh. ễng cho rằng: “Việc dạy Toỏn chỉ với mục đớch truyền thụ kiến thức thỡ sẽ dẫn tới việc coi trọng suy diễn và coi nhẹ quy nạp. Nhưng nếu đặt vấn đề rốn luyện úc thụng minh sỏng tạo cho học sinh thỡ vai trũ của quy nạp sẽ lờn ngang hàng với suy diễn”.
Hoạt động nhận thức cỏc khỏi niệm toỏn học theo con đường quy nạp phỏt hiện là hoạt động trớ tụờ của học sinh dựa trờn cỏc tri thức, vốn kinh nghiệm đó cú nhờ khảo sỏt cỏc trường hợp riờng, cỏc trường hợp đặc biệt, thụng qua hoạt động khỏi quỏt hoỏ, trừu tượng hoỏ, mụ hỡnh hoỏ để phỏt hiện cỏc thuộc tớnh chung của cỏc đối tượng mới.
Từ cỏc tri thức nờu trờn cú thể mụ tả quy trỡnh tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học khỏi niệm toỏn học theo con đường quy nạp phỏt hiện qua cỏc bước sau:
Bước 1: Tạo tỡnh huống, tạo nhu cầu nhận thức:
Lựa chọn cỏc trường hợp riờng chứa cỏc tớnh chất chung cần nghiờn cứu lấy từ nội bộ toỏn hay từ thực tiễn đảm bảo cú nhiều hỡnh thức khỏc nhau cựng chứa đựng một nội dung toỏn học cần phỏt hiện, chứa đựng những khú khăn về phương diện nhận thức đối với học sinh.
Bước 2: Khảo sỏt, phỏt hiện
Thụng qua hoạt động phỏt hiện: Phõn tớch, so sỏnh, tổng hợp tỡm cỏc thuục tớnh chung từ cỏc trường hợp riờng; làm bộc lộ nụi dung từ cỏc hỡnh thức thể hiện khỏc nhau.
Sau khi học sinh đó phỏt hiện cỏc thuộc tớnh chung giỏo viờn nờu tờn khỏi niệm và yờu cầu học sinh phỏt biểu khỏi niệm.
Bước 4: Hoạt động củng cố khỏi niệm
Hoạt động này bao gồm cỏc hoạt động thành phần: Hoạt động ngụn ngữ, hoạt động nhận dạng, hoạt động thể hiện.
Bước 5: Hoạt động khai thỏc ứng dụng khỏi niệm Vớ dụ 1: Dạy học khỏi niệm vectơ.
Khi dạy học khỏi niệm vectơ, điều đầu tiờn chỳng ta phải cho HS thấy được đại lượng "cú hướng" là rất cần thiết, núi một cỏch khỏc, thầy cần hỡnh thành biểu tượng về khỏi niệm vectơ để gợi cho HS nhu cầu nhận thức khỏi niệm mới này. Cú thể liờn hệ đến vật lý để núi đến cỏc đại lượng vụ hướng và đại lượng cú hướng.
Bước 1: Tạo tỡnh huống, tạo nhu cầu nhận thức:
Chẳng hạn, cú thể gợi động cơ xuất phỏt từ thực tế sau:
"Nếu chỉ biết một tàu thuỷ chạy thẳng đều với vận tốc 25 hải lý một giờ (đại lượng vụ hướng) mà khụng núi rừ nú chạy theo hướng nào thỡ ta khụng thể biết sau 3 giờ nữa nú sẽ ở vị trớ nào trờn mặt biển. Do đú ta phải biểu thị vận tốc của tàu thuỷ bằng một mũi tờn để chỉ hướng của chuyển động. Như vậy, cỏc đại lượng cú hướng thường được biểu thị bằng những mũi tờn "→" và gọi là những vectơ. Vậy vectơ là gỡ ? ".
Bước 2: Khảo sỏt, phỏt hiện
Tiếp theo, thầy giỏo cú thể dẫn dắt HS như sau: Giả sử ta cú đoạn thẳng AB.
Nếu thờm dấu "→" vào điểm B thỡ ta cú vectơ mà điểm đầu là A và điểm cuối là B, gọi là " vectơ AB".
Ngược lại, nếu thờm dấu "→" vào điểm A thỡ ta được vectơ mà điểm đầu là B và điểm cuối là A, gọi là "vectơ B ".
Để giỳp HS tiến hành cỏc hoạt động phõn tớch, so sỏnh, đối chiếu … lựa chọn những đối tượng cú
dấu hiệu bản chất của khỏi niệm vectơ thầy dẫn dắt học sinh: - Vậy vectơ là gỡ ?
- Hóy cho biết điểm khỏc nhau giữa vectơ và đoạn thẳng ? (Qua đú thầy nhấn mạnh điểm khỏc nhau cơ bản giữa vectơ và đoạn thẳng, đú là một đại lượng vụ hướng và đại lượng cú hướng).
- Với 2 điểm A và B phõn biệt thỡ ta cú đoạn thẳng nào ? Vectơ nào?
Bước 3: Khỏi quỏt hoỏ, trừu tượng hoỏ; mụ hỡnh hoỏ
- Hóy phỏt biểu định nghĩa vectơ.
Khi HS đó đưa ra định nghĩa vectơ, thầy giỏo cũng nờn nhận xột cõu trả lời của HS và "chốt " lại:
Như vậy: " Vectơ là một đoạn thẳng cú hướng, nghĩa là trong hai điểm mỳt của đoạn thẳng đó chỉ rừ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối; Với 2 điểm A và B phõn biệt thỡ ta cú hai vectơ khỏc nhau là AB và BA Đặc biệt, nếu A và B trựng nhau thỡ ta cú vectơ AA hoặc BBgọi là vectơ khụng".
Bước 4: Hoạt động củng cố khỏi niệm
Cú thể củng cố khỏi niệm vectơ thụng qua một số bài tập
Vớ dụ 2: Dạy học định nghĩa hai vectơ bằng nhau.
Sau khi HS đó hiểu thế nào là hai vectơ cựng phương, cựng hướng, thế nào là độ dài của vectơ, để đi đến định nghĩa
hai vectơ bằng nhau chỳng ta cú thể đi theo cỏch sau:
A B
B
A D
Bước 1: Tạo tỡnh huống, tạo nhu cầu nhận thức:
Xuất phỏt từ hỡnh bỡnh hành ABCD, thầy giỏo cú thể gợi động cơ hỡnh thành khỏi niệm như sau:
- Hai vectơ AB và CD cú cựng độ dài nhưng liệu chỳng ta cú thể núi rằng hai vectơ này bằng nhau và viết AB = CD được khụng ?
- Cũn đối với hai vectơ AB và DC thỡ sao ? cú nhận xột gỡ về độ dài và hướng của chỳng ?
Bước 2: Khảo sỏt, phỏt hiện
HS dễ dàng phõn tớch và rỳt ra được:
- Hai vectơ AB và CD cú cựng độ dài nhưng khụng cựng hướng. - Hai vectơ AB và DC cú cựng độ dài, cựng hướng.
Bước 3: Khỏi quỏt hoỏ, trừu tượng hoỏ; mụ hỡnh hoỏ
Sau đú,Thầy'' chốt ''lại:
" Hai vectơ AB và DC cú cựng hướng và cựng độ dài, khi đú ta viết
AB = DC". Và nờu cõu hỏi:
- Vậy theo em, thế nào là hai vectơ bằng nhau ?
Khi HS đó thực hiện xong hoạt động ngụn ngữ (phỏt biểu chớnh xỏc định nghĩa hai vectơ bằng nhau), thầy giỏo cú thể tổ chức cho HS hoạt động nhận dạng và thể hiện khỏi niệm đú như sau:
Bước 4: Hoạt động củng cố khỏi niệm Hoạt động 1: (Hoạt động nhận dạng).
Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng, AB = CD = 2cm.
- Hóy chỉ ra cỏc vectơ bằng nhau mà cú điểm đầu là cỏc điểm A, B, C, D. Từ cõu trả lời của học sinh, thầy lưu ý HS, cấu trỳc "hội" của định nghĩa
hai vectơ bằng nhau (Hai vectơ phải thoả món đồng thời 2 điều kiện: Cựng hướng, cựng độ dài).
Hoạt động 2: (Hoạt động thể hiện khỏi niệm).
- Cho vectơ a và một điểm O bất kỳ khụng nằm trờn đường thẳng chứa a. Hóy xỏc định vị trớ của điểm A sao
cho OA = a. Cú bao nhiờu điểm A như vậy ?
Thầy giỏo cú thể phõn bậc hoạt động thụng qua những gợi ý sau:
- Vectơ OA = a thỡ OA phải thoả món những điều kiện gỡ ? - Về hướng ?
- Về độ dài ?
- Hóy dựng vectơ OA = a.
- Vỡ sao điểm A duy nhất ? (Do đường thẳng vẽ qua O song song với đường thẳng chứa alà duy nhất, đồng thời OA cựng hướng, cựng độ dài với
anờn A duy nhất).
Bước 5: Hoạt động khai thỏc ứng dụng khỏi niệm
Giỏo viờn cú thể cho học sinh giải bài toỏn:
Cho hỡnh lục giỏc đều ABCDEF tõm O. Hóy xỏc định cỏc vectơ bằng vectơ ABcú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của hỡnh lục giỏc đều ABCDEF và tõm O.
Vớ dụ 3: Dạy học khỏi niệm định nghĩa tổng của cỏc vectơ.
Thầy cú thể gợi động cơ để đi đến khỏi niệm tổng của hai vectơ như sau: - Hỡnh bờn mụ tả một vật được dời từ vị trớ I sang vị trớ II, cỏc điểm A, A'… của vật được dời đến cỏc điểm B, B'… mà AB = A'B'… khi đú ta núi rằng: Vật được tịnh tiến theo vectơ AB.
a
B' A C A' B III II I
Tiếp theo, vật lại được tịnh tiến một lần nữa theo vectơ BC đến vị trớ (III). Sau đú thầy nờu cõu hỏi, dẫn dắt HS.
- Liệu vật cú thể tịnh tiến một lần để từ vị trớ (I) sang vị trớ (III) hay khụng? Nếu cú thỡ tịnh tiến theo vectơ nào?
Khi HS đó cho phương ỏn trả lời đỳng, thầy kết luận: "Như vậy, cú thể núi: Tịnh tiến theo vectơ AC "bằng" tịnh tiến theo vectơ AB rồi tịnh tiến theo vectơ BC. Trong toỏn học, những điều trỡnh bày trờn đõy được núi một cỏch ngắn gọn. Vectơ AC là tổng của hai vectơ AB và BC. Ta đi đến định nghĩa tổng của hai vectơ.
Cho hai vectơ avà b. Từ một điểm A nào đú vẽ AB = a, rồi từ điểm B vẽ BC = b khi đú vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ avà b.
Thầy giỏo cú thể yờu cầu HS thực hiện
cỏc hoạt động sau: - Lấy một điểm A' ≠ A và cũng làm như trờn, hóy so sỏnh A'C' và AC ? A B C a b a + br
- Theo cỏch dựng trờn, hóy dựng
vectơ tổng AC+BC trong trường hợp ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
Thực tiễn sư phạm cho thấy khụng ớt HS lỳng tỳng khi gặp tỡnh huống này.
Thầy giỏo tiếp tục dẫn dắt:
- Theo cỏch dựng như ở trờn, em hóy cho biết: Tổng của hai vectơ là một vectơ cú điểm gốc và điểm ngọn được xỏc định như thế nào ?
Sau khi HS đó nắm vững định nghĩa tổng của cỏc vectơ, một cỏch tự nhiờn, thầy giỏo đưa ra quy tắc:
Quy tắc ba điểm: "Với ba điểm A, B, C bất kỳ luụn cú đẳng thức AB+
BC = AC ".
Khi dạy quy tắc này, thứ nhất, cần cho HS thấy được "sự liờn tiếp" của cỏc vectơ trong vế trỏi đẳng thức: Vectơ thứ hai cú điểm đầu là điểm cuối của vectơ thứ nhất, thứ hai là cần tập cho HS, ý thức viết đẳng thức vectơ, do thúi quen nhiều HS đó viết đẳng thức trờn dưới dạng AB + BC = AC, cần nhấn mạnh để họ thấy rằng đẳng thức AB + BC = AC đỳng với ∀ bộ ba điểm A, B, C, cũn đẳng thức AB + BC = AC chỉ đỳng khi B nằm giữa A và C.
Do tầm quan trọng của quy tắc này nờn khi dạy thầy giỏo cần lưu ý cho HS cỏch phõn tớch một vectơ thành tổng của hai (hay nhiều) vectơ. Thực tiễn dạy học cho thấy, HS thường dễ dàng cú AB + BC = AC hơn là việc phỏt hiện ra AC = AB+ BC ∀ điểm A, B, C.
Sau khi cú quy tắc 3 điểm, để dẫn tới quy tắc đường chộo hỡnh bỡnh hành, thầy giỏo nờn tổ chức cho HS hoạt động sau:
- Hóy vẽ hỡnh bỡnh hành ABCD.
B C
DA A
- Sử dụng quy tắc ba điểm, hóy tớnh tổng AB + AD. - Hóy phỏt biểu lại bài toỏn.
Trong hoạt động trờn, thầy giỏo đó tổ chức cho HS được tham gia hoạt động vẽ hỡnh, hoạt động chứng minh, bằng gợi ý là quy lạ về quen, cuối cựng là hoạt động ngụn ngữ.
Sau khi đó cú một chứng minh đỳng thầy giỏo yờu cầu HS phỏt biểu lại bài toỏn chớnh là quy tắc đường chộo hỡnh bỡnh hành, nội dung của quy tắc đú như sau:
"Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ AB + AD = AC".
Vớ dụ 4: Dạy học định nghĩa phộp trừ hai vectơ.
Để dẫn đến định nghĩa phộp trừ hai vectơ, chỳng ta phải đưa ra khỏi niệm vectơ đối của một vectơ (cũng tương tự như số đối của một số). Cú thể tổ chức dạy học sinh Định nghĩa này như sau:
Hoạt động 1:
- Cho vectơ AB bất kỳ, hóy tỡm vectơ x sao cho AB + x = 0. Cõu trả lời mong đợi của chỳng ta là x = BA.
Khi đú thầy cú thể chốt lại cho HS: "Nếu AB +BA = 0 thỡ vectơ BA
được gọi là vectơ đối của AB và ngược lại. Như vậy mọi vectơ bất kỳ đều cú vectơ đối". Tiếp theo, thầy yờu cầu HS:
- Từ vớ dụ cụ thể trờn, hóy định nghĩa vectơ đối của vectơ a bất kỳ. Sau khi đó cú khỏi niệm vectơ đối của một vectơ, để HS nhận dạng khỏi niệm, thầy đưa ra hoạt động sau:
Hoạt động 2:
Cho ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O. Hóy chỉ ra: a- Những cặp vectơ đối nhau cú điểm đầu là O.
b- Từ những vớ dụ cụ thể trờn, em cú nhận xột gỡ về vectơ đối của một vectơ a cho trước ?
- Về hướng ? - Về độ dài ?
- Từ đú hóy cho biết vectơ đối của vectơ khụng là vectơ nào? Do trong phần bài tập ở tiết trước học sinh
đó được biết nếu O là trung điểm của AC thỡ
0
=+OC +OC
OA nờn ở đõythầy cú thể hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động theo gợi ý sau:
- Nếu O là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD
thỡ ta cú đẳng thức vectơ nào? (Chỳng ta mong đợi học sinh trả rời rằng: Khi đú O là trung điểm của AC và BD nờn ta cú: OA+OC=0; OB+OD=0).
- Đẳng thức OA+OC=0 chứng tỏ điều gỡ ? (vectơ OA và OC là hai vectơ đối nhau).
- Em cú nhận xột gỡ về độ dài, hướng của hai vectơ đối nhau? Hóy cho biết vectơ AB và CD cú phải là hai vectơ đối nhau khụng? Vỡ sao?
Như vậy, trong hoạt động trờn học sinh đó được rốn luyện kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mụn Toỏn - kỹ năng "quy lạ về quen" - một trong những thao tỏc quen thuộc khi làm toỏn.
Sau khi đó cú khỏi niệm vectơ đối cú thể dễ dàng định nghĩa hiệu của hai vectơ "Hiệu của vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của b. Núi cỏch khỏc, hiệu của a và b là a + (-b).
Vậy a - b = a + (-b)”.
Để củng cố định nghĩa hiệu của hai vectơ Thầy giỏo cú thể tổ chức cho HS hoạt động sau: "Sau đõy là cỏch dựng hiệu của a - b nếu đó cho a và b
B C
DA A
. Lấy một điểm O tuỳ ý, vẽ OA =a; và OB=b. Khi đú BA=a−b. Hóy giải thớch vỡ sao BA=a−b? ".
Thầy cú thể phõn bậc hoạt động giành cho nhiều đối tượng học sinh thụng qua những gợi ý sau:
- Theo cỏch dựng a, b bằng vectơ nào? (a= OA, b= OB).
- Vectơ đối của OB là vectơ nào? Sử dụng Định nghĩa hiệu hai vectơ hóy chứng minh BA=a−b.
Sau khi đó cú cỏch dựng hiệu của hai vectơ điều quan trọng là cần nhấn mạnh quy tắc về hiệu vectơ, biểu thị một vectơ đó cho thành hiệu của hai vectơ cú chung điểm đầu.
Cuối cựng Thầy giỏo cú thể xỏc nhận tri thức như sau:
"Như vậy hiệu của vectơ a và bchớnh là về tổng của a và vectơ đối của
b.
Theo cỏch dựng hiệu của hai vectơ ta thấy nếu ABlà một vectơ đó cho thỡ với điểm O bất kỳ ta luụn cú: AB= OB - OA. Theo quy tắc này chỳng ta thấy một vectơ bất kỳ luụn luụn phõn tớch được bằng hiệu của hai vectơ cú chung điểm đầu".
Vớ dụ 5: Dạy học định nghĩa phộp nhõn một vectơ với một số
Để đi đến định nghĩa phộp nhõn một vectơ với một số và cỏc tớnh chất của nú. Ta cho học sinh thực hiện hoạt động sau:
Hoạt động 1:
- Vẽ tam giỏc ABC, M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
- Hóy chỉ ra những cặp vectơ cựng hướng cú điểm đầu là A (AMvà
AB, AN và AC). Cú nhận xột gỡ về độ dài của AM và AB ?