Ôn thi TN THPT QG môn Toán – Chủ đề 9: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Gồm: 1. Dãy số 2. Cấp số Cộng 3. Cấp số nhân Có: Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán bám sát đề thi TN THPT QG Các ví dụ mẫu Bài tập tự luyện bám sát đề thi TN THPT QG Đáp số và hướng dẫn
Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 10: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Chủ đề 10 DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Tóm tắt lí thuyết 1.1 Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tùy ý (k 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n p, ta thực sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k p phải chứng minh mệnh đề với n=k+1 1.2 Dãy số a Định nghĩa Dãy số hàm số u có tập xác định �* (hay M 1, 2, , m Dạng khai triển: (un) u1, u2, …, un, … u1 số hạng đầu, un số hạng tổng quát b Dãy số tăng, dãy số giảm: (un) dãy số tăng un+1 > un với n N* un+1 – un > với n N* un 1 với n N* ( un > 0) un (un) dãy số giảm un+1 < un với n N* un+1 – un< với n N* un 1 với n N* (un > 0) un c Dãy số bị chặn (un) dãy số bị chặn M R: un M, n N* (un) dãy số bị chặn m R: un m, n N* (un) dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N* 1.3 Cấp số cộng: Định nghĩa Số hạng tổng quát: Tính chất số hạng Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1.4 Cấp số nhân: (un) cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai) un u1 (n 1)d (un) cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội) un u1.q n 1 uk 1 uk 1 với k uk2 uk 1.uk 1 uk với k 134 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 môn Toán chi tiết Chủ đề 10: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân S n u1 u2 un Tổng n số hạng đầu tiên: = n 2u1 (n 1) d n(u1 un ) S n nu1 � � u (1 q n ) � Sn � 1 q � ,q 1 , q �1 Một số dạng tốn ví dụ Dùng phương pháp quy nạp toán học 1 là: 1.2 2.3 n(n 1) n n n 1 A B C D n 1 n 1 n2 n2 HD: Dùng MTCT kiểm tra vài số hạng đầu với đáp án Chọn B n n (n 1) n 1 � S n 1 S n Giả sử S n n 1 (n 1)(n 2) n (n 1)( n 2) ( n 1)(n 2) n Ví dụ 1: Với số nguyên dương n, tổng S n Số hạng tổng quát dãy số, tổng số hạng đầu dãy số u1 � Ví dụ 2: Cho dãy số un với � Công thức số hạng tổng quát dãy số : un 1 2un � n 1 A un n D un n 1 C un n B un n 1 n HD: Chọn B Là cấp số nhân với u1 2, q � un 2.2 Ví dụ 3: Trong dãy số 1, 3, 2, … số hạng kể từ số hạng thứ số hạng đứng trước trừ số hạng đứng trước số hạng này, tức un un 1 un với n ≥ Tính tổng 100 số hạng dãy số Đáp số tốn là: A B C D u u u u u u u u u u u u � S HD: Chọn A 100 99 98 ; 99 98 97 ; 98 97 96 … 100 u99 u2 Mà u99 u98 u97 u96 u95 u94 u93 u3 Vậy S100 Cấp số cộng: u5 3u3 u2 21 � Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un ) thỏa: � Tính số hạng thứ 100 cấp số cộng 3u7 2u4 34 � A u100 243 B u100 295 C u100 231 D u100 294 u1 4d 3(u1 2d ) (u1 d ) 21 u1 3d 7 u 2 � � � �� � �1 HD: Từ giả thiết tốn, ta có: � 3(u1 6d ) 2(u1 3d ) 34 u1 12d 34 d 3 � � � Số hạng thứ 100 cấp số: u100 u1 99d 295 Ví dụ 5: Tìm x biết : x 1, x 2,1 x lập thành cấp số cộng A x 4, x B x 2, x C x 2, x D x 2, x HD: x 1, x 2,1 3x lập thành csc � x 3x 2( x 2) � x x � x 2; x 2 Ví dụ 7: Tìm m để phương trình: mx m 1 x m có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 9 A m B m 1 C m D m 16 16 12 Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 135 Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 10: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân HD: Chọn A Đặt t x x4 3x3 � t2 9t1 � 10t1 2(m 1) 18(m 1) 36(m 1) m , t2 � �m m 10m 100m m 16 Cấp số nhân: Ví dụ 8: Cho cấp số nhân (un ) thỏa: u4 cấp số ? A 41 2 u3 243u8 Số số hạng thứ 27 6561 B 12 C D � � u1q � � u1q q � � � 27 �� �� 27 HD: Gọi q công bội cấp số Theo giả thiết ta có: � � �q � u1 u1q 243.u1q � � � 243 2 � 3n 1 6561 38 � n Vậy Ta có: un n 1 � un số hạng thứ cấp số 6561 6561 Bài tập tự luyện Câu 1: Cho cấp số cộng un có u4 12; u14 18 Tìm u1, d cấp số cộng? A u1 20, d 3 B u1 22, d C u1 21, d 3 D u1 21, d 3 u1 � Câu 2: Cho dãy số � Số hạng tổng quát dãy số là? un 1 un n � A un n 1 n B un Câu 3: Tính tổng S n A S n n n2 n 1 n C un n n 1 D un n 1 n 1 1 Khi cơng thức S(n) là? 1.2 2.3 3.4 n n 1 n 2n B S n C S n D S n n n 1 2n Câu 4: Cho CSC có tổng 10 số hạng 100 số hạng 100 10 Khi tổng 110 số hạng là? A 90 B -90 C 110 D -110 Câu 5: Xác định x để số x, x ,1 x lập thành CSC A Không có giá trị x B x=2 x= -2 C x=1 -1 Câu 6: Cho CSN có u1 3; q 2 Số 192 số hạng thứ bao nhiêu? A số hạng thứ B số hạng thứ C số hạng thứ D x=0 D số hạng thứ 10 Câu 7: Một người đem 100.000.000 đồng gửi tiết kiệm với kì hạn tháng, tháng lãi suất 0,7% số tiền người có Hỏi sau hết kì hạn người lĩnh tiền A 108. 0,07 (đồng) B 108. 0,07 (đồng) C 108. 1,07 (đồng) D 108. 1,07 (đồng) Câu 8: Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng) Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng lên 10% Hỏi giá mặt hàng A cửa hàng sau hai lần tăng giá A 120 B 121 C 122 D 200 Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 136 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 môn Toán chi tiết Chủ đề 10: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Câu 9: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, tháng gửi triệu đồng, với lãi suất kép 1%/tháng Gửi hai năm tháng người có cơng việc nên rút tồn gốc lãi Số tiền người rút triệu đồng? A 100.[(1,01)26 −1] B 101.[(1,01)27 −1] C 100.[(1,01)27 −1] D 101.[(1,01)26 −1] Câu 10: Cho cấp số cộng �u1 , u2 , u3 , un có cơng sai d �0 Khi dãy số u1 , u3 , u5 (các số hạng cấp số theo thứ tự có số lẻ) A Không cấp số B Là cấp số cộng với công sai 2d C Là cấp số nhân với công bội d D Là cấp số nhân với công bội 3d Câu 11: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? A a c 2ab 2bc 2ac B a c 2ab 2bc 2ac C a c 2ab 2bc 2ac D a c 2ab 2bc 2ac Câu 12: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số lập thành cấp số cộng ? A 2b , a, c B 2b, 2a, 2c C 2b, a, c D 2b, a, c Câu 13: Cho dãy số A b 1 1 ; b; Chọn b để dãy số cho lập thành cấp số nhân? B b C b D Khơng có giá trị b Câu 14: Người ta trồng theo hình tam giác, với quy luật: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây,… hàng thứ n có n Biết người ta trồng hết 4950 Hỏi số hàng trồng theo cách A 98 B 99 C 100 D 101 u2 u3 u5 10 � Câu 15: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn � Tính tổng S u5 u7 � u2011 � u4 u6 26 A S 3028123 B S 3021233 C S 3028057 D S 3028332 Câu 16: Cho cấp số cộng có số hạng 7; x; 11; y Khi tính xy A xy 21 B xy 40 C xy 57 D xy 72 Câu 17: Cho dãy số un thỏa mãn log u1 log u1 log u10 log u10 un 1 2un với n �1 Giá trị nhỏ n để un 5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Câu 18: Gọi S 11 111 111 ( n số ) S nhận giá trị sau � � 1� � 10n � � 10n � 10n � 10n 10 n 10 A B 10 � C D �� � � � � n � 9� � � � 81 � 81 � � 81 � Câu 19: Xác định m để: Phương trình x3 3x x m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m 16 B m 11 C m 13 D m 12 Câu 20: Xác định m để: Phương trình x m 1 x 2m (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 4 A m m B m m 9 C m m 2 D m m 1 Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 137 Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 10: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Hướng dẫn đáp số C B B D C C D B B 10 B 11 C 12 B 13 D 14 B 15 C 16 B 17 B 18 D 19 B 20 B Câu Cuối tháng người có: 1+1.0,01=1(1+0,01) triệu Đầu tháng người có: 1(0,01+1)+1 =1,01+1 triệu Cuối tháng người có (1,01+1).(1+0,01)=1,012+1,01 Tương tự cuối tháng người có: 1,013+1,012+1,01 Đến cuối tháng thứ 27 người có: 1,0127+1,0126+ +1,01=U Ta có: 1,01U=1,0128+1,0127+ +1,012 Lấy 1,01U-U=1,0128 -1,01 Suy U=100(1,0128-1,01)= 101[(1,01)27-1] (triệu đồng) Câu 11 a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng b a c b � b a c b � a c 2ab 2bc 2 � a c 2c 2ab 2bc 2ab 2c c b 2ab 2c b a 2ab 2bc 2ac Câu 12 Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a c 2b � 2 b c 2.2a � 2b 2c 2a � 2b, 2a, 2c lập thành cấp số cộng Câu 15 u d (u1 2d ) u1 4d 10 u 3d 10 � � Ta có: �1 � �1 � u1 1, d ; u5 u1 4d 12 13 u1 3d u1 5d 26 u1 4d 13 � � Ta có u5 , u7 , , u2011 lập thành CSC với cơng sai d có 1003 số hạng nên 1003 S 2u5 1002.6 3028057 Câu 17 Câu 19 Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Khi đó: x1 x3 2x2 , x1 x2 x3 � x2 Thay vào phương trình ta có : m 11 Với m 11 ta có phương trình : x3 3x2 9x 11 � x 1 x x 11 � x1 12, x2 1, x3 12 Ba nghiệm lập thành CSC Vậy m 11 giá trị cần tìm Câu 20 Đặt t x2 ,t �0 Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 138