E(X) = D(X) = Chứng minh. Ta có Từ đó suy ra D(X) = . 3. Phân phối hình học Trước hết ta xét một ví dụ sau Ví dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G 1 , G 2 , … sao cho mỗi phép thử G i tương ứng với không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết để lần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu trong (k – 1) phép thử đầu tiên, biến cố xuất hiện còn ở phép thử thứ k, biến cố A xuất hiện. Từ đó, phân phối xác suất của X là P(X = k) = (1- p) k-1 p, k = 1, 2,…. Định nghĩa 3.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học tham số p nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = (1 – p) k - 1 p, k = 1, 2,…. Ví dụ 3.3. Bắn liên tiếp, độc lập vào 1 mục tiêu cho tới khi nào trúng mục tiêu thì dừng bắn. Xác suất để mỗi viên đạn trúng mục tiêu là 0,2. Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p = 0,2. Từ đó, phân phối xác suất của X là P(X = k) = , k = 1,2,… Định lý 3.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học tham số p thì E(X) = và D(X) = Chứng minh. Đặt q = 1 – p thì Từ đó suy ra D(X) = . 4. Phân phối siêu bội Trước hết ta xét ví dụ sau Ví dụ 4.1. Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt và N - M phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm. Tìm xác suất để trong n sản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt. Giải. Gọi X là số sản phẩm tốt trong n sản phẩm lấy ra. Ta có P( X = k) = , k = 0, 1, 2, ,n Định nghĩa 4.2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số n, N, M nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = = q(N, M, n, k), k = 1, 2,…,n Định lí 4.3. Nếu n cố định, còn N tăng lên vô hạn và tỉ số tiến tới p (0 < p < 1) thì phân phối siêu bội q(N, M, n, k) tiến tới phân phối nhị thức P n (k) = khi N ® ¥. Chứng minh. Theo giả thiết . Ta có P(X = k) = = = Định lý 4.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n, N, M thì E(X) = và D(X) = với Chứng minh. Ta có Do nên với Y là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n -1, N – 1, M – 1. Vậy ; và từ đó = với . A xuất hiện. Từ đó, phân phối xác suất của X là P(X = k) = ( 1- p) k-1 p, k = 1, 2, …. Định nghĩa 3 .2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học tham số p nếu phân phối xác suất của nó. tiên trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p = 0 ,2. Từ đó, phân phối xác suất của X là P(X = k) = , k = 1 ,2, … Định lý 3.4. Nếu. k = 0, 1, 2, ,n Định nghĩa 4 .2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số n, N, M nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = = q(N, M, n, k), k = 1, 2, …,n Định