Theo G. Polia "Toán học đợc coi nh là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh xem nh chứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại, bạn phải dự đoán về một định lý của Toán học trớc khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát và suy ra những điều tơng tự. Bạn phải thử đi thử lại ..." (G. Polia 1997, tr. 6).
Trong khi giải toán học sinh phải đợc dự đoán, ghi lại những điều hiểu biết nh một cuốn phim có lý do của sự lựa chọn phơng pháp vì vậy khi giải toán giáo viên không nên gợi ý hoặc hớng dẫn mà nên dự đoán mày mò kiểm chứng và tự rút ra kết luận. Không thể đa ra một lời giải hay một phơng pháp chứng minh một cách đột ngột nh vậy làm cho học sinh không hiểu hoặc không có gì thuyết phục họ vì vậy học sinh sẽ chóng quên ngay lời giải. Bản thân G. Polia cũng đã phát biểu: "Tôi không tin rằng có một phơng pháp đảm bảo tuyệt đối việc học thông thạo cách dự đoán" (G. Polia 1997, tr.7). Tuy nhiên, kinh nghiệm giải Toán cũng đúc rút cho chúng ta một số con đờng thông dụng để dự đoán:
- Dự đoán bằng đặc biệt hóa; - Dự đoán bằng tơng tự hóa; - Dự đoán bằng tổng quát hóa;
- Dự đoán bằng quy nạp (xuất phát từ cái riêng để dự đoán cái chung).
* Đặc biệt hóa
"Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập đã cho" (G. Polia 1997, tr. 22).
Chúng ta sử dụng đặc biệt hóa trong dự đoán, suy luận có lý nh thế nào?. Để giải bài toán, trớc hết ta giải chúng cho một trờng hợp đặc biệt, rồi thử dùng trờng hợp đặc biệt này xem có giải đợc trong trờng hợp đặc biệt khác hay trong bài toán tổng quát không.
O x x y S K C I O' x' y' R O I1 A1 I2 A
Ví dụ 1.17: Khi ta tiếp cận với bài toán: “Cho góc xOy và đuờng tròn (C). Hãy dựng đờng tròn (ω) tiếp xúc với (C) và hai
tia Ox, Oy”
Đặc biệt hoá:
- Khi (C) biến thành điểm A
+ Dựng đờng tròn ( I1, r) bất kỳ tiếp xúc với Ox, Oy với r tuỳ ý:
( I1 thuộc tia phân giác của góc xOy . Nh vậy đờng tròn cần dựng là ảnh của phép vị tự tâm O tỷ số k = 1 OA OA ta có:
( )
: ( ) k O V H a ω Nối OA1 xác định OA1 ∩(I1) ={ }
A1 khi đó ta xác định đợc k từ đó xác định đợc I+ Từ bài toán đặc biệt ta tìm ý tởng cho bài toán đã cho:
- Giáo viên yêu cầu HS điều ứng để thích nghi với tình huống mới: Bây giờ đờng tròn không chỉ tiếp xúc với Ox, Oy mà tiếp xúc với cả (C). Nghĩa là nh bài tập trên nhng cần thêm điều kiện gì?
+ Câu trả lời mong đợi là: IK= R1 - R ( Với R1là bán kính của đờng tròn (I) cần tìm
- Phân tích:
Giả sử đã dựng đợc ( ω) thoã mãn yêu cầu bài toán
Dựng (I; RI+R) tiếp xúc với O’x’ và O’ y’ ( O’x’ // Ox và O’ y’ // Oy và cách nhau một khoảng R) Lúc này ta dựng đờng tròn đồng tâm I bán kính R.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn (I1; r) bất kỳ tiếp xúc với O’x’ và O’ y’ . I1 thuộc tia phân giác của góc x’Oy’ - Nối KO ∩(I1; r) = {K1} Xét 1 1 1 : O K O K O V K K I I ′ ′ ′ a a Ta xác định đợc I
- Dựng đờng tròn Tâm I 1 bán kính R1 tiếp xúc với O’x’ và O’ y’
- Dựng đờng tròn tâm I bán kính R1- R . suy ra (I; R1) tiếp xúc với (C) đ- ờng tròn này là đờng tròn cần tìm
Vì: (I; R1) tiếp xúc với O’x’ và O’ y’ IK = R1- R + R = R1 khi đó ( I; R1- R) tiếp xúc với Ox và Oy.
Ví dụ 1.18: Cho hai đờng tròn không đồng tâm. Tìm quỹ tích của những điểm M sao cho tổng bình phơng các độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đ- ờng tròn là không đổi.
Gọi hai đờng tròn là (O1, R1) và (O2, R2); T1, T2 lần lợt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kể từ M tới (O1, R1) và (O1, R2).
Bài toán trở thành: Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: MT12+MT22=k2. Thoạt nhìn, nhiều học sinh chắc sẽ nhầm với một quỹ tích cơ bản, đó là quỹ tích tổng bình phơng (MA2 + MB2 = k2). Để giải Bài toán, việc đầu tiên là cho các em phân biệt đợc sự khác nhau đó. Trong quỹ tích tổng bình phơng thì A và B là 2 điểm cố định; còn ở đây, T1 và T2 thay đổi. Nhng liệu hai Bài toán này có liên quan gì với nhau không?
Bớc suy luận đầu tiên là: từ điều kiện 2 2 2
1 2
MT +MT =k nên MT1, MT2
không thể lớn vô hạn, do vậy, quỹ tích không thể là đờng thẳng, mà có thể là đoạn thẳng hoặc đờng tròn (hay cung tròn).
Dễ thấy rằng, quỹ tích phải đối xứng qua đờng nối tâm O1O2. Nhng thật khó có thể vẽ một số điểm đặc biệt thuộc quỹ tích để có thể dự đoán rõ hơn về hình dạng về vị trí của quỹ tích. Ta hãy xét một trờng hợp đặc biệt hơn của Bài
toán: Khi (O1) và (O2) suy biến thành các điểm O1, O2. Quỹ tích những điểm có tổng bình phơng khoảng cách đến hai điểm O1, O2 bằng một số không đổi là đ- ờng tròn tâm I, Với I là trung điểm của O1O2.
Từ đó, ta dự đoán rằng, quỹ tích phải tìm cũng là đờng tròn tâm I. Dự đoán đó gợi cho ta hớng biến đổi nh sau
2 2 2 1 2 MT +MT =k ⇔ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 MO +MO −R −R =k ⇔ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 MO +MO = +k R +R
Vậy dự đoán của chúng ta là đúng. Quỹ tích cần tìm là đờng tròn tâm I, bán kính R = 1 2K2 O O1 22
2 − với K2 = k2 + R12+R22 >O O1 22.
Việc xét trờng hợp đặc biệt: (O1), (O2) là các đờng tròn - điểm, không những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích, tìm đợc lời giải bài toán, mà còn trả lời đợc câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phơng là đặc biệt hóa của quỹ tích này.
* Tơng tự hóa
Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tơng tự là giống nhau nhng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đợc phản ánh bằng khái niệm (G. Polia 1997, tr. 22).
Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghi ngờ cả. Nhng khi bớc vào nghiên cứu sự tơng tự thì chúng ta có một cơ sở kém vững chắc hơn.
Trong Toán học, ngời ta thờng xét vấn đề tơng tự trên các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tơng tự, nếu đờng lối, PP chứng minh là giống nhau;
- Hai hình là tơng tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau. Nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử tơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau. Chẳng hạn đờng thẳng trong mặt phẳng tơng tự với
mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình học phẳng đờng thẳng là đ- ờng đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trong Hình học không gian. Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn còn đúng nếu chúng ta thay từ "đờng thẳng" bởi từ "mặt phẳng",
Ví dụ 1.19: Định lý "Nếu hai đờng thẳng cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song" (có thể thay "đờng thẳng" bởi "mặt phẳng").
Vai trò của tơng tự trong nghiên cứu khoa học đã đa G. Polia nhận định: "Phép tơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh" (G. Polia 1997, tr. 28). Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tởng, giả thuyết có đợc nhờ sự tơng tự với một kết quả đã đợc công nhận trớc đó. Đối với học sinh, tơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện t duy sáng tạo của ngời học. Để giải một bài toán, chúng ta thờng nghĩ về một bài toán tơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tơng tự dễ hơn đó làm mô hình.
Trong chơng trình Hình học phổ thông, có rất nhiều bài toán, nhiều định lý trong Hình học phẳng và Hình học không gian là tơng tự nhau. Đây là một lợi thế để rèn luyện thao tác tơng tự hóa cho học sinh. Có hai mức độ tiếp cận bài toán: Với học sinh khá, chúng ta đa trực tiếp yêu cầu giải bài toán không gian và để học sinh tự mình liên tởng đến bài toán tơng tự trong mặt phẳng; với học sinh trung bình, giáo viên có thể cho học sinh giải bài toán đơn giản trong Hình học phẳng trớc, nh là một gợi ý trớc khi yêu cầu phát biểu và giải bài toán tơng tự trong không gian. Đây cũng là một con đờng để đi đến sự sáng tạo.
