Luận văn thạc sĩ tính nhị phân mũ đều của họ các phương trình vi phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HOC PHAM TUAN ANH TÍNH NH± PHÂN MŨ ĐEU CUA HO CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HOC PHAM TUAN ANH TÍNH NH± PHÂN MŨ ĐEU CUA HO CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 02 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Hà N®i - Năm 2015 Mnc lnc Lài cam ơn ii Lài nói đau iii Kien thÉc chuan b% 1.1 Tốn tu tien hóa cna phương trình vi phân 1.2 Đ%nh lý điem bat đ®ng 1.3 Toán tu ngh%ch đao 1.4 Công thúc bien thiên hang so 1.5 Bő đe Gronwall-Bellman 2 Nh% phân mũ rài rac 2.1 Nh% phân rịi rac cna h¾ phương trình sai phân 2.2 Bat thúc kieu Gronwall ròi rac 2.3 Moi liên h¾ nh% phân mũ rịi rac giua hai h¾ sai phân Nh% phân mũ đeu 17 3.1 Nh% phân mũ đeu cna h¾ phương trình vi phân 17 3.2 Moi liên h¾ giua nh% phân mũ rịi rac nh% phân mũ đeu 20 3.3 Nh% phân mũ đeu phu thu®c tham so 22 3.4 Đa tap tích phân 29 Ket lu¾n 32 Tài li¾u tham khao 33 i Lài cam ơn Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ cna gia đình, Thay ban bè Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, Thay rat nhi¾t tình hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Thay day cho tơi cách làm vi¾c cách tn nghiên cúu cách seminar Tơi xin gui lịi cam ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Khiêm - Giang viên khoa Tốn Tin trưịng Đai HQ c Sư pham Hà N®i, Thay đong hành buői seminar Thay chi bao thêm cho nhieu kien thúc Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca Thay Khoa, đ¾c bi¾t GS TS Nguyen Huu Dư, PGS TS Hoàng Quoc Toàn, PGS TS Đ¾ng Đình Châu, nhung ngưịi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban Chn nhi¾m khoa Tốn - Cơ - Tin Đai HQc trưịng Đai HQ c Khoa HQ c thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn HQc, Phịng sau Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn Lài nói đau Khái niắm nh% phõn m l mđt chn e chớnh lý thuyet phương trình vi phân tuyen tính đ¾c bi¾t huu ích ngưịi ta giai quyet tốn phi tuyen mà phan tuyen tính có nh% phân mũ M®t nhung tính chat quan TRQNG cna nh% phân mũ tính vung Tính vung nghĩa khơng b% thay đői boi nhieu cna ma tr¾n h¾ so Nói rõ hơn, gia su phương trình vi phân tuyen tính x = A(t)x có nh% phân mũ đeu, o A(t) hàm ma tr¾n thnc liên tuc theo t cõ d ×d Neu B(t) hàm ma tr¾n thnc liên tuc theo t cõ d × d sup |B(t) − A(t)| ≤ δ0 đn nho phương trình y = B(t)y có nh% phân mũ đeu t Xu hưóng gan đây, nhà tốn HQ c khơng đ¾t lên đieu ki¾n cna ma tr¾n h¾ so mà lai đ¾t lên dịng sinh boi phương trình, túc đ¾t lên tốn tu tien hóa Trong lu¾n văn khơng chi xét hắ n gian x = A(t)x m xột thuđc tham so HQ phương trình vi phân phu x = A(t; λ)x, λ tham so Trong lu¾n văn này, chúng tơi chúng minh chi tiet moi liên h¾ nh% phân mũ đeu giua HQ phương trình vi phân x = A(t; λ)x phu thu®c tham so vói h¾ y = B(t)y Ý tưong chúng minh tính liên tuc cna nh% phân mũ đeu cho HQ phương trình vi phân se chuyen ve nh% phân mũ rịi rac cna phương trình sai phân Đe làm rõ đưoc chúng minh trên, chúng tơi tìm hieu cách chúng minh cna nhà toán HQ c sau Coppel chúng minh đ%nh lý nhieu ket qua lai o múc đ® đơn gian (xem [3]) Palmer chúng minh đ%nh lý nhieu m®t cách tőng quát (xem [7]) tương đương đ%nh lý nhieu cna Henry (xem [5]), cách chúng minh cna Palmer khác cna Henry Trong luắn ny chỳng tụi cho mđt úc long hiắn liên quan đen đ%nh lý nhieu cna Henry cho nh% phân mũ làm rõ đieu ki¾n biên cna h¾ so Vì v¾y ket qua tot so vói đ%nh lý nhieu cna Henry Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: • Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương nhac lai kien thúc ban mà chúng minh o chương sau can dùng Các kien thúc chuan b% gom có tốn tu tien hóa cna phương trình vi phân, đ%nh lý điem bat đ®ng, tốn tu ngh%ch đao, công thúc bien thiên hang so Bő đe Gronwall-Bellman • Chương 2: Nh% phân mũ rài rac Chương trình bày nh% phân rịi rac cna h¾ phương trình sai phân, bat thúc kieu Gronwall rịi rac, moi liên h¾ nh% phân mũ rịi rac giua hai hắ sai phõn ã Chng 3: Nh% phõn mũ đeu Chương có chúng minh đ%nh lý lu¾n văn Chương trình bày nh% phân mũ đeu cna h¾ phương trình vi phân, moi liên h¾ giua nh% phân mũ ròi rac nh% phân mũ đeu, nh% phân mũ đeu phu thu®c tham so, úng dung đa tap tích phân M®t so kí hi¾u lu¾n văn C(R, Rd) khơng gian hàm liên tuc BC(R, Rd) không gian hàm liờn tuc b% chắn M (d ì d, R) l khụng gian cỏc ma trắn thnc cừ d ì d GL(d, R) khơng gian ma tr¾n thnc kha ngh%ch cõ d × d BC(δ), U(δ) hình cau mo bán kính δ khơng gian Banach BC v U I l ma trắn n v% H nđi, ngày 20 tháng 10 năm 2015 Pham Tuan Anh Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Tốn tE tien hóa cua phương trình vi phân Xét phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat x = A(t)x (1.1.1) o x ∈ Rd, A ∈ C(R, Rd) GQI X(t) ma tr¾n nghi¾m ban cna h¾ (1.1.1), túc nghi¾m cna h¾ (1.1.1) thoa mãn x(t) = X(t)x(0) Chúng ta đ%nh nghĩa X(t, s) = X(t)X−1(s) ma tr¾n tien hóa (hay tốn tu tien hóa) cna h¾ (1.1.1) thoa mãn tính chat sau X(s, s) = I, ∀s ∈ R X(t, τ )X(τ, s) = X(t, s), ∀t, τ, s ∈ R X−1(t, s) = X(s, t), ∀t, s ∈ R 1.2 Đ%nh lý điem bat đ®ng Đ%nh nghĩa 1.2.1 Gia su X khơng gian metric vái khoang cách d Ánh xa f : X → X đưac GQI ánh xa co neu ton tai ≤ θ < cho d(f (x), f (y)) ≤ θ d(x, y) vái Điem x0 ∈ X đưac GQI MQI x, y ∈ X điem bat đ®ng cua ánh xa f neu f (x0 ) = x0 Đ%nh lý 1.2.1 (Nguyên lý ánh xa co) MQI ánh xa co tù không gian mêtric đay đu X vào có nhat điem bat đ®ng 1.3 Tốn tE ngh%ch đao Đ%nh lý 1.3.1 Cho X không gian Banach A tốn tu tuyen tính b% ch¾n X Khi vái MQI µ ∈ C cho |µ| < ||A||−1 tốn tu I − µA có ngh%ch đao liên tnc, nua ∞ Σ n n −1 (I − µA) = µA n=0 1.4 Công thÉc bien thiên hang so Trong khơng gian Rd, xét phương trình vi phân tuyen tính x = A(t)x, (1.4.1) o A(t) l ma trắn liờn tuc cap d ì d vúi MQI t ∈ R Vói moi s ∈ R xs Rd thỡ phng trỡnh (1.4.1) cú mđt nghiắm nhat x(t) thoa mãn đieu ki¾n ban đau x(s) = xs Tốn tu tien hóa X(t, s) : Rd −→ Rd vói MQI t, s ∈ R xác đ%nh boi X(t, s)xs = x(t) Xét phương trình vi phân x = A(t)x + f (t, x) (1.4.2) vói hàm f (t, x) liên tuc GQI x(t) nghi¾m cna phương trình (1.4.2) Khi đó, nghi¾m cna h¾ (1.4.2) đưoc xác đ%nh boi công thúc x(t) = x(t, s, xs) = X(t, s)x(s) + ∫t Σ X(t, τ τ, x(τ dτ )f ) (1.4.3) s Công thúc (1.4.3) đưoc GQI công thúc bien thiên hang so 1.5 Bo đe GronwallBellman Bo đe 1.5.1 Gia su λ(t) l mđt hm thnc liờn tuc v à(t) l hm liên tuc không âm đoan [a, b] Neu hàm liên tuc y(t) thoa mãn y(t) ≤ λ(t) + ∫ t µ(s)y(s)ds, a vói a ≤ t ≤ b, đoan y(t) ≤ λ(t) + Nói riêng, neu λ(t) ≡ λ hang so ∫ , t λ(s)µ(s)e st µ(τ )dτ ds a y(t) ≤ λe, at µ(s)ds Chương Nh% phân mũ rài rac Trong chương này, chúng tơi se giói thi¾u đ%nh nghĩa nh% phân rịi rac cho phương trình sai phân tuyen tính, moi liên h¾ tính nh% phân rịi rac giua h¾ sai phân tuyen tính h¾ sai phân phi tuyen Bat thúc kieu Gronwall ròi rac đưoc đe c¾p đen, bat thúc cơng cu quan TRQNG dan đen ket qua rat tot cho đánh giá Moi liên h¾ giua hai hQ phép chieu gan Đ%nh lý cuoi chương công cu quan TRQNG đe chúng minh đ%nh lý chương sau 2.1 Nh% phân rài rac cua h¾ phương trình sai phân Cho {Tn }∞n=−∞ m®t dãy b% ch¾n GL(d, R), xét phương trình sai phân xn+1 = Tnxn, n ∈ Z (2.1.1) Đ%nh nghĩa 2.1.1 T (n, m) tốn tu tien hóa cho (2.1.1) đưac đ%nh nghĩa  Tn−1 Tn−2 Tm , n > m T (n, m) I, n=  = m , n < m −1 T −1 T n n+ −1 m− T 1 Nh¾n xột: Neu dóy (xn ) l mđt nghiắm cna hắ (2.1.1) xn = T (n, m)xm , n, m ∈ Z Đ%nh nghĩa 2.1.2 M®t ánh xa P : Z −→ khơng gian tốn tu tuyen tính b% chắn trờn Rd ac GQI l mđt HQ phộp chieu neu PnPn = Pn, n ∈ Z Neu P m®t HQ phép chieu ánh xa Q : Z −→ khơng gian tốn tu tuyen tính b% ch¾n Rd đưoc đ%nh nghĩa boi Qn = I − Pn, n ∈ Z m®t HQ phép chieu đưoc GQI phép chieu bù cna P ... lu¾n văn, đ%nh lý ve nh% phân mũ đeu cna HQ phương trình vi phân Phan cuoi chương giói thi¾u ve úng dung đa tap tích phân 3.1 Nh% phân mũ đeu cua h¾ phương trình vi phân Cho h¾ phương trình vi phân. .. phương trình vi phân x = A(t; )x phu thuđc tham so vúi hắ y = B(t)y Ý tưong chúng minh tính liên tuc cna nh% phân mũ đeu cho HQ phương trình vi phân se chuyen ve nh% phân mũ ròi rac cna phương. .. Chương có chúng minh đ%nh lý lu¾n văn Chương trình bày nh% phân mũ đeu cna h¾ phương trình vi phân, moi liên h¾ giua nh% phân mũ ròi rac nh% phân mũ đeu, nh% phân mũ đeu phu thu®c tham so, úng dung