Bài giảng toán học 10 chương VI §3 công thức lượng giác

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC http://kinhhoa.violet.vn 1.Cơng thức cộng: cos(a+b) = cosacosb - sinasinb cos(a-b) = cosacosb + sinasinb sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa Nhớ : tga  tgb tg (a  b)   tga.tgb tga  tgb tg (a  b)   tga.tgb cos thời cos cos, sin sin sin thời sin cos, cos sin tg tổng tổng tg ta phép chia trừ thừa tg tg hiệu hiệu tg http://kinhhoa.violet.vn phép chia cộng thừa tg vô Cụ thể : VT VP ngược dấu VT VP dấu tg ()  tg ()  tg  tg  tg tg tg  tg  tg tg Xét M , N mp tọa độ Oxy : y B sin tg M Q N F A’ -1 E α O β A P Vận dụng kiến thức học : r i  1;0  r j  0;1 r r i  j 1 + cotg cos r u   r j r i r u  ( p; q ) p2  q2 r v   a; b    r r r u  p.i  q j x uuur uuuu r B’ -1 ON ; OM      k 2 uuuu r OM   cos  ;sin   uuur ON   cos  ;sin   uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur OMhttp://kinhhoa.violet.vn ON  OM ON cos OM ; ON y rr r r r r u.v  u v cos u; v    rr u.v  p.a  q.b K x cos  cos   sin  sin   cos   sin  cos   sin  cos      k 2  cos  cos   sin  sin   1.cos �       k 2 � � � cos  cos   sin  sin   cos      cos       cos �      � � � cos  cos      sin  sin     cos       cos  cos   sin  sin  sin      sin  cos   sin  cos  tg        cos      cos  cos   sin  sin  sin  cos  sin  cos  sin  sin    cos  cos  cos  cos  tg  tg  cos  cos     cos  cos  sin  sin  sin  sin   tg tg   1 cos  cos  cos  cos  cos  cos  tg  tg  tg        tg tg  tg  tg  tg  tg     tg       tg �      �  � �  tg tg      tg tg  http://kinhhoa.violet.vn Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào nhớ cotg nghịch đảo tg Ví dụ : Tính cos150 cotg2150 Giải cos150  cos  450  300   cos 450 cos 300  sin 450 sin 300 sin 150   cos 150  �6 2� 8 2 4 2  1 �      � � � 16 4 � � 2 2 2 2 sin15   sin 15  4 cotg 15  1 sin 15    4 2 2 2 1  1  1    2 2 2 2 2 1 http://kinhhoa.violet.vn  Ví dụ : Tính sin Giải     �  � cos �  � cos cos  sin sin 8 8 �8 �  �  �    cos  cos  sin �  sin � sin 8 � 8�   cos   2sin   cos 2 2  sin    2 sin  http://kinhhoa.violet.vn �  � 0  � � � 2� Công thức nhân đôi : sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos2α – sin2α = 2cos2α – = – 2sin2α 2tg tg 2   tg 2 Nhớ : sin cặp cặp sin cos hai lấy hiệu bình sin bình thêm hai cos bình trừ nhất trừ hai sin bình tg nhị nhị tg anh phép chia trừ bình tg Chứng minh : Vận dụng công thức sin(α+β), cos(α+β) tg(α+β) Cụ thể : sin 2  sin(   )  sin  cos   sin  cos   sin  cos  cos 2  cos(   )  cos  cos   sin  sin   cos   sin  tg  tg 2tg tg 2http://kinhhoa.violet.vn    tg tg  tg 2 a Hệ 1:  cos 2 cos    cos 2 sin    cos 2 tg    cos 2 Nhớ : cos bình khơng biết chi ? mẫu hai, tử tổng cos hai Chứng minh : Vận dụng công thức nhân đôihttp://kinhhoa.violet.vn ta hệ qủa b Hệ 2: Các cơng thức sau cho phép tính cosα, sinα tgα  theo t  tg ,  �  k 2 2t sin   1 t2 1 t2 cos   1 t2 2t tg  1 t2 Chứng minh : Ta có :     2sin cos 2sin cos   2  2 sin   2sin cos  2     sin  cos sin  cos 2 2  2tg 2t sin   sin   2   t  tg   cos 2  cos    sin cos    cos cos 2 2sin  2 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 cos  sin cos  sin cos cos   2  2  2 cos   cos  sin  2 2 2 2 2 cos  sin cos sin 2 2 2 2  cos cos  tg  t 2 cos   cos    1 t  tg http://kinhhoa.violet.vn 2 Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau : Giải  cos x M  sin x M    sin x   sin x x tg  2  sin x   sin x x Áp dụng hệ qủa : đặt t  tg  2 2t sin x    2 1 t �1 � 1 � � �2 � http://kinhhoa.violet.vn �4 � 4� � � 58 � M  95  Công thức biến đổi : a Cơng thức biến đổi tích hàm số lượng giác thành tổng : sin  sin    � cos       cos      � � � cos  cos   � cos       cos      � � � sin  cos   � sin       sin      � � � Nhớ : tích sin tích nửa âm đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ Chứng minh : Vận dụng công thức cộng cộng http://kinhhoa.violet.vn trừ vế theo vế Ví dụ : Tính Giải  2 M  cos cos 5 � � 2 � � � 2 � M � cos �  � cos �  � � � �5 � �5 � � � 3 � � 3 � � � M � cos  cos �  �  � cos  cos � � 2� 5� �5� � 2� �  � 3  �� �  3  � 2sin cos  cos 2sin cos  2sin cos � � � � 1� 5� � 5 � � � M � �   2� � 2� � 2sin 2sin � � � � � � � � 4 sin �  � sin � 4 2 2 � � 5�   M  sin  sin  sin � �    � 5 � 4sin 4sin 4sin  5 sin http://kinhhoa.violet.vn M   4sin b Công thức biến đổi tổng hàm số lượng giác thành tích : Nhớ : cos ‘+’ cos cos cos     cos   cos   cos cos 2     cos   cos   2sin sin cos ‘-’ cos ‘-’ sin sin 2     sin   sin   2sin cos sin ‘+’ sin sin cos 2     sin   sin   cos sin sin ‘-’ sin cos sin 2 sin      tg  tg   cos  cos  sin      tg  tg   http://kinhhoa.violet.vn cos  cos  Cụ thể : Chữ cuối lên giọng VT tổng, xuống giọng VT hiệu Ở VP đọc trước tổng chia đôi, đọc sau hiệu chia đôi Chứng minh :  sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb   Đặt : a α=a+b β=a–b   b       � �      �   �   sin � �  � sin � � �      sin   sin   2sin cos 2 Áp dụng tương tự với hàm khác http://kinhhoa.violet.vn � 2sin �   cos Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau M = sinx – sin2x + sin3x Giải 3x  x 3x  x M = sin3x + sinx – sin2x = 2sin – sin2x cos 2 M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx) 2x  x 2x  x � � M  cos x � cos sin � 2 � � x 3x M  4sin cos x cos 2 Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150 Giải sin  750  150  sin 600 N  0 0 cos 75 cos15 cos 75 cos15 http://kinhhoa.violet.vn cos       cos      � Vận dụng công thức : cos  cos   � � � Với α = 750 , β = 150 vào ta kết : 2sin 600 sin 600  N 0 1� 0 0 cos 90  cos 60 cos 75  15  cos 75  15 � 2�    � 2sin 600 N  tg 60 2 cos 60 Mở rộng cho công thức sau : � � � �   � cos �  � i sin   cos   sin � � 4� � 4� � � � �   �  cos �  � ii sin   cos   sin � � iii sin3α = 3sinα – 4sin3α iv.http://kinhhoa.violet.vn cos3α = 4cos3α – 3cosα 4� � 4� Chứng minh : �2 � 2 sin   cos  sin   cos  �    2� i VT  � � 2 � �  � �  � � VT  � cos sin   sin cos  � sin �  � � � � 4�  �  � � VT  � sin sin   cos cos  � cos �  � � � � � 4� ii Tương tự cho sinα - cosα  iii sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α = 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α) = 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α) = 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α sin3α = 3sinα – 4sin3α http://kinhhoa.violet.vn iv Tương tự cho cos3α Bài tập củng cố : Tính: A = sin100sin300sin500sin700 Giải : A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200) A = sin100sin300 cos400cos200 A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300 A.cos10  sin 200 cos 200 cos 400 A.cos10  sin 400 cos 400 A.cos10  sin 800 0 A.cos10  sin(90  80 ) 1 0 A A.cos10  cos10 http://kinhhoa.violet.vn 8 Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800 Giải : B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800 B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800 B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) + (cos800 – cos800 ) + cos1800 B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1 3.Ví dụ :CMR : Giải : tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC Theo giả thiết, A,B,C góc tam giác, ta có: A+B+C= π A+B=π–C http://kinhhoa.violet.vn tg(A + B) = tg(π – C) tgA  tgB  tgC  tgA.tgB tgA  tgB  tgC   tgA.tgB  tgA  tgB  tgC  tgC tgA.tgB tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC (đpcm) 4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân B khi: sin B  cos A (1) sin C Giải : (1) sin B  2sin C.cos A  � sin  C  A   sin  C  A  � � � Mà : A + B + C = π C +A=π – B sin  C  A   sin    B   sin B sin  C  A   Do : sin B  sin B  sin  C  A  � � http://kinhhoa.violet.vn AC Tam giác ABC cân B HTTP://KINHHOA.VIOLET.VN http://kinhhoa.violet.vn ... http://kinhhoa.violet.vn iv Tương tự cho cos3α Bài tập củng cố : Tính: A = sin100sin300sin500sin700 Giải : A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200) A = sin100sin300 cos400cos200 A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300... cos100sin100cos200cos400sin300 A.cos10  sin 200 cos 200 cos 400 A.cos10  sin 400 cos 400 A.cos10  sin 800 0 A.cos10  sin(90  80 ) 1 0 A A.cos10  cos10 http://kinhhoa.violet.vn 8 Tính : B = cos200... x    2 1 t �1 � 1 � � �2 � http://kinhhoa.violet.vn �4 � 4� � � 58 � M  95  Công thức biến đổi : a Cơng thức biến đổi tích hàm số lượng giác thành tổng : sin  sin    � cos    