Khái quát hóa: Là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tính chất α nào đó trên một tập hợp đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu tính chất α đó trên một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý. Chúng ta cũng khái quát hóa khi chuyển từ việc
nghiên cứu những hàm số lợng giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm lợng giác của một góc tùy ý.
Chúng ta thờng khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối t- ợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tợng đó. Tổng quát hóa một bài toán thông thờng là mở rộng bài toán đó, nhng không phải tất cả đều nh vậy.
Nhiều khi, phát biểu lại bài toán dới dạng tổng quát sẽ giúp ta dễ hiểu hơn và có khả năng tìm đợc hớng giải dễ dàng hơn; bởi vì, lúc đó ta sẽ chú trọng đến các yếu tố bản chất của bài toán và bỏ qua những yếu tố không bản chất. Chẳng hạn, với Bài toán: “Giải ph- ơng trình 2x+ =3x 5x (*)”, nếu để dạng nh trên, nhiều học sinh khó biết đợc cần sử dụng tính chất của hàm số. Nhng nếu ta tổng quát Bài toán trên, đa về Bài toán: “ Giải phơng trình: ax+bx =cx với a, b, c ∈ R; a, b < c hoặc a, b > c” thì bản chất của Bài toán (*) đ- ợc bộc lộ rõ ràng hơn. Nhu cầu sử dụng giả thiết a, b < c hoặc a, b > c sẽ gợi cho học sinh rằng, cần sử dụng hàm đồng biến nghịch biến “Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tợng hóa. Trừu tợng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Trừu tợng hóa là điều kiện ắt có nhng cha đủ để khái quát hóa” (Nguyễn Bá Kim, Vơng Dơng Minh, Tôn Thân 1999, tr. 10).
Việc giải bài toán tổng quát là vấn đề mở rộng cách giải của bài toán ban đầu, nên không phải bài toán nào cũng có lời giải. Giáo viên cần lu ý với học sinh rằng có hai loại khái quát hóa: một loại tầm thờng và một loại có giá trị. Khái quát bằng cách “pha loãng” thì dễ, quan trọng hơn là khái quát hóa bằng “ngng tụ”. G. Polia đã ví rằng: “Dùng một lợng nớc lớn để hòa với một ít rợu vang thì rẻ tiền và dễ dàng. Chế ra một chất tinh khiết, đậm đặc từ những chất thành phần tốt thì khó hơn nhiều nhng rất quý” (G. Polia 1997, tr. 44). Khái quát hóa bằng “ngng tụ” cô đúc nhiều ý ban đầu có vẻ phân tán rời rạc vào một khái niệm chung có phạm vi rộng lớn. Trong dạy học, chúng ta phải làm sao học sinh có đợc kỹ năng khái quát hóa có giá trị đó. Muốn vậy, giáo viên cần có phơng pháp rèn luyện ngay trong mỗi bài học.
1.3.3. Tri thức về HĐ chuyển hoá liên tởng từ đối tợng này sang đối tợng khác:
Những tri thức về tâm lý học liên tởng cần bồi dỡng cho học sinh để chuẩn bị tốt cho họ có tiềm năng phát hiện các tri thức mới trong quá trình học tập và giải quyết vấn đề trong học tập toán ở trờng phổ thông
Việc dạy học hớng vào sự phát hiện, khám phá cái mới đòi hỏi tri thức về tâm lý học liên tởng sau:
- Tri thức về chuyển hoá các mối quan hệ, liên hệ, quy luật từ đối tợng này sang đối tợng khác để phát hiện cái mới dựa trên t tởng các quy luật tơng cận;
- Tri thức về các phơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề dựa trên quy luật nhân quả:
Ví dụ 1.20: Khi yêu cầu học sinh giải hệ phơng trình:
Nhiều học sinh chỉ quan tâm đến phơng pháp đánh giá và gặp khó khăn, ch- ớng ngại khi đánh giá phơng trình ba ẩn. Số ít biết nhận xét: phơng trinh (1) là bình phơng vô hớng của véc tơ = (x2; y2; z2) Và = , phơng trình (3) là bình phơng vô h- ớng của vectơ = (x3;y3;z3) và = .
Phơng trình (2) chính là tích vô hớng . Từ đó nhờ các tri thức về vectơ học sinh có thể phát hiện ra lời giải của bài toán trên nhờ phép liên tởng.
Trong quá trình tìm lời giải, ta không chỉ sử dụng riêng biệt một phơng pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa hay tơng tự hóa mà thờng có sự phối hợp giữa ba phơng pháp này. Trong quá trình giải toán ngời học toán khi gặp bài toán ngoài dự đoán còn cần phải biết liên tởng xem bài toán này giống hay gần giống bài toán nào để đa ra phơng án giải quyết
Có thể lấy Định lý Pitago, một Định lý nổi tiếng của Toán học sơ cấp làm ví dụ. Chúng ta đều biết và thờng sử dụng Định lý:
A
CB B
“Bình phơng cạnh huyền (a) của một tam giác vuông bằng tổng các bình phơng của hai cạnh góc vuông (b và c), tức là: a2 = b2 +
c2 (1)”
Định lý Pitago có thể chứng minh nh thế nào và ý cơ bản trong chứng minh là gì? Ta hãy cùng tìm hiểu xem.
Các biểu thức a2 + b2, c2 trong (1) gợi cho ta liên t- ởng
đến diện tích các hình vuông có cạnh là a, b, c.
Do đó, ta dựng trên mỗi cạnh của tam giác một hình vuông (H. ) và vấn đề trở thành: “Chứng minh rằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng các diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông”.
Chúng ta nảy ra một ý là: vì các hình vuông đồng dạng với nhau, cho nên tổng quát hơn, nếu ta dựng trên các cạnh của tam giác vuông các đa giác đồng dạng với nhau , thì phải chăng diện tích S1 của đa giác dựng trên cạnh huyền bằng tổng các diện tích S2, S3 của hai đa giác kia, tức là S1 = S2 + S3?. Dễ thấy điều tổng quát này là đúng - nếu Định lý Pitago đã đợc chứng minh. Thực vậy, vì các đa giác dựng trên các cạnh của tam giác vuông là đồng dạng với nhau nên diện tích S1, S2, S3 của chúng tỉ lệ với bình phơng của các cạnh tơng ứng:
1 2 3
2 2 2
S S S
a =b = c
Gọi hệ số tỉ lệ (giá trị chung của các tỷ số trên) là k ta có: S1 = ka2, S2 = kb2, S3 = kc2. Do đó, nếu Định lý Pitago đã đợc chứng minh, tức nếu a2 = b2 + c2 (1) là đúng, thì ta có ka2 = kb2 + kc2 (2), tức là S1 = S2 + S3 (đpcm)
Chú ý rằng (1) là trờng hợp đặc biệt của (2) khi k = 1. ở trên, ta đã chứng minh đẳng thức (2) dựa vào trờng hợp đặc biệt (1) của nó (giả sử (1) là đúng). Ngợc lại, dĩ nhiên là nếu CM đợc (2) thì có thể suy ra ngay đợc (1). Vậy (1) và (2) là tơng đơng, nghĩa là Định lý tổng quát tơng đơng với một trờng hợp đặc biệt của nó.
A
CH H
B
Hơn nữa, dễ thấy rằng bất cứ trờng hợp đặc biệt nào của Định lý tổng quát (2) cũng tơng đơng với (2), tức là tơng đơng với (1). Thật vậy, nếu với một trờng hợp đặc biệt nào đó của bài toán, mà ta chứng minh đợc rằng diện tích S1 của đa giác dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích S2 và S3 của hai đa giác kia, thì từ
1 2 3
2 2 2
S S S
a = b =c = l và S1 = S2 + S3 ta suy ra đợc la2 = lb2 + lc2 do đó ta có đợc (2) và (1).
Nh vậy là sau khi tổng quát hóa từ (1) sang (2), ta lại đặc biệt hóa, ta đi tìm một trờng hợp đặc biệt của (2) và chỉ cần chứng minh trờng hợp đặc biệt này là đủ để chứng minh (1).
Tất nhiên là, nên chọn trờng hợp đặc biệt nào đơn giản nhất.
Đó chính là trờng hợp : Các tam giác ABC, HBA và HCA đợc dựng trên ba cạnh của tam giác ABC cho trớc, và đồng dạng với nhau. Rõ ràng là diện tích của tam giác dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích hai tam giác kia. Do đó Định lý Pitago đã đợc chứng minh.
Tóm lại, ta chứng minh Định lý Pitago nh sau: Vẽ đờng cao AH của tam giác ABC. Ba tam giác ABC, ABH và HAC đồng dạng, nên các diện tích S1, S2, S3 của chúng tỷ lệ với bình phơng các cạnh tơng ứng, tức là: S1 = la2, S2 = lb2, S3 = lc2. Mà dĩ nhiên S1 = S2 + S3 , tức là la2 = lb2 + lc2 do đó a2 = b2 + c2 .
Các hoạt động đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tơng tự hóa không chỉ là những hoạt động suy nghĩ cơ bản giúp ta mò mẫm, dự đoán để tìm ra cách giải. Chúng còn có một ý nghĩa quan trọng nữa là, giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, giúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau. Nhờ những hoạt động đó, chúng ta có thể mở rộng, đào sâu thêm kiến thức của chúng ta, bằng cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tơng tự, hoặc đi sâu vào những trờng hợp đặc biệt, có ý nghĩa về mặt nào đó (kết quả lý thú, ứng dụng thực tế ...).
OB B A C M N Q J P A N J B M
Tuy nhiên cần lu ý học sinh rằng, giả thuyết đa ra mới chỉ là "giả thuyết", chỉ mới là điều khẳng định thử. Mọi khẳng định nếu cha đợc chứng minh thì không thể đợc xem là chân lý, nó chỉ mới là cố gắng tiến tới chân lý. G. Polia đã từng nói: "Bạn không đợc quá tin vào bất kỳ một giả thuyết cha đợc chứng minh nào, ngay cả những giả thuyết do những ngời có uy tín lớn đa ra, cả những giả thuyết do chính bạn nêu ra. Bạn phải cố gắng chứng minh hay bác bỏ nó" (G. Polia 1997, tr. 14).
Vớ dụ 1.22: Để tỡm quỹ tớch của điểm O với O là tõm của hỡnh chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giỏc nhọn ABC ( M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P,Q thuộc cạnh BC)
Cú thể phõn tớch hoạt động tỡm quỹ tớch O thành cỏc hoạt động thành phần như sau:
- Hoạt động đặc biệt hoỏ nhằm dự đoỏn quỹ tớch là đoạn IJ ( I, J lần lượt là trung điểm của MN, BC )
- Tỏch bài toỏn thành cỏc bài toỏn thành phần (ứng với cỏc hoạt động thành phần)
Khi: MN//BC(I, J lần lượt là trung điểm của MN, BC), chứng minh rằng A,I,J thẳng hàng
Hoạt động trờn là hoạt động thể hiện định lý TaLet trong tam giỏc Để chứng minh A,B,C thẳng hàng ta thực hiện theo quy trỡnh sau:
•Vẽ ∆ qua A. B,C thuộc nửa mặt phẳng bờ ∆ •Vẽ : BM // CN; MN ⊂ ∆
•Chứng minh:
