On Thi TN THPT QG Mon Toan Chu De 8: To Hop, Xac Suat, Nhi Thuc Niuton

Ôn thi TN THPT QG môn Toán – Chủ đề 8: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Niutơn Gồm: 1. Hai quy tắc đếm 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 3. Nhị thức Niutơn 4. Xác suất Có: Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán, dễ tổng hợp Các ví dụ mẫu, dễ hiểu Bài tập tự luyện bám sát đề thi TN THPT QG Đáp số và hướng dẫn

Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton Chủ đề TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ NHỊ THỨC NEWTON Tóm tắt lí thuyết a QUY TẮC CỘNG: Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách b QUY TẮC NHÂN: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo n.m cách c HOÁN VỊ: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần Số hoán vị Pn = n! = n.(n–1).(n–2)…1 d CHỈNH HỢP: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi gồm k ( ≤ k ≤ n) phần tử thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Số chỉnh hợp n! A kn = = n.(n − 1).(n − 2) (n − k + 1) (n − k)! e TỔ HỢP: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n ) A n! k gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp là: C n = k!(n − k)! k Hai tính chất số Cn : k n- k TC1: Cn = Cn với £ k £ n k k k- TC2: Cn+1 = Cn + Cn với £ k £ n f Công thức nhị thức Niu-tơn: n n ( a + b) = Cn0 a nb0 + Cn1a n- 1b1 + + Cnk a n- k b k + + Cnn a 0b n hay ( a + b) = å Cnk a n- k b k n k =0 g Định nghĩa cổ điển xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu W tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T WA tập kết thuận lợi cho A xác suất A số, kí hiệu P ( A ) , xác định công thức: P ( A ) = WA W P ( A ) = n( A) n(W) Trong đó: n( A) : số phần tử A n(W) : số phần tử W Định lí: Cho biến cố A Xác suất biến cố đối A P ( A ) = 1- P ( A ) - Quy tắc cộng xác suất: Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 121 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton Một số dạng tốn ví dụ Bài tốn đếm: Các tốn giải tích tổ hợp thường toán hành động như: Lập số từ số cho, xếp số người hay đồ vật vào vị trí định, lập nhóm người hay đồ vật thỏa mãn số điều kiện cho v.v Nếu hành động gồm nhiều giai đoạn cần tìm số cách chọn cho giai đọan áp dụng quy tắc nhân Những toán mà kết thay đổi ta thay đổi vị trí phần tử, toán liên quan đến hoán vị chỉnh hợp Đối với toán mà kết giữ nguyên ta thay đổi vị trí phần tử, tốn tổ hợp Ví dụ 1: Từ tỉnh A tới tỉnh B tơ, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Từ tỉnh B tới tỉnh C ô tô tàu hỏa Muốn từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải qua B Số cách từ tỉnh A đến tỉnh C là: A B C D HD Để từ tỉnh A đến tỉnh B có cách chọn phương tiện di chuyển Để từ tỉnh B đến tỉnh C có cách chọn phương tiện di chuyển Do theo quy tắc nhân có 4.2 = cách di chuyển từ A đến C Chọn D Ví dụ 3: Có số có chữ số khác tạo thành từ số 1, 2, 3, 4, 5? 4 A P4 B P5 C A5 D C5 HD: Số có chữ số khác tạo thành từ tập A5 Chọn C Ví dụ 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập số chẵn, số gồm chữ số khác nhau? A 120 B 192 C 312 D 216 HD: Giả sử số a1a2 a3 a4 a5 4 TH 1: a5 = chọn a1a2 a3a4 có A5 cách ⇒ có A5 số thỏa mãn 3 TH 2: a5 ∈ { 2; 4} chọn a1 có cách chọn, chọn a2 a3a4 có A4 cách ⇒ có 2.4.A4 cách Do có A5 + 2.4 A4 = 312 số thỏa mãn Chọn C Ví dụ 6: Trong trường có học sinh giỏi lớp 12, học sinh giỏi lớp 11 học sinh giỏi lớp 10 Cần chọn học sinh giỏi để tham gia thi với trường khác cho khối 12 có em khối 10, 11 có em Vậy số tất cách chọn là: A 60 B 180 C 330 D 90 HD: Chọn học sinh lớp 12 có C4 cách, chọn học sinh lớp 11 có C3 cách, chọn học sinh lớp 10 có C51 cách Do có C43 C31.C51 = 60 cách chọn Chọn A Ví dụ 7: Trong bình đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Có cách lấy viên màu? A 18 B C 22 D HD: TH 1: Số cách lấy hai viên bi màu đỏ C4 TH 2: Số cách lấy hai viên bi màu xanh C3 2 Như số cách lấy hai viên bi màu C4 + C3 = cách Chọn B Bài tốn liên quan tìm n tổ hợp, chỉnh hợp: Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 122 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton + Đếm theo n k + Sử dụng công thức số C n = n! n! k = n.(n − 1).(n − 2) (n − k + 1) ; An = k!(n − k)! (n − k)! giải tìm n An4+1 + An3 2 2 Ví dụ 8: Tính M = , biết Cn +1 + 2Cn + + 2Cn +3 + Cn + = 149 ( n + 1) ! A 10 B 10 C D n ∈ ¥ 2 2 HD: Chọn D Điều kiện:  Ta có: Cn +1 + 2Cn + + 2Cn +3 + Cn + = 149 n ≥ ( n + 1) ! + ( n + ) ! + ( n + 3) ! + ( n + ) ! = 149 ⇔ n = A4 + A53 ⇔ Do đó: M = = 2!( n − 1) ! 2! n ! 2!( n + 1) ! 2!( n + ) ! 6! Có thể sử dụng MTCT dị tìm n sau: Bấm MODE (TABLE) nhập vào hình Thay n = vào biểu thức M, bấm máy tính đáp số Ví dụ 10: Cho đa giác A1 A2 A2 n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Tìm n? A B C D 12 HD: Chọn C Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n là: C2n Ta thấy ứng với hai đường chéo qua tâm O đa giác A1 A2 A2 n cho hình chữ nhật có đỉnh điểm 2n điểm A1 , A2 , , A2 n ngược lại hình chữ nhật cho tương ứng hai đường chéo qua tâm O đa giác Mà số đường chéo qua tâm đa giác n nên số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm Cn 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) = 20 ⇔ n =8 Theo giả thiết: C2 n = 20Cn ⇔ 3! Bài tốn nhị thức Niu-tơn: Tìm số hạng, hệ số xm khai triển: Để tìm số hạng, hệ số xm khai triển, ta thực bước sau: k n−k k + Công thức số hạng tổng quát khai triển Cn a b + Vận dụng tính chất lũy thừa thu gọn số hạng chứa x f ( k ) + Ycbt tương ứng với f ( k ) = m , tìm k, suy kết luận Lưu ý: Xem thêm kiến thức tính chất lũy thừa n +6 Ví dụ 11: Trong khai triển nhị thức ( a + ) , ( n ∈ ¥ ) , có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 n+6 HD: Chọn C Trong khai triển ( a + ) , ( n ∈ ¥ ) có tất n + số hạng Do n + = 17 ⇔ n = 10 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 123 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton Ví dụ 12: Trong khai triển ( x − 1) , hệ số số hạng chứa x8 là: A −11520 B 45 C 256 D 11520 k k 10− k 10 − k HD: Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C10 x ( −1) 10 Yêu cầu toán xảy 10 − k = ⇔ k = Khi hệ số số hạng chứa x8 là: C10 = 11520 n   Ví dụ 14: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn  + x ÷ biết x  n +1 n Cn + − Cn + = ( n + ) A 495 B 313 C 1303 D 13129 n +1 n n n +1 n HD: Chọn A Ta có: Cn + − Cn +3 = ( n + 3) ⇔ ( Cn +3 + Cn +3 ) − Cn +3 = ( n + 3) ⇔ Cnn++31 = ( n + 3) ⇔ ( n + ) ( n + 3) 2! n = ( n + 3) ⇔ n + = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 12 − k 60 −11k 12 12 k     Khi đó:  + x ÷ = ∑ C12k ( x −3 )  x ÷ = ∑ C12k x x  k =0 k =0   60 − 11k =8⇔ k = Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12! = 495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12 = 4!( 12 − ) ! Ví dụ 15: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = (1 + x + x )10 A 37845 B 14131 C 324234 10 10 k =0 k =0 j =0 D 131239 k k 10 − k k k j 10 − k 20 − k + j HD: Chọn A Ta có: f ( x) = ∑ C10 (2 x ) (1 + x) = ∑∑ C10Ck x 0 ≤ j ≤ k ≤ 10 Số hạng chứa x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa:   j = 2k − 12 10 8 Nên hệ số x là: C10C6 + C10C7 + C10C8 + C10C9 + C10 C10 = 37845 Bài tốn tính xác suất: Bài tốn tính xác suất biến cố theo định nghĩa: Để xác định xác suất theo định nghĩa ta làm theo bước: ♠ Xác định số phần tử không gian mẫu W ♠ Xét tập A tập kết thuận lợi cho biến cố A, tính WA WA ♠ Sử dụng công thức P ( A ) = W Chú ý 1: Để tính W, WA ta đếm liệt kê sử dụng toán đếm Chú ý 2: Trong số tốn việc tính xác suất biến cố đối A đơn giản so với biến cố A nên để tính xác suất biến cố A ta làm sau: + Xét biến cố đối A , tính P ( A) + Khi P ( A) = 1- P ( A ) Ví dụ 17: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phân kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Tổ Tốn Trường THPT Hồng Ngự 124 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton B C 60 20 11 HD: Chọn C Số phần tử không gian mẫu C12 = 220 A D 55 60 = 220 11 Ví dụ 18: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội dự phòng chống dịch động số đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tính xác suất để có đội Trung tâm y tế sở chọn 209 133 21 227 A B C D 230 230 230 230 HD: Chọn A Số phần tử không gian mẫu C25 = 2300 Số kết thuận lợi cho biến cố “có đội Trung tâm y tế sở” 2090 209 C202 C51 + C20 = 2090 Xác suất cần tính p = = 2300 230 Số cách chọn hộp sữa có đủ loại 5.4.3 = 60 Do xác suất cần tính p = Ví dụ 21 Một đội gồm nam nữ Lập nhóm ngẫu nhiên gồm người hát tốp ca, tính xác suất để người chọn có nữ 70 73 56 87 A B C D 143 143 143 143 HD: Không gian mẫu chọn tùy ý người từ 13 người Suy số phần tử không gian mẫu W= C13 = 715 Gọi A biến cố '' người chọn có nữ '' Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố A sau: ● TH1: Chọn nữ nam, có C83C51 cách ● TH2: Chọn nữ, có C84 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C8C5 +C8 = 350 W 350 70 A Vậy xác suất cần tính P ( A) = W = 715 = 143 Ví dụ 22 Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để viên bi chọn có đủ màu số bi đỏ số bi vàng 313 95 25 A B C D 408 408 102 136 HD: Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp chứa 18 viên bi Suy số phần tử không gian mẫu W= C18 = 8568 Gọi A biến cố '' viên bi chọn có đủ màu số bi đỏ số bi vàng '' Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: ● TH1: Chọn bi đỏ, bi vàng bi xanh nên có C61.C71.C53 cách ● TH2: Chọn bi đỏ, bi vàng bi xanh nên có C62.C72.C51 cách 1 2 Suy số phần tử biến cố A WA = C6.C7.C5 +C6 C7 C5 = 1995 W 1995 95 A Vậy xác suất cần tính P ( A) = W = 8568 = 408 Bài tập tự luyện Câu Cho tập hợp A = { 2;3; 4;5;6;7} Có thể lập số gồm chữ số thành lập từ chữ số thuộc A? A 360 B 216 C 27 D 120 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 125 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton Câu Cho tập hợp A = { 2;3; 4;5;6;7} Có thể lập số gồm chữ số khác thành lập từ chữ số thuộc A? A 256 B 216 C 180 D 120 Câu Trong bình đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Có cách lấy viên màu? A 18 B C 22 D Câu Từ 12 người, người ta thành lập ban kiểm tra gồm người lãnh đạo ủy viên Hỏi có cách thành lập ban kiểm tra? 5 A C12C10 B C10C12 C C12C12 D C12C12 Câu Nếu Ax = 110 thì: A x = 11 B x = 10 C x = 11 x = 10 D x = Câu Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có bốn chữ số khác chia hết cho 5? A 105 B 220 C 336 D 448 Câu Từ chữ số 2, 4, 6, lập số tự nhiên có ba chữ số khác chia hết cho 3? A 12 B 20 C D 2016 Câu Tổng C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 bằng: A 22016 B 22016 + C 22016 − D 42016   Câu Tìm số hạng khai triển  x + ÷ với x > : x  1 A 56x − 1 B 70x C 70x 56x − D 70 x x 100 Câu 10 Trong khai triển ( x − ) = a0 + a1 x1 + + a100 x100 Tổng hệ số: a0 + a1 + + a100 A −1 B 1 2 n n Câu 11 Cho A = Cn + 5Cn + Cn + + Cn Vậy A = A n B 5n Câu 12 Hệ số x khai triển ( − 3x ) 15 C 3100 D 2100 C 6n D 4n 8 8 A C B C C C15 D −C15 Câu 13 Một đội gồm nam nữ Lập nhóm gồm người hát tốp ca, tính xác suất để người chọn có nữ 70 73 56 87 A B C D 143 143 143 143 Câu 14 Một hộp có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp viên bị, tính xác suất để viên bi chọn có số bi đỏ lớn số bi vàng thiết phải có mặt bi xanh 1 16 A B C D 12 33 Câu 15 Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất lấy viên bi đỏ? 1 143 A B C D 560 16 28 280 Câu 16 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số có ba chữ số khác chia hết cho 5? A 60 B 280 C 78 D 55 Câu 17 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số có ba chữ số khác chia hết cho 3? A 930 B 20 C 50 D 78 Câu 18 Một nhóm học sinh gồm nữ, nam Hỏi có cách xếp 10 bạn thành hàng dọc cho bạn phái đứng cạnh nhau? 15 7 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 15 126 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton A 86400 B 43200 C 28800 D 14400 Câu 19 Có 10 sách Tốn, sách Lí, sách Văn Cần chọn có ba mơn cho số Tốn bốn số Văn nhiều hai Hỏi có cách chọn? A 181440 B 146580 C 164420 D 152280 Câu 20 Trên giá có 15 sách gồm sách Tốn, sách Tiếng Anh sách Văn Hỏi có cách xếp thành hàng cho sách loại xếp cạnh sách Văn nằm sách Toán, sách tiếng Anh? A 7257600 B 3628800 C 1814400 D 907200 Câu 21 Cho ô tô khác xe máy giống Hỏi có cách xếp xe vào chỗ trống cho ô tô cạnh xe máy cạnh nhau? A 144 B 1440 C 2880 D 432 Câu 22 Trong đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm ngành y tế chợ X, ban quản lý chợ lấy 15 mẫu thịt lợn có mẫu quầy A, mẫu quầy B, mẫu quầy C Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên mẫu để phân tích xem thịt lợn có chứa hóa chất tạo nạc hay khơng Xác suất để mẫu thịt quầy A, B, C chọn bằng: 48 43 87 A B C D 91 91 91 91 10 Câu 23 Nghiệm phương trình Ax + Ax = Ax A x = B x = 11 C x = 11 x = D x = 10 x = 10 Câu 24 Ba số hạng theo lũy thừa tăng dần x khai triển ( + 2x ) là: A 1, 45 x,120 x B 1, x, x C 1, 20 x,180 x D 10, 45 x,120 x Câu 25 Cho tập A = { 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác cho số khơng bắt đầu 125? A 265 B 262 C 6702 D 6705 Câu 26 Cho tập A = { 1; 2;3; 4;5;6;7} Từ tập A lập số tự nhiên chẵn có chữ số cho chữ số đứng vị trí giữa? A 360 B 50421 C 3125 D 9375 n +1 1  Câu 27 Tìm hệ số x khai triển  + x ÷ với x ≠ , biết n số nguyên dương thỏa x  2 mãn 3Cn +1 + nP2 = An A 210 x B 120 x C 120 D 210 Câu 28 Có đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm 10cm Lấy ngẫu nhiên đoạn thẳng đoạn thẳng trên, tính xác suất để đoạn thẳng lấy lập thành tam giác A B C D 10 10 10 Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;3;0) , B (3;0;0) , C (0;0;6) , D(1;1; 2) E (−1; 2;3) Hỏi có mặt phẳng phân biệt qua điểm điểm trên? A B 10 C D Câu 30: Một thầy giáo có 12 sách đơi khác nhau, có sách văn học, sách âm nhạc sách hội họa Thầy muốn lấy đem tặng cho học sinh em Thầy giáo muốn sau tặng xong, thể loại văn học, âm nhạc, hội họa cịn lại Hỏi thầy có tất cách tặng? A 665280 B 85680 C 579600 D 119 Câu 31: Một hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất để thẻ lấy đuợc ghi số lẻ chia hết cho A 0,15 B 0,3 C 0,2 D 0,5 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 127 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton Câu 32: Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người chọn nữ A B C D 15 15 15 Câu 33: Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người chọn khơng có nữ A B C D 15 15 15 Câu 34: Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người chọn có người nữ A B C D 15 15 15 Câu 35: Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất lấy viên bi đỏ 1 143 A B C D 560 16 28 280 Câu 36: Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất lấy viên bi không đỏ 1 143 A B C D 560 16 28 280 Câu 37: Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất lấy viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ 1 143 A B C D 560 16 40 280 Câu 38: Trên giá sách có sách tốn, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất để lấy thuộc môn khác 37 A B C D 21 42 42 Câu 39: Trên giá sách có sách tốn, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất để lấy mơn tốn 37 A B C D 21 42 42 Câu 40: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số thiết lập từ chữ số 2, 3, Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số có chữ số khác A B C D 9 9 Câu 41: Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người chọn có nữ A B C D 15 15 15 Câu 42: Trên giá sách có sách tốn, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất để lấy có toán 37 A B C D 21 42 42 Câu 43: Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất lấy viên bi đỏ? 1 163 A B C D 16 14 280 Câu 44: Trên giá sách có sách tốn, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất để lấy thuộc môn khác nhau? Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 128 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton 37 B C D 21 42 42 Câu 45: Một hộp chứa viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi lấy có màu đỏ A B C D 11 3 Câu 46: Một đội gồm nam nữ Lập nhóm gồm người hát tốp ca, tính xác suất để người chọn có nữ 70 73 56 87 A B C D 143 143 143 143 A Câu 47: Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ ) Biết số tập A có phần tử nhiều gấp 26 lần số tập A có phần tử Hãy tìm k ∈ { 1, 2,3, , n} cho số tập gồm k phần tử A nhiều A k = 20 B k = 11 C k = 14 D k = 10 Câu 48: Một hộp có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp viên bị, tính xác suất để viên bi chọn có số bi đỏ lớn số bi vàng thiết phải có mặt bi xanh 1 16 A B C D 12 33 Câu 49: Một tổ học sinh gồm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên em Tính xác suất em chọn có nữ? 1 A B C D 6 30 Câu 50: Một hộp có bi đen, bi trắng Chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi chọn có đủ hai màu? 5 A B C D 324 9 18 Câu 51: Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người chọn nữ? A B C D 15 15 15 Câu 53: Một hộp có chứa cầu đỏ, cầu tím cầu vàng Chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để lấy có vàng 11 91 31 329 A B C D 102 102 102 3060 Câu 54: Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào bì thư ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ bì thư 3 A B C D 8 Câu 55: Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa bi xanh bi đỏ Cịn hộp thứ hai chứa bi xanh bi đỏ Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất cho bi chọn không màu 37 17 47 A B C D 50 50 50 50 Câu 56: Có bó hoa Bó thứ có hoa hồng, bó thứ hai có bơng hoa ly, bó thứ ba có hoa huệ Chọn ngẫu nhiên hoa từ ba bó hoa để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để hoa chọn có số hoa hồng số hoa ly 3851 36 994 A B C D 4845 71 71 4845 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 129 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton Câu 57: Có 13 học sinh trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc khối 12 có học sinh nam học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ đồng thời có khối 11 12 57 24 27 229 A B C D 286 143 143 286 Câu 58: Có ba hộp Hộp A đựng bi xanh bi vàng; Hộp B đựng bi đỏ bi xanh; Hộp C đựng bi trắng bi xanh Lấy ngẫu nhiên hộp, lấy viên bi từ hộp Xác suất để lấy bi xanh 55 551 A B C D 96 15 1080 Câu 60: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác thiết lập từ chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất cho số chọn số chẵn 1 A B C D 3 Câu 61: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác thiết lập từ chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất cho số chọn ln có mặt chữ số 1 A B C D 3 Câu 62: Một hộp chứa 30 bóng gồm loại, loại có 10 Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố: ‘Có loại khơng chọn ra” 73 37 173 8401 A B C D 1131 1131 1131 130065 Câu 63: Một lớp học có 10 nam, 20 nữ có nam 10 nữ bị cận thị Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho học sinh chọn nam bị cận 2 A B C D 3 Câu 64: Có xe ô tô màu đỏ, ô tô vàng tơ xanh đỗ bên đường Tính xác suất cho khơng có xe màu đỗ cạnh 1 A B C D 3 Câu 65: Lớp 11A1 có 12 học sinh giỏi, có học sinh giỏi văn 10 học sinh giỏi Tốn Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho học sinh chọn giỏi môn A B C D 11 11 22 Câu 68: Có đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm 10cm Lấy ngẫu nhiên đoạn thẳng đoạn thẳng trên, tính xác suất để đoạn thẳng lấy lập thành tam giác A B C D 10 10 10 Câu 69: Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào bì thư ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ bì thư A B C D 8 Câu 70: Việt Nam chơi cờ Trong ván cờ, xác suất Việt thắng Nam 0,3 Nam thắng Việt 0,4 Hai bạn dừng chơi có người thắng, người thua Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau ván cờ A 0,12 B 0,7 C 0,9 D 0,21 Câu 71: Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia có đội nước đội Việt nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu A , B , C bảng đội Xác suất để đội Việt nam nằm bảng đấu Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 130 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton 2C93C63 6C93C63 3C93C63 C93C63 P = P = P = B C D C124 C84 C124 C84 C124 C84 C124 C84 Câu 72: Trong giải bóng đá nữ trường THPT có 12 đội tham gia, có hai đội hai lớp 12A2 11A6 Ban tổ chức tiến hành bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu A , B bảng đội Xác suất để đội hai lớp 12A2 11A6 bảng 5 A P = B P = C P = D P = 11 22 11 22 Câu 73: Cho đa giác 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh 12 đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác 1 1 A P = B P = C P = D P = 55 220 14 {1;2; ;10} Câu 74: Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương tập xếp chúng theo thứ tự tăng dần Gọi P xác suất để số chọn xếp vị trí thứ Khi P bằng: 1 1 A B C D 60 Câu 75: Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0, Người bắn hai viên đạn cách độc lập Xác suất để viên trúng mục tiêu viên trượt mục tiêu là: A 0, B 0, C 0, 48 D 0, 24 Câu 76: Một nhóm gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên bạn Xác suất để bạn chọn có nam lẫn nữ mà nam nhiều nữ là: 60 238 210 82 A B C D 143 429 429 143 A P = Đáp số hướng dẫn giải Câu B Câu 11 C Câu 21 B Câu 31 A Câu 41 B Câu 51 A Câu 61 A Câu 71 B Câu D Câu 12 D Câu 22 A Câu 32 A Câu 42 C Câu 52 A Câu 62 A Câu 72 D Câu B Câu 13 A Câu 23 C Câu 33 B Câu 43 C Câu 53 A Câu 63 B Câu 73 A Câu A Câu 14 C Câu 24 C Câu 34 A Câu 44 A Câu 54 C Câu 64 D Câu 74 C Đáp án Câu Câu A B Câu 15 Câu 16 A B Câu 25 Câu 26 D B Câu 35 Câu 36 A D Câu 45 Câu 46 A A Câu 55 Câu 56 D D Câu 65 Câu 66 A C Câu 75 Câu 76 C B Câu A Câu 17 B Câu 27 D Câu 37 C Câu 47 D Câu 57 A Câu 67 C Câu 77 C Câu C Câu 18 C Câu 28 A Câu 38 A Câu 48 C Câu 58 D Câu 68 A Câu 78 D Câu B Câu 19 A Câu 29 C Câu 39 B Câu 49 A Câu 59 B Câu 69 C Câu 79 D Câu 10 B Câu 20 A Câu 30 C Câu 40 A Câu 40 B Câu 60 C Câu 70 D Câu 80 B Hướng dẫn giải Câu Chữ số cuối 5, có 5.5.4 = 100 số Chữ số cuối có 6.5.4 = 120 số Vậy có 220 số Câu Tổng chữ số chia hết cho ta có { 2; 4;6} , { 4;6;8} Ta có 3!+ 3! = 12 số 7k Câu Số hạng tổng quát C8k ( x ) − 12 , khai triển có 8+1=9 số hạng Số hạng ứng với 4.7 k = ⇒ Số hạng C ( x ) − 12 = 70 x Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 131 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton 2 5 1 Câu 19 Liệt kê được: C10C5 C8 + C10C5C8 + C10C5 C8 + C10C5C8 + C10C5C8 =181440 Câu 20 Số cách xếp 2.5!.7!.3! = 7257600 Câu 21 Số cách xếp A5 3! = 1440 4 4 4 4 Câu 22 Ω = C16 ; Ω A = C16 − ( C9 + C10 + C11 − C4 − C5 − C6 ) ⇒ p = 48 / 91 Gọi A biến cố '' học sinh chọn có nam nữ đồng thời có khối 11 khối 12 '' 1 ● TH1: Chọn HS khối 11; HS nam khối 12 HS nữ khối 12 có C2C8C3 = 48 cách ● TH2: Chọn học sinh khối 11; học sinh nữ khối 12 có C2C3 = cách ● TH3: Chọn học sinh khối 11; học sinh nữ khối 12 có C2 C3 = cách Suy số phần tử biến cố A ΩA = 48 + + = 57 Câu 25 Gọi 125ab số bắt đầu 125 có chữ số đơi khác Suy b có cách chọn, a có cách chọn → có × = 15 số Số số chẵn có chữ số đơi khác lập từ tập A × × × × = 6720 số Suy có tất 6720 − 15 = 6705 số cần tìm Câu 26 Gọi số cần tìm số dạng abc1mnp với p = { 2; 4;6} Có cách chọn p cách chọn số { a; b; c; m; n} Vậy có tất × 75 = 50421 số cần tìm 2 Câu 27 3Cn +1 + nP2 = An → n = Hệ số x ứng với 4k − 10 = ⇔ k = → hệ số cần tìm C104 = 210 Câu 29 D trọng tâm tam giác ABC E không thuộc mặt phẳng (ABC) Vậy có C4 + = mp Câu 30 Thầy tặng sách tùy ý: A12 = 665280 Giả sử thầy giáo tặng khơng cịn văn 3 âm nhạc hội họa, có: A6 A7 + A6 A8 + A6 A9 = 85680 Vậy còn: 665280 − 85680 = 579600 4 Câu 46 Ω = C13 = 715 ΩA = C8 C5 + C8 = 350 Vậy xác suất cần tính P ( A) = 70 /143 k k +1 Câu 47 Cn = 26Cn ⇔ n = 20 Giả sử C20 ≤ C20 ⇔ k + ≤ 20 − k ⇔ k ≤ 9,5 Vậy tập có 10 pt 2 1 Câu 48 Ω = C12 = 495 ΩA = C5 C4 + C5 C4 + C5 C4 + C5 C3C4 = 240 P ( A ) = 16 / 33 4 Câu 53 Ω = C18 Khả không chọn màu vàng C11 Xác suất P = 11/102 Câu 54 ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) hoán vị số (1; 2; 3; 4) Nếu xi = i thư thứ i bỏ địa Số cách bỏ thư vào bì Ω = 4! = 24 Số cách bỏ thư vào bì là: 1.2.1.4=8 (cách) Xác suất cần tìm P = 1/ 2 Câu 55 Xác suất chọn bi màu xanh hộp I bi xanh hộp II là: p1 = 1/ C5 C3 / C5 = /100 2 Xác suất chọn bi màu đỏ hộp I bi đỏ hộp II là: p2 = 1/ C5 C3 / C5 = /100 Xác suất chọn bi không màu: − ( p1 + p2 ) = 47 / 50 1 2 3 Câu 56 Ω = C21 = 116280 ΩA = C8 C7 C6 + C8 C7 C6 + C8 C7 C6 = 23856 P ( A ) = 994 / 4845 1 1 2 Câu 57 Ω = C13 = 286 ΩA = C2C8C3 + C2C3 + C2 C3 = 57 P ( A ) = 57 / 286 Câu 58 Lấy ngẫu nhiên hộp hộp nên xác suất 1/3 TH1 Lấy hộp A lấy bi xanh hộp A, ta xác suất PA = / TH2 Lấy hộp B lấy bi xanh hộp B, ta xác suất PB = / TH3 Lấy hộp C lấy bi xanh hộp C, ta xác suất PC = / Vậy xác suất cần tính P = 1/ ( PA + PB + PC ) = 1/ ( / + / + / ) = 551/1080 Câu 64 Ta xem có số vị trí đỗ xe đánh số hình vẽ Số cách đỗ xe tùy ý 6! = 720 cách Ta có trường hợp đỗ xe cho khơng có xe màu đỗ cạnh sau: TH1: Xe đỏ đỗ vị trí 1, 3, 5: có số cách 3!.3! = 36 cách Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 132 Đề cương ôn thi THPT QG 2018 Chủ để 9: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton TH2: Xe đỏ đỗ vị trí 1, 3, 6: có số cách 3!.2.2! = 24 cách TH3: Xe đỏ đỗ vị trí 1, 4, 6: có số cách 3!.2.2! = 24 cách TH4: Xe đỏ đỗ vị trí 2, 4, 6: có số cách 3!.3! = 36 cách Vậy xác suất p = ( 36 + 24 + 24 + 36 ) / 720 = 1/ Câu 65 Số học sinh giỏi hai môn là: + 10 − 12 = 2 Suy số học sinh giỏi môn 12 − = Xác suất p = C9 / C12 = /11 Câu 66 Giả sử An chơi n trận xác suất An thua hết n trận 0, 6n ⇒ Xác suất An thắng trận là: P = − 0, 6n Dễ thấy với n lớn P lớn Ta cần: P = − 0, 6n > 0,95 ⇔ 0, n < 0, 05 ⇔ n > log 0,6 ( 0, 05 ) ≈ 5,86 Câu 67 Xác suất khơng có xạ thủ bắn trúng là: ( − P ( A) ) ( − P ( B ) ) ( − P ( C ) ) = ( − 0, ) ( − 0, ) ( − 0,5 ) = 0, 06 Xác suất có xạ thủ bắn trúng là: − 0, 06 = 0,94 Câu 69 ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) hoán vị số (1; 2; 3; 4) Với xi = i thư thứ i bỏ địa Số cách bỏ thư vào bì Ω = 4! = 24 Số cách bỏ thư vào bì là: 1.2.1.4=8 (cách) Số cách bỏ thư vào bì cách: (1;2;4;3); (1;4;3;2); (1;3;2;4); (2;1;3;4); (3;2;1;4); (4;2;3;1) Số cách bỏ thư vào bì thư vào bì cách Tổng số cách bỏ thư vào bì là: 15 cách Xác suất bỏ thư vào bì p = 15 / 24 = / Câu 70 Xác suất Việt Nam hòa 0,3 Sau ván dừng chơi Việt thắng Nam Nam thắng Việt Nên xác suất là: 0,3.(0,3 + 0, 4) = 0, 21 4 Câu 71 n ( Ω ) = C12 C8 C4 3! (bốc đội từ 12 đội vào bảng A – bốc đội từ đội lại vào bảng B – bốc đội từ đội lại vào bảng C – hoán vị bảng) 3 Gọi A : “ đội Việt Nam nằm bảng đấu” Khi đó: n ( A ) = C9 C6 C3 3!.3! (bốc đội NN từ đội NN vào bảng A – bốc đội NN từ đội NN lại vào bảng B – bốc đội NN từ đội NN lại vào bảng C – hoán vị bảng – bốc đội VN vào vị trí cịn lại bảng) 3 4 Xác suất biến cố A P ( A ) = 6.C9 C6 / ( C12 C8 ) 6 Câu 72 n ( Ω ) = C12 C6 2! = 1848 (bốc đội từ 12 đội vào bảng A – bốc đội từ đội lại vào bảng B – hoán vị bảng) Gọi A : “ đội hai lớp 12A2 11A6 bảng” n ( A ) = C10 2! = 420 (bốc đội từ 10 đội ( khơng tính hai lớp 12A2 11A6 ) vào bảng xếp hai đội hai lớp 12A2 11A6 - đội lại vào bảng – hoán vị hai bảng) ⇒ P ( A ) = 420 /1848 = / 22 Câu 73 n ( Ω ) = C12 = 220 (chọn đỉnh từ 12 đỉnh đa giác ta tam giác) Gọi A : “ đỉnh chọn tạo thành tam giác ” (Chia 12 đỉnh thành phần Mỗi phần gồm đỉnh liên tiếp Mỗi đỉnh tam giác ứng với phần trên.Chỉ cần chọn đỉnh đỉnh lại xác định nhất) Ta có: n ( A ) = C4 = Khi đó: P ( A ) = / 220 = 1/ 55 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự 133