Một số phân phối liên tục quan trọng -2 ppsx

Ví dụ 3.4. Giả sử chiều cao X của một loại cây là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Tiến hành đo 640 cây thấy có 25 cây thấp hơn 18m và 110 cây cao hơn 24m a- Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch tiêu chuẩn. b- ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong số 640 cây trên. Giải. Giả sử E(X) = a và . a- Theo giả thiết ta có P( X < 18) = P(X < 24) = Vậy ta có hệ Giải hệ ta nhận được a = 21,9 m và = 2,22 m. b- Ta có Định lý 3.5. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tham số a, s 2 thì E(X) = Chứng minh. Hàm mật độ của X có dạng f(x) = nên E(X) = . Đặt t = thì dt = và x = a + st. Từ đó E(X) = = a.1 + 0 = a Ta có DX = E(X – a) 2 = Đặt t = thì dt = và x = a + st . Từ đó  Sự liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn. Định lí 3.6. (Định lí DeMoivre - Laplace) Giả sử xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử của dãy n phép thử Bernoulli là p, 0 < p < 1. Khi đó, nếu S n là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử thì trong đó , x Î R. Vì ta xấp xỉ phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc bằng phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục nên để có được xấp xỉ chính xác hơn, ta cần có hiệu chỉnh như sau Ví dụ 3.7. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần mặt sấp xuất hiện khi gieo 40 lần một đồng xu cân đối. Tính P(X = 20). Giải. Ta thấy X có phân phối nhị thức tham số n = 40; p =0,5. Ta có 4. Phân phối khi bình phương (c 2 ) Định nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên X có phân phối khi bình phương với n bậc tự do, ký hiệu c 2 (n) nếu hàm mật độ của nó có dạng: trong đó G(a) = với a>0 là hàm Gamma. Chú ý: G(a) = (a - 1)G(a - 1); G(n) = (n - 1)! với n 5. Phân phối Student Định nghĩa 5.1 Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Student với k bậc tự do nếu hàm mật độ của nó có dạng trong đó , a > 0, b > 0, được gọi là hàm Bêta. 6. Phân phối F (Fisher R.A - Snedecor G.W) Định nghĩa 6.1. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối F với m, n bậc tự do nếu hàm mật độ của nó có dạng: . S n là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử thì trong đó , x Î R. Vì ta xấp xỉ phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc bằng phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục nên. ngẫu nhiên chỉ số lần mặt sấp xuất hiện khi gieo 40 lần một đồng xu cân đối. Tính P(X = 20). Giải. Ta thấy X có phân phối nhị thức tham số n = 40; p =0,5. Ta có 4. Phân phối khi bình phương. Ta có DX = E(X – a) 2 = Đặt t = thì dt = và x = a + st . Từ đó  Sự liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn. Định lí 3.6. (Định lí DeMoivre - Laplace) Giả sử xác suất để biến