CƠ học LƯỢNG tử , TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MOMEN ĐỘNG LƯỢNG

TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG. TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT DE I. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ II. TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT DE BROGLIE III. LÍ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR: IV.HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT V. SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG B. TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG I. TOÁN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG II. TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG III. HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG C: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================== TIỂU LUẬN TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG (Cơ học lượng tử) Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Xuân Ca Học viên thực hiện: Đỗ Thị Bích Bùi Thanh Vũ Ngọc Viễn Thái Bình, tháng 11/2021 Trang MỤC LỤC Tran g I SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ II TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT GIẢ THUYẾT DE BROGLIE III LÍ THUYẾT VỀ NGUN TỬ CỦA BOHR: IV.HÀM SĨNG CỦA HẠT VẬT CHẤT V SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG B TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG I TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG II TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG III HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG C: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC 3 4 5 10 11 11 Trang A.MỞ ĐẦU I SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Vật lí học cổ điển phần vật lí khơng kể đến thuyết tương đối Einstein thuyết lượng tử Planck, dựa hai hệ thống lí thuyết học Newton thuyết điện từ Maxwell Lí thuyết Newton sở cho học nhiệt học Lí thuyết Maxwell sở cho điện từ học quang học Vật lí học cổ điển cho kết phù hợp với thực nghiệm tượng vật lí mà người ta biết đến cuối kỉ XIX, hệ thống lí thuyết hoàn chỉnh chặt chẽ phạm vi ứng dụng cuả Nhưng cuối kỉ XIX trở sau, người ta thấy có tượng vật lí khơng thể giải thích lí thuyết vật lí học cổ điển, tính bền nguyên tử, xạ vật đen.v.v từ dẫn đên khái niệm - bước đầu việc phát triển môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cơ học lượng tử lí thuyết hệ nguyên tử hạt nhân, chúng có kích thước cỡ 10-10m đến 10-15m Những hạt có kích thước gọi hạt vi mô Ðối với hạt vi mô, quy luật vật lí học cổ điển khơng áp dụng nữa, nghiên cứu chúng ,ta phải thay quy luật cổ điển quy luật lượng tử.Các quy luật lượng tử tổng qt hơn, bao gồm quy luật cổ điển, coi quy luật cổ điển trường hợp riêng mà thơi II TÍNH CHẤT SĨNG CỦA HẠT VẬT CHẤT GIẢ THUYẾT DE BROGLIE Theo giả thuyết foton sóng điện từ có tính chất hạt Ta xem vấn đề ngược lại rằng: hạt vi mô (có khối lượng nghỉ khác khơng) có tính chất sóng không? Ðể giải vấn đề này, năm 1924 DeBroglie đưa giả thuyết rằng: Hạt tự có lượng ε xung lượng ur p tương đương với sóng phẳng lan ur r p k= h h= h 2π truyền khơng gian, có tần số ω = ε / ħ véc tơ sóng Trong h số Planck chung cho hạt Giả thuyết phù hợp với thực nghiệm hai nhà bác học người Mỹ (Davisson Germer) kiểm chứng năm 1927 Hai ông tiến hành thí nghiệm cho hạt electron khuếch tán tinh thể mà trước tiến hành thí nghiệm tia Rontgen (là sóng), kết qủa thu giống kết qủa tia Rontgen Ðiều chứng tỏ chùm electron (hơn electron) có tính chất sóng tia Rontgen Vậy sóng điện từ hạt vi mơ có tính chất sóng tính chất hạt (gọi lưỡng tính sóng- hạt) Quan niệm trái với ý nghĩ thông thường vật vĩ mô xung quanh Muốn hiểu giới vi mô, ta phải thay đổi quan niệm cũ Trang quan niệm đại cho dù có trái với ý nghĩ thơng thường ta Ta ý hạt vi mơ có tính chất hạt nên có đặc trưng lượng xung lượng; đồng thời có tính chất sóng nên có đặc trưng sóng tần số vec tơ sóng III LÍ THUYẾT VỀ NGUN TỬ CỦA BOHR: Năm 1911,Rutherford chứng tỏ nguyên tử gồm có hạt nhân tích điện dương, có kích thước nhỏ, xung quanh có electron chuyển động Nếu áp dụng định luật vật lí học cổ điển cho electron chuyển động xung quanh hạt nhân dẫn đến kết qủa sau: *Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân nên tương đương với dao động tử điều hòa với tần số dao động ω nên nguyên tử luôn trạng thái xạ tần số xạ có phổ liên tục nguyên tử xạ liên tục nên lượng giảm liên tục, bán kính qũy đạo electron giảm liên tục khoảng thời gian ngắn cỡ 10-10s electron rơi vào hạt nhân nguyên tử bị phá vỡ Các kết hoàn toàn mâu thuẫn với thực tế rằng: * Bình thường ngun tử khơng xạ Nếu bị kích thích nguyên tử phát xạ có tần số xác định, tức phổ xạ gián đoạn liên tục (quang phổ xạ nguyên tử quang phổ vạch) *Nguyên tử bền vững khơng có tượng electron rơi vào hạt nhân.Ðể giải thích ngun tử phát xạ có phổ gián đoạn bền vững nguyên tử, Bohr đưa giả thuyết rằng: - Bình thường nguyên tử trạng thái dừng Ở trạng thái dừng nguyên tử có lượng xác định gián đoạn, electron chuyển động quỹ đạo dừng xác định khơng xạ - Khi ngun tử bị kích thích, chuyển từ trạng thái dừng có lượng thấp En sang trạng thái dừng có lượng Em cao Khi ngừng kích thích , chuyển trạng thái có lượng thấp (En chẳng hạn), đồng thời phát xạ có tần số xác định Với giả thuyết kết hợp với học cổ điển, áp dụng cho nguyên tử, người ta thu kết phù hợp với thực nghiệm Người ta thừa nhận giả thuyết Bohr bước đầu dùng thuyết lượng tử để nghiên cứu nguyên tử IV.HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT Theo De Broglie hạt tự có khối lượng nghỉ m, lượng E, xung lượng p tương đương với sóng phẳng có tần số ω = E /ħ vecto sóng phẳng biểu diễn hàm phức (gọi hàm sóng)như sau: ur r i r − ( Et − p r ) h ψ (r , t ) = ψ 0e ur r p k= h Sóng (1) Trang r r Hàm sóng viết (1) phụ thuộc khơng gian thời gian, vecto tia xác định vị trí điểm khơng gian mà sóng truyền tới (hạt tới), cịn ψ0 tùy ý Hàm sóng thường tách hai phần: r r r ψ ( r ) ψ ( r ) ψ ( t ) ψ (r , t ) = , phần phụ thuộc không gian , ψ (t ) = e r r i − Et h phần phụ thuộc thời gian.Lưu ý ta kí hiệu biến thay cho biến (x,y,z) cho gọn Theo cách giải thích Born bình phương mơ đun hàm sóng tỉ lệ với mật độ xác suất tìm thấy hạt điểm xác định r r (điểm xét) r r Gọi ρ mật độ xác suất tìm thấy hạt có tọa độ thì:ρ ≈ |ψ|2 = ψ ψ* Gọi dw xác suất tìm thấy hạt thể tích dV dw = ρdV~ |ψ|2dV Trong dV = dx.dy.dz Cách giải thích Born thừa nhận khơng chứa mâu thuẫn V SỰ CHUẨN HĨA HÀM SÓNG ur r i r − ( Et − pr ) h ψ (r , t ) = ψ 0e Ta biết hàm sóng có dạng: Trong số ψ0 khơng phản ánh tính chất hạt,nên hàm sóng ta nhân thêm số mà chẳng ảnh hưởng đến trạng thái hạt Nghĩa chúng biểu diễn trạng thái.Ta thừa nhận điều tiên đề Ở ta có: ρ ≈ |ψ|2 Ta chọn số ψ0 cho phù hợp để nhân vào ta hàm ϕ để ta có ρ = |φ|2 Hàm ϕ gọi hàm chuẩn hóa, phải ∫ ρ dV = ∫ ϕ = thỏa mãn điều kiện sau: V V gọi điều kiện chuẩn hóa * ∫ ϕ dV = ∫ ϕ.ϕ dV = ψ V V ∫ψ ψ * dV = V Từ điều kiện chuẩn hóa ta suy ra: cơng thức dùng để tính hệ số chuẩn hóa ψ0 Ta ý thề tích co chiều dài (x chẳng hạn) tích phân tính theo x B TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG Trang I TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG Theo ngun lí tương ứng biến số động lực mơ men động lượng hệ mơ tả tốn tử mơ men động lượng là: r ur $ = (r × P) L Tốn tử có ba thành phần ba tốn tử hình chiếu ba trục tọa độ là: µ2 = ( L µ2 + L µ2 + L µ2 ) L x y z 2  ∂       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − h  y − z ÷ +  z − x ÷ +  x − y ÷  ∂y ÷ ∂ z   ∂ y ∂x ÷  ∂ z   ∂x    µ2 ; L µ ;L µ ;L µ L x y z Các toán tử gọi tốn tử mơ men động lượng, chúng có hệ thức quan trọng sau đây: Nghĩa hai hình chiếu mơ men động lượng khơng đo xác đồng thời, cịn hình chiếu bình phương mơ men động lượng đo xác đồng thời Ngồi người ta cịn đưa toán tử sau đây: Các toán tử tuân theo hệ thức sau Trong học lượng tử, giải toán tọa độ cầu lại đơn giản Vậy ta tìm dạng tốn tử mơ men động lượng tọa độ cầu để áp dụng chúng việc giải toán học lượng Trang Toạ độ cầu toạ độ có thơng số r, θ ,ψ ; chúng liên hệ với toạ độ Descarer sau: Vì biểu thức tốn tử mơ men động lượng có chứa đạo hàm theo tọa độ nên ta phải chuyển phép tính sang toạ độ cầu xét hàm f =f (r , θ, ϕ) ta có Ta có biểu thức tương tự cho: từ ta tính phép tính làm tương tự với θ ϕ , đưa vào tốn tửmơmen động lượng ta ∂  ∂  ∂2  2  ˆ L = −h  = −h2∇ (θ , ϕ )  sin θ ÷+ 2  ∂θ  sin θ ∂ϕ   sin θ ∂θ  ∇ (θ , ϕ ) Trong tốn tử gọi tốn tử Laplace cầu II TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG Ðể tìm trị riêng mơ men động lượng, riêng chúng Gọi ψ (θ, ϕ, r )là hàm riêng tốn tử Ta đễ dàng tìm Trong C số khơng phụ phụ thuộc r,θ Do ta viết lại nghiệm sau: µ L z µ L z chẳng hạn ta phải giải phương trình trị ta có phương trình trị riêng là: thuộc ϕ Trang Theo đòi hỏi vật lí nghiệm phải đơn giá nên ψ thay đổi góc 2π hàm sóng lại nhận giá trị cũ Tức Trong m số nguyên dương, âm hay không (m = 0; ±1; ±2) từ suy trị riêng hàm riêng tốn tử Ta có µ ,L µ  = −hL µ L +  + z Hay µ L z cách sau: µ L µ µ µ µ µ µ µ µ µ L + z − Lz L+ = − hL+ → L+ Lz + hL+ = Lz L+ Cho vế phương trình tốn tử tác dụng lên hàm riêng ψm =(r, θ, ϕ) µ2 L ta được: µ (L µ ψ ) + h( L µψ ) = L µ (L µψ ) L + z m + m z + m µ ψ ) + h( L µψ ) = L µ (L µψ ) ⇒ L µ (L µ ψ ) = h(m + 1)( L µψ ) mh( L + m + m z + m z + m + m → Nghĩa µ L + ψm hàm riêng ứng với trị riêng ħ(m +1) µ L z riêng ħ(m +1)của hàm riêng ψ m + ⇒ ψ m +1 ( thái vật lí nên khác số nhân nghĩa ( µ L z µ L + µ L + µ L z mặt khác ứng với trị ψm ) biểu diễn trạng ψm ) = const ψ( m +1) µ L z Vì m trị riêng nên m khơng thể vô được.Nghĩa m phải ngắt giá trị lớn Gọi ℓ giá trị lớn m µ L + ( ψℓ ) = const ψ( ℓ +1) = ⇒ ψ( ℓ +1) = ψ( ℓ +1) ≠ tồn giá trị m = ℓ + 1> ℓ Điều trái với điều nói Bây ta cho vế toán tử µ2 = L µ µL µ µ2 L − + + Lz + hLz tác dụng lên hàm ψℓ ta µ2ψ = L µ (L µ (L µψ )+ L µ ψ ) + h( L µψ ) L l − + l z z l z l Chú ý số hạng đầu vế phải khơng, ta được: Trang µ L + ψℓ = (ℓ2ħ2 + ℓħ2)ψℓ = ħ2(ℓ2 + ℓ)ψℓ mặt khác, theo định nghĩa phương trình trị riêng ta có: Với ℓ trị lớn m không.Từ ta thấy với giá trị xác định ℓ m có nhiều giá trị, giá trị số nguyên tử - ℓ đến + ℓ (kể giá trị 0) Như m có tất (2ℓ +1) giá trị Các số nguyên m gọi lượng tử số xác định độ lớn hình chiếu trục z mơmen động lượng, cịn ℓ gọi lượng tử số xác định độ lớn mơmen động lượng Điều có nghĩa độ lớn mô men động lượng bị lượng tử hoá theo số nguyên ℓ III HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG µ2 L µ L z Trong tọa độ cầu biểu thức toán tử chứa tọa độ θ, ϕ , đạo hàm riêng theo hai tọa độ Do hàm sóng (hàm riêng hai toán tử này), ta xác định phần phụ thuộc (θ, ϕ ) hàm sóng mà thơi Cịn phần phụ thuộc r coi chứa số nhân µ2 L µ L z Gọi ψmℓ ( r,θ, ϕ ) hàm riêng toán tử , ứng với trị riêng L2 = ℓ(ℓ + 1)ħ2 Lz = mħ hai toán tử, phần phụ thuộc θ ,ϕ , hàm sóng ta gọi hàm cầu, kí hiệu là:Yℓ m (θ,ϕ) Như hàm riêng hai toán tử viết là: ψmℓ ( r,θ, ϕ ) = C(r ) Yℓ m (θ,ϕ) µ2 L µ L z Vì tốn tử khơng phụ thuộc vào r nên phương trình trị riêng không cần viết phần phụ thuộc r cho đơn giản (coi chứa số ) Ta có phương trình trị riêng sau µ2 L Và Yℓ m = ℓ(ℓ + 1)ħ2 Yℓ m (6.1) µ L z Yℓ m = mħ2 Yℓ m (6.2) µ = −ih ∂ L z ∂ϕ Thay giải phương trình (6.2) ta dễ dàng tìm được: m imφ Yℓ (θ,ϕ) = C e Trong C hàm phụ thuộc θ ta đặt C(θ )= Kℓ m (θ) ⇒ Yℓ m (θ,ϕ) = Kℓm(θ).eimφ Đưa Yℓ m (θ,ϕ) vào phương trình (6.1) ý biểu thức Trang µ2 L toạ độ cầu ta phương trình: thực phép tính đạo hàm theoθ số hạng thứ theo ϕ với số hạng thứ hai, thực phép tính đơn giản ta phương trình Trong ta hiểu Kℓm = Kℓm( x) Tiếp tục biến đổi phương trình với ý sin2(θ) = - cos2(θ) = 1- x2 ta phương trình: Ta lưu ý x = cos(θ ) nên nghiệm phương trình hữu hạn tai x = ±1 Phương trình (6.3) phương trình Legendre liên kết nghiệm Kℓm phương trình đa thức liên kết Legendre với biến số cos(θ ) có dạng: Kℓ m (x) = Pℓmcos(θ) ⇒ hàm cầu Yℓ m (θ,ϕ) = const Pℓmcos(θ).eimφ Như muốn tìm hàm cầu Yℓ m (θ,ϕ) ta phải tìm Pℓmcos(θ) với cơng thức chứng minh là: Trong gọi đa thức Legendre bậc ℓ , nghiệm phương trình Legendre có dạng: Trong Y hàm phụ thuộc vào x Từ ta được: Trang 10 P0( x) = 1; P1( x) = x; P2( x) = (3x2 - 1); P3( x) = (5x3 – 3x) C: KẾT LUẬN Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học miêu tả lại tính chất vật lý tự nhiên cấp độ nguyên tử hạt hạ nguyên tử.Nó sở lý thuyết vật lý lượng tử bao gồm hóa học lượng tử, lý thuyết trường lượng tử, công nghệ lượng tử, khoa học thông tin lượng tử Làm tập việc làm tất yếu quan trọng trình học Vật lí nhằm củng cố lý thuyết học trau dồi kỹ thực hành Trong môn Cơ học lượng tử tập phù hợp với chuyên nghành đào tạo đại học sau đại học Qua tập tiểu luận giúp cho chúng em phần nắm lý thuyết tốn tử mơ men động lượng góp phần vận dụng vào việc nghiên cứu môn chuyên nghành Quang học Trên chúng em trình bày hiểu biết TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG môn Cơ học lượng tử Trang 11 Tiểu luận khơng tránh khỏi thiết sót, kính mong đóng góp ý kiến bạn đọc để chúng tơi hồn thiện Trận trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn giúp chúng em hoàn thành tiểu luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ giảng viên TS:NGUYỄN XUÂN CA Trường Đại học Khoa Học- ĐH Thái Nguyên PHỤ LỤC ST T A Nội dung MỞ ĐẦU I.SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ Hồn thiện Hv Đỗ Thị Bích Hv Bùi Thanh Thanh Hv Vũ Văn Viễn SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ II TÍNH CHẤT SĨNG CỦA HẠT VẬT CHẤT GIẢ THUYẾT DE BROGLIE III LÍ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR IV.HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT V SỰ CHUẨN HĨA HÀM SĨNG B I TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG II TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG III.HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG C KẾT LUẬN Hv Đỗ Thị Bích Hv Bùi Thanh Thanh Hv Vũ Văn Viễn Hv Đỗ Thị Bích Hv Bùi Thanh Thanh Hv Vũ Văn Viễn Trang 12 ... SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG B TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG I TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG II TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG III HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG C: KẾT... θ ∂θ  ∇ (θ , ϕ ) Trong tốn tử gọi tốn tử Laplace cầu II TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG Ðể tìm trị riêng mô men động lượng, riêng chúng Gọi ψ (? ?, ? ?, r )là hàm riêng toán tử Ta đễ dàng... hai toán t? ?, phần phụ thuộc θ ,? ? , hàm sóng ta gọi hàm cầu, kí hiệu là:Yℓ m (? ?,? ?) Như hàm riêng hai toán tử viết là: ψmℓ ( r,? ?, ϕ ) = C(r ) Yℓ m (? ?,? ?) µ2 L µ L z Vì tốn tử khơng phụ thuộc vào