BÀI TẬP CHƯƠNG
1.1.Một số khái niệm liên quan 1 Phép biến đổi affine
1.1.1. Phép biến đổi affine
Phép biến đổi affine là phép biến đổi tuyến tính, khả nghịch. Phép biến đổi này bảo tồn tính song song của các đường thẳng cũng như bảo tồn tính tỉ lệ về khoảng cách của các đoạn thẳng. Tuy nhiên, phép biến đổi này khơng bảo tồn gĩc nghiêng và chiều dài các đoạn thẳng. Các phép biến đổi này cũng bảo tồn tỉ lệ về khoảng cách (xem thêm chương 3)
Các hệ trục tọa độ theo quy ước bàn tay phải và bàn tay trái
Hình 6.2 – Các hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải (a)
và quy ước bàn tay trái (b)
Hệ tọa độ Descartes ba chiều cĩ thể định nghĩa theo quy ước bàn tay trái hoặc bàn tay phải (xem hình 6.2).
Định nghĩa
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều kiện: Nếu để bàn tay phải sao cho ngĩn cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay lại, chiều các ngĩn tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều kiện: Nếu để bàn tay trái sao cho ngĩn cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay lại, chiều các ngĩn tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
Trong hệ tọa độ thuần nhất, mỗi điểm trong khơng gian Descartes được biểu diễn bởi một bộ bốn tọa độ trong khơng gian 4 chiều thu gọn . Để tiện lợi, người ta thường chọn h=1. Như vậy, một điểm (x, y, z) trong hệ tọa độ Descartes sẽ biến thành điểm (x, y, z, 1) trong hệ tọa độ thuần nhất; cịn điểm (x, y, z, w) trong hệ tọa độ thuần nhất (với w ¹ 0) sẽ tương ứng với điểm (x/w, y/w, z/w) trong hệ tọa độ Descartes (xem hình 6.3).
Hình 6.3 – Các điểm trong hệ tọa độ thuần nhất và Descartes
Dạng ma trận của phép biến đổi affine trong hệ tọa độ thuần nhất
Hình 6.4 – Dạng tổng quát của phép biến đổi affine ba chiều
Phép biến đổi affine ba chiều biến điểm P thành điểm Q cĩ dạng : , trong đĩ , và M là ma trận biến đổi 4x4 trong hệ tọa độ thuần nhất là vector tịnh tiến.
Một số tính chất của các phép biến đổi ba chiều :
• Tính chất đường thẳng được bảo tồn. Nghĩa là, một đường thẳng trong khơng gian ba chiều khi biến đổi sẽ thành một đường thẳng.
• Tính song song được bảo tồn. Nghĩa là, hai đường thẳng song song khi biến đổi cũng sẽ thành hai đường thẳng song song.
• Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo tồn. Nghĩa là, ảnh của một điểm P chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ f, sẽ chia đoạn thẳng A’B’ theo tỉ lệ f, với A’B’ là ảnh của đoạn thẳng AB.
Hình 6.5 – Phép tịnh tiến với vector tịnh tiến tr=(trx, try, trz)
Vector tịnh tiến tr trong phép biến đổi ba chiều cĩ một tác động rất trực quan: mỗi điểm được dịch đi một khoảng là trx, try, trz theo ba trục. Ma trận M cho phép tịnh tiến cĩ dạng như sau:
(6.1)