Bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HỒNG QU€ HƯèNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC HÀ N®I - NĂM 2016 HỒNG QU€ HƯèNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Chuyên ngành: Giái tích Mã so: 60.46.01.02 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYN VN MắU H NđI - NĂM 2016 Mnc lnc Lài má đau Mđt so khỏi niắm c bỏn 1.1 Cỏc khỏi niắm bãn 1.1.1 ieu kiắn Hoă lder 1.1.2 Chi so cua hàm so 1.1.3 B¾c cua hàm so 1.1.4 Đ%nh nghĩa tích phân dang Cauchy 1.2 Bài toán biên Riemann 1.3 Toán tu Schwarz 1.3.1 Đ%nh nghĩa 1.3.2 Bài tốn xác đ%nh m®t hàm giãi tích có m®t cnc điem vái đieu ki¾n giá tr% thnc nam chu tuyen Bài toán biên Hilbert 2.1 Thùa so quy hóa 2.1.1 Khái ni¾m 2.1.2 Cách xác đ%nh loai thùa so quy hóa 2.2 Các dang toán biên Hilbert 2.2.1 Bài toán thuan nhat 2.2.2 Bài tốn khơng thuan nhat 2.2.3 Bài toán đưàng tròn đơn v% 2.2.4 Bài tốn cho mien ngồi đưàng tròn đơn v% 2.3 Moi liên h¾ giua tốn biên Hilbert toán biên Riemann M®t so dang phương trình tích phân kỳ d% liên quan 6 9 10 11 12 13 17 17 17 18 23 23 24 26 27 30 35 3.1 3.2 Moi quan h¾ cua phương trình tích phân kỳ d% đ¾c trưng vái nhân Hilbert toán biên Hilbert 35 Các dang phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert 37 3.2.1 Phương trình thuan nhat 37 3.2.2 Phương trình khơng thuan nhat 40 3.2.3 Phương trình vái h¾ so hang 43 Ví dn áp dnng 46 4.1 Bài tốn biên Hilbert 46 4.2 Phương trình tích phân kì d% 51 Ket lu¾n 56 Tài li¾u tham kháo 57 Lài má đau Bài tốn tìm m®t hàm giãi tích mđt mien xỏc %nh tự hắ thỳc liờn hắ giua phan thnc phan ão cua giá tr% biên cua hàm, lan đau tiên đưac đưa tn v¾y, Hilbertvào năm xây dnng tốn sau:biên Tìm Riemann hàm F (z) = bãi G F David B Riemann 1857, m®t đưacbài GQI tốn + Tương u(z) + iv(z) hàm giãi tích mien đơn liên D giái han bãi chu tuyen L liên tnc D+ ∪ L, vái đieu ki¾n biên a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) a(t), b(t) c(t) nhủng hm thnc liờn tnc Hoălder trờn L Bi toỏn thu®c vào nhóm nhung tốn giá tr% biên bãn cua hàm giãi tích, m®t nhung toán lâu đài nhat cua dang thưàng đưac GQI tốn biên Hilbert Mnc đích cua lu¾n văn nghiên cúu dang bãn thú hai cua tốn biên cua hàm giãi tích láp phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert tương úng Tiep theo, khão sát m®t so van đe liên quan hő tra cho vi¾c giãi tốn biên Hilbert tốn tu Schwarz, thùa so quy húa, Nđi dung chớnh cua khúa luắn ac chia lm bon chng Ô Chng 1: Mđt so khỏi niắm v kien thỳc b tra Ô Chng 2: Bi toán giá tr% biên Hilbert cho mien đơn liên, khão sát nghi¾m cua tốn thuan nhat, tốn khơng thuan nhat, tốn cho mien mien ngồi đưàng trịn đơn v% thơng qua thùa so quy húa v chi so cua hm so Ô Chng 3: Phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert Tù nghi¾m cua tốn giá tr% biên Hilbert suy nghi¾m cua phương trình tích phân kỳ d% tương úng tính chat bãn cua phương trình vỏi nhõn Hilbert Ô Chng 4: p dnng bi tốn biên Hilbert giãi m®t so phương trình tích phân liên quan LèI CÁM ƠN Trưác trình bày nđi dung chớnh cua luắn vn, em xin by từ lịng biet ơn sâu sac tái GS.TSKH Nguyen Văn M¾u ngưài t¾n tình hưáng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày tõ lịng biet ơn chân thành tái tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, Trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên, Đai HQC Quoc Gia H Nđi ó day bóo em tắn tỡnh suot q trình HQC t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưac gui lài cãm ơn chân thành tái gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp em suot q trình HQC t¾p thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p Em xin chân thành cãm ơn! Hà N®i, ngày 14 tháng 08 năm 2016 HQC VIÊN Hoàng Que Hưàng Chương Mđt so khỏi niắm c bỏn Trong chng ny, lớ thuyet ve tốn biên Riemann đưac trình bày vái đa so kí hi¾u đưac dùng sách cua F D Gakhov [1] Dưái m®t so kien thúc chuan b% 1.1 1.1.1 Các khái ni¾m bán ieu kiắn Hoă lder Gió su l chu %nh ngha cơLbãn dưáituyen trơn ϕ(t) tham so hóa tQA đ® cua L Ta có đ Đ%nh nghĩa ϕ(t)Lđưac GQI l thừa ieu kiắn Hoălder neu vỏi MQI c¾p điem phân1.1 bi¾t Hàm tùy ý đeu có λ | ϕ (t1 ) − ϕ (t2 )| ≤ A|t1 t2 | (1.1) Hoălder (0 < ) A λ so dng A ac GQI l hang so Hoălder, ac GQI chi so Vái λ > (1.1) trã thành ϕ(t 1) − ≤ A|t1 − t2|λ−1 ϕ (t2 ) t1 − t2 lay t1 → t2 talàđưac ϕJ (t2 ) L=suy vái MQI t2 thu®c mien xác đ %nh.giái Khihan đó, hai ϕ(t)velàkhi hang so (túc chu tuyen bien thành điem) Do đó, lu¾n văn này, ta xét trưàng hap < λ ≤ Vái λ = đieu ki¾n đưac GQI đieu ki¾n Lipschitz √√ √ t1 + t 2 Ví dn 1.1 Xét hàm ϕ ( t ) = sin t t ≥ 0) Ta có | tsin t − sin t cos √ √ sin |(vái= − t2 √ √ √ √ 2 t1 − t2 | ≤ | t1 − t2 √ = √ t + 1/2 ≤ 2| t1 − t | t2 Do hàm ϕ thõa mãn đieu kiắn Hoălder vỏi hang so A = v chi so λ = 1/2 Ví dn 1.2 Ta xét hàm 1/ln t vái < t 1/2 ≤ (t)0= vái tϕ= Do lim tλln t = ∀λ > t→ nên vái MQI hang so A, λ, ton tai t đu nhõ cho | − | |− | λ ln t Cho nên hm xỏc %nhnh trờn khụng thừa ieu kiắn Hoălder (t) ϕ(0) = .mãn >A x0 1.1.2 Chí so cúa hm so Cho L tiờu l mđt khụng triắt trờnchu L tuyen đóng, đơn, trơn G(t) hàm so liên tnc Đ%nh nghĩa Chi soLcua so hi¾u G (t)Ind DQC theo chu tuyen L ty so đ® tăng DQC theo 1.2 chu tuyen váim®t 2π hàm Ta ký G (t) chi so cua hàm G (t) trưãng (so gia) cua argumen cua chuyen đ®ng het mđt lat (theo chieu dng) Ký hiắu [ ] L so gia cua ω DQC theo L chi so cua G (t) đưac viet dưái dang κ = IndG(t) = [arg G(t)]L 2π Chi so de dàng tính đưac thơng qua sn bien thiên logarit cua hàm so; túc ln G(t) = ln |G(t)| + i arg G(t) Sau chuyen đ®ng DQC theo L, |G (t)| trã lai giá tr% ban đau V¾y nên [arg G(t)]L = [ln G(t)]L, i v¾y mà κ= [ln G(t)] 2iπ Chi so có the tính theo tích phân (hieu theo nghĩa Stieltjes) ∫κ 1∫ = IndG(t) = d arg G(t) = 2π 2πi L L dln G(t) Ví dn 1.3.iθXét hàm G(t) = tn chu tuyen đưàng tròn đơn v% đưac tham so hóa bãi t = e , ≤ θ ≤ 2π Khi đó, G(t) = tn = einθ Do đó, 1 κ = IndG(t) = [ln G(t)]L = 2nπ = n 2πi 2π Tù đ%nh nghĩa ta thay: Vì hàm G ( t ) liên argumen DQC theo chu tuyen đóng se b®i cua 2π tnc V¾ynên nênso ta gia có cua 1.Chi so cua m®t hàm so liên tnc chu tuyen khơng triắt tiờu trờn ú luụn l mđt so nguyờn 2.Chi so cua tích hai hàm bang tőng chi so, chi so cua thương hai hàm bang hi¾u chi so tương úng Giã su hàm G(t) khã vi giá tr% biên cua hàm giãi tích bên ho¾c bên ngồi chu tuyen L Khi ∫κ = 2πi L ∫ GJ (t) dln G(t) = G (t) dt 2πi L Đây làtath¾ng logarit cua hàm so G (t)chi Tùsođ%nh lý ve th¾ng dư logarit, suy radư tính chat sau cua 3.Neu (t) chi giá tr% biên cua so hàm giãi tích bên ho¾cho¾c bên ngồi chu tuyen,Gthì so cua bang khơng điem tù bên so khơng điem tù bên ngồi lay dau âm 4.Neu G(t)(có giá biên cua hàmthì giãichi tích chuhi¾u tuyengiua trù so huu han điem the tr% cnc điem) so bên cua bang khơng điem so cnc iem (ke có bđi) ieu kiắn biờn cua toán đưac viet dưái dang Re [F(t) (a − ib)] = c(s) ⇔ Re [F(t) eit2 ] = ecos s cos(sin s) Hàm khơng có 0- điem cncisđiem so κ = Đ¾t cos s + i sin s = e = z, |z| = Ta có ez = e(cos s+i sin s) = ecos s ei sin s = ecos s(cos(sin s) + i sin(sin s)) = ecos s cos(sin s) + i ecos s sin(sin s) ecos s cos(sin s) = Re ez suy theo tính nhat cua hàm giãi tích xác đ%nh bãi tích phân Schwarz, ta có S (ecos s cos(sin s)) = ez Như v¾y, nghi¾m cua tốn có dang F(z) eiz2 = S (ecos s cos(sin s)) + iβ0 ⇒ F(z) = e−iz2 (ez + iβ0), β0 = Im F(0) Ví dn 4.4 Giãi tốn Hilbert cho đưàng trịn đơn v% Giãi cos s u(s) − + (sin s ) v(s) = cos 2s + h Ta có a ib = cos s + i sin s + − i =t+ i Đieu ki¾n biên cua tốn có dang Σ F(t ) Re = c(s) a + bi Σ ⇔ Re [F(t)F((ta) − ib)] = c(s) Re cos 2s h Σ⇔ Σ = (t + i )−1 Hàm so có m®t cnc điem bên đưàng trịn đơn v% nên hàm so có chi so κ = −1 Đ¾t z = cos s + i sin s, Tù đó, ta có |z| = cos 2s + h = Re[z2 + h], theo tính nhat cua hàm giãi tích xác đ%nh bãi tích phân Schwarz, ta có S(cos 2s + h) = z2 + h Khi nghi¾m cua tốn có dang i Hay F(z) = + −1 [S(cos 2s + h) + iC] ) (z i F(z) = (z Do C tùy ý nên CHQN C = −1 + (z2 + h + iC) ) Vì chi so cua toán κ = −1 < nên toán chi giãi đưac cnc điem z = đưac loai bõ Đe có đieu ta CHQN h = Khi i i F(z) = (z + ) i (z + ) −1 i i = (z + )−1(z + )(z − ) 2 i =z− Im F(0) = · 2 , 4.2 Phương trình tích phân kì d% Ví dn 4.5 Giãi phương trình tích phân kỳ d% khơng thuan nhat cho đưàng tròn đơn v% ∫−sin s (cos s + 2)u(s) 2π π u(σ) cot σ −s Giãi Ta có tốn biên Hilbert tương úng dσ = sin s a1(s)u(s) + b1(s)v(s) = c1(s) ⇔ (cos s + 2)u(s) + sin s v(s) = sin s (∗) Ta có = (cos s + 2)2 + sin2 s = + cos s ƒ= a12 + b Phương trình (∗) tương đương vái cos s + sin s u (s ) + v(s) = Xét bieu thúc 5+4 5+4 cos s cos s a − ib = sin s + cos s cos s − i sin s + e−is +2 = · + cos s + 2(eis + e−is) Đ¾t cos s + i sin s = eis = t, |t| = + t− 2t + a − ib = = 2t2 + 5t = + 2(t + t − ) +2 Đieu ki¾n biên cua toán đưac viet dưái dang Re [F(t) (a− ib)] = c(s) Σ Σ F (t ) sin s ⇔ Re = · Hàm có chi so κ = t+ Tù · + cos s sin s Σ+ i F(z) = (z + 2Σ ) S Σβ0 + cos s t+2 ·  ∫ 2π  = ( z + 2) eiσ + z sin σ  2π 5+4 cos σ eiσ −z dσ + iβ  cos σ + i sin σ = eiσ = τ, |τ| = τ +1 ; σ = cos σ sin 2τ Đ¾t τ2 − 2iτ = dτ ∫  F(z) = (z + 2) 2iπ | τ| Ta có 2π 1∫ τ −   sin σ dσ + iβ  i(2τ2 + 5τ + 2) τ − z − 2π + cos σ 2π ∫ =1    2i π nên F Xét tích phân (z) = + (z 2) = dσ = ∫ τ2 − |τ | i(2τ2 + 5τ =1 + 2) 0 dτ τ− z + iβ τ2 − 1 ∫ 2iπ sin σ dτ i(2τ2 + 5τ τ − z | τ| =1 + 2) −i τ dτ ∫ i + dτ ∫ 2iπ ta thu đưac | τ| 2τ + =1 F+ (z) = τ− z i ; 2i π τ−z | τ| τ+ =1 iz F−(z) = · z+ Do 2z + F(z) = (z + 2)( i +i z+2 ), β β0 = Im F(0) = −1 Suy i F(z) = (z + 2)( − i) = i − i(z + 2) = −iz − i z+ s ta thu đưac Thay giá tr% z = cos s + i sin Khi F(z) = −i(cos s + i sins) − i = sin s − i(cos s + 1) u(s) = Re F(z) = sin s V¾y nghi¾m cua phương trình tích phân kỳ d% : u(s) = sin s Ví dn 4.6 Giãi phương trình tích phân kỳ d% khơng thuan nhat cho đưàng trịn đơn v% π ∫−sin s − cos s u(s) 2π u(σ) cot σ dσ = cos s (5 + sin s) −s Giãi Ta có tốn biên Hilbert tương úng a2 (s)u(s ) + b2(s )v(s ) = c2(s ) ⇔ cos s u(s) + (sin s − 2) v(s) = cos s (5 + sin s) (∗∗) Ta có 2 = cos2 s + (sin s − 2)2s = − sin s ƒ= a22 + b Phương trình (∗∗) tương đương vái cos s sin s − cos s(5 + sin s) ( ) + ( ) = · u s v s 5−4 5−4 − sin s sin s sin s Xét bieu thúc cos s − i sin s + i 2eis − − sin s · a − ib = −2e2is + 5eis + Đ¾t cos s + i sin s = eis = t, |t| = i − 2t = · a − ib = t − 2i −2t + 5it + Đieu ki¾n biên cua tốn đưac viet dưái dang Re [F(t) (a − ib)] = c(s) Σ Σ F ( t) cos s(5 + sin s) ⇔ Re = · t − 2i − sin s Hàm có chi so κ = Tù cos s(4 sin +Σ4ssin sΣ)− Σ 5− +i F(z) = (z 2i ∫ β0)  S  2π cos σ (5 + sin σ ) eiσ + z  = (z − 2i) 2π 5−4 sin σ eiσ − z dσ + iβ  cos σ + i sin σ = eiσ = τ, |τ| = τ +1 ; σ = sin 2τ cos σ Đ¾t τ2 − 2iτ =   F (z) = (z − 2i)  2iπ ∫ (τ + 1)(τ + 2i)(2τ τ| + i) | τ(τ − 2i)(i − 2τ) =1 dτ τ− z  2π − Ta có 2π ∫cos σ(5 + sin σ) 2π dσ + iβ  − sin σ ∫ cos σ(5 + nên dσ = sin σ) 2π − sin σ ∫ 2i F (z) = (z − 2i ) π (τ + 1)(τ + 2i)(2τ + i) | τ| d τ   + iβ0 τ −z  τ(τ − 2i)(i − 2τ)    =1 Xét tích phân ∫ 2iπ | τ| (τ + 1)(τ + 2i)(2τ dτ + i) τ− z τ(τ − 2i)(i − 2τ) =1 = (−τ − 5i) ∫ 2iπ dτ | + −3τ − i dτ + 10 dτ , τ|=1 τ− z 2i π ∫ | τ| =1 ta thu đưac F+ (z) = (−z − 5i) + τ( i − 2τ) 10 τ− z 2i π ∫ | τ| =1 ; F−(z) = 3z + i · τ− 2i τ−z Do z− 2i z(i − 2z) 10 F(z) = (z − 2i) Σ(−z − 5i) + + iβ Σ z− = (z − 2i)(−z − 5i) + 2i 10 + (z − 2i)iβ0 = −z2 + z(3i + iβ0) + 2β0 Thay giá tr% z = cos s + i sin s ta thu đưac F(z) = − cos 2s + sin s − β0(sin s − 2) + i(− sin 2s − cos s + β0 cos s) Khi u(s) = Re F(z) = − cos 2s + sin s − β0(sin s − 2) V¾y nghi¾m cua phương trình tích phân kỳ d% là: u(s) = − cos 2s + sin s − β0(sin s − 2), β0 = Im F(0) = K€T LU¾N Lu¾n văn trình bày ket quã sau: - Phát bieu chúng minh chi tiet m®t so đ%nh lý đoi vái toán giá tr% biên Hilbert phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert tương úng Đong thài, trình bày m®t so ví dn minh HQA - Su dnng thùa so quy hóa chi so cua hàm so đe bi¾n lu¾n nghi¾m cua tốn giá tr% biên Hilbert phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert tương úng - Trình bày cách giãi toán Hilbert cho mien đơn liên, cn the cho trưàng hap đưàng tròn đơn v% - Khão sát phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert thơng qua nghi¾m cua tốn biên Hilbert, tù có the tìm đưac tính chat bãn cua phương trình tích phân kỳ d% tương úng Tài li¾u tham kháo [1] Gakhov F.D (1990), Boundary value problems, Dover Pub., Inc., New York [2]Nguyen Van Mau (1997), Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Space, VNU Pub Ha Noi [3]Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer ... 35 3.1 3.2 Moi quan h¾ cua phương trình tích phân kỳ d% đ¾c trưng vái nhân Hilbert toán biên Hilbert 35 Các dang phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert 37 3.2.1 Phương trình thuan nhat... Chng 3: Phương trình tích phân kỳ d% vái nhân Hilbert Tù nghi¾m cua tốn giá tr% biên Hilbert suy nghi¾m cua phương trình tích phân kỳ d% tương úng tính chat bãn cua phương trỡnh vỏi nhõn Hilbert. .. 3.2.2 Phương trình khơng thuan nhat 40 3.2.3 Phương trình vái h¾ so hang 43 Ví dn áp dnng 46 4.1 Bài toán biên Hilbert 46 4.2 Phương trình tích phân