Tìm cực trị của hàm số

Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA I Định nghóa Giả sử hàm số f  x  xác định tập D   x0  D 1) x0 gọi điểm cực đại hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D vaø f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f  x  2) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa ñieåm x0 cho  a; b   D vaø f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi đó, f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị II Điều kiện để hàm số có cực trị 1) Điều kiện cần Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f  x  có đạo hàm x0 f '  x0  0 2) Điều kiện đủ Dấu hiệu Giả sử hàm số f  x  liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng  a; x0  vaø  x0 ; b  Khi đó:  Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0  Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại điểm x0 Dấu hiệu Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f '  x0  0 vaø f  x  có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó:  Nếu f ''  x0   hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f ''  x0   hàm số đạt cực tiểu điểm x0 III Các phương pháp tìm cực trị hàm số Phương pháp  Tìm f '  x   Tìm điểm xi  i 1, 2,  mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm  Lập bảng xét dấu f '  x  Neáu f '  x  đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Phương pháp  Tìm f '  x   Giải phương trình f '  x  0 tìm nghiệm xi  i 1, 2,   Tính f ''  xi  58 Neáu f ''  xi   hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f ''  xi   hàm số đạt cực tiểu điểm xi A CÁC VÍ DỤ Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y  m   x  x  mx  m 2) y  x  2m x  m x 1 Giaûi 1) y  m   x  x  mx  m Taäp xác định: D  Đạo hàm: y ' 3  m   x  x  m Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 hay g  x  3  m   x  x  m 0 có hai nghiệm phân biệt m  m  0 m      ' 9  3m  m      m  3   m  2m  3  Vaäy giá trị cần tìm là:   m  vaø m  x  2m x  m 2) y  x 1 Tập xác định: D  \   1 Đạo haøm: y '  x  x  m2  x  1 2 Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 hay g  x  x  x  m 0 có hai nghiệm phân biệt khác –1  ' 1  m    m       m 1  m 1  g   1   m 0 Vậy giá trị cần tìm là:   m  Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau cực trị 1) y  m  3 x  2mx  2) y  mx  x  m xm Giaûi 1) y  m  3 x  2mx  Tập xác định: D  59 Đạo hàm: y ' 3  m  3 x  4mx y ' 0   m  3 x  4mx 0 (1)  Xeùt m 3 : y ' 0   12 x 0  x 0  y ' đổi dấu x qua x0 0  Hàm số có cực trị  m 3 không thỏa  Xét m 3 : Hàm số cực trị  y ' không đổi dấu  phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm kép m  0 m 3    m 0  m 0  ' 4m 0 Vậy giá trị cần tìm laø m 0 mx  x  m 2) y  xm Tập xác định: D  \   m Đạo hàm: y '  mx  2m2 x  x  m y ' 0  g  x  mx  2m x 0 (1)  x  m  Haøm số cực trị  y ' không đổi dấu  phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm keùp  Xeùt m 0 : y ' 0, x  m  m 0 thỏa  Xét m 0 : Yêu cầu toán   ' m 0 : vô nghiệm m 0 Vậy giá trị cần tìm là: m 0 x  mx  m Chứng minh với m hàm số luôn có cực x trị khoảng cách điểm cực trị không đổi Giải Tập xác định: D  \  1 Ví dụ Cho hàm số y  Đạo hàm: y '  x2  2x  x  1  x 0  y  m y ' 0    x 2  y 4  m Vaäy y ' 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m  Hàm số luôn có cực trị Tọa độ điểm cực trị A  0;  m  , B  2;  m  Khoảng cách hai điểm A, B là: AB    0 2    m  m  2 = const (đpcm) 60 Ví dụ Cho hàm số y  x  mx  Định m để hàm số đạt cực đại x 2 xm Giải Tập xác định: D  \   m Đạo hàm: y '  x  2mx  m   x  m Điều kiện cần Hàm số đạt cực đại x 2  y '   0 m  4m  m  4m  0  m        m  m  m   Điều kiện đủ + Với m  :  x 0 x2  x y'  0    x  1  x 2  Bảng biến thiên x y'  + 0 CÑ - -  +   y  CT  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x 2  m  không thỏa + Với m  :  x 2 x2  6x  y'  0    x  3  x 4 Bảng biến thiên x y'  + CÑ - -   +  y   CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x 2  m  thoả yêu cầu toán Vậy giá trị cần tìm là: m  61 Cách khác Ta có: y x  xm Tập xác định: D  \   m y ' 1   x  m y'   x  m  y '   0 Hàm số đạt cực đại x 2    y ''     0 m  4m  0 1   m       m   m   0    m  m   m    m  m   Vậy giá trị cần tìm là: m  ax  bx  ab Ví dụ Cho hàm số y  Tìm giá trị a, b cho hàm số đạt cực trị ax  b x 0 x 4 Giải Hàm số xác định ax  b 0 a x  2abx  b  a 2b y'   ax  b   Điều kiện cần Hàm số đạt cực trị x 0 vaø x 4  y '   0    y '   0  b  a 2b 0  b2   2 16a  8ab  b2  a b 0   4a  b  b a    8a  a   0  4a  a 0  Điều kiện đủ Với a  2, b 4 , ta coù: b  a 2b 0  b 0  2 16a  8ab  b  a b 0 4a  b 0  a   b 4 62 y'  x2  x   x  2  x 0 0    x 4 Baûng biến thiên x y'  + 0 CĐ - -   +  y   CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x 0 đạt cực tiểu x 4 Vậy giá trị cần tìm là: a  2, b 4 2 Ví dụ Cho hàm số y x   2m  1 x   m  3m   x  Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000) Giải Tập xác định: D  2 Đạo hàm: y ' 3x   2m  1 x  m  3m  Hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung  y ' 0 hay g  x  3 x   2m  1 x  m  3m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoaû x1   x2  3.g     m  3m     m  Vậy giá trị cần tìm là:  m  Ví dụ Cho hàm soá y 2 x  ax  12 x  13 (a tham số) Với giá trị a đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cách trục tung (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997) Giải Tập xác định: D  2 Đạo hàm: y ' 6 x  2ax  12 2  x  ax   Hàm số có cực đại cực tiểu cách truïc tung  y ' 0 hay g  x  3 x  ax  0 coù hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả x1  x2 0  a  72  0, a    a 0 a  x1  x2  0  Vậy giá trị cần tìm là: a 0 Ví dụ Cho hàm số y  x  x  mx Định m để hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm có hoành độ x  m 63 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996) Giải Tập xác định: D  Đạo hàm: y '  x  x  m Yêu cầu toán  y ' 0 hay g  x  x  x  m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả m  x1  x2    1  4m  m     1.g  m  m  2m   m    m   m   S     m m    2  Vậy giá trị cần tìm là: m   2 Ví dụ Cho hàm soá y  x   m  1 x   3m  7m  1 x  m  Định m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ nhỏ Giải Tập xác định: D  2 Đạo hàm: y '  3x   m  1 x   3m  7m  1 2 Yêu cầu toán  y ' 0 hay g  x   x   m  1 x   3m  7m  1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả  x1   x2   x1  x2 1  1  2  1   3.g  1    3m  m        '       3.g  1 0 S  1   3m  12    3m2  m  0 m    m  (a) 9  m  1   3m  7m  1     3  3m  m   0  m   m     m   m 1  m  (b) Kết hợp (a) (b) ta có giá trị cần tìm là: m   m  Ví dụ 10 Cho hàm số y  x  x   C  Haõy xác định tất giá trị a để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) hai phía khác đường tròn (phía 2 phía ngoài): x  y  2ax  4ay  5a  0 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000) 64 Giải Tập xác định: D  Đạo hàm: y ' 3x  x  x 0  y 2 y ' 0    x 2  y   Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A  0;  , B  2;   2 Đặt  Ca  : x  y  2ax  4ay  5a  0 Hai điểm A, B hai phía hai đường tròn  Ca   PA /  Ca  PB /  Ca     5a  8a  3  5a  4a     5a  8a   (do 5a  4a   0, a )   a 1 Caùch khaùc Phương trình đường tròn  Ca  viết lại: 2  x  a    y  2a  1  Ca  có tâm I  a; 2a  bán kính R 1 Ta coù: IB   a  2   2a    5a  4a  2  36   5 a      R 5 5   Điểm B nằm  Ca  Do đó: Điểm A nằm phía đường tròn  Ca   IA   a    2a    5a  8a     a  Ví dụ 11 Cho hàm số y  mx   m  1 x   m   x  Với giá trị m 3 hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu x1 , x2 thoả x1  x2 1 Giải Tập xác định: D  Đạo hàm: y ' mx   m  1 x   m   Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 hay mx   m  1 x   m   0 coù hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m 0 m 0   2  '  m  1  3m  m      2m  4m   65 m 0   2   (*) m   2 Theo định lí Vi-ét theo đề bài, ta có:  m  1 x1  x2  (1) m 3 m  2 x1.x2  (2) m x1  x2 1 (3) 3m  2 m , x2  Từ (1) (3), ta có: x1  m m Thế vào (2), ta được:  3m     m   m      m  m  m   3m  8m  0 (do m 0 )  m   (thoaû (*))   m 2 Vậy giá trị cần tìm là: m   m 2 3 2 Ví dụ 12 Cho hàm số y x   m  1 x  m  7m  x  2m  m     Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu (Trích ĐTTS vào Học viện Kó thuật Mật mã, năm 1999) Giải Tập xác định: D  2 Đạo hàm: y ' 3x   m  1 x  m  7m    y ' 0  x   m  1 x  m  m  0   (1)  Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 có hai nghiệm phân biệt   ' 9  m  1  m  m    m  8m        m   17  m   17 Laáy y chia cho y’, ta coù: 2 y   x  m  1 y ' m  8m  x  m3  5m  3m  3 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Ta coù: 2  m  8m  x1  m  5m  3m   y1   x1  m  1 y '  x1   3   y '  x1  0      y1      2 m  8m  x1  m3  5m  3m  3      66 Tương tự ta có: 2 y2  m  8m  x2  m3  5m  3m  3 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu là: 2 y  m  8m  x  m3  5m  3m  3         Ví dụ 13 Cho hàm số y x  x   m   x  m  Định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu Giải Tập xác định: D  Đạo hàm: y ' 3 x  12 x   m   y ' 0  3x  12 x   m   0 (1)  Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 có hai nghiệm phân biệt   ' 36   m      m   m  (*) Laáy y chia cho y’, ta coù: y   x   y '  m   x  m  Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Theo định lí Vi-ét, ta có: x1  x2 4, x1 x2 m  Ta coù:   y1   x1   y '  x1    m   x1  m   y1 2  m   x1  m    y '  x1  0  Tương tự ta có: y2 2  m   x2  m  Yêu cầu toán  y1 y2     m   x1  m     m   x2  m    2  x1  1  x2  1    m    x1 x2   x1  x2   1  2   m     m    2.4  1    m    4m  17     m  2 17  m    m 2 So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  17 m 2 2 Ví dụ 14 Cho hàm số y  x  x  m x  m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y  x  2 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001) Giải 67  CT  2 Hàm số đạt cực tiểu x   0; 2m   y ' 0 hay g  x  x  2m  5m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  thoaû: x1   x2  2m m      m  5m    m  5m    m    1.g     1.g  2m    m     m   m    m    m  Vậy giá trị cần tìm là: 1   m 1  m    m  1 m  2 Ví dụ 23 1) Cho hàm số y  ta có: u  x Chứng minh y '  x0  0 v '  x0  0 v  x u '  x0  u  x0   v '  x0  v  x0  2) Chứng tỏ hàm số: y  x  3x  m  đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 x2 ta có : y  x1   y  x2  4 x1  x2 Giaûi 1) Ta coù: u ' x v  x  u  x v ' x y'   v  x   Do đó: y '  x0  0  u '  x0  v  x0   u  x0  v '  x0  0  u '  x0  v  x0  u  x0  v '  x0   u '  x0  u  x0   (ñpcm) v '  x0  v  x0  2) Theo kết câu 1) nên ta có: y  x1  4 x1  , y  x2  4 x2   y  x1   y  x2  4 x1  x2 (đpcm) Ví dụ 24 Cho hàm số y  x  2mx  x 1 74 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng x  y  0 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001) Giải Tập xác định: D  \   1 Đạo hàm: y '  x  x  2m   x  1 2 Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 hay g  x  x  x  2m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác -1  '  3  2m     m  g   1 0 2m  0 (*) Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Theo định lí Vi-ét, ta có: x1  x2  2, x1.x2  2m Mặt khác: y1 2 x1  2m , y2 2 x2  2m Đặt  : x  y  0 Yêu cầu toán  d  A,   d  B,    x1  y1   x2  y2  2 2  3x1  2m   x2  2m    x1  2m    3x2  2m   2   x1  2m     3x2  2m   0   x1  x2    x1  x2   4m   0   x1  x2   4m  0  x1  x2       4m  0  m (thoả (*)) Vậy giá trị cần tìm là: m  x   m   x  3m  Ví dụ 25 Cho hàm số y  x 1 1) Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu 2 2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu yCĐ , yCT Chứng minh: yCĐ  yCT  Giải 1) Tập xác định: D  \   1 Đạo hàm: y '  x  x  2m  x  1 2 Hàm số có cực đại cực tiểu  y ' 0 hay g  x  x  x  2m 0 coù hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác -1  '     g   1 0  2m    m   2m  0 75 Vậy giá trị cần tìm là: m   điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm 2) Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  (1) Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2  2, x1.x2  2m Mặt khác: y1 2 x1  m  , y2 2 x2  m  Do đó: 2 yCĐ  yCT  y12  y22  x1  m     x2  m    2  4 x1  x2   m    x1  x2    m   2 4   x1  x2   x1 x2    m    x1  x2    m     4   4m    m     m   2m2  16m  f  m  2m  16m  8, m   Xét hàm số: 2 f '  m  4m  16  0, m   Bảng biến thiên x   + f ' m f  m    Từ bảng biến thiên, ta thấy f  m   , m    ;     2 Vậy: yCĐ  yCT  (đpcm) Ví dụ 26 Cho hàm số y  mx   m  1 x  4m3  m Tìm giá trị m để đồ thị hàm xm số tương ứng có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  II  điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  IV  mặt phẳng toạ độ (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001) Giải 4m Ta coù: y mx   xm  Tiệm cận xiên: y mx   m 0  76 Tập xác định: D  \   m Đạo hàm: y '  mx  2m2 x  3m3  x  m y ' 0  g  x  mx  2m x  3m3 0  x  m  (*) Giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2   x1  x2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (*)  A thuộc góc phần tư thứ (II) Yêu cầu toán    B thuộc góc phần tư thứ (IV)  x1   x2  1    y2   y1  2   Hệsố góc tiệm cận xiên nhỏ    1  m.g      3m4   m 0    Đồ thị hàm số không cắt trục Ox (a)  y 0 hay mx   m  1 x  4m3  m 0  x  m  m 0  2   m  1  4m  4m  m   m 0 1   m    m (b) 5 m  m 0   15m  2m    3  m  vô nghiệm (c) Từ (a), (b) (c) ta có giá trị cần tìm là: m   x  m  m  1 x  m3  Ví dụ 27 Cho hàm số y  x m 1) Chứng minh đồ thị hàm số cho luôn có điểm cực đại cực tiểu với giá trị m Xác định toạ độ điểm cực trị 2) Chứng tỏ có điểm A mặt phẳng toạ độ cho điểm cực đại đồ thị ứng với giá trị thích hợp m điểm cực tiểu đồ thị ứng với giá trị thích hợp khác Tìm toạ độ A (Trích ĐTTS vào TTĐT Cán Y tế TPHCM, 2000) Giải 1) Tập xác định: D  \  m Đạo hàm: y '  x  2mx  m   x  m y ' 0  x  2mx  m  0  x m  2 Ta coù:  ' m   m  1 1  0, m Do đó: 77 ... kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  17 m 2 2 Ví dụ 14 Cho hàm số y  x  x  m x  m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua... điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: m  x   m  1 x  3m  Ví dụ 20 Cho hàm số y  Với giá trị m hàm số cho x có cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu (Trích ĐTTS... thấy hàm số đạt cực đại x 0 đạt cực tiểu x 4 Vậy giá trị cần tìm là: a  2, b 4 2 Ví dụ Cho hàm số y x   2m  1 x   m  3m   x  Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại cực