Các định lí trong chương trình HHKG lớp

6. Củng cố,vận dụng định lý

2.2.1. Các định lí trong chương trình HHKG lớp

Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ chỉ quan tâm tới các định lí của phần HHKG lớp 11, chƣơng trình nâng cao.

Trong SGK - chƣơng trình nâng cao - có tất cả 15 định lí và 18 tính chất trong đó có 2 tính chất đƣợc chứng minh cịn các tính chất khác đều là những tính chất thừa nhận không chứng minh. Các tiên đề trong SGK cũ (SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000) đều đƣợc chuyển thành các tính chất thừa nhận bởi theo chủ trƣơng giảm tải SGK không muốn HS đi sâu vào phƣơng pháp tiên đề mà chỉ bƣớc đầu làm quen với phƣơng pháp này. Trong 15 định lí có 7 định lí về quan hệ song song, 2 định lí về vectơ trong khơng gian, 4 định lí về quan hệ vng góc, một định lí về quan hệ liên thuộc và một định lí về diện tích của hình chiếu.

Các định lí về quan hệ song song (kí hiệu SS)

SS1 (định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

SS2: Nếu đƣờng thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đƣờng thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P).

SS3: Nếu đƣờng thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

SS4: Nếu a và b là hai đƣờng thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

SS5: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đƣờng thẳng a,b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tƣơng ứng tỉ lệ.

SS7 (Định lí Ta-lét đảo): Giả sử trên hai đƣờng thẳng chéo nhau a và a‟ lần lƣợt lấy các điểm A, B, C và A‟, B‟, C‟ sao cho

' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B  B C C A . Khi đó, ba đƣờng thẳng AA‟, BB‟, CC‟ lần lƣợt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Các định lí về quan hệ vng góc (kí hiệu VG)

VG1: Nếu đƣờng thẳng d vng góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đƣờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (P).

VG2 (Định lí ba đƣờng vng góc): Cho đƣờng thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) và đƣờng thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là b vng góc với hình chiếu a‟ của a trên (P).

VG3: Nếu một mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng vng góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.

VG4: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau thì bất cứ đƣờng thẳng a nào nằm trong (P), vng góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vng góc với mặt phẳng (Q).

Các định lí về vectơ trong khơng gian (kí hiệu VT)

VT1: Cho ba véc tơ a b c  , ,

trong đó a

và b

khơng cùng phƣơng. Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ a b c  , ,

đồng phẳng là có các số m, n sao cho cma nb . Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.

VT2: Nếu a b c  , ,

là ba véc tơ khơng đồng phẳng thì với mỗi véc tơ

dmanbpc, ta tìm đƣợc các số m, n, p sao cho d manb pc. Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.

Định lí về quan hệ liên thuộc (kí hiệu LT)

mọi điểm của đƣờng thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Định lí về diện tích của hình chiếu (kí hiệu HC)

HC1: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S‟ là diện tích

hình chiếu H‟ của H trên mặt phẳng (P‟) thì S‟= S.cosφ, trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P‟).