BÀI TẬP CHƯƠNG
2.4.Phép quay cĩ tâm quay là điểm bất kì
Giả sử tâm quay cĩ tọa độ , ta cĩ thể xem phép quay quanh tâm I một gĩc được kết hợp từ các phép biến đổi cơ sở sau:
• Tịnh tiến theo vector tịnh tiến để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ (đưa về trường hợp quay quanh gốc tọa độ).
• Quay quanh gốc tọa độ một gĩc .
• Tịnh tiến theo vector tịnh tiến để đưa tâm quay về lại vị trí ban đầu.
Hình 3.4 – Phép quay quanh tâm là điểm bất kì. Đối tượng trước khi biến đổi(a), Sau khi tịnh tiến về
gốc tọa độ(b), Sau khi quay gĩc (c), Sau khi tịnh tiến về tâm quay ban đầu(d). Ta cĩ ma trận của phép biến đổi :
3.3. Một số tính chất của phép biến đổi affine.
Phép biến đổi affine bảo tồn đường thẳng
Ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng.
Thật vậy, ta cĩ phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A, B là : . các điểm nhận được sau phép biến đổi M.
Nếu gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ cĩ . Lúc này . Đây chính là dạng của phương trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’.
Từ kết quả trên, để biến đổi một đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B, ta chỉ cần áp dụng phép biến đổi cho hai điểm A, B rồi vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm mới.
Tính song song của các đường thẳng được bảo tồn
Ảnh của hai đường thẳng song song là hai đường song song.
Chúng ta cĩ thể viết lại phương trình tham số của đường thẳng dưới dạng tia xuất phát từ A ứng với t=0 và theo phương như sau : . Lúc này ta biểu diễn hai đường thẳng song song dưới dạng tia : và cĩ cùng phương nhưng xuất phát từ hai điểm khác nhau. Lúc này áp dụng phép biến đổi lên hai đường thẳng song song này, dễ dàng nhận ra ảnh của chúng sẽ cĩ phương nên chúng song song.
Một hệ quả quan trọng của tính chất này đĩ là ảnh của các hình bình hành sau phép biến đổi là các hình bình hành.
Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo tồn
Giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỉ số t. Nếu A’, B’, C’ lần lượt là ảnh A, B, C qua phép biến đổi thì C’ cũng sẽ chia A’B’ theo tỉ số t.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu C là trung điểm của AB thì C’ cũng là trung điểm của A’B’, từ đĩ ta cĩ thể suy ra một số tính chất sau :
• Trong hình vuơng, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên các đường chéo của bất cứ hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ số 1:2. Mặt khác, một tam giác bất kì là ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine, nên giao điểm của các đường trung tuyến của nĩ cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2.