Chuong-6-Phan-phoi-lien-tuc

với giá trị x Vùng bên hàm mật độ xác suất f(x) tất giá trị biến ngẫu nhiên X 1,0 Xác suất X nằm hai giá trị diện tích biểu đồ hàm mật độ hai giá trị Hàm mật độ tích lũy F(x0) diện tích hàm mật độ xác suất f(x) từ giá trị x tối thiểu lên đến x0 F  x0   x0  f  x dx xm xm giá trị tối thiểu biến ngẫu nhiên X Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-7 Xác suất diện tích Vùng bóng mờ đường cong xác suất X nằm a b f(x) P (a ≤ x ≤ b) = P (a < x < b) = F ( b)- F(a) (Lưu ý xác suất giá trị riêng lẻ không) a x b Chap 6-8 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối (uniform distribution) Probability Distributions Continuous Probability Distributions Uniform Normal Exponential Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-9 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-4 Phân phối  Phân phối đồng phân phối xác suất có xác suất cho tất kết có biến ngẫu nhiên f(x) Tổng diện tích hàm mật độ xác suất đồng 1,0 xmax x xmin Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-10 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-11 Thuộc tính phân phối đồng  Trung bình phân phối là: μ ab  Phương sai là: σ2  (b - a) 12 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-12 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-5 Ví dụ phân phối đồng Ví dụ: phân phối xác suất khoảng ≤ x ≤ 6: f(x) = - = 0,25 ≤ x ≤ f(x) 0,25 x μ ab 26  4 2 σ2  (b - a)2 (6 - 2)2   1.333 12 12 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-13 Ví dụ phân phối đồng Một trạm xăng có 1.000 gallon ngày Lượng xăng bán vào ngày cụ thể khơng thể đốn trước từ - 1000 gallon Từ lịch sử qua, nhu cầu số tiền có khả  Hàm p.d.f: 0,001 0 x 1,000 otherwise f  x {  Xác suất mà doanh số 250 750 : P(250 < x < 750) = F(750) – F(250) = 0,001(750) – 0,001(250) = 0,5 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-14 Ví dụ phân phối đồng Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-15 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-6 Ví dụ phân phối đồng Ví dụ: Một nhóm sửa chữa có trách nhiệm dải đường ống dẫn dầu dài dặm Khoảng cách (tính dặm) mà việc gãy ống xảy đại diện biến ngẫu nhiên phân phối đều, với hàm mật độ xác suất: f(x) = 0,5 Tìm hàm phân phối tích lũy khả mà đoạn gãy xảy 0,5 dặm 1,5 dặm dọc theo đoạn đường ống Giải: Hàm tích lũy xác suất < x < 2: F(x0) = 0,5x0 Xác suất đoạn gãy xảy 0,5 – 1,5 dặm dọc đường ống là: P(0,5 < x < 1,5) = 0,5.1,5 – 0,5.0,5= 0,5 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-16 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục   Vì xác suất giá trị cụ thể 0, nên giá trị dự kiến tính phép tính tích phân Trung bình X, ký hiệu μX , định nghĩa giá trị kỳ vọng X  X  E  X    xf  x  dx x  Phương sai X, ký hiệu σX2 , định nghĩa kỳ vọng độ lệch bình phương, (X - μX)2, biến ngẫu nhiên từ trung bình  X2  E  X   X    E  X    X2   Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-17 Hàm tuyến tính biến  Gọi W = a + bX , X có trung bình μX phương sai σX2 , a b số  Vậy trung bình W μW  E(a  bX)  a  bμX  Phương sai σ 2W  Var(a  bX)  b2σ 2X  Độ lệch chuẩn W σW  b σX Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-18 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-7 Hàm tuyến tính biến (continued)  Một trường hợp đặc biệt quan trọng kết trước biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Z X  μX σX  có trung bình phương sai Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-19 Hàm tuyến tính biến: Ví dụ Ví dụ: Một chủ nhà ước tính phạm vi nhiệt độ có khả năng, hóa đơn sưởi ấm tháng anh ta, đô la, là: Y = 290 – 5T, T nhiệt độ trung bình tháng, tính độ F Nếu nhiệt độ trung bình tháng biểu thị biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình 24 độ lệch chuẩn 4, tìm giá trị trung bình độ lệch chuẩn hóa đơn sưởi ấm tháng Giải: Ta có T = 24 T = Do vậy, kỳ vọng hóa đơn tiền sưởi: Y = 290 – T = $170 Và độ lệch chuẩn: Y = |-5| T = 5.4 = $20 Chap 6-20 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối chuẩn Probability Distributions Continuous Probability Distributions Uniform Normal Exponential Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-21 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-8 Phân phối chuẩn (continued) ‘Dạng hình chng’  Đối xứng f(x)  trung bình, trung vị Mode Vị trí xác định giá trị trung bình, μ  Độ phân tán xác định độ lệch chuẩn, σ Biến ngẫu nhiên có phạm vi biến động vô hạn: +  đến   σ x μ Mean = Median = Mode Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-22 Phân phối chuẩn (continued)  Phân phối chuẩn xấp xỉ với phân phối xác suất loạt biến ngẫu nhiên => áp dụng rộng rãi  Phân phối trung bình mẫu gần phân phối chuẩn với kích thước “mẫu lớn”  Tính tốn xác suất trực tiếp rõ ràng  Phân phối xác suất chuẩn dẫn đến định kinh doanh tốt số ứng dụng Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-23 Nhiều phân phối chuẩn Bằng cách thay đổi tham số μ σ, thu phân phối chuẩn khác Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-24 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-9 Hình dạng phân phối chuẩn f(x) Thay đổi μ dịch chuyển phân phối sang trái hay phải σ Thay đổi σ tăng hay giảm phân tán μ x Cho trước trung bình μ phương sai σ2 định nghĩa phân phối chuẩn sử dụng X ~ N(μ,σ ) ký hiệu Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-25 Hình dạng phân phối chuẩn Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-26 Hàm mật độ xác suất chuẩn  Công thức cho hàm mật độ xác suất chuẩn f(x)  2 e (x μ) /2σ 2π e = số tốn học xấp xỉ 2,71828 π = số toán học xấp xỉ 3,14159 μ = trung bình tổng thể σ = độ lệch chuẩn tổng thể x = giá trị biến ngẫu nhiên,  < x <  Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-27 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-10 Hàm tích lũy xác suất chuẩn  Đối với biến ngẫu nhiên chuẩn X có trung bình μ phương sai σ2 , tức là, X~N(μ, σ2), hàm phân phối tích lũy F(x )  P(X  x ) F   1 f(x) P(X  x ) x x0 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-28 Tính xác suất phân phối chuẩn Xác suất cho phạm vi giá trị đo diện tích đường cong P(a  X  b)  F(b)  F(a) a μ x b Chap 6-29 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Tính xác suất phân phối chuẩn (continued) F(b)  P(X  b) a μ b x a μ b x a μ b x F(a)  P(X  a) P(a  X  b)  F(b)  F(a) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-30 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-14 Tìm xác suất phân phối chuẩn  Giả sử X theo phân phối chuẩn với trung bình 8,0 độ lệch chuẩn 5,0  Tìm P(X < 8,6) X 8,0 8,6 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-40 Tìm xác suất phân phối chuẩn (continued)  Giả sử X theo phân phối chuẩn với trung bình 8,0 độ lệch chuẩn 5,0 Tìm P(X < 8,6) Z X  μ 8.6  8.0   0.12 σ 5.0 μ=8 σ = 10 8,6 μ=0 σ=1 X P(X < 8,6) Z 0,12 P(Z < 0,12) Chap 6-41 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Giải: Tìm P(Z < 0,12) Bảng xác suất chuẩn tắc (Một phần) z F(z) P(X < 8,6) = P(Z < 0,12) F(0,12) = 0,5478 0,10 0,5398 0,11 0,5438 0,12 0,5478 0,13 0,5517 0,00 Z 0,12 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-42 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-15 Xác suất đuôi phải  Giả sử X theo phân phối chuẩn với trung bình 8,0 độ lệch chuẩn 5,0  Bây giờ, tìm P(X > 8,6) X 8,0 8,6 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-43 Xác suất phải (continued)  Bây giờ, tìm P(X > 8,6) … P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12) = 1,0 – 0,5478 = 0,4522 0,5478 1,000 Z 0,12 1,0 – 0,5478 = 0,4522 Z 0,12 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-44 Tìm xác suất chuẩn: Ví dụ Ví dụ: Xác suất giá trị danh mục đầu tư Một khách hàng có danh mục đầu tư có giá trị trung bình 1.000.000 đô la với độ lệch chuẩn 30.000 đô la Tính xác suất giá trị danh mục đầu tư anh nằm khoảng từ 970.000 đến 1.060.000 đô la Giải: Chuyển đổi giá trị X thành Z: 970.000 1.000.000  1 30.000 1.060.000 1.000.000 Z970.000   2 30.000 Z970.000  Như vậy: 970.000 < X < 1.060.000  -1 < Z < Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-45 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-16 Tìm xác suất chuẩn: Ví dụ Ví dụ: Xác suất giá trị danh mục đầu tư Vẽ phác họa đường phân phối chuẩn Tính xác suất cần tìm: P(970.000 < X< 1.000.000) = P(-1 < Z < 2) = – P(Z < -1) – P(Z >2) = – 0,1587 – 0,0228 = 0,8185 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-46 Tìm giá trị X biết xác suất  Các bước để tìm giá trị X cho xác suất biết: Tìm giá trị Z ứng với xác suất biết Chuyển đổi sang giá trị X sử dụng công thức: X  μ  Zσ Chap 6-47 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Tìm giá trị X biết xác suất (continued) Ví dụ:  Giả sử X theo phân phối chuẩn với trung bình 8,0 độ lệch chuẩn 5,0  Bây tìm giá trị X để 20% tất giá trị nằm X 0,20 ? ? 8,0 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e X Z Chap 6-48 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-17 Tìm giá trị Z cho 20% nằm bên trái Tìm giá trị Z cho xác suất biết  20% diện tích nằm đuôi trái tương ứng với giá trị Z -0,84 Bảng xác suất chuẩn tắc (Một phần) z F(z) 0,82 0,7939 0,80 0,20 0,83 0,7967 0,84 0,7995 X Z ? 8,0 -0,84 0,85 0,8023 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-49 Tìm giá trị X Chuyển đổi sang X công thức: X  μ  Zσ  8.0  ( 0.84 )5.0  3.80 Vì vậy, 20% giá trị từ phân phối có giá trị trung bình 8,0 độ lệch chuẩn 5,0 nhỏ 3,80 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-50 Đánh giá tính chuẩn  Khơng phải tất biến ngẫu nhiên liên tục theo phân phối chuẩn  Điều quan trọng đánh giá mức độ xấp xỉ phân phối chuẩn số liệu Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-51 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-18 Đồ thị xác suất chuẩn  Đồ thị xác suất chuẩn (Normality Probability Plot)  Sắp xếp liệu từ giá trị thấp đến cao  Tìm xác suất tích lũy cho tất giá trị  Kiểm tra biểu đồ giá trị quan sát so với xác suất tích lũy (với xác suất chuẩn tích lũy trục tung giá trị liệu quan sát trục hoành)  Đánh giá đồ thị để xem có tuyến tính khơng Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-52 Đồ thị xác suất chuẩn (continued) Một biểu đồ xác suất chuẩn liệu từ phân phối chuẩn xấp xỉ đường thẳng: 100 Phần trăm Số liệu Chap 6-53 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Đồ thị xác suất chuẩn (continued) Lệch trái Lệch phải 100 Percent Percent 100 0 Data Data Đồng Nếu đồ thị khơng phải đường thẳng số liệu khơng theo phân phối chuẩn Percent 100 Data Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-54 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-19 Phân phối xấp xỉ chuẩn phân phối nhị thức  Nhớ lại phân phối nhị thức:  n phép thử độc lập  Xác suất thành công lần thử = P  Biến ngẫu nhiên X:  Xi =1 phép thử thứ i “thành công”  Xi =0 phép thử thứ i “thất bại” E(X)  μ  nP Var(X)  σ  nP(1- P) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-55 Phân phối xấp xỉ chuẩn phân phối nhị thức Chap 6-56 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối xấp xỉ chuẩn phân phối nhị thức (continued)  Hình dạng phân phối nhị thức xấp xỉ chuẩn n lớn Quy ước  Phân phối chuẩn xấp xỉ tốt cho nhị thức nP(1 – P) >  Đôi khi: nP  hay n(1 – P)  Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-57 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-20 Phân phối xấp xỉ chuẩn phân phối nhị thức (continued)  Gọi X số lần thành công từ n thử nghiệm độc lập, lần có xác suất thành cơng P  Chuẩn hóa thành giá trị Z từ phân phối nhị thức: Z  Nếu X  E(X) X  np  Var(X) nP(1  P) nP(1 - P) > 5,  a  nP b  nP  P(a  X  b)  P Z  nP(1 P) nP(1  P)   Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-58 Ví dụ xấp xỉ nhị thức  40% tổng số cử tri ủng hộ đề xuất bỏ phiếu A Xác suất mà từ 76 đến 80 cử tri ủng hộ mẫu n = 200 bao nhiêu?  E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80  Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48 (lưu ý: nP(1 – P) = 48 > )   76  80 80  80  P(76  X  80)  P Z  200(0.4)(1 0.4) 200(0.4)(1 0.4)    P( 0.58  Z  0)  F(0)  F( 0.58)  0.5000  0.2810  0.2190 Chap 6-59 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Biến ngẫu nhiên tỷ lệ  Gọi P biến ngẫu nhiên tỷ lệ X P n đó: X: số lần thành cơng, n: cỡ mẫu  Sử dụng biến đổi tuyến tính, phân phối chuẩn dùng để tính xác suất với P 2  P 1  P  n Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-60 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-21 Biến ngẫu nhiên tỷ lệ: Ví dụ (continued)  Susan Chung tham gia bầu cử với ứng cử viên khác Một nhà dự báo lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 900 cử tri, 500 người cho biết họ bỏ phiếu cho Chung Chung thắng cử không?  Nếu 50% dân số bỏ phiếu cho Chung, thắng  Tính xác suất có 500 cử tri trở lên số 900 ủng hộ Chung  Giả định xác 50%, P = 0,5, dân số ủng hộ cô Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-61 Biến ngẫu nhiên tỷ lệ: Ví dụ (continued)  Dùng phân phối nhị thức, xác suất 500 thành công số 900 thử nghiệm P = 0,5 P  X  500| n  900, P  0.5  P  X  500 |   450,  225 500  450    P Z    P  Z  3.33  0.0004 225    Xác suất nhỏ, P lớn 0,5, thắng  Một cách tiếp cận khác để tính tốn xác suất:  Tính xác suất mà 55.6% (500/900) người mẫu ủng hộ Susan 50% tổng thể ủng hộ cô ta Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-62 Proportion random variable: Ex (continued)  Dùng trung phương sai biến ngẫu nhiên tỷ lệ:  = P = 0,50 P1 P 0,51 0,5 2   n 900   0,0167 P P  0,556| n  900, P  0,5  P P  0,556|   0,5,  0,0167  0,556  0,5   P Z   P Z  3,333  0,0004 0,0167   Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-63 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-22 Phân phối mũ Probability Distributions Continuous Probability Distributions Normal Uniform Exponential Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-64 Phân phối mũ  Hữu ích cho vấn đề hàng chờ xếp hàng  Được sử dụng để lập mơ hình khoảng thời gian hai lần xuất kiện (thời gian lần đến)  Ví dụ:  Thời gian xe tải đến bến tàu dỡ hàng  Thời gian giao dịch máy ATM  Thời gian gọi điện thoại cho nhà điều hành Chap 6-65 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối mũ (continued)  Một biến ngẫu nhiên theo phân phối mũ, T (t>0) có hàm mật độ xác suất sau: f(t)  λ e  λ t for t   Trong   số lần xuất trung bình đơn vị thời gian  t số đơn vị thời gian lần xuất  e = 2,71828  T cho tuân theo phân phối xác suất mũ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-66 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-23 Phân phối mũ  Được xác định tham số nhất, trung bình nó,  (lambda)  Hàm phân phối tích lũy (xác suất thời gian đến thời gian xác định) F(t)   e  λ t Trong e = số tốn học xấp xỉ 2,71828  = trung bình tổng thể số lần đến đơn vị t = giá trị biến liên tục t > Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-67 Phân phối mũ  Xác suất mà thời gian hai lần đến ta hay hơn: P T  t a    e   ta  Xác suất mà thời gian hai lần đến ta tb:    P  tb  T  t a    e   t a   e   t b   e   tb  e   t a Chap 6-68 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối mũ    P t10  T  t20   1 e0,2t20  1 e0,2t10   e0,2t10  e0,2t20  0,1353  0,0183  0,1170 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 6-69 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 6-24 Phân phối mũ: Ví dụ Ví dụ: Khách hàng đến quầy dịch vụ với mức 15 người Xác suất mà thời gian đến khách hàng liên tiếp ba phút bao nhiêu?  Số lượng khách trung bình 15, nên  = 15  phút 0,05  P(T < 0,05) = – e- X = – e-(15)(0,05) = 0,5276  Vì vậy, xác suất 52,76% cho việc thời gian đến khách hàng liên tiếp ba phút Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 6-70 Phân phối mũ: Ví dụ  Ví dụ: Thời gian phục vụ bàn thơng tin thư viện Thời gian phục vụ khách hàng bàn thơng tin thư viện mơ hình hóa phân phối mũ với thời gian phục vụ trung bình phút Xác suất mà lần phục vụ khách hàng nhiều 10 phút gì? Giải: Đặt t biểu thị thời gian phục vụ (tính phút) Tốc độ phục vụ  = 1/5 = 0,2 phút hàm mật độ xác suất là: f (t)  et Xác suất cần tìm: P(T > 10) = – P(T