Trước hết cần phải thấy rằng, trong mơn Tốn, nếu như trước kia người ta nghĩ rằng chỉ cĩ con đường từ cụ thể đến trừu tượng thì ngày nay cịn sử dụng cả con đường
từ trừu tượng đến cụ thể. Trường hợp nào nên dùng con đường nào, đĩ là tuỳ thuộc mục đích, nội dung dạy học, vào đặc điểm của người học.
Bản thân các tri thức khoa học nĩi chung và tri thức Tốn học nĩi riêng là một sự thống nhất giữa cái cụ thể và trừu tượng. Muốn cho việc dạy học đạt hiệu quả tốt thì cần khuyến khích và tạo điều kiện cho học sinh thường xuyên tiến hành hai quá trình thuận nghịch nhưng liên hệ mật thiết với nhau, đĩ là trừu tượng hố và cụ thể hố.
Việc chiếm lĩnh một nội dung trừu tượng cần kèm theo sự minh họa nĩ bởi những cái cụ thể, chẳng hạn khái niệm hàm số được minh hoạ bởi những mối liên hệ giữa diện tích hình trịn với bán kính, giữa đường đi với thời gian trong chuyển động đều cĩ vận tốc khơng đổi. Nếu khơng cĩ sự cụ thể hố thì cái trừu tượng sẽ trở thành hình thức, trống rỗng.
Mặt khác, khi làm việc với nhữ ng cái cụ thể cần hướng về những cái trừu tượng, cĩ như vậy mới gạt bỏ được những dấu hiệu khơng bản chất để nắm cái bản chất, mới gạt bỏ được những cái cá biệt để nắm được quy luật.
Vận dụng vào việc sử dụng phương tiện trực quan, sự thống nhất giữa cái cụ thể và cái trừu tượng địi hỏi phải thực hiện các yêu cầu sau:
Khơng dùng phương tiện trực quan một cách tràn lan, khơng lạm dụng chúng mà
chỉ sử dụng chúng ở những chỗ học sinh gặp khĩ khăn trong lĩnh hội cái trừu tượng.
Khi sử dụng phương tiện trực quan, vẫn hướng dẫn học sinh suy nghĩ về cái trừu tượng. Phương tiện trực quan chỉ là chỗ dựa để học sinh tư duy Tốn học, chẳng hạn những mơ hình hình học khơng gian là chỗ dựa để học sinh suy nghĩ về những đối tượng, quan hệ và định lí hìn học.
Khi sử dụng phương tiện trực quan hỗ trợ học sinh làm việc với một tri thức trừu tượng, người thầy giáo cần cĩ kế hoạch để sẽ đạt tới lúc trị cĩ thể hoạt động với tri thức đĩ ngay cả khi mất đi chỗ dựa trực quan.
Sử dụng phương tiện trực quan trong mơn to án cần chú ý một nét đặc thù: trực
quan là chỗ dựa để dự đốn, khám phá chứ khơng phải là phương tiện để chứng minh những mệnh đề Tốn học. Cần làm cho học sinh tránh ngộ nhận những điều phát hiện được nhờ trực giác, hình thành ở họ nhu cầu, thĩi quen chứn g minh chặt chẽ những phát hiện như vậy.
Mối liên hệ giữa Tốn học với thực tiễn cĩ khi phải qua nhiều tầng, vì vậy, mức độ cụ thể hay trừu tượng cũng cĩ nhiều tầng như vậy. Khái niệm hàm số cụ thể hơn khái niệm ánh xạ, nhưng lại trừu tượng hơn những khái niệm tương quan tỉ lệ thuận, tương quan tỉ lệ nghịch. Những mối tương quan này cụ thể hơn khái niệm hàm số, nhưng lại trừu tượng hơn những mối liên hệ giữa quãng đường với thời gian trong chuyển động
đều cĩ vận tốc khơng đổi, giữa hai
kích thước hình chữ nhật khi diện tích bằng một hằng số. Một tri thức nào đĩ đối với trình độ này là trừu tượng nhưng đối với một trình độ khác lai cĩ thể là cụ thể. Vì vậy, khi yêu cầu học sinh trừu tượng hố hay cụ thể hố, phải căn cứ vào trình độ phát triển của người học . Với cấp THCS thì khi dạy tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, ta đã phải minh hoạkhái niệm trừu tượng này bằng những ví dụ cụ thể. Nhưng ở cấp THPT thì chính những mối quan hệ trên lại cĩ thể được lấy làm ví dụ cụ thể để hình thành một khái niệm trừu tượng là hàm số.