III. Dạyhọc giải bài tập Tốn
3.3. Dạyhọc phương pháp chung để giải bài tốn
Bài tập tốn là rất đa dạng và phong phú việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng. Ta cĩ thể chia thành hai loại:
3.3.1. Loại bài tập cĩ sẵn thuật Tốn
Đối với loại bài tập này giáo viên cần lưu ý cho học sinh khơng nên coi thường vì đã cho rằng mình nắm được quy tắc giải. Cần phải giải bài tập lọai này để rèn kỹ năng kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải bài tập phức tạp hơn.
Đối với học sinh:
- Nắm vững quy tắc giải đã học; - Biết nhận dạng đúng bài tốn;
- Phải giải theo quy tắc đã học một cách thành th ạo.
3.3.2. Loại bài tập chưa cĩ sẵn thuật giải
Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh khơng ít khĩ khăn dẫn đến tâm lý sợ đơi khi thiếu tự tin. Do vậy khi dạy học sinh giải những bài tập này người giáo viên khơng chỉ cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là giáo viên phải giúp HS biết cách tìm ra đường lối giải bài tốn.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những g ợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài tốn được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, cĩ thể nêu lên phương pháp chung để giải bài tốn như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Cho học sinh đọc qua một lượt, phải cho HS tìm hiểu bài tốn một cách tổng quát. đâu là cái phải tìm? Cái gì đã cho? cái phải tìm cĩ thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay khơng? Các điều kiện cĩ đủ để xác định cái phải tìm hay khơng? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay cĩ mâu thuẫn?
Nếu là bài tốn hình học: Hãy vẽ hình, hãy sử dụng các kí hiệu thích hợp. Hình vẽ phải cĩ tính tổng quát khơng được vẽ trong trường hợp đặc biệt, hình vẽ phải rõ ràng dễ nhìn thấy những quan hệ và những tính chất. Nhưng cĩ đơi khi cũng phải thay đổi trình tự vẽ hình.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Trên AC lấy điểm M và vẽ đường trịn đường kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đường trịn tại D. Đường nối DA cắt đường trịn tại S. Chứng minh:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp; b) CA là phân giác của gĩc SCB.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
- Bạn đã gặp bài tốn này lần nào chưa? Hay đã gặp bài tốn này ở một d ạng hơi khác?
- Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ l ại một bài tốn quen thuộc cĩ cùng cái chưa biết hay cĩ cái cho biết tương tự?(quy l ạ về quen và xét tương tự)
- Bạn cĩ biết một bài tốn nào liên quan khơng? Cĩ th ể áp dụng một định lí nào đĩ khơng?
- Chia bài tốn thành thành các bài tốn bộ phận(nếu cĩ thể).
Ví dụ: Hai vịi nước chảy vào một cái b ể. Trong một giờ vịi I chảy được 26% bể, vịi II chảy được ¼ bể . Hỏi cả hai vịi cùng chảy thì trong bao lâu đầy bể?
Cĩ thể phân tích thành 2 bài tốn thành phần:
Bài tốn 1: Vịi 1 trong 1 giờ chảy được 26% bể, vịi II chảy ¼ bể. Hỏi cả 2 vịi cùng chảy trong 1 giờ được bao nhiêu phần bể?
Bài tốn 2: Một vịi nước chảy trong 1 giờ được 51% bể. Hỏi trong mấy giờ thì đầy bể?
- Cĩ đơi khi phải biến đổi bài tốn để dễ tìm ra đường lối giải.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm CD, J là trung điểm BC. AI, AJ cắt BD tại hai điểm tương ứng G,K. Chứng minh rằng DG = GK = KB.
Cĩ thể thay đổi kết luận. Chứng minh DG = 1/3DB. Học sinh dễ liên tưởng đến trọng tâm của tam giác để tìm ra đường lối giải.
- Mị mẩm dự đốn các trường hợp đặc biệt.
Ví dụ: Hãy điền số từ 1 đến 9 mỗi số chỉ viết một lần vào các ơ sao cho tổng các số trên cùng hàng, cùng cột, đường chéo bằng nhau.
Vì tổng tất cả các số là 45 mà cĩ 3 hàng nên mỗi hàng là 15.Từ đĩ ta bỏ số 5 ơ trung tâm và mị mẫm để cĩ cách giải.
2 7 69 5 1 9 5 1 4 3 8
Bước 3: Trình bày lời giải
Nắm lại tồn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2.
Trình bày lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đốn, phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
Bạn cĩ thể sử dụng kết quả hay phương pháp đĩ cho một bài tốn tương tự, một bài tĩan tổng quát hơn hay một bài tốn nào khác hay khơng ? cĩ cách giải nào khác khơng?
Ví dụ: Trong 3 thùng cĩ tất cả 50 lít dầu, thùng 1 hơn thùng hai 10 lít. Nếu đổ từ thùng 1 sang thùng ba 26 lít thì thùng hai và thùng ba bằng nhau. Hỏi số dầu của thùng thứ nhất.
Giải: Gọi x là số dầu thùng thứ nhất(điều kiện:x >0). Ta cĩ phương trình: x – 10 = 50 – x – (x – 10) + 26.
Đáp số: x =32lít. Nếu khơng nghiên cứu lời giải thì sẽ bị sai lầm vì thùng 3 là – 4 lít vơ lý.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, trên AB lấy trung điểm D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = AB. Chứng minh rằng: CD =
21CK. 1CK.
Ta cĩ thể nghiên cứu sâu lời giải theo hướng tìm thêm các cách giải khác nhau.
Cách 1:Kẻ đường trung tuyến BE ứng với cạnh AC củaABC, ta cĩ: BE = CD (t/c đường trung tuyến) (1). XétAKC ta thấy:
) ( ) ( gt EC EA gt BK BA
=>BE là đường trung bình AKC
=>BE= 2 1CK (t/c đường trung bình) (2) Từ (1) và(2) => CD = 2 1CK (đpcm)
Cách 2:Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CA, nối BE ta cĩ : 2DC = BE
( DC là đường trung bình của ABE)(1) Mặt khác: Ta cĩ AB =AC(gt)
Gĩc A là gĩc chung AK =AE(=2AB)
Suy raABE = ACK (c-g-c)
=>KC = BE (hai cạnh tương ứng) (2) (1) và (2) CD =
2
1CK (đpcm).
Câu hỏi và bài tập chương 6
CÂU HỎI NGẮN
1. Các yêu cầu dạy học khái niệm
2. Nêu các con đường dạy học khái niệm tốn học chủ yếu ở THCS 3. Thế nào là nội hàm, ngoại diên của khái niệm
4. Nêu các yêu cầu dạy học định lý?
5. Nêu các bước dạy học định lý theo con đường cĩ khâu suy đốn? 6. Nêu các bước dạy học định lý theo con đường suy diễn?
7. Thế nào là gợi động cơ chứng minh định lý? Cho ví dụ?
8. Thế nào là luyện tập các hoạt động thành phần khi dạy học chứng minh định lý? Cho ví dụ?
9. Thế nào là truyền thụ tri thức phương pháp khi chứng minh định lý? 10. Phân bậc hoạt động khi chứng minh định lý là gì?
11. Phân tích các hoạt động củng cố định lý?
12. Hãy cho ví dụ về những sai lầm thường gặp trong chứng minh: a) Sai lầm về luận đề?
b) Sai lầm về luận cứ? c) Sai lầm về luận chứng?
13. Chỉ ra một tình huống giúp học sinh phát hiện định lý?
14. Hãy nêu cách chứng minh bài tốn sau đây bằng cách suy xuơi: Chứng minh rằng x2 +2xy + y2 + 1 > 0, với mọi giá trị của x và y?
15. Nêu các yêu cầu khi giải bài tập tốn học. Ví dụ
AD D K B C E C A D K B E
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trắc nghiệm 1:Hãy đánh dấu (×) vào ơ phù hợp với đáp án mà anh (chị) lựa chọn:
Câu Đúng Sai
1.Khi dạy học định lý phải làm cho học sinh biết cách phát biểu định lý một cách chính xác, ngắn gọn..
2.Cho bài tốn đại số 8. “Chứng minh rằng: x2– x + 1 > 0”, với mọi x. Một HS xem chứng minh như sau: Ta cĩ x2 + 1 > x2, mà x2 > x nên x2 + 1 > x, do đĩ: x2– x + 1 > 0. (đpcm).
3. Trong quá trình chứng minh định lý cần phải truyền thụ tri thức phương pháp liên quan đến chứng minh.
4. Khi dạy định lý phải rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
5.
B A A B
A , là một quy tắc kết luận logic?
6. Khi dạy định lý phải làm cho học sinh biết vận dụng định lý đã học để giải bài tập tốn và vận dụng thực tế.
7. Khi dạy học định lý phải làm cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các định lý với nhau
8. Khi dạy định lý phải làm cho HS thấy được ý nghĩa của vấn đề cĩ liên quan để tạo thành dấu hiệu nhận biết.
Trắc nghiệm 2: Chọn một đáp án đúng trong các phương án sau: 1. Tìm câu sai trong các câu sau:
a) Luận đề là mệnh đề cần chứng minh;
b) Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết;
c) Luận chứng là phép suy luận được sử dụng trong chứng minh; d) Luận điểm là điều người ta dùng để chứng minh.
2. Tìm một câu sai trong các câu sau. Khi chứng minh một định lý phải đảm bảo các yêu cầu:
a) Luận đề khơng được đánh tráo; b) Luận điểm phải rõ ràng; c) Luận cứ phải đúng;
d) Luận chứng phải hợp logic. BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG
1. Thiết kế dạy học định lý tổng ba gĩc trong một tam giác bằng 1800 (hình học 7) theo con đường cĩ khâu suy đốn?
2. Thiết kế dạy học định lý Pitago theo con đường suy diễn? (hình học 7)
3. Thiết kế một số hoạt động củng cố dạy học định lý “trong một tam giác gĩc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn” (hình học 7).
4. Thiết kế dạy học 3 định lý trong chương tam giác đồng dạng cĩ sự hỗ trợ của phần mềm Skechpad? (dành cho sinh viên khá giỏi).
5. Soạn hệ thống câu hỏi hướng dẫn học sinh chứng minh định lý: “Trong một tam giác 3 đường trung tuyến đồng quy”?.
6. Soạn hệ thống câu hỏi hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau: “ Cho một hình thang. Chứng minh rằng giao điểm của các đường chéo chia đơi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy của hình thang đĩ”?
Chương 7