Những tri thức về phộp biện chứng duy vật được vận dụng vào dạy học toỏn chủ yếu định hướng cho cỏc hoạt động tỡm tũi, phỏt hiện tri thức mới, mở rộng kiến thức. Những tri thức điển hỡnh thỳc đẩy tiến trỡnh hoạt động phỏt hiện bao gồm:
- Tri thức về mối quan hệ nhiều mặt và mối quan hệ qua lại giữa cỏc đối tượng, cỏc quan hệ, cỏc quy luật toỏn học;
- Tri thức về mối quan hệ giữa cỏi chung và cỏi riờng thể hiện trong hoạt động tỡm tũi phỏt hiện cỏc kiến thức mới
-Tri thức về quan hệ giữa nguyờn nhõn và kết quả:
Quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả mà ta thờng gọi là quan hệ nhân quả, vừa có tính khách quan, vừa có tính tất yếu vừa có tính phổ biến. Chúng ta đều biết t duy toán học cũng nh nội dung, kiến thức toán học là một chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽ với nhau, các nội dung đã biết sẽ tạo tiền đề cho sự xuất hiện của những nội dung mới, và đôi khi một nội dung mới xuất hiện sẽ giải thích cho căn nguyên sự tồn tại của kiến thức cũ.
Một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân sinh ra hoặc kết quả đợc tạo ra từ cùng một nguyên nhân.
Ví dụ 1.24:
+) AB // CD và AB = CD suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành +) I là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra: IA + IB = (Với M là điểm bất kỳ) MA + =
+) MA +MB = 2MI Với M là điểm bất kỳ là nguyên nhân giải thích cho kết quả
“ Với G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0 ”.
-Tri thức về mối quan hệ giữa nội dung và hỡnh thức vận dụng trong nghiờn cứu toỏn học
- Tri thức về quỏ trỡnh vận động phỏt triển, trong đú mõu thuẫn là động lực chủ yếu giỳp phỏt hiện cỏc đối tượng của hoạt động nhận thức, phỏt hiện
cỏc chướng ngại để tạo ra cỏc tỡnh huống, cỏc mụi trường cú dụng ý dạy học cỏc kiến thức.
Vớ dụ 1. 25: Khi viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng trong mặt phẳng đi qua hai điểm A (1;2); B( 2; 6). Nhiều học sinh đó giải như sau:
Gọi phương trỡnh của đường thẳng là: ax+by+c=0 .
Từ giả thiết đường thẳng đi qua A và B ta cú hệ phương trỡnh:
Lỳc này học sinh gặp trở ngại gõy nờn do xung đột về kiến thức hỡnh học và kiến thức đại số;
- Nếu học sinh cấu trỳc lại kiến thức học sinh sẽ nhận được: c≠ 0 (Từ khụng cựng phương với )
- Nếu nhỡn bài toỏn dước gúc độ hỡnh học thụng thường lập tức học sinh cú được:
( 1;4) nờn đường thẳng AB cú vộctơ phỏp tuyến là ( 4;-1)
Do dú đường thẳng cần tỡm cú phương trỡnh: 4(x-1)-(y-2) = 0 Hay: 4x-y- 2= 0
