... zyxM
+++=
+
+
+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ zyx
8
1
xyz
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. ... ]
2
3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3
+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+
=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222
bc
bc
ac
ac
+
+
+
+
3
2
22
3
ba
baba
a
++
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
2) Với mọi tam giác ABC chứng minh
3) Cho x, y dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ y
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x+ y biết ... =
2
2
11
++
+=
y
y
x
xM
2
254
1
2
111
1
2
111
2
1
2
22
=
+
+
++=
++
+
yxyxy
y
x
xM
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
ã Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 8 : Cho...
... IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
... IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
I. Cựctrị không có điều kiện ràng buộc ( cực ... cựctrị tự do)
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cực trị...
... giá trịhàm theo sự thay đổi củabiến x
j
khi giữ
nguyên giá trị các biến khác. Xét ví dụ sau đây về hàm 2 biến.
Ví dụ 2.1. Cho f(x
1
, x
2
) = x
2
1
+ 3x
1
x
2
– x
2
2
. Đây là hàmcủahai ... thông dụng 26
2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27
2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29
2.3. Vi phân củahàm số 30
2.3.1. Hàm một biến 31
2.3.2. Hàm nhiều biến 32
2.3.3. Hàm thuần nhất 36
Chương ... cấp một và cấp hai bao gồm đạo hàm cấp một và cấp haicủa hàm.
Các đạo hàm này cho thông tin quan trọng về hành vi tổng quát củahàm được
xét. Đạo hàm cấp một cho biết giá trịhàm tăng hay giảm...
... là giá trịcực tiểu của
hàm số
f
.
Giá trịcực ñại và giá trịcực tiểu ñược gọi chung là cựctrị
Nếu
0
x
là một ñiểm cựctrịcủahàm số
f
thì người ta nói rằng hàm số
f
ñạt cựctrị tại ...
-41-
CỰC TRỊCỦAHÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm cựctrịhàm số :
Giả sử hàm số
f
xác ñịnh trên tập hợp
( )
D D
⊂
ℝ
và
0
x D∈
0
)a x
ñược gọi là một ñiểm cực ñại củahàm số ... số chỉ có thể ñạt cựctrị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàmcủahàm số bằng
0
, hoặc tại ñó hàm
số không có ñạo hàm .
3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị:
ðịnh lý 2: Giả sử hàm số
f
liên tục...
... Điểm cực trị, cựctrịcủahàm số
1. Tìm các điểm cựctrịcủahàm số
a.
2 x
y x e=
b.
2
x 3
y
x 1
+
=
+
c.
2
2x 4x 2
y
2x 3
+
=
+
d.
2
2
x ... có cực tiểu mà không có cực đại
5. Với giá trị nào của m thì hàm số
2
y 2x m x 1= + +
có cực tiểu
6. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= + +
. Với giá trị nào của m thì hàm ... Cho hàm số
( )
3 2
1 1 1
y x sin a cos a x sin 2a x
3 2 4
= + +
ữ
. Xác định a để hàm số có cực trị
Gọi
1 2
x , x
là hoành độ các điểm cực trị, xác định a để cho hành độ điểm cực đại, cực...
... Cho hàm số xác định m để
a) Hàm số không có cực trị
b) Hàm số có cực trị
c) Hàm số có 2 điểm cựctrị có hoành độ dương
d) Hàm số có 2 điểm cựctrị nằm về 2 phía của oy
e) Hàm số có 2 điểm cựctrị ... x
0
là điểm cựctrịcủahàm số thì f(x
0
) là giá trịcực trị,
M(x
0
; f(x
0
)) là điểm cựctrịcủa đồ thị hàm số.
Điểm cựctrịcủahàm số
Ví dụ minh họa - Ví dụ 1
Tìm m để hàm số y = mx
3
... ÷
Điểm cựctrịcủahàm số
Chuyên đề
Điểm cựctrịcủahàm số
Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2
Cho hàm số Giá trị nào của m để hàm số
đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải
Hàm số đạt cực đại tại...
... là giá trịcực tiểu củahàm số
( )
f x
.
Giá trịcực đại và giá trịcực tiểu được gọi chung là cực trị
II. Điều kiện để hàm số có cực trị
1) Điều kiện cần
Giả sử hàm số
( )
f x
đạt cựctrị tại ... khác đều sai.
Câu 26*. Hàm số
)22(|1|)(
2
+−+==
xxxxfy
có:
A. Ba cực trị.
B. Haicực trị.
C. Một cực trị.
D. Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 27. Giá trịcực đại củahàm số
2
)1(
2
−
−
=
x
x
y
... các điểm cựctrịcủa đồ thị hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của
(1)
Khi đó:
2
1
2
2
2 8
' 0
2 8
x m m
y
x m m
= − −
= ⇔
= + −
78
B. Haicực đại.
C. Haicực tiểu và haicực đại.
D....
... cực tiểu củahàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm
sao cho:
Khi đó được gọi là giá trịcực tiểu củahàm số
Điểm cực đại và cực tiểu củahàm số được gọi chung lag điểm cựctrịcủahàm số.
2. ... này.
Vậy các điểm cựctrịcủahàm số là với
b) Ta có: Tập xác định củahàm số:
và đổi dấu qua
Vậy hàm số đã cho có điểm cựctrị là
Ví dụ 2:
Xác định các hệ số sao cho hàm số đạt cựctrị tại điểm ... cựctrịcủahàm số.
6. Cho hàm số . Tìm dể hàm số có cựctrị và các điểm
cực trị này tạo với gốc tọa độ một tam giác vuông tại (Đề thi Toán khối A năm
2007)
7. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực...
... giá trịcực đại củahàm số
+) được gọi là điểm cực tiểu củahàm số nếu tồn tại một khoảng chứa
điểm sao cho:
Khi đó được gọi là giá trịcực tiểu củahàm số
Điểm cực đại và cực tiểu củahàm ... 2005)
5.Cho hàm số: . Với giá trị nào của thì đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cựctrịcủahàm số.
6. Cho hàm số . Tìm dể hàm số có cựctrị và các
điểm cựctrị này tạo ... điểm cựctrịcủahàm số.
2. Điều kiện cần, đủ để hàm số có cực trị:
+) Nếu hàm số đạt cựctrị tại và đồng thới hàm số có đạo hàm tại thì
+) Nếu hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm...