Bài 2: Một số phân phối liên tục đặc biệt

Bài 2: Một số phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương University of Economics and Finance vinhlx@uef.edu.vn September 2018 Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 Contents Đại lượng ngẫu nhiên liên tục - Continuous Random Variable Định nghĩa ĐLNN liên tục Tham số đặc trưng ĐLNN liên tục Phân phối chuẩn - Normal Distribution Phân phối chuẩn chuẩn tắc - Standard Normal Distribution Phân phối - Uniform Distribution - tham khảo Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn - tham khảo Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 Contents Đại lượng ngẫu nhiên liên tục - Continuous Random Variable Định nghĩa ĐLNN liên tục Tham số đặc trưng ĐLNN liên tục Phân phối chuẩn - Normal Distribution Phân phối chuẩn chuẩn tắc - Standard Normal Distribution Phân phối - Uniform Distribution - tham khảo Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn - tham khảo Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 ÔN TẬP Example Xét toán đơn giản: Tung đồng xu 10 lần gọi X số lần xuất mặt ngửa số 10 lần tung Ta biết X nhận giá trị : 𝑋 = {0, 1, 2, 3, , 9, 10} 𝑋 ∼ 𝐵(10, 0.5) nên ta tính 𝑃 (𝑋 = 0), 𝑃 (𝑋 = 1), , 𝑃 (𝑋 = 10) Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 GIỚI THIỆU Xét toán khác: Khảo sát chiều dài vỏ nghêu ta thấy: phần lớn chiều dài tập trung gần 45mm, số vỏ nghêu có chiều dài 55mm đồng thời có số vỏ nghêu có chiều dài 35mm Nếu gọi X chiều dài vỏ nghêu phân bố X dạng sau: Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 GIỚI THIỆU Tương tự ta khảo sát X chiều cao, cân nặng lượng mưa năm TP.HCM Kết có dạng đồ thị tương tự Người ta sử dụng đường cong 𝑓 (𝑥) có dạng hình chng (bell curve) để mơ tả phân bố X Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 Định nghĩa Definition 𝑋 đại lượng ngẫu nhiên liên tục, nếu: 𝑋 nhận vô hạn giá trị không đếm Tồn hàm số 𝑓 (𝑥) thỏa điều kiện 2.1 𝑓∫︀ (𝑥) ≥ ∀𝑥 ∈ R ∞ 2.2 −∞ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = cho 𝐹 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = ∫︀ 𝑥 −∞ 𝑓 (𝑢) 𝑑𝑢 𝑓 (𝑥): hàm mật độ xác suất (PDF) 𝐹 (𝑥): hàm phân phối xác suất (CDF) Với ĐLNN liên tục, hàm mật độ 𝑓 (𝑥) không trực tiếp cho ta xác suất mà phải tính tốn thơng qua tích phân Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 Xác suất ĐLNN liên tục Xác suất điểm 0: 𝑃 (𝑋 = 𝑥) = ∀𝑥 ∈ R Hệ quả: 𝑃 (𝑋 < 𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐹 (𝑥); 𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) Xác suất khoảng tính tích phân: ∫︁ 𝑏 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) 𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑎 Xác suất khoảng ĐLNN tính cách: Tích phân hàm mật độ 𝑓 (𝑥); Hiệu hàm phân phối 𝐹 (𝑥) Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 Xác suất ĐLNN liên tục Với ĐLNN liên tục: xác suất diện tích bên đường cong mật độ 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥0 ) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥0 ) 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑎) Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 62 Hàm mật độ 𝑓 (𝑥) hàm phân phối 𝐹 (𝑥) Hàm mật độ 𝑓 (𝑥) ≥ nằm trục hồnh Diện tích bên đường cong mật độ ln Phân phối liên tục đặc biệt ∫︀ 𝑥 𝐹 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = −∞ 𝑓 (𝑢) 𝑑𝑢 tương ứng với diện tích bên trái điểm 𝑋 = 𝑥 𝐹 (𝑥) hàm không giảm có 𝐹 (−∞) = 𝐹 (+∞) = Vinh Lương September 2018 10 / 62 Phân phối (Uniform or Rectangular Distribution) Phân phối quy luật pp đơn giản quy luật phân phối biến ngẫu nhiên liên tục mà người ta biết giá trị Min Max Nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng [𝑎, 𝑏] ứng với giá trị hàm mật độ xác suất X có phân phối Definition Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối khoảng [𝑎, 𝑏] hàm mật độ xác suất có dạng: ⎧ ⎨ 𝑖𝑓 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑓 (𝑥) = 𝑏 − 𝑎 ⎩0 𝑖𝑓 𝑥 ∈ / [𝑎, 𝑏] Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 48 / 62 Phân phối (Uniform or Rectangular Distribution) Tính chất PP đều: 𝑎+𝑏 (𝑏 − 𝑎)2 Phương sai: 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 12 Đồ thị hàm mật độ 𝑓 (𝑥) có hình chữ nhật Trung bình: 𝐸(𝑋) = Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 49 / 62 Phân phối (Uniform or Rectangular Distribution) Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 50 / 62 Example 11 Gọi X biến ngẫu nhiên liên tục thể thời gian bay (flight time) từ HCM đến HN Người ta khảo sát thấy X nhận giá trị khoảng 120 phút đến 140 phút Hãy cho biết: X tuân theo phân phối hàm mật độ X ? Tính xác suất chuyến bay đến Hà Nội khoảng 120 phút đến 130 phút Giải: X tuân theo phân phối với 𝑎 = 120 𝑏 = 140 Hàm mật độ ⎧ ⎨ 1 = 𝑖𝑓 120 ≤ 𝑥 ≤ 140 20 𝑓 (𝑥) = 140 − 120 ⎩0 𝑖𝑓 𝑥 ∈ / [120, 140] 𝑃 (120 ≤ 𝑋 ≤ 130) = Phân phối liên tục đặc biệt ∫︀ 130 120 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0.5 Vinh Lương September 2018 51 / 62 Đồ thị hàm 𝑓 (𝑥) có dạng hình chữ nhật sau: Xác suất 𝑃 (120 ≤ 𝑋 ≤ 130) = Phân phối liên tục đặc biệt ∫︀ 130 120 Vinh Lương 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 diện tích sau: September 2018 52 / 62 Bài tập Exercise Một số chương trình máy tính cho xuất số nằm khoảng từ đến (ví dụ: hàm RAND Excel) Gọi X số cho hàm RAND, X ĐLNN liên tục có hàm mật độ sau: {︃ 𝑖𝑓 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓 (𝑥) = 𝑖𝑓 𝑥 ∈ / [0, 1] Hãy vẽ hàm mật độ 𝑓 (𝑥) Tính xác suất X nằm 0.25 0.75 Tính xác suất X lớn 0.6 Sử dụng Excel để random 50 số Kiểm tra trung bình phương sai Excel so sánh với công thức định nghĩa Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 53 / 62 Contents Đại lượng ngẫu nhiên liên tục - Continuous Random Variable Phân phối chuẩn - Normal Distribution Phân phối chuẩn chuẩn tắc - Standard Normal Distribution Phân phối - Uniform Distribution - tham khảo Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn - tham khảo Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 54 / 62 Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Theorem Khi 𝑛 đủ lớn 𝑝 cố định, phân phối Nhị thức 𝐵(𝑛, 𝑝) xấp xỉ phân √ phối Chuẩn 𝑁 (𝜇, 𝜎), với 𝜇 = 𝑛𝑝 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 Trong thực tế, người ta hay chọn “mốc” 𝑛𝑝, 𝑛𝑞 ≥ làm điều kiện xấp xỉ Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 55 / 62 Điều chỉnh 0.5 Chú ý xấp xỉ phân phối nhị thức (giá trị nguyên rời rạc) phân phối chuẩn (giá trị thực liên tục) ta cần điều chỉnh 0.5 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) ≈ 𝑃 (𝑎 − 0.5 < 𝑋 < 𝑏 + 0.5) = 𝐹 (𝑏 + 0.5) − 𝐹 (𝑎 − 0.5) 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑏) ≈ 𝑃 (𝑋 < 𝑏 + 0.5) = 𝐹 (𝑏 + 0.5) 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋) ≈ 𝑃 (𝑎 − 0.5 < 𝑋) = − 𝐹 (𝑎 − 0.5) Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 56 / 62 Example 12 Cho 𝑋 ∼ 𝐵(25, 0.5), dùng nhị thức để tính xác 𝑃 (8 ≤ 𝑋 ≤ 10) Sau sử dụng PP chuẩn để tính xấp xỉ 𝑃 (8 ≤ 𝑋 ≤ 10) = 𝑃 (𝑋 ≤ 10) − 𝑃 (𝑋 ≤ 7) = 0.190 Ta xấp xỉ 𝐵(𝑛 = 25, 𝑝 = 0.5) phân phối chuẩn 𝑁 (𝜇, 𝜎), với √ 𝜇 = 𝑛𝑝 = 12.5 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 = 2.5 𝑃 (8 ≤ 𝑋 ≤ 10) ≈ 𝑃 (𝑋 ≤ 10.5) − 𝑃 (𝑋 ≤ 7.5) = 0.1819 Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 57 / 62 Example 13 David chuyên viên bán bảo hiểm Anh thường hay gọi điện cho khách hàng để xếp buổi nói chuyện cơng việc Kinh nghiệm David thấy rằng, thông thường 40% khách hàng bắt máy điện thoại đồng ý xếp buổi gặp mặt Hỏi David liên lạc với 100 số điện thoại xác suất để có 45 đến 50 gặp bao nhiêu? Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 58 / 62 Exercise 10 Cho 𝑋 ∼ 𝐵(90, 0.4), tính xác suất 𝑃 (20 ≤ 𝑋 ≤ 40) 𝑃 (𝑋 < 32) 𝑃 (𝑋 ≥ 25 Hãy xấp xỉ 𝑋 phân phối chuẩn tính lại xác suất Hướng dẫn: Vì 𝑛𝑝 = 36, 𝑛𝑞 = 54 > 5, nên ta xấp xỉ 𝐵(𝑛 = 90, 𝑝 = 0.4) √ phân phối chuẩn 𝑁 (𝜇, 𝜎), với 𝜇 = 𝑛𝑝 = 36 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 = 4.6476 Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 59 / 62 Bài tập Hãy sử dụng PP chuẩn để tính tốn cho tập sau: Exercise 11 Bài tập 4.37 Một máy sản xuất sản phẩm có 10% sản phẩm bị hỏng Hãy tìm xác suất mẫu ngẫu nhiên gồm 400 sản phẩm máy sản xuất có: a) Nhiều 30 sản phẩm bị hỏng b) Trong khoảng từ 30 đến 50 sản phẩm bị hỏng c) Trong khoảng từ 35 đến 45 sản phẩm bị hỏng d) Ít 65 sản phẩm bị hỏng Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 60 / 62 Bài tập Exercise 12 Bài tập 4.48 Một người nuôi 3600 gà để lấy trứng Khả để gà đẻ trứng ngày 80% a) Tìm số trứng gà trung bình có ngày b) Tính xác suất để ngày có 2900 trứng c) Tìm số trứng gà tin có ngày d) Nếu tiền chi phí ni gà ngày 150 đồng tiền bán trứng 550 đồng Tìm số tiền lãi trung bình có ngày Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 61 / 62 Bài tập Exercise 13 Bài tập 4.49 Đề thi trắc nghiệm có 100 câu, câu có câu trả lời, có câu trả lời Nếu trả lời điểm, Thí sinh thi đậu điểm thi đạt từ 56 điểm trở lên Đối với học sinh trung bình xác suất chọn câu trả lời câu hỏi 53%: a) Tính XS để học sinh trung bình đạt 60 điểm b) Tính XS để học sinh trung bình đạt nhiều 40 điểm c) Tính XS để học sinh trung bình thi đậu d) Hãy tính số học sinh trung bình thi đậu tin số 600 học sinh trung bình tham dự kỳ thi? Phân phối liên tục đặc biệt Vinh Lương September 2018 62 / 62