6. Củng cố,vận dụng định lý
2.2.2. Cách xây dựng định lí HHKG trong SGK
Hầu hết các định lí trong SGK mới đƣợc trình bày để GV (nếu coi SGK là giáo án) dạy theo hai tiến trình: Bài tốn→ Định lí và suy diễn. So với SGK cũ (SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000) do chủ trƣơng giảm tải nên SGK mới đã lƣợc bỏ một số chứng minh của các định lí đơn giản (chẳng hạn nhƣ tính chất: “Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”, “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau”) hoặc là những chứng minh tƣơng đối dài dịng và phức tạp nhƣ chứng minh định lí: "Qua phép chiếu song song, tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đƣờng thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đƣờng thẳng không thay đổi". Do đã lƣợc bỏ đi các chứng minh nên một số định lí trong SGK cũ nay đƣợc chuyển thành tính chất. Ví dụ trong SGK cũ có định lí: Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng song song với một đƣờng thẳng thứ ba thì song song với nhau đƣợc chứng minh chi tiết thì trong SGK mới đây là một tính chất. SGK mới đã có cách trình bày hồn tồn mới trong chƣơng “Quan hệ vng góc”, nếu SGK cũ xây dựng chƣơng này theo phƣơng pháp truyền thống là phƣơng pháp tiên đề thì SGK mới đã sử dụng phƣơng pháp vectơ để xây dựng. Điều này giúp cho việc chứng minh một số định lí trở nên ngắn gọn và dễ hiểu hơn, ví dụ định lí: “Nếu đƣờng thẳng ∆ vng góc với hai đƣờng thẳng a, b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì ∆ vng góc với mọi đƣờng thẳng c nằm trong mặt phẳng (P)”. Việc đƣa vectơ vào chƣơng ba đã giúp HS có thêm những cách chứng minh mới đối với một số bài toán: chứng minh các đƣờng thẳng chéo nhau, vng góc với nhau hoặc chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng…. Tuy nhiên những vấn đề liên quan đến vectơ đƣợc trình bày rất ngắn gọn, không đặt thành một chủ đề riêng và sau khi xây dựng quan hệ vng góc nhờ vectơ SGK lại tiếp tục nghiên cứu một số vấn đề tiếp theo của HHKG theo phƣơng pháp truyền thống. Chính điều này giúp cho HS cũng khơng quá phụ thuộc vào cơng
cụ này trong giải tốn.
Trong SGK mới có bốn định lí đƣợc xây dựng mà GV có thể dạy theo tiến trình Bài tốn → Định lí, đó là định lí SS1, SS2, HC1 và VG1.
SS1 (định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Trƣớc khi đƣa ra định lí này SGK đã giả sử (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q) và đặt ra câu hỏi: Có những vị trí tƣơng đối nào giữa hai giao tuyến a và b? Sau đó SGK yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động: Dùng kết quả bài tập 4 của tiết 1(Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆, trên (P) cho đƣờng thẳng a và trên mặt phẳng (Q) cho đƣờng thẳng b. Chứng minh nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên ∆) hãy chứng tỏ ba giao tuyến a, b, c hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Ngƣời GV khi dạy định lí trên sẽ thấy dễ dàng gợi đƣợc động cơ chứng minh định lí cho HS. Tuy nhiên nếu không sáng tạo đƣa ra những hình ảnh trực quan để minh họa, GV sẽ làm cho HS cảm thấy gƣợng ép khi tiếp thu định lí. Sau khi trình bày định lí SGK đƣa ra một hệ quả ứng dụng trực tiếp định lí trên và bài tập áp dụng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng giúp củng cố định lí.
SS2: Trƣớc khi đƣa ra định lí SGK đã đƣa ra một nhận xét: "Cho đƣờng thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và một đƣờng thẳng a song song với b. Lấy một điểm I tùy ý trên a. Khi đó, nếu I thuộc mặt phẳng (P) thì a nằm trong (P), nếu I khơng thuộc (P) thì a song song với (P)”. Cách trình bày này của SGK đã tạo điều kiện cho GV có cơ hội sáng tạo ra những cách giúp HS tiếp cận với nội dung của định lí tự nhiên hơn.
HC1: Trƣớc khi đƣa ra định lí về cơng thức hình chiếu, SGK đã đƣa ra một ví dụ giúp cho ngƣời GV trình bày nội dung định lí đƣợc tự nhiên hơn “Cho hình chóp SABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Chứng minh SABC= SSBC cosφ”. Khi học xong định lí, trong phần bài tập của SGK khơng có bài tập áp dụng định lí, có một bài tập u cầu chứng minh cụ thể định lí trong trƣờng hợp đặc biệt của đa giác khi nó là tam giác.
SGK đƣa ra một bài toán để khẳng định sự tồn tại của đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng: “Cho hai đƣờng thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh nếu đƣờng thẳng a vng góc với cả b và c thì nó vng góc với mọi đƣờng thẳng nằm trong (P)”. Nhờ bài tốn này mà sau khi có định nghĩa đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng HS hồn tồn có thể phát biểu đƣợc định lí VG1. Nếu so với cách chứng minh cũ (bằng cách sử dụng hình học thuần túy) thì cách chứng minh bằng vectơ tỏ ra dễ hiểu hơn rất nhiều, điều này cũng giúp HS khi tiếp thu định lí cảm thấy nhẹ nhàng hơn trƣớc.
Ngoài bốn định lí trên đƣợc trình bày để GV dễ dàng dạy theo tiến trình Bài tốn→ Định lí các định lí cịn lại đều đƣợc trình bày để GV (nếu khơng sáng tạo) dạy theo tiến trình suy diễn, một số định lí SGK đã có những gợi ý cho GV gợi động cơ học tập định lí cho HS ví dụ nhƣ định lí SS3, SS5, SS6, VG4.
Định lí LT1: Trong chƣơng trình lớp 8, định lí này đƣợc đƣa ra dƣới dạng một nhận xét khi HS tiếp cận khái niệm đƣờng thẳng và mặt phẳng. Trong SGK hình học 11, định lí này đƣợc đƣa ra sau 5 tính chất thừa nhận. Định lí này đƣợc đƣa ra nhằm mục đích khẳng định lại với HS từ những tính chất sẵn có bằng suy luận chúng ta hồn toàn tạo ra đƣợc những nội dung kiến thức mới, đây chính là một đặc trƣng của Tốn học. Định lí này đƣợc chứng minh dựa vào tính chất thừa nhận 1 và 5 ở trƣớc.
Định lí SS3: Trƣớc khi đƣa ra định lí SGK gợi ý cho GV dẫn dắt gợi động cơ học tập định lí: Cho đƣờng thẳng a song song với mặt phẳng (P). Khi đó, đƣờng thẳng a có song song với đƣờng thẳng nào nằm trên (P) hay không? SGK cũng gợi ý, để CM định lí ta sẽ: Vẽ qua đƣờng thẳng a mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b rồi dùng phƣơng pháp chứng minh bằng phản chứng để chứng minh định lí. Sau đó đƣa ra hai hệ quả của định lí áp dụng trực tiếp vào giải bài tập.
Định lí SS4: Định lí này đƣợc đƣa vào sau một loạt các hệ quả của định lí SS3. Định lí này đƣợc đƣa ra nhằm giúp HS có thêm một cách khác để xác định một mặt phẳng. Tuy nhiên nếu GV trình bày định lí này cho HS giống hồn tồn cách trình bày của SGK mà khơng phát hiện đƣợc mục đích đƣa ra định lí của SGK (hay khơng gợi động cơ học tập định lí) sẽ làm cho HS cảm thấy định lí này khơng quan trọng dẫn đến
khơng nhớ định lí.
Định lí SS5: Định lí này, SGK đã giúp GV gợi động cơ học tập định lí thơng
qua hai câu hỏi gợi mở sau:
Câu 1: Khẳng định sau đây có đúng khơng? Vì sao?
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đƣờng thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q).
Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay sai? Tại sao?
Nếu mọi đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với (Q).
Phần chứng minh định lí đƣợc đƣa ra dƣới dạng một hoạt động gồm hai nhiệm vụ cơ bản đó là loại bỏ hai trƣờng hợp (P), (Q) trùng nhau và cắt nhau, thực chất đây là phƣơng pháp chứng minh bằng phản chứng.
Định lí SS6: SGK gợi ý cho GV gợi động cơ học tập định lí dựa vào một kết quả
đã biết trong mặt phẳng và khái qt hóa trong khơng gian từ đó nêu hƣớng CM định lí . Sau khi học xong định lí, SGK chƣa đƣa ra ví dụ để HS biết cách áp dụng định lí vào giải tốn.
Định lí SS7: Đƣợc SGK đƣa ra sau khi học xong định lí Talet. HS sẽ thừa nhận định lí này mà khơng phải chứng minh nhƣng ngay sau đó đã có bài tập áp dụng định lí để chứng minh, điều này giúp cho HS dễ hình dung hơn về định lí.
Định lí VT1: Trƣớc khi đƣa ra định lí này SGK đã đƣa ra một ví dụ yêu cầu HS chứng minh sự đồng phẳng của ba vectơ. Để giải quyết đƣợc ví dụ này HS dựa vào định nghĩa: chứng minh ba đƣờng thẳng đó cùng song song với môt mặt phẳng. Điều này làm nảy sinh suy nghĩ liệu có thể dùng vectơ để chứng minh sự đồng phẳng của ba vectơ hay không và điều này gợi đƣợc động cơ hình thành và chứng minh định lí. Định lí đƣợc đƣa ra dựa vào định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phƣơng trong hình học phẳng. Tuy nhiên không phải GV nào khi dạy đều phát hiện ra ý nghĩa ngầm ẩn trong ví dụ trƣớc đó.
Định lí VT2: Đƣợc đƣa ra sau khi có điều kiện về sự đồng phẳng của ba vectơ. Trong định lí này SGK gợi ý cho GV một cách chuyển tiếp giữa các định lí trong một
bài học. Điều này tạo đƣợc động cơ hình thành và học tập định lí.
Định lí VG2 (Định lí ba đƣờng vng góc): Đƣợc đƣa ra sau khi HS học khái niệm phép chiếu vng góc. Đây là một trong những định lí quan trong và có nhiều ứng dụng trong giải tốn. Sau khi học xong định lí SGK cũng chƣa đƣa ra bài tập áp dụng định lí trong giải tốn.
Định lí VG3: Đƣợc đƣa ra sau định nghĩa hai mặt phẳng vng góc. Định lí này thực chất là một cách khác để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau bởi nếu dựa vào định nghĩa để chứng minh thì sẽ rất phức tạp. Việc chứng minh định lí đƣợc SGK trình bày rất chi tiết và chủ yếu dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng vng góc với nhau.
Qua phân tích cách xây dựng các định lí trong SGK chúng tôi nhận thấy rằng: Nếu GV dạy giống hồn tồn SGK thì số lƣợng định lí trình bày theo tiến trình Bài tốnĐịnh lí cịn ít, chƣa có định lí nào đƣợc trình bày theo tiến trình Thực nghiệm/Suy luận. Đối với những định lí trình bày theo tiến trình suy diễn việc gợi động cơ học tập định lí chƣa đƣợc thƣờng xuyên, điều này làm cho HS cảm thấy khơng hứng thú khi nghiên cứu định lí.
Nhƣ trong phân tích chƣơng 1, các đặc tính của phần mềm Cabri 3D sẽ tạo điều kiện cho GV xây dựng đƣợc nhiều hoạt động dạy học trong đó có hoạt động gợi động cơ học tập định lí. Từ những hình dựng bằng phần mềm Cabri 3D, GV sẽ hƣớng dẫn học sinh từng bƣớc tƣơng tác với hình vẽ thơng qua phần mềm để từ đó nêu ra những nhận xét của mình khi thực hiện các hoạt động và bƣớc đầu phát biểu định lí theo ý hiểu. Điều này giúp cho học sinh chủ động hơn trong q trình tiếp thu định lí, từng bƣớc tiếp cận với cách nghiên cứu khoa học sau này. Hơn thế nữa nó cũng tạo động cơ chứng minh định lí bởi HS sẽ thấy hứng thú hơn trong việc dùng lý thuyết để kiểm tra phát hiện của mình là chính xác hay khơng.