BÀI TẬP CHƯƠNG
2.4.Các mặt trịn xoay (surfaces of revolution)
Mặt trịn xoay được tạo ra khi chúng ta quay trịn một đường cong phẳng C nào đĩ quanh một trục. Hình vẽ 5.19 minh họa một đường cong C nằm trong mặt phẳng xz và quay quanh trục z. C thường được gọi là mặt cắt nghiêng và được cho bởi phương trình tham số trong đĩ v biến đổi trong khoảng nào đĩ.
Hình 5.19 – Minh họa một mặt trịn xoay
Đối với mặt trịn xoay, mỗi điểm thuộc C được quét xung quanh một trục tọa độ dưới sự kiểm sốt của tham số u, u là gĩc mà mỗi điểm được quay quanh trục. Các vị trí khác nhau của đường cong C quanh trục được gọi là các đường kinh tuyến (meridians). Khi điểm được quay bởi u radian, nĩ sẽ trở thành . Nếu quay điểm này đủ một vịng quanh trục chúng ta sẽ nhận được một hình trịn. Như vậy, ứng với v là hằng số, đường biên sẽ là các đường trịn và các đường này được gọi là các đường vĩ tuyến của mặt. Kinh tuyến tại v cĩ bán kính là x(v) và nằm trên độ cao z(v) so với mặt phẳng xy, do đĩ một điểm bất kì trên mặt dạng này sẽ cĩ vector vị trí :
(5.8)
Nhận xét : Nếu đường cong c(v) là đường thẳng song song với trục z và cách z một đơn vị, tức là c(v) = (1, v) thì khi đường này quét quanh trục z sẽ tạo ra một hình trụ.
Mặt cầu là trường hợp đơn giản nhất của dạng mặt trịn xoay. Đường cong C trong trường hợp này chính là nửa đường trịn cho bởi các điểm , v chạy trong khoảng từ -p /2 đến p /2. Lúc này phương trình hình cầu sẽ cĩ dạng :
(5.9) trong đĩ -p /2 £ v £ p /2, 0 £ u £ 2p .
Hình 5.20 - Minh họa mặt cầu 2.5. Các mặt cong bậc hai
Một lớp mặt cong rất thơng dụng là các mặt cong bậc hai. Chúng được biểu diễn bởi các phương trình bậc hai. Mặt cầu cũng thuộc lớp mặt cong này. Ngồi ra cịn cĩ mặt ellipsoid, paraboloid và hyperboloid. Các mặt bậc hai thường là các đối tượng cơ sở của các hệ đồ họa. Những đối tượng khác phức tạp hơn cĩ thể được tạo ra từ những đối tượng này. Phương trình tổng quát biểu diễn các mặt cong loại này là:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
2.5.1. Mặt cầu
Trong hệ tọa độ Decartes, mặt cầu bán kính R với tâm đặt tại gốc tọa độ xác định bởi tập các điểm cĩ tọa độ (x,y,z) thỏa phương trình:
x2 + y2 + z2 = R2 (5.10)
Phương trình (5.10) thường gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu.
Như phần trước đã đề cập, ta cĩ thể biểu diễn mặt cầu bằng phương trình tham số: x = Rcosj cosq , -p /2 £ j £ p /2
y = Rcosj sinq , -p £ q £ p (5.11) z = Rsin j
Hình 5.21 – Các tham số biểu diễn mặt cầu 2.5.2. Ellipsoid
Ellipsoid cĩ thể coi là một mở rộng của mặt cầu với ba bán kính khác nhau Rx, Ry, Rz (xem hình 5.22). Phương trình chính tắc của một ellipsoid cĩ dạng:
(5.12)
Và phương trình tham số của ellipsoid theo hai gĩc j và q cĩ dạng: x = Rx cosj cosq , -p /2 £ j £ p /2
y = Ry cosj sinq , -p £ q £ p (5.13) z = Rz sinj
Hình 5.22 - Ellipsoid với các bán kính Rx, Ry, Rz 2.6. Vẽ đường cong và mặt cong bằng Bezier và B-Spline
Chúng ta đã khảo sát các đường cong và mặt cong tương đối đơn giản và tìm ra các cơng thức tốn học tương ứng để biểu diễn chúng. Tuy nhiên trong thực tế việc tìm ra các cơng thức để biểu diễn các đường và mặt phức tạp khơng đơn giản chút nào. Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp cho phép tạo ra các đường cong và mặt cong khác nhau dựa trên dữ liệu mơ tả chúng. Bài tốn đặt ra ở đây là : Với một đường cong cho trước mà ta chưa xác định được cơng thức hay cơng thức rất phức tạp, và tập nhỏ các điểm phân biệt p1, p2, ... mơ tả hình dáng của đường cong này, làm thế nào để xây dựng được đường cong ban đầu với một độ chính xác nào đĩ.
Cĩ hai cách giải quyết đĩ là :
• Định tọa độ của một số điểm nào đĩ thuộc đường cong, sau đĩ tìm các phương trình tốn học và hiệu chỉnh chúng để chúng đi qua hết các điểm trên và trùng khớp với đường cong ban đầu.
• Cách khác là xác định một số các điểm gọi là điểm kiểm sốt (control points) và dùng một giải thuật nào đĩ để xây dựng đường cong dựa trên các điểm này. Do đường cong nguyên thủy và đường cong do máy tính tạo ra thường khơng đồng nhất ở lần
đầu tạo ra, chúng ta sẽ di chuyển một số điểm điều khiển và cho phát sinh lại đường cong mới dựa trên tập các điểm mới tạo. Quá trình này lặp đi lặp lại cho tới khi tìm ra đường cong thỏa mãn phù hợp với đường cong ban đầu thì thơi. Lúc này, đường cong được xây dựng bởi một tập rất ít các điểm điều khiển và cĩ thể được phát sinh lại khi cần.
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu theo hướng tiếp cận thứ hai để xây dựng các đường cong và mặt cong đĩ là xây dựng dựa trên các đường cong Bezier và B-Spline.