Phân phối Poisson

Definition

X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất Poisson với tham số 𝜆, khi X có thể nhận các giá trị 𝑋={0,1,2, . . .}

với xác suất được tính theo công thức: 𝑃(𝑋=𝑥) =𝑓(𝑥) = 𝜆

𝑥

𝑥!𝑒

−𝜆 với 𝑥= 0,1,2, . . .

I Ký hiệu: 𝑋∼𝑃(𝜆).

I Tham số 𝜆chính là giá trị trung bình (kỳ vọng) của ĐLNN. Tính chất:

I Kỳ vọng:𝐸(𝑋) =𝜆

I Phương sai: 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) =𝜆

I Excel: 𝑃(𝑋=𝑥) =𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝜆,0) 𝑃(𝑋≤𝑥) =𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝜆,1)

Phân phối Poisson (đọc là “Poa-Sông”), do nhà toán học Pháp Simeon-Denis Poisson (1781 - 1840) tìm ra, khi ông nghiên cứu về

phân phối nhị thức trong trường hợpsố lần thử 𝑛rất lớn

Phân phối Poisson

PP Poisson được sử dụng khá rộng rãi khi cần tính xs (hoặc ước lượng số lần xảy ra) của 1 hiện tượng trong một khoảng không gian/thời gian nhất định. (với điều kiện là ta đã biết được giá trị trung bình). Ví dụ như sau:

I Số lần hỏng xe trong 1 tháng

I Số lỗi in sai trong một quyển sách.

I Số lượng cá bị đánh bắt trên 1 hồ trong một ngày.

I Số tai nạn giao thông trên một con đường trong một tháng... Example 6

Trên một con đường, thống kê cho thấytrung bình một tháng có 7.3 vụ tai nạn giao thông. Nếu gọi 𝑋 là"số vụ tai nạn trong một tháng bất kỳ", thì𝑋 ∼𝑃(𝜆= 7.3). Tính xs có đúng 1 tại nạn?

Example 7

Ở một bệnh viện phụ sản người ta thấy trung bình có 1.8 em bé được sinh ra trong 1 giờ. Hãy tính:

1. Xs trong 1 giờ bất kì có đúng 4 em bé được sinh ra.

2. Xs trong 1 giờ bất kì có nhiều hơn 1 em bé được sinh ra. Giải:

I Gọi X là "số em bé sinh ra trong 1 giờ bất kỳ"

I Khi đó ta có 𝑋∼𝑃(𝜆= 1.8). I Dùng Excel ta tính được: 𝑃(𝑋 = 4) =𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(4,1.8,0) = 1.8 4 4! 𝑒 −1.8 = 0.0723 𝑃(𝑋 >1) = 1−𝑃(𝑋≤1) = 1−[𝑃(𝑋= 0) +𝑃(𝑋= 1)] = 1−𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(1,1.8,1) = 0.537