Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu định nghĩa nhị phân rời rạc cho phương trình sai phân tuyến tính, mối liên hệ tính nhị phân rời rạc giữa hệ sai phân tuyến tính và hệ sai phân p[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
PHẠM TUẤN ANH
TÍNH NHỊ PHÂN MŨ ĐỀU
CỦA HỌ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
PHẠM TUẤN ANH
TÍNH NHỊ PHÂN MŨ ĐỀU
CỦA HỌ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành:
TOÁN GIẢI TÍCHMã số
:60 46 01 02
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN
(3)Mục lục
Lời cảm ơn ii
Lời nói đầu iii
1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tiến hóa phương trình vi phân
1.2 Định lý điểm bất động
1.3 Toán tử nghịch đảo
1.4 Công thức biến thiên số
1.5 Bổ đề Gronwall-Bellman
2 Nhị phân mũ rời rạc 2.1 Nhị phân rời rạc hệ phương trình sai phân
2.2 Bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc
2.3 Mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc hai hệ sai phân
3 Nhị phân mũ 17 3.1 Nhị phân mũ hệ phương trình vi phân 17
3.2 Mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc nhị phân mũ 20
3.3 Nhị phân mũ phụ thuộc tham số 22
3.4 Đa tạp tích phân 29
Kết luận 32
(4)Lời cảm ơn
Để hoàn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ gia đình, Thầy bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, Thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Thầy dạy cho tơi cách làm việc cách tự nghiên cứu cách seminar Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khiêm - Giảng viên khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Thầy đồng hành buổi seminar Thầy bảo thêm cho nhiều kiến thức Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy cô Khoa, đặc biệt GS TS Nguyễn Hữu Dư, PGS TS Hoàng Quốc Toàn, PGS TS Đặng Đình Châu, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học
Tôi xin cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn
(5)Lời nói đầu
Khái niệm nhị phân mũ chủ đề lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính đặc biệt hữu ích người ta giải toán phi tuyến mà phần tuyến tính có nhị phân mũ
Một tính chất quan trọng nhị phân mũ tính vững Tính vững nghĩa khơng bị thay đổi nhiễu ma trận hệ số Nói rõ hơn, giả sử phương trình vi phân tuyến tính x = A(t)x có nhị phân mũ đều, A(t) hàm ma trận thực liên tục theo t cỡ d×d Nếu B(t) hàm ma trận thực liên tục theo t cỡ
d×d sup
t
|B(t)−A(t)| ≤ δ0 đủ nhỏ phương trình
y =B(t)y có nhị phân mũ
Xu hướng gần đây, nhà tốn học khơng đặt lên điều kiện ma trận hệ số mà lại đặt lên dòng sinh phương trình, tức đặt lên tốn tử tiến hóa Trong luận văn khơng xét hệ đơn giản x =A(t)x mà xét họ phương trình vi phân phụ thuộc tham số
x=A(t;λ)x, λlà tham số
Trong luận văn này, chứng minh chi tiết mối liên hệ nhị phân mũ họ phương trình vi phân x =A(t;λ)x phụ thuộc tham số với hệ y =B(t)y Ý tưởng chứng minh tính liên tục nhị phân mũ cho họ phương trình vi phân chuyển nhị phân mũ rời rạc phương trình sai phân Để làm rõ chứng minh trên, tìm hiểu cách chứng minh nhà tốn học sau
Coppel chứng minh định lý nhiễu kết lại mức độ đơn giản (xem [3]) Palmer chứng minh định lý nhiễu cách tổng quát (xem [7]) tương đương định lý nhiễu Henry (xem [5]), cách chứng minh Palmer khác Henry Trong luận văn cho ước lượng liên quan đến định lý nhiễu Henry cho nhị phân mũ làm rõ điều kiện biên hệ số Vì kết tốt so với định lý nhiễu Henry
Luận văn chia làm ba chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức mà chứng minh chương sau cần dùng Các kiến thức chuẩn bị gồm có tốn tử tiến hóa phương trình vi phân, định lý điểm bất động, tốn tử nghịch đảo, cơng thức biến thiên số Bổ đề Gronwall-Bellman
(6)phương trình sai phân, bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc, mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc hai hệ sai phân
• Chương 3: Nhị phân mũ Chương có chứng minh định lý luận văn Chương trình bày nhị phân mũ hệ phương trình vi phân, mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc nhị phân mũ đều, nhị phân mũ phụ thuộc tham số, ứng dụng đa tạp tích phân
Một số kí hiệu luận văn
C(R,Rd) là không gian hàm liên tục.
BC(R,Rd) là không gian hàm liên tục bị chặn. M(d×d,R) khơng gian ma trận thực cỡd×d
GL(d,R)là khơng gian ma trận thực khả nghịch cỡ d×d
BC(δ), U(δ) hình cầu mở bán kínhδ khơng gian BanachBC U I ma trận đơn vị
Hà nội, ngày 20 tháng 10 năm 2015 Phạm Tuấn Anh
(7)Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Tốn tử tiến hóa phương trình vi phân Xét phương trình vi phân tuyến tính
x=A(t)x (1.1.1)
ở x∈Rd, A∈C(
R,Rd)
Gọi X(t) ma trận nghiệm hệ (1.1.1), tức nghiệm hệ (1.1.1) thỏa mãn
x(t) = X(t)x(0)
Chúng ta định nghĩaX(t, s) = X(t)X−1(s)là ma trận tiến hóa (hay tốn tử tiến hóa) hệ (1.1.1) thỏa mãn tính chất sau
X(s, s) = I, ∀s∈R
X(t, τ)X(τ, s) = X(t, s), ∀t, τ, s∈R
X−1(t, s) = X(s, t), ∀t, s∈R
1.2 Định lý điểm bất động
Định nghĩa 1.2.1 Giả sửXlà không gian metric với khoảng cáchd Ánh xạf :X→X
được gọi ánh xạ co tồn 0≤θ < cho
d(f(x), f(y))≤θ d(x, y)với x, y ∈X
Điểm x0 ∈X gọi điểm bất động ánh xạ f f(x0) =x0
(8)1.3 Toán tử nghịch đảo
Định lý 1.3.1 Cho X không gian Banach A tốn tử tuyến tính bị chặn
X Khi với µ ∈C cho |µ| <||A||−1 tốn tử I−µA có nghịch đảo liên
tục,
(I −µA)−1 =
∞
X
n=0
µnAn
1.4 Công thức biến thiên số
Trong không gian Rd, xét phương trình vi phân tuyến tính
x=A(t)x, (1.4.1)
ở A(t) ma trận liên tục cấp d×d với t ∈ R Với s ∈ R xs ∈ Rd
thì phương trình (1.4.1) có nghiệm x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(s) =xs Toán tử tiến hóa X(t, s) :Rd−→Rd với mọit, s ∈
Rxác định
X(t, s)xs=x(t)
Xét phương trình vi phân
x=A(t)x+f(t, x) (1.4.2)
với hàmf(t, x) liên tục Gọix(t)là nghiệm phương trình (1.4.2) Khi đó, nghiệm hệ (1.4.2) xác định công thức
x(t) =x(t, s, xs) =X(t, s)x(s) + t
Z
s
X(t, τ)f τ, x(τ)dτ (1.4.3)
Công thức (1.4.3) gọi làcông thức biến thiên số
1.5 Bổ đề Gronwall-Bellman Bổ đề 1.5.1
Giả sử λ(t) hàm thực liên tục µ(t) hàm liên tục khơng âm đoạn [a, b] Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn
y(t)≤λ(t) + Z t
a
µ(s)y(s)ds,
(9)với a≤t ≤b, đoạn
y(t)≤λ(t) + Z t
a
λ(s)µ(s)eRstµ(τ)dτds
Nói riêng, nếuλ(t)≡λ số
y(t)≤λe
(10)Chương 2
Nhị phân mũ rời rạc
Trong chương này, giới thiệu định nghĩa nhị phân rời rạc cho phương trình sai phân tuyến tính, mối liên hệ tính nhị phân rời rạc hệ sai phân tuyến tính hệ sai phân phi tuyến Bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc đề cập đến, bất đẳng thức công cụ quan trọng dẫn đến kết tốt cho đánh giá Mối liên hệ hai họ phép chiếu gần Định lý cuối chương công cụ quan trọng để chứng minh định lý chương sau
2.1 Nhị phân rời rạc hệ phương trình sai phân
Cho {Tn}∞n=−∞ dãy bị chặn trongGL(d,R), xét phương trình sai phân
xn+1 =Tnxn, n∈Z (2.1.1)
Định nghĩa 2.1.1 T(n, m) tốn tử tiến hóa cho (2.1.1) định nghĩa
T(n, m) =
Tn−1Tn−2 Tm, n > m
I, n =m
Tn−1Tn−+11 Tm−−11, n < m
Nhận xét: Nếu dãy(xn)là nghiệm hệ (2.1.1) thìxn =T(n, m)xm, n, m∈Z
Định nghĩa 2.1.2 Một ánh xạ P :Z −→ không gian tốn tử tuyến tính bị chặn Rd gọi họ phép chiếu
PnPn=Pn, n∈Z
Nếu P họ phép chiếu ánh xạ Q : Z −→ khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn Rd được định nghĩa bởi
Qn =I−Pn, n∈Z
cũng họ phép chiếu gọi phép chiếu bù P
(11)Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001),Giáo trình hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội
[2] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm
[3] W A Coppel (1978), Dichotomies in stability theory, in Lecture Notes in Math, Vol 629, Springer-Verlag, New York/Berlin
[4] J K Hale (1969),Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York
[5] D Henry (1980), Geometric theory of semilinear parabolic equations, in Lecture Notes in Math, Vol 840, Springer-Verlag, New York/Berlin
[6] R A Johnson (1987), Remarks on linear differential systems with measurable coefficients, Proc Amer Math Soc.100
[7] K J Palmer (1987), A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A103
[8] K Sakamoto (1990), Invariant manifolds in singular perturbation problems for Ode’s Proc Roy Soc Edinburgh Sect A116, 45-78
[9] K Sakamoto, A remark on perturbation theorems for exponential dichotomies, in preparation
[10] K Sakamoto (1994), Estimates on the Strength of Exponential Dichotomies and Application to Integral Manifolds, Journal of differential equation 107, 259-279 [11] Y YI (1990), Generalized integral manifolds Theorem, preprint, CDSNS report,