On Thi TN THPT QG mon Toan Chu de 3: Nguyen ham, tich phan, ung dung

Ôn thi TN THPT QG môn Toán – Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng Gồm: 1. Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm. 2. Tích phân và phương pháp tính tích phân. 3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. 4. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể, khối tròn xoay. Có: Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán Các ví dụ mẫu Bài tập tự luyện Đáp số và hướng dẫn.

Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chủ đề NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tóm tắt lí thuyết 1.1 Nguyên hàm Định nghĩa: Cho f(x) xác định K Nguyên hàm f(x) K F(x) F ′( x ) = f ( x) f ( x)dx = F ( x ) + C Kí hiệu ∫ , với C số họ nguyên hàm f(x) Bảng nguyên hàm bản: Công thức nguyên hàm ∫ adx = ax + C (a, C số) xα +1 ∫ x dx = α + 1+ C α ( a ¹ - 1) ∫ x dx = ln x + C x ∫ a dx = ax +C lna ∫ e dx = e x x Công thức nguyên hàm mở rộng +C (ax + b)α +1 ∫ (ax + b) dx = a α + + C α ( a ¹ - 1) ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ax+ b ∫ A dx = Aax+ b +C A lna dx = eax+ b + C a ax+ b ∫e ∫ sin xdx = − cosx + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C ∫ cosxdx = sin x + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ cos2 x dx = tan x + C ∫ cos2(ax + b) dx = a tan(ax + b) + C ∫ sin x = − cot x + C 1 1 ∫ sin2(ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C u'(x) ∫ u(x) dx = ln u(x) + C ∫ tan xdx = − ln cos x + C ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ x− a ∫ x2 − a2 dx = 2a ln x + a + C −u'(x) dx = +C u(x) u (x) ∫x dx = − + C x Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1 1 ∫ (ax + b)2 dx = − a ax + b + C Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng Tính chất nguyên hàm: ♦ ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ♦ ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ♦ ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx , với k số khác Một số phương pháp tìm nguyên hàm: giản để sử dụng bảng nguyên hàm ♦ Phương pháp biến đổi đơn ♦ Phương pháp đổi biến số ♦ Phương pháp phần 1.2 Tích phân Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b∈ K Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K Tích phân từ a đến b f ( x ) hiệu F (b) − F ( a) b ∫ b f (x)dx =  F (x) = F (b) − F (a) Kí hiệu a Tính chất tích phân: b ♦ ♦ (Công thức NewTon - Leipniz) b b a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b ♦ a b ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a a b c a a , với k số b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Chú ý: 1) c b b b a a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (u )du = ∫ f (t )dt = a ; 2) ∫ f ( x)dx = a ; 3) b a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx Một số phương pháp tính tích phân: a) Tính tích phân phương pháp sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân tính chất kết hợp bảng nguyên hàm Ta biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng hiệu hàm đơn giản có cơng thức ngun hàm • Dạng đa thức nhân phân phối, dung đẳng thức • Dạng phân thức chia đa thức, mẫu tích bậc dùng phương pháp đồng A + B = a A = ax + b A B = + ↔ ↔ ( x − x1 )( x − x2 ) x − x1 x − x2 B = − Ax2 − Bx1 = b hệ số Chẳng hạn: • Dạng khác: biến đổi đại số mũ, lũy thừa, liên hợp, lượng giác để thành tổng, hiệu b) Tính tích phân phương pháp đổi biến số b • Dạng 1: I = ∫ f ( u ( x) ) u′( x )dx a Bước 1: Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u′( x)dx  x = b t = u(b) ⇒  x = a t = u(a)  Bước 2: Đổi cận : Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng b u (b ) a u ( a) I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt Bước 3: Chuyển sang tích phân theo biến t ta tích phân tính b I = ∫ f ( x )dx a • Dạng 2: với đặt x = ϕ (t ), t ∈ K ' Thực bước tương tự dạng c) Tính tích phân phương pháp phần b b b ∫ u ( x ).v' ( x)dx = [ u ( x).v( x)] − ∫ v ( x ).u ' ( x) dx b a a a hay: b ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu b a a Cách thực u = u(x)  du = u'(x)dx ⇒  dv = v'(x)dx  v = v(x) Bước 1: Đặt  b Bước 2: Thay vào công thức: b ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu b a a b Bước 3: Tính [ u.v ] b a ∫ vdu a Lưu ý:  Biểu thức dấu tích phân là: P( x )Q ( x) dx với P(x) đa thức cịn Q(x) hàm lượng giác; mũ; lơgarít dạng tích phân phần… Chẳng hạn: π ( x + 1) sin x.dx I =∫ e ; J = ∫ ln xdx K=∫ ; P ( x ).[ P '( x )dx ] ln ( x + 1) x dx π ; L = ∫ x e x dx , M =∫4 x dx cos x …  Biểu thức dấu tích phân là: dạng đổi biến dạng 1… Chẳng hạn: x +1 2 + ln x 2x +1 π K = dx L = J = dx ∫ I = ∫ cos x sin x.dx ∫0 x + x + ; ∫1 x dx … x +1 + ; ; x=b x=a O y (H ) a b (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x) x 1.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng (C1 ) : y = f ( x); (C2 ) : y = g ( x) (H ) :   ∆1 : x = a; ∆ : x = b b (H) có diện tích S = ị f ( x) - g ( x) dx a Chú ý  Nếu chưa có đủ cận tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình f ( x) = g ( x)  Nếu có đủ cận viết cơng thức tính diện tích  Lúc tính tích phân có dấu giá trị tuyệt đối cách xét dấu biểu thức dấu GTTĐ đưa đến tổng tích phân  Tích tích phân dẫn đến đáp số 1.4 Ứng dụng tích phân để tính thể tích a) Thể tích vật thể Cho vật thể (T) giới hạn mp song song (α), (β) Xét hệ tọa độ Oxy cho (α): x = a , (β): x = b (a 1/ + HD: Với ta có nên Chọn B HS sử dụng MTCT kiểm tra tính khẳng định theo công thức sau: f ( x0 ) − F ′( x0 ) = , em bấm theo công thức f ( x0 ) − d ( f ( x) ) dx x = x0 , với x0 ∈ D • Tìm ngun hàm Tính giá trị nguyên hàm Ví dụ Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x ) = − 5sin x f (0) = 10 Mệnh đề ? A f ( x) = x + 5cos x + B f ( x) = x + 5cos x + C f ( x) = 3x − 5cos x + D f ( x) = x − 5cos x + 15 HD: f ( x) = ∫ f ′( x)dx = 3x + 5cos x + C Vì f (0) = 10 nên 5cos(0) + C = 10 ⇔ C = Chọn A x − F (2) = Tính F (3) F (3) = F (3) = A F (3) = ln − B F (3) = ln + C D F ( x) = ln ( x − 1) + C HD: Cách 1: F (2) = nên C = Do F (3) = ln + Chọn B Ví dụ Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = F (3) − F (2) = ∫ f ( x)dx ⇔ F (3) = F (2) + ∫ f ( x)dx 2 Cách 2: Ta có: , với MTCT kiểm tra đáp số Lưu ý: Cách áp dụng hàm số liên tục đoạn [a; b] Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng • Tính tích phân đơn giản e I = ∫ dx x Ví dụ Tính tích phân A I = e B I = C I = e F ( x ) = ln x ; F (e) − F (1) = − = HD: Chọn B D I = π • Vận dụng tính chất tích phân 1; Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn [ ] , f (1) = f (2) = Tính I= A I = B I = −1 C I = D I = ∫ f ′( x) dx HD: I = f ( x ) = f (2) − f (1) = − Ví dụ Cho ∫ f ( x)dx = π ∫ 2sin xdx = nên Ví dụ Biết A HD: Tính I = ∫ [ f ( x) + 2sin x ] dx π I = 5+ B A I = HD: Chọn A π π π π 0 D I = + π C I = I = ∫ f ( x)dx + ∫ 2sin xdx = + = 3 ∫ f (x)dx = 5; ∫ f (x)dx = Chọn A Tính B −2 ∫ f (x)dx ? D C 3 1 = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ⇒ Kq = − = Chọn A • Vận dụng phương pháp tính tích phân π I = ∫ cos x sin xdx Ví dụ 10 Tính tích phân I = − π4 4 A B I = −π C I = D I =− −1 I = ∫ t dt = HD: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, x = ⇒ t = 1; x = π ⇒ t = −1 Hay học sinh sử dụng MTCT (lưu ý đơn vị rađian) kết Chọn C t hàm số lẻ Ví dụ 11 Xét tích phân định sau đúng? I = ∫ x x + 1dx A I = ∫ tdt I= Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự B tdt ∫0 Nếu đặt t = x + khẳng định khẳng I = ∫ tdt 21 C D I = ∫ tdt Đề cương ôn thi THPT QG 2018 môn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng 2 1 ⇒ I = ∫ t dt = ∫ tdt dt = xdx ⇔ xdx = dt 21 Khi x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = HD: Chọn C Ví dụ 12 Cho A I = 32 ∫ f ( x) dx = 16 Tính B I = I = ∫ f (2 x )dx C I = 16 D I = HD: Đặt t = x , ⇒ dt = 2dx ⇔ dx = dt / đổi cận, ta suy I = 16 / = Chọn B e I = ∫ x ln xdx Ví dụ 13 Tính tích phân e −2 I= I= 2 A B C I= e2 + D I= e2 − dx x2 ⇒ du = , v = x suy Chọn C HD: Sử dụng phương pháp phần Đặt u = ln x, dv = xdx Ví dụ 14 Biết A S = HD: ∫x dx = a ln + b ln + c ln +x B S = , với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c C S = −2 D S = 4 dx 1  x 1 ∫3 x + x = ∫3 x( x + 1) dx = ∫3  x − x + ÷ dx = ln x + = ln − ln − ln Chọn B • Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, khối trịn xoay y= Ví dụ 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường A − ln B + ln C − ln S= HD: Diện tích hình phẳng ∫ −1 2x −1 x − , y = , x = , x = −1 D − ln 0 2x −1   dx = ∫  + ÷dx = + ln x − −1 = − ln x −1 x −1  −1  Chọn A Ví dụ 16 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn π x= đường y = tan x , y = , x = , A V= π B V= π2 π HD: Thể tích V = π ∫ tan xdx = −π ln cos x C π /4 = −π ln V= π D π ln = π ln = 2 V= π ln 2 Chọn D Ví dụ 17 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = A V = 2π B V= 71 82 C V= 512π 15 V = π2 D 2 HD: Hoành độ giao điểm nghiệm − x = ⇔ x = ±2 Thể tích Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự V = π ∫ (4 − x ) dx −2 Chọn C Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Ví dụ 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = , y = x A B C D HD: Hoành độ giao điểm y = − x, y = x = ; y = 0, y = x x = ; S = ∫ x − dx + ∫ − x − dx = y = x , y = − x x = Diện tích Chọn A Ví dụ 19 Tính thể tích vật thể T nằm hai mặt phẳng x = x = π , biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 ≤ x ≤ π ) hình vng cạnh sin x A B 8π D 4π C π HD: Diện tích hình vng S = 4sin x Thể tích V = ∫ 4sin xdx = Chọn C • Kĩ vận dụng nguyên hàm, tích phân, ứng dụng Ví dụ 21 Khẳng định sai? π  sin  ∫ (π − x )sin xdx ÷ = 0  A π 3  tan  ∫ (π − x ) sin xdx ÷ = −1 40  C 1π  cos  ∫ (π − x) sin xdx ÷ = 20  B π   cos  ∫ (π − x) sin xdx ÷ = −1   D π HD: Tính ∫ (π − x)sin xdx = π A, B, C Chọn D 2x Ví dụ 22 Cho F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x )e Tìm nguyên hàm hàm số f ′( x)e2 x ∫ f ′( x)e f ′( x)e C ∫ 2x A 2x dx = − x + x + C dx = x − x + C ∫ f ′( x)e f ′( x )e D ∫ 2x B 2x dx = − x + x + C dx = −2 x + x + C u = e du = 2e2 x dx ⇒  f ( x )e x dx = F ( x) + C ⇒ f ( x )e x = F ′( x) = x dv = f ′( x)dx v = f ( x) ∫  HD: Ta có Đặt 2x 2x 2x ⇒ Kq = f ( x).e − ∫ f ( x).e dx = f ( x).e − F ( x ) + C Chọn D 2x ∫ ( x + 1) f ′( x)dx = 10 I = ∫ f ( x )dx Ví dụ 23 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (1) − f (0) = Tính A I = −12 B I = C I = 12 D I = −8 1 u = f ( x) u = f ′( x )dx ⇒ I = ( x + 1) f ( x ) − ∫ ( x + 1) f ′( x)dx = f (1) − f (0) − 10 = −8 ⇔  v = x + HD: Đặt  dv = dx a (t ) = 2t + t (m/s ) Ví dụ 24 Một vật chuyển động với vận tốc 6m/s tăng tốc với gia tốc Tính quãng đường vật khảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 36m B 24m C 432m D 596m Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết HD: Kiến thức áp dụng Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng a (t ) = v′(t ) ⇒ v(t ) = ∫ a (t )dt = t + t + v0 b S = ∫ v(t )dt = ∫ ( t + t + ) dt = 432 a Quảng đường vật m Chọn C Ví dụ 25 Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 (km) B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km) HD: Giả sử phương trình vận tốc chuyển động theo đường parabol v (t ) = at + bt + c(km / h) c = c =  b    =2 ⇔ a = − − 31  2a   4a + 2b + c = b = ⇒ v(t ) = − t + 5t + ⇒ v (1) = Ta có: Vậy quãng đường mà vật chuyển động 31 259   S = ∫  − t + 5t + ÷dt + ∫ dt = ≈ 21,58 4 12  0 (km) Ví dụ 26 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′( x) hình bên Đặt h( x) = f ( x) − x Mệnh đề ? A h(4) = h( −2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h( −2) D h(2) > h(−2) > h(4) Bài tập tự luyện Câu Cho số thực C hàm số f(x), g(x) liên tục Khẳng định sau sai? kf (x)dx = kị f (x)dx (k Ỵ ¡ ) f / (x)dx = f (x) +C A ò B ò ( f (x) ± g(x))dx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx ( f (x).g(x))dx = ò f (x)dx.ò g(x)dx C ị D ị Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự Đề cương ôn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng Câu Nguyên hàm hàm số f ( x) = x + sin x f (x)dx = + cosx +C A ò B f (x)dx = 2- cosx +C C ò D ò f (x)dx = x ò f (x)dx = x - cosx +C + cosx +C Câu Trong hàm số liệt kê đây, hàm số có nguyên hàm hàm số F ( x) = tan x ? 2 y = - ln cosx A y = tan x B y = tan x + C y = tan x + D 2x Câu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = e Khẳng định sau đúng? F ( x) = e2 x + 5π 2x x 4x A B F ( x) = 2e + C F ( x ) = e + C D F ( x ) = e + Câu Cho biết ∫ f ( x)dx = −4 , A ∫ ∫ f ( x) dx = ∫ g ( x)dx = f ( x) g ( x) dx = 48 B ∫ f ( x)dx = −12 Khẳng định sau sai? C ∫ f ( x)dx = 10 D ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = − 1 Câu Tính: I = ∫ x dx A I = ln B I = C x4 − + 2x x Câu Nguyên hàm hàm số f(x) = x − 3ln x + x.ln + C A B x3 + + 2x + C 3 x C D I= ln D I= ln I= 29 x5 2x − 3ln x + +C ln x5 + + x.ln + C x Câu Tính tích phân I = ∫ (x + x + 1)dx A I = 11 B I= 19 C I = D C I = 3e + D I = e + C I = − π D I = π − 1 Câu Tính tích phân A I = 2e + I = ∫ (2e x + 1)dx B I = 2e − π Câu 10 Tính tích phân I =π − A I = ∫ (2 − sin x)dx B I = − π Câu 11 Tính tích phân : I = ∫ ( x + x + 1) dx Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 10 Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết 21 A 15 Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng 41 B 30 11 C 20 21 D 30 C I = 2(e − 1) D I = e − 1 I = ∫ e x dx Câu 12 Tính: I = (e − 1) A B Câu 13 Cho ∫ A e(e − 1) f ( x)dx = 10 ∫ I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx f ( x)dx = −17 B ∫ f ( x) dx = 17 C Câu 14 Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số A F ( x) = cot x − B F ( x) = cot x + ∫ f ( x) dx = D ∫ f ( x)dx = −3 π F( ) = sin x , biết F ( x ) = − cot x − C D F ( x ) = − cot x + f ( x) = Câu 15 Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a