bài toán tìm cực trị của hàm số

I.LÝ THUYẾT Để tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất GTNN của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1.. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào

I.LÝ THUYẾT

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

1 Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)

Giả sử f xác định trên D Ta có

  max

x D



 

0 : 0





x D



 

0 : 0

  





2 Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,

GTNN của hàm số f xác định trên đoạn  a b; , ta làm như sau:

 B1 Tìm các điểm x , 1 x2, …, x thuộc khoảng m  a b; mà tại đó hàm số f có đạo hàm

bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 B2 Tính f x 1 , f x 2 , …, f x m , f a , f b 

 B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN

của f trên đoạn  a b; ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn

 a b;

        1 2       

;

x a b f x f x f x f x f a f b

        1 2       

;

x a b f x f x f x f x f a f b

Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì

ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f

II.VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2

1

y

x



 trên đoạn  0; 2

y

   x  0; 2 Lại có y 0 3,

  17

2

3

y  Suy ra

  0;2

x y

  ,

  0;2

17 max

3

x y

Nhận xét

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 f đồng biến trên  a b;       

;

;

min max

x a b

x a b

f x f a

f x f b















 f nghịch biến trên  a b;       

;

;

min max

x a b

x a b

f x f b

f x f a















Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑥 + 2 − 𝑥2

Giải: Điều kiện 2 – x2 ≥ 0  - 2 ≤ 𝑥 ≤ 2 => D = [ 2, 2]

y’ = 1 - 𝑥

2−𝑥 2

y’ = 0  2 − 𝑥2 = x  𝑥 ≥ 0

2 − 𝑥2 = 𝑥2  x = 1

Ta lại có: f(− 2) = - 2

f(1) = 2

f( 2)= 2

Vậy Max y = 2 khi x = 1

Min y = - 2 khi x = - 2

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = sin2x – x trên [- 𝜋

2,𝜋

2] Giải: Tập xác định D = R

y’ = 2 cos 2x – 1 => y’ = 0  2cos2x – 1 = 0  cos 2x = ⅟2  x = ±𝜋

6

Ta lại có: f(- 𝜋

2) = 𝜋

2; f (𝜋

6) = 3

2 + 𝜋

6 ; f(𝜋

2) = - 𝜋

2

Vậy ta được: Max y = 𝜋2 khi x = - 𝜋2

Min y = - 𝜋

2 khi x = 𝜋

2

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 𝑥 − 2 + 4 − 𝑥

Đáp án: Max y = 2 khi x = 3

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 1+ 𝑠𝑖𝑛

6𝑥+ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 1+ 𝑠𝑖𝑛4𝑥+ 𝑐𝑜𝑠4𝑥

Đáp án: Min y = 5/6 khi x = 𝜋

4 + k 𝜋

2

Max y = 1 khi x = k𝜋

2

Ví dụ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 𝑠𝑖𝑛𝑥

2+𝑐𝑜𝑠𝑥 với x ϵ [0, 𝜋]

Đáp án: Min y = 0 khi x = 0 hoặc x = 𝜋

Max y = 1/ 3 khi x = 2𝜋/3

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =𝑥

2− 3𝑥+1

𝑥 với x > 0

Đáp án: Min y = -1, khi x = 1