Bài 1: MỘT SỐ PHÂN PHỐI RỜI RẠC ĐẶC BIỆT.

Bài 1: Một số phân phối rời rạc đặc biệt Vinh Lương University of Economics and Finance vinhlx@uef.edu.vn September 2018 PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Contents Phân phối Bernoulli Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution Phân phối Poisson - Poisson Distribution Xấp xỉ luật phân phối - tham khảo PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Contents Phân phối Bernoulli Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution Phân phối Poisson - Poisson Distribution Xấp xỉ luật phân phối - tham khảo PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Phân phối Bernoulli Tiến hành phép thử T quan sát biến cố A có xảy hay khơng (ví dụ: tung đồng xu quan sát mặt ngửa xuất hiện) Xác suất xảy biến cố A p với (0 < 𝑝 < 1) Gọi X ĐLNN thể "số lần biến cố A xuất hiện" Khi X có bảng phân phối xác suất là: X PX 1−𝑝 𝑝 X gọi có phân phối Bernoulli với tham số p Phép thử gọi phép thử Bernoulli p thường gọi xác suất thành cơng biến cố A Khi 𝑞 = (1 − 𝑝) xác suất thất bại biến cố A Ký hiệu: X ∼ B(1, p) PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Phân phối Bernoulli Tính chất phân phối Bernoulli: 𝐸(𝑋) = 𝑝 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝑝.𝑞 = 𝑝(1 − 𝑝) ⎧ ⎪ ⎨0 𝑖𝑓 𝑞 > 𝑝 𝑀 𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 0.5 𝑖𝑓 𝑞 = 𝑝 ⎪ ⎩ 𝑖𝑓 𝑞 < 𝑝 ⎧ ⎪ ⎨0 𝑖𝑓 𝑞 > 𝑝 𝑀 𝑜𝑑𝑒 = 0; 𝑖𝑓 𝑞 = 𝑝 ⎪ ⎩ 𝑖𝑓 𝑞 < 𝑝 PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Phân phối Bernoulli Example Khảo sát thực tế cho thấy có khoảng 15% dân số thuận tay trái Xét phép thử chọn người Gọi ĐLNN X "số người thuận tay phải" phép thử Hãy lập bảng PP xs ĐLNN X Giải: Xác suất để người thuận tay phải 𝑝 = 85% X nhận giá trị Suy X tuân theo phân phối Bernoulli X ∼ B(1, p) Bảng PP xs X là: X PX PP rời rạc đặc biệt 0.15 Vinh Lương 0.85 September 2018 / 49 Contents Phân phối Bernoulli Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution Phân phối Poisson - Poisson Distribution Xấp xỉ luật phân phối - tham khảo PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Xét phép thử T gồm dãy n phép thử bernoulli độc lập Trong lần thử có trường hợp xảy ra: biến có A xuất hiện, biến có A không xuất Các phép thử độc lập với tức lần thử không ảnh hưởng đến lần thử khác Xác suất thành công p lần thử (biến cố A xuất hiện) không đổi từ lần thử đến lần thử khác Đồng thời xác suất thất bại 𝑞 = − 𝑝 (biến cố A khơng xuất hiện) khơng thay đổi Khi gọi X "Số lần biến cố A xảy ra" ĐLNN X có phân phối nhị thức (Binomial Distribution) Ký hiệu: X ∼ B(n, p) PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Bảng PP xs X là: X PX 𝐶𝑛0 𝑝0 𝑞 𝑛 𝐶𝑛1 𝑝1 𝑞 𝑛−1 x 𝐶𝑛𝑥 𝑝𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 n 𝐶𝑛𝑛 𝑝𝑛 𝑞 Miền giá trị: 𝑋(Ω) = {0, 1, , n} Xác suất 𝑋 𝑥 (hay gọi hàm mật độ): 𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝐶𝑛𝑥 𝑝𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 Excel: 𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝐵𝐼𝑁 𝑂𝑀.𝐷𝐼𝑆𝑇 (𝑥; 𝑛; 𝑝; 0) 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑋 = 0) + + 𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝐵𝐼𝑁 𝑂𝑀.𝐷𝐼𝑆𝑇 (𝑥; 𝑛; 𝑝; 1) Chú ý: Cumulative=0 tính 𝑃 (𝑋 = 𝑥) Cumulative=1 tính 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 / 49 Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Example Trong phép thử tung đồng xu cơng ba lần Tìm xác suất xuất hiện: lần mặt ngửa 2 lần mặt sấp lần mặt ngửa Ít mặt ngửa Giải: Các lần tung độc lập Xác suất xuất mặt ngửa lần tung không đổi 𝑝 = 0.5 Gọi X "số lần suất mặt ngửa sau lần tung" X có phân phối nhị thức: 𝑋 ∼ 𝐵(3; 0.5) PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 10 / 49 Tính chất phân phối Poisson Có tính chất đặc biệt PP Poisson Ta thay đổi kích thước khoảng khơng gian/thời gian mà ĐLNN X tuân theo Poisson (nhưng 𝜆 thay đổi) Tính chất cộng nhiều PP Poisson: Nếu 𝑋1 , 𝑋2 , , 𝑋𝑛 ĐLNN độc lập có phân phối Poisson với tham số 𝜆1 , 𝜆2 , , 𝜆𝑛 , 𝑆 = 𝑋1 + · · · 𝑋𝑛 có phân phối Poisson Tức là: 𝑆 ∼ 𝑃 (𝜆) với 𝜆 = 𝜆1 + · · · 𝜆𝑛 PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 35 / 49 Tính chất cộng PP Poisson Example Giả sử bệnh viện A ta thấy trung bình có 2.3 em bé sinh giờ, bệnh viện B ta thấy trung bình có 3.1 em bé sinh Tính xs có em bé sinh từ bệnh viện Giải: Gọi X số em bé sinh bệnh viện A Gọi Y số em bé sinh bệnh viện B 𝑋 ∼ 𝑃 (2.3) 𝑌 ∼ 𝑃 (3.1) Theo tính chất cộng PP Poisson, ta có: 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝑃 (2.3 + 3.1) ∼ 𝑃 (5.4) Tức trung bình có 5.4 em bé sinh từ bệnh viện 5.47 −5.4 𝑃 (𝑋 + 𝑌 = 7) = 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(7, 5.4, 0) = 𝑒 = 0.1199 7! PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 36 / 49 Thay đổi kích thước khoảng khơng gian/thời gian Example 10 Ở bệnh viện phụ sản người ta thấy trung bình có 1.8 em bé sinh Hãy tính xs để có em bé sinh khoảng thời gian ? Giải: Gọi Y số em bé sinh Đề cho ta trung bình 𝜆 = 1.8 em bé sinh Suy có trung bình 𝜆* = 2𝜆 = 3.6 em bé sinh Gọi Y số em bé sinh Khi 𝑌 ∼ 𝑃 (3.6) 𝑃 (𝑌 = 5) = 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(5, 3.6, 0) = PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương 3.65 −3.6 𝑒 = 0.1376 5! September 2018 37 / 49 Phân phối Poisson Exercise Let x be a Poisson random variable with mean 𝜇 = Calculate these probabilities: 𝑃 (𝑋 = 1) 𝑃 (𝑋 ≤ 1) 𝑃 (𝑋 > 2) 𝑃 (𝑋 < 2) Exercise 10 Giả sử trung bình có người đến rút tiền trụ ATM AGRIBANK Tính xs để khoảng thời gian 15 phút có nhiều người đến rút PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 38 / 49 Exercise 11 Bài tập 4.43: Một trạm du lịch có thuê xe thuê lại Hàng ngày trạm phải trả 500k/xe Mỗi xe trạm cho khách hàng thuê lại với giá 960 ngàn đồng ngày Số yêu cầu thuê xe trung bình ngày 3.2 xe/ngày Trạm du lịch định thuê thường xuyên xe để phục vụ cho thuê lại khách hàng Gọi: X số yêu cầu thuê xe Biết X đại lượng ngẫu nhiên có quy luật phân phối xác suất Poisson Y số xe cho thuê lại Tìm miền giá trị Lập bảng phân phối xác suất Y Hãy tìm luật phân phối xác suất số tiền lãi thu ngày trạm Tính số tiền lãi trung bình ngày Nếu dựa vào số tiền lãi trung bình thu đuợc ngày để định hỏi trạm nên thuê thường xuyên hay xe? PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 39 / 49 Exercise 12 The number x of people entering the intensive care unit at a particular hospital on any one day has a Poisson probability distribution with mean equal to five persons per day What is the probability that the number of people entering the intensive care unit on a particular day is two? Less than or equal to two? Is it likely that x will exceed 10? Explain PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 40 / 49 Exercise 13 Increased research and discussion have focused on the number of illnesses involving the organism Escherichia coli(01257:H7), which causes a breakdown of red blood cells and intestinal hemorrhages in its victims According to the Center for Disease Control, an estimated 73,000 cases of E coli infection and 61 deaths occur in the United States each year A 2006 outbreak traced to wild pigs, who spread the bacteria into a spinach field in California, sickened 204 people in 26 states and Canadian province Outbreaks have occurred at a rate of 2.5 per 100,000 Let us suppose that this rate has not changed What is the probability that at most five cases of E.coliper 100,000 are reported in California this year? What is the probability that more than five cases of E coliare reported in California this year? Approximately 95% of occurrences of E coli involve at most how many cases? PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 41 / 49 Contents Phân phối Bernoulli Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution Phân phối Poisson - Poisson Distribution Xấp xỉ luật phân phối - tham khảo PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 42 / 49 Mơ hình xấp xỉ PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 43 / 49 Siêu bội xấp xỉ nhị thức Điều kiện: 𝑛 nhỏ so với 𝑁 Cụ thể: 𝑛 ≤ 0.01𝑁 Khi đó: 𝐻(𝑁, 𝑀, 𝑛) −→ 𝐵(𝑛, 𝑝 = 𝑀/𝑁 ) Example 11 Bài 4.11 & 4.12: Giả sử nhà máy sản xuất bóng đèn có 3% sản phẩm bị hỏng, tìm xác suất mẫu ngẫu nhiên gồm 100 bóng: a) Khơng có bóng bị hỏng b) Có bóng bị hỏng c) Có bóng bị hỏng d) Có nhiều bóng đèn bị hỏng e) Có từ đến bóng đèn bị hỏng f) Có khơng q bóng đèn bị hỏng PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 44 / 49 Gọi X số bóng đèn bị hỏng Do lấy khơng hoàn lại nên X tuân theo phân phối siêu bội 𝑋 ∼ 𝐻(𝑁, 3%𝑁, 100) với N toàn bóng đèn nhà máy Do N khơng biết nên khơng thể dùng PP siêu bội để tính Tuy nhiên, N lớn nên ta xấp xỉ PP siêu bội PP nhị thức với 𝑝 = 0.03 Tức 𝑋 ∼ 𝐵(100, 0.03) Sử dụng Nhị thức Excel để tính 𝑃 (𝑋 = 1) = 𝑃 (𝑋 = 2) = PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 45 / 49 Nhị thức xấp xỉ Poisson Điều kiện: 𝑛 lớn 𝑝 nhỏ Cụ thể: 𝑝 ≤ 10% 𝜆 = 𝑛𝑝 ≤ Khi đó: 𝐵(𝑛, 𝑝) −→ 𝑃 (𝜆 = 𝑛𝑝) Example 12 Sử dụng bóng đèn ta xấp xỉ tiếp Poisson Do p = 0.03 nhỏ n = 100 lớn Ta sấp xỉ nhị thức phân phối Poisson với 𝜆 = 𝑛𝑝 = ⇒ 𝑋 ∼ 𝑃 (3) 𝑃 (𝑋 = 0) = 𝑃 𝑂𝐼𝑆𝑆𝑂𝑁.𝐷𝐼𝑆𝑇 (0, 3, 0) = 30 −3 𝑒 = 0.0498 0! 𝑃 (𝑋 > 5) = − 𝑃 (𝑋 ≤ 5) 𝑃 (1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝑃 𝑂𝐼𝑆𝑆𝑂𝑁.𝐷𝐼𝑆𝑇 (3, 3, 1) − 𝑃 𝑂𝐼𝑆𝑆𝑂𝑁.𝐷𝐼𝑆𝑇 (2, 3, 0) = 0.5974 PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 46 / 49 Nhị thức xấp xỉ Poisson Tính xác phân phối nhị thức tính xấp xỉ Poisson ví dụ đây: Example 13 Last month your company sold 1,000 new watches Past experience indicates that the probability that a new watch will need repair during its warranty period is 0.002 Compute the probability that: Zero watches will need warranty work No more than watches will need warranty work Gọi 𝑋 số đồng hồ bị hư thời gian bảo hành (trong tổng số 1000 đồng hồ công ty sản xuất), suy 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) với 𝑛 = 1000 đồng hồ; 𝑝 = xác suất đồng hồ bị hư thời gian bảo hành = 0.002 PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 47 / 49 Tính xấp xỉ phân phối Poisson Xác suất khơng có đồng hồ bị hỏng: 𝑃 (𝑋 = 0) = 𝑓 (0) = 13.51% Xác suất có khơng q đồng hồ bị hỏng: 𝑃 (𝑋 ≤ 5) = 𝐹 (5) = 98.35% Vì 𝑝 ≤ 10% 𝜆 = 𝑛𝑝 = < 5, nên ta xấp xỉ từ phân phối nhị thức phân phối Poisson: 𝑋 ∼ 𝑃 (𝜆 = 2) Xác suất khơng có đồng hồ bị hỏng: 𝑃 (𝑋 = 0) = 𝑓 (0) = 13.53% Xác suất có không đồng hồ bị hỏng: 𝑃 (𝑋 ≤ 5) = 𝐹 (5) = 98.34% PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 48 / 49 Exercise 14 Bài tập 4.44 Một máy sản xuất sản phẩm tự động với tỷ lệ phế phẩm 0,1% Công suất máy sản xuất 2500 sản phẩm ngày Giả sử việc sản xuất 2500 sản phẩm ngày xem 2500 phép thử độc lập a) Tính số phế phẩm trung bình có ngày sản xuất máy b) Hãy tính xác suất để có khơng q phế phẩm ngày sản xuất máy c) Tính số phế phẩm tin ngày sản xuất máy Exercise 15 Given that 5% of a population are left-handed, use the Poisson distribution to estimate the probability that a random sample of 100 people contains or more left-handed people PP rời rạc đặc biệt Vinh Lương September 2018 49 / 49