TOÁN CHO vật lý Anhchị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên. 2 Anhchị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hòa tr

Anhchị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.Giải một số bài tập sau: 1 a) Chứng minh rằng: hàm có hai cực điểm bậc 2 tại z = 1 ± 2i và một cực điểm đơn tại vô cực. Với z là số phức. b) Cho ( x,y ) = 1 x + y  x4 y4 + 6x2y2 .Tìm hàm giải tích f ( z) sao cho   Re( f) Tìm Im(f ) . 2 Chứng minh rằng: , nếu t > 0 và C: z  3 ; z là số phức 3 Cho u(x,y) = ex (xsiny – y cosy) a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp. b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z 2 Anhchị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================== TIỂU LUẬN TOÁN CHO VẬT LÝ Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Xn Hịa Học viên thực hiện: Thái Bình, tháng 11/2021 môc lôc Trang Môc lôc Trang A.MỞ ĐẦU B.NỘI DUNG I LÝ THUYẾT I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ I.2.Khái nhiệm hàm điều hịa số phức; tích phân hàm biến phức; chuỗi lý thuyết thặng dư số phức II BÀI TẬP f(z)  (z  3i)5 10 II.1.a)Chứng minh rằng: hàm (z  2z  5) có hai cực điểm bậc II.1.b)Cho ( x,y) = -) = - x + y) = -  x4 - y) = -4 + 6x2y) = -2 ezt  dz sin t II.2 Chứng minh rằng: 2i C z 1 , t > C: z  ; z số phức II.3) Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy) a) Chứng tỏ u(x,y) hàm điều hòa miền D thích hợp b) Tìm hàm giải tích f(z) = u(x,y) = -) +iv(x,y) = -), giải tích miền D 10 c) Biểu diễn f câu (b) theo biến z 11 C.Kết luận 11 Tài liệu tham khảo 12 Phụ lục 12 Trang Đề tài số 3:(cho học viên Vũ Văn Viễn ,Bùi Thanh Thanh, Đỗ Thị Bích) I - Anh/chị trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép tích hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ 2- Anh/chị trình bày khái nhiệm hàm điều hòa số phức; tích phân hàm biến phức; chuỗi lý thuyết thặng dư số phức II Giải số tập sau: f(z)  2(z  3i)5 1- a) Chứng minh rằng: hàm (z  2z  5) có hai cực điểm bậc z = ± 2i2 cực điểm đơn vô cực Với z số phức b) Cho ( x,y ) = - x + y  x4 - y4 + 6x2y2 Tìm hàm giải tích f ( z) cho   Re( f) Tìm Im(f ) ezt  dz sin t 2- Chứng minh rằng: 2i C z 1 , t > C: z  ; z số phức 3- Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy) a) Chứng tỏ u(x,y) hàm điều hịa miền D thích hợp b) Tìm hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích miền D c) Biểu diễn f câu (b) theo biến z A.MỞ ĐẦU Đại số vectơ nhánh toán học chịu trách nhiệm nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính, vectơ, ma trận, khơng gian vectơ phép biến đổi tuyến tính chúng Nó liên quan đến lĩnh vực kỹ thuật, giải phương trình vi phân, phân tích chức năng, nghiên cứu hoạt động, đồ họa máy tính, số thứ khác Một lĩnh vực khác áp dụng đại số tuyến tính vật lý, thơng qua phát triển để nghiên cứu tượng vật lý, mô tả chúng thông qua việc sử dụng vectơ Điều làm cho hiểu rõ vũ trụ Các mặt tham số nghiên cứu chúng thường sử dụng lập trình viên để tạo phim hoạt hình Trong phân cảnh phim hoạt hình Antz bên đây, công chúa Bala cố gắng giải cứu cho Z anh bị mắc kẹt giọt sương Một mặt tham số mô tả giọt sương chuyển động giọt sương mô tả họ mặt tham số Một lập trình viên thiết kế phim hoạt hình nói rằng: “Phải chi tơi quan tâm nhiều đến mặt tham số mà tơi cịn tham gia lớp học giải tích Nó chắn hữu ích cho tơi ngày hơm ” Trong tiểu luận này, chúng em nghiên cứu vấn đề sau Khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép tích hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ 2.Khái nhiệm hàm điều hịa số phức; tích phân hàm biến phức; chuỗi Trang lý thuyết thặng dư số phức B.NỘI DUNG I LÝ THUYẾT I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ I.1.1)Khái niệm véc tơ: Vectơ đoạn thẳng có B hướng AB  Độ dài (hay độ lớn, hay mô đun) AB độ A dài đoạn thẳng AB  o Phương AB phương đường thẳng AB , đường thẳng AB gọi giá AB  Chiều AB chiều từ gốc A đến B Các vectơ biểu diễn đồ họa cường độ vectơ; điều có nghĩa là, chúng đoạn thẳng, điểm cuối chúng đầu mũi tên.Chúng xác định mô-đun độ dài phân đoạn chúng, ý nghĩa chúng biểu thị đầu mũi tên hướng chúng theo dòng mà chúng thuộc Nguồn gốc vectơ gọi điểm ứng dụng  Trong hệ tọa độ Đề Véc tơ a;b;c xác định  a ax i  ay j  az k    b bx i  by j  bz k    c cxi  cy j  cz k Véc tơ i; j;k gọi véc tơ đơn vị  Ví dụ A(4;6;  3(cm))  I.1.2)Tích vơ hướng véc tơ: a.b      a.b  a b cos(a,b)   ; Tính giao hoán : a.b b.a  I.1.3)Tích có hướng vecto : a ^ b   i j k 11  12  13  a ^ b  ax ay az ( 1) (aybz  axby )i  (1) (axbz  axbx ) j  ( 1) (axby  aybx )k bx by bz    (aybz  azby )i  (azbx  axbz ) j  (axby  aybx )k Trang       a ^ b  a b sin(a,b)      b.a Tính chất : ; a ^ b  b ^ a = -           I.1.4)Tích véc tơ kép: a ^ (b.c) ta có a ^ (b.c) b.(a.c)  c.(a.b) I.1.5)tích véc tơ hỗn hợp:          ax ay az a.(b.c) b.(a.c) c.(a.b)  bx by bz cx cy cz I.1.6)Ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ Các đại lượng vật lý đại lượng véc tơ:     Vận tốc : v ; Gia tốc: a ; Lực: F ; Động lượng: p  VD : Cường độ điện trường: E : Một điện tích điểm q sinh quanh điện  trường biểu diễn vec tơ cường độ điện trường E phụ thuộc vào điểm xét E k q .r    r r bán kính véc tơ r xi  y j  zk   B  H  Tương tự :Cảm ứng từ: H cường độ từ trường I.2.Khái nhiệm hàm điều hịa số phức; tích phân hàm biến phức; chuỗi lý thuyết thặng dư số phức I.2.1) Khái nhiệm hàm điều hòa số phức: Giả sử cho hàm giải tích f(z) = u(x,y) + iv(x,y) miền D mặt phẳng z Khi hàm f(z) có miền D đạo hàm liên tục cấp.Từ dễ dàng suy hàm u, v có miền D đạo hàm riêng liên tục cấp đạo hàm riêng cấp thỏa mãn điều kiện u v ; u  v (1) 2u 2v 2u 2v  ;  x y y x Suy : x xy y xy Cộng vế đẳng thức ta nhận thấy 2u 2u 2u 2u  0 u    u 0 x2 y hay x y 2 2 Được gọi phương trình Laplace ký hiệu  x2  y2 gọi toán tử Laplace Vậy hàm u có đạo hàm riêng liên tục cấp D thỏa mãn phương trình Laplace gọi hàm điều hòa D phần thực hàm giải tịch D hàm điều hòa Chú ý : tương tự ,nếu lấy vi phân đẳng thức (1)theo y đẳng thức thứ (1) theo x trừ cho ta có ∆v = tức phần ảo hàm giải tích hàm điều hịa (D) γ(f) B A Trangx I.2.2) Khái nhiệm tích phân hàm biến phức: Cho γ(t) = x(t) + iy(t) t Є [a,b] làa,b] đường cong trơn từng khúc D với điểm đầu A điểm cuối B f(z) = u(z) + iv(z) hàm liên tục D Giả sử T phép chia đoạn [a,b] làa,b] thành n phần nhỏ điểm chia a =t0 < t1 < t2 < t3 ……< tn = b Gọi |T| = max{|tk – tk-1|, k = 1,2,3…n} đường kính phép chia T Đặt ∆z(k) = γ(k) - γ(k-1) lấy điểm tùy ý ζk Є [a,b] làtk-1 , tk] đặt ck = γ(ζ) lập tổng tích phân n  f (ck )zk Ϩ ζ(f) = k1 Nếu tồn giới hạn lim|T|→0 Ϩ ζ(f) = α không phụ thuộc vào cách chọ điểm ζk cách chia [a,b] làa,b] tức ∀ɛ > 0, ∃Ϩ > , ∀T : |T| < Ϩ; ∀ζk Є [a,b] làtk-1 , tk] → |Ϩ ζ(f) – α| < ɛ giới hạn gọi tích f (z)dz phân hàm f γ ký hiệu  ý : z’(t) = x’(t) + i y’(t) u(x(t),y(t)) = u(z(t)) b f (z)dz  f (z(t)).z '(t)dt a nên ta có cơng thức tính tích phân sau:  I.2.3) Khái nhiệm chuỗi lý thuyết thặng dư số phức I.2.3a)Chuỗi số phức Cho dãy hàm biếnphức u1(z), u2(z), u3(z), xác định miền E Ta gọi biểu   un (z) thức: n1 = u1(z) + u2(z)+ … + un(z) (1) chuỗi hàm biến phức.Tổng n số hạng là: Sn(z) = u1(z) + u2(z) +⋅⋅⋅+ un(z) gọi tổng riêng thứ n chuỗi hàm (1) Nó hàm phức xác định miền   un (z0) E Nếu z = z0, chuỗi n1 hội tụ z0 gọi điểm hội tụ chuỗi hàm   un (z0) (1) Nếu z = z0, chuỗi n1 khơng hội tụ z0 gọi điểm phân kì chuỗi hàm (1) Tập hợp điểm hội tụ chuỗi hàm gọi miền hội tụ Nếu gọi f(z) tổng chuỗi (1) điểm hội tụ z f(z) hiển nhiên hàm biến phức xác định miền hội tụ G I.2.3b) Lý thuyết thặng dư số phức Giả sử z0 điểm bất thường cô lập hàm f(z) ,tức giả sử f hàm giải tích miền < |z – z0| < R xét tích phân Trang f (z)dz 2 i L L chu tuyến đóng nằm hình trịn |z – z0| < R hướng thèo chiều ngược kim đồng hồ chứa điểm z0 Theo định lý Cauchy tích phân không phụ thuộc vào đường cong L gọi thặng dư f điểm z0và ký hiệu Res f  z   f (z)dz Res( f , z0)  f (z)dz zz0 2 i L hay 2 i L II BÀI TẬP f(z)  (z  3i)5 II.1.a)Chứng minh rằng: hàm (z  2z  5) có hai cực điểm bậc 22 z = ± 2i cực điểm đơn vô cực Với z số phức Giải: f(z)  (z  3i)5 2 (z  3i)5 (z  2z  5) (z   2i) (z   2i)2 Hàm f(z ) có điểm bất thường z = + 2i z = – 2i lim  z  1 2i f (z)  lim  z  1 2i (z  3i)5 Xét z 12i z 12i (z  1 2i) (z  1 2i)2 lim (z  3i)5 (1 5i)2 2876 1900i 719 475i 0 2 2   = z12i (z  1 2i) (4i)  4 Do z = + 2i điểm cực bậc f(z) Tương tự ta có z = +2i điểm cực bậc f(z) + Tại z = ∞  2   3i  1 w  (1  3wi) z   f (z)  f    2 w w   w(5w  2w 1)       5 Đặt  w w  Rõ ràng w = điểm bất thường hàm f( w ) Trang 1 (1 3wi)5 (1  3wi)5 lim(w  0) f   lim(w  0) lim 2 1 0 Xét w  w  w w(5w  2w 1) w w(5w  2w 1) Do w = điểm cực đơn f( w ) hay z = ∞ điểm cực đơn hàm f(z) II.1.b)Cho ( x,y) = - x + y  x4 - y4 + 6x2y2 Tìm hàm giải tích f (z) cho   Re( f) Tìm Im(f ) Trang ezt  dz sin t II.2 Chứng minh rằng: 2i C z 1 , t > C: z  ; z số phức Giải: Trang II.3) Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy) a) Chứng tỏ u(x,y) hàm điều hòa miền D thích hợp Giải: Trang 10 Vậy u(x,y)có đạo hàm riêng cấp liên tục điểm ( x,y) thỏa phương trình Laplace nên u(x,y) hàm điều hịa b) Tìm hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích miền D Giải: c) Biểu diễn f câu (b) theo biến z Giải: Trang 11 C: KẾT LUẬN Đại lượng Vật Lý thể mặt định lượng chất Vật Lý đo lường vật thể hay tượng tự nhiên khối lượng, trọng lượng, thể tích, vận tốc, lực …Khi đo đạc đại lượng, giá trị đo số theo sau đơn vị đo, ta gọi đơn vị thứ nguyên đại lượng Vật Lý Các đại lượng Vật Lý chia thành hai loại: o Đại lượng vô hướng: Xác định đại lượng vô hướng nghĩa xác định giá trị Những đại lượng vô hướng không âm như: khối lượng, thể tích, thời gian, … có đại lượng vơ hướng mà giá trị âm hay dương như: điện tích điện thế,…Tính tốn đại lượng vô hướng tuân theo qui tắc đại số thông thường o Đại lượng hữu hướng (vectơ): Xác định đại lượng hữu hướng nghĩa xác định: điểm đặt,phương, chiều độ lớn vec tơ đặc trưng cho đại lượng Những đại lượng hữu hướng Vật Lý như: lực F , vận tốc v , gia tốc a , động lượng p , … Tính tốn đại lượng hữu hướng tuân theo qui tắc tính véctơ Các khái nhiệm hàm điều hịa số phức; tích phân hàm biến phức; chuỗi lý thuyết thặng dư số phức cần dùng cho Vật lý ngiên cứu Trên chúng em trình bày hiểu biết mơn TỐN CHO VẬT LÝ Trang 12 Tiểu luận khơng tránh khỏi thiết sót, kính mong đóng góp ý kiến bạn đọc thầy giáo để chúng tơi hồn thiện Trận trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn giúp chúng em hoàn thành tiểu luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng mơn TỐN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA Trường Đại học Khoa Học- ĐH Thái Nguyên PHỤ LỤC STT Nội dung Hoàn thiện A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG I LÝ THUYẾT I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ II BÀI TẬP C KẾT LUẬN Trang 13 ... Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng ;tích véc tơ kép tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ I.1.1 )Khái niệm véc tơ: Vectơ đoạn thẳng có? ??... véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng ;tích véc tơ kép tích hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ 2- Anh/chị tr? ?nh bày khái nhiệm hàm điều hịa số phức; tích. .. B NỘI DUNG I LÝ THUYẾT I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng ;tích véc tơ kép tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ số đại lượng vật lý có tính chất véc tơ II BÀI TẬP