Chapter 5-1 Chương Biến rời rạc phân phối xác suất Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-1 Mục tiêu chương Sau hồn thành chương này, bạn có thể: Giải thích giá trị trung bình độ lệch chuẩn cho biến ngẫu nhiên rời rạc Sử dụng phân phối xác suất nhị thức để tìm xác suất Mô tả nên áp dụng phân phối nhị thức Sử dụng phân phối xác suất rời rạc Poisson để tìm xác suất Giải thích hiệp phương sai tương quan cho biến ngẫu nhiên rời rạc phân phối kết hợp Chap 5-2 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Giới thiệu phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Biểu diễn giá trị số có từ thí nghiệm ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Ch Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Ch Chap 5-3 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-2 Biến ngẫu nhiên Một biến ngẫu nhiên ký hiệu X, Chữ thường x biểu thị giá trị có VD: cửa hàng có máy tính kệ Từ kinh nghiệm khứ, xác suất bán từ đến máy tính Đặt X biến ngẫu nhiên đại diện cho số lượng máy tính bán X nhận giá trị cụ thể: x = 1, x = 2, …, x = Mỗi giá trị có xác suất xuất 0,2 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-4 Biến ngẫu nhiên rời rạc Có thể nhận giá trị số đếm Ví dụ: Gieo hột xí ngầu hai lần Gọi X số lần số xuất (vậy X 0, 1, lần) Xoay đồng xu lần Gọi X số lần mặt ngửa xuất (vậy, X = 0, 1, 2, 3, 4, or 5) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-5 Các biến ngẫu nhiên rời rạc: ví dụ Đặt X biến ngẫu nhiên đại diện cho số lượng bán hàng từ 10 liên hệ khách hàng x = 1, x = 2, …, x = 10 xác suất gắn với giá trị có Số lượng mặt hàng bị lỗi mẫu 20 mặt hàng từ lô hàng lớn Số lượng khách hàng đến quầy toán Số lượng lỗi phát tài khoản tập đoàn, Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-6 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-3 Biến ngẫu nhiên liên tục Hãy xem xét biến ngẫu nhiên: lợi nhuận hàng tháng cơng ty Nó đo lường liên tục - doanh số hàng tháng nhận giá trị khoảng định Nó gọi liên tục Một biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị khoảng giá trị Chúng ta gán xác suất cho khoảng Pr(2 triệu USD < X < triệu USD) Xác suất gắn liền với giá trị cụ thể gần không Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-7 Biến ngẫu nhiên liên tục: ví dụ Ví dụ biến ngẫu nhiên liên tục: Thu nhập hàng năm cho gia đình Lượng dầu nhập vào Việt Nam tháng Sự thay đổi giá cổ phiếu cổ phiếu IBM tháng Thời gian trơi qua q trình cài đặt thành phần thất bại Tỷ lệ tạp chất lơ hóa chất v.v Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-8 Phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc x giá trị có Xác suất X lấy giá trị cụ thể x ký hiệu P(X = x) Hàm phân phối xác suất (p.d.f) P(X = x) = f(x) f(.) biểu diễn hình thức đại số, đồ thị dạng bảng Khi xác suất đính kèm với giá trị x tính, p.d.f xác định Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-9 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-4 Phân phối xác suất rời rạc Thí nghiệm: Xoay đồng xu Gọi X = # mặt hình Biểu diễn P(x) , tức là, P(X = x) , cho giá trị x: kết T Phân phối xác suất T H H T H H Xác suất 1/4 = 0,25 2/4 = 0,50 1/4 = 0,25 Probability T x 50 25 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc x Chap 5-10 Phân phối xác suất rời rạc: Ví dụ 0.5 0.3 0.3 0.2 0.2 P(x) 0.1 0,10 0,20 0,40 0,30 x 0.4 0.4 P(x) Gọi X số lần bán hàng cửa hàng P.d.f doanh số cho bởi: 0.1 x (số lần bán) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-11 Phân phối xác suất Thuộc tính cần thiết P(x) với giá trị x Tổng xác suất giá trị 1; P(x) x Sự kiện “X = x”, giá trị có x, loại trừ lẫn đầy đủ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-12 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-5 Hàm xác suất tích lũy Hàm xác suất tích lũy (c.d.f), ký hiệu F(x0), biểu diễn xác suất mà X nhỏ hay x0 F(x ) P(X x ) Tức là: hàm c.d.f tính x0 Nói cách khác, F(x ) P(x) x x0 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-13 Hàm xác suất tích lũy: ví dụ Ví dụ: Bán ô tô Các nhà quản lý đại lý xe thị trấn nhỏ, dựa phân tích lịch sử bán hàng mình, biết vào ngày nào, số lượng xe Prius bán thay đổi từ đến Hàm phân phối xác suất Bảng sau sử dụng để lập kế hoạch tồn kho nào? Cho biết hàm phân phối xác suất cho bán ô tô: x P(x) F(x) 0,15 0,15 0,30 0,45 0,20 0,65 0,20 0,85 0,10 0,95 0,05 1,00 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-14 Hàm xác suất tích lũy: ví dụ Giải Hàm tích lũy xác suất dùng để hoạch định tồn kho VD, có xe kho, cửa hàng thỏa mãn 95% nhu cầu khách hàng ngày Nhưng có xe có đến 35% nhu cầu không thỏa mãn x P(x) F(x) 0,15 0,15 0,30 0,45 0,20 0,65 0,20 0,85 0,10 0,95 0,05 1,00 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-15 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-6 Thuộc tính phát sinh c.d.f Đặt X biến ngẫu nhiên rời rạc với c.d.f , F(x0), thì, F(x0) với giá trị x0, Nếu x0 x1 giá trị với x0 < x1, thì, F(x0) F(x1) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-16 Thuộc tính biến ngẫu nhiên rời rạc Giá trị kỳ vọng (hay trung bình) phân phối rời rạc (trung bình có trọng số) μ E(x) xP(x) x Ví dụ: xoay đồng xu, x = # mặt hình, tính kỳ vọng x: x P(x) 0,25 0,50 0,25 E(x) = (0 x 0,25) + (1 x 0,50) + (2 x 0,25) = 1,0 Chap 5-17 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phương sai độ lệch chuẩn Phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc X σ E(X μ)2 (x μ)2 P(x) x Hoặc E X x2 P x 2 2 x Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc X σ σ2 (x μ) P(x) x Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-18 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-7 Ví dụ độ lệch chuẩn Ví dụ: Tung đồng xu, X = # mặt hình, tính độ lệch chuẩn (nhớ E(x) = 1) σ (x μ) P(x) x σ (0 1)2 (.25) (1 1)2 (.50) (2 1)2 (.25) 50 707 Những số mặt hình có = 0, 1, or Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-19 Ví dụ phương sai Chap 5-20 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Các hàm số biến ngẫu nhiên Nếu P(x) hàm xác suất biến ngẫu nhiên X rời rạc g(X) hàm số X, giá trị kỳ vọng hàm g E[g(X)] g(x)P(x) x Lưu ý: nhìn chung, E[g(x)] g(x) Đặt Y hàm tuyến tính biến ngẫu nhiên X, Y = a + bX a b số Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-21 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-8 Hàm tuyến tính biến ngẫu nhiên Gọi a b số a) E(a) a Var(a) and nghĩa là, biến ngẫu nhiên ln nhận giá trị a, có trung bình a phương sai b) E(bX) bμ X Var(bX) b2σ 2X and nghĩa là, giá trị kỳ vọng b·X b·E(x) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-22 Hàm tuyến tính biến ngẫu nhiên (continued) Cho biến X có trung bình µx phương sai σ2x Đặt a b số Cho Y = a + bX Vậy thì, trung bình phương sai Y μY E(a bX) a bμ X σ Y Var(a bX) b 2σ X Do độ lệch chuẩn Y σY b σX Chap 5-23 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Hàm tuyến tính: ví dụ Ví dụ: Tổng chi phí dự án Một nhà thầu quan tâm đến tổng chi phí dự án mà cô dự định đấu thầu Cô ước tính chi phí vật liệu 25.000 la lao động 900 đô la/ngày Nếu dự án X ngày để hồn thành, tổng chi phí lao động 900X đô la tổng chi phí dự án (tính la) sau: C = 25.000 + 900X Sử dụng kinh nghiệm mình, nhà thầu hình thành xác suất (Bảng 4.4) thời gian hoàn thành dự án Thời gian hoàn thành (ngày) 10 Xác suất 0,1 0,3 11 12 13 14 0,3 0,2 0,1 a Tìm giá trị trung bình phương sai cho thời gian hồn thành X b Tìm giá trị trung bình, phương sai độ lệch chuẩn cho tổng chi phí C Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-24 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-9 Hàm tuyến tính: ví dụ Giải: a Có thể tìm thấy giá trị trung bình phương sai cho thời gian hồn thành X X = E(X) = xP(x) = 10x0,1 + 11x0,3 + 12x0,3 + 13x0,2 + 14x0,1 = 11,9 ngày Và phương sai: X2 = E(x - X)2 = (x - X)2P(x) = (10 – 11,9)2.0,1 + (11 – 11,9)2.0,3 + + (14 – 11,9)2.0,1 = 1,29 b The mean, variance, and standard deviation of total cost, C C = E(25.000 + 900X) = 25.000 + 900 X = 35.710$ C2 = var(25.000 + 900X) = 9002 X2 = 1.044.900 C = 1.044.900 1.022,2 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-25 Hàm tuyến tính: trường hợp đặc biệt Gọi Z hàm tuyến tính biến ngẫu nhiên X, cho: Z X X X Z = a + bX E(Z) = a + bx = - x/X + (1/X)x = 0; Hãy chứng minh var(Z) = 1? Tính trung bình phương sai Z Đặt a X / X b 1/ X Chap 5-26 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối xác suất Phân phối xác suất Ch Phân phối xác suất rời rạc Phân phối xác suất liên tục Ch Nhị thức Đều (uniform) Hypergeometric Chuẩn Poisson Mũ (exponential) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-27 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-10 Phân phối nhị thức Phân phối xác suất Phân phối xác suất rời rạc Nhị thức Hypergeometric Poisson Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-28 Phân phối Bernoulli Xem xét hai kết quả: “thành công” or “thất bại” Gọi P xác suất thành công – P xác suất thất bại Định nghĩa biến ngẫu nhiên X: x = if thành công, x = if thất bại Vậy thì, hàm xác suất Bernoulli P(0) (1 P) and P(1) P Chap 5-29 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối Bernoulli Trung bình Phương sai Trung bình µ = P μ E(X) xP(x) (0)(1 P) (1)P P X Phương sai σ2 = P(1 – P) σ E[(X μ)2 ] (x μ)2 P(x) X (0 P)2 (1 P) (1 P)2 P P(1 P) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-30 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-13 Các khn mẫu phân phối nhị thức Một nhà máy sản xuất dán nhãn mặt hàng “khiếm khuyết” “chấp nhận được” Đấu thầu cơng ty cho hợp đồng có hợp đồng hay không Một công ty nghiên cứu tiếp thị nhận câu trả lời khảo sát “vâng, mua” hay “không, không mua” Người xin việc chấp nhận lời đề nghị từ chối Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-37 Công thức phân phối nhị thức P(x) n! x ! (n x )! X P (1- P)n P(x) = xác suất x lần thành công n lần thử, với xác suất thành công P lần thử x = số lần ‘thành công’ mẫu, (x = 0, 1, 2, , n) Ví dụ: xoay đồng xu lần, gọi x = # mặt hình: n=4 P = 0,5 n = cỡ mẫu (số lần thử hay số quan sát) P = xác suất “thành công” X - P = (1 – 0,5) = 0,5 x = 0, 1, 2, 3, Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-38 Ví dụ: Tính xác suất nhị thức Xác suất lần thành công năm quan sát xác suất thành công 0,1? x = 1, n = 5, and P = 0,1 n! P X (1 P)n X x!(n x)! 5! (0.1)1(1 0.1)51 1! (5 1)! P(x 1) (5)(0.1)(0.9)4 32805 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-39 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-14 Phân phối nhị thức Hình dạng phân phối nhị thức phụ thuộc vào giá trị P n Mean n = P = 0,1 P(x) x n = P = 0,5 n = P = 0,1 P(x) n = P = 0,5 x Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-40 Phân phối nhị thức Trung bình Phương sai Mean μ E(x) nP Phương sai Độ lệch chuẩn σ nP(1- P) σ nP(1- P) Trong đó: n = cỡ mẫu P = xác suất thành công (1 – P) = xác suất thất bại Chap 5-41 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Đặc điểm phân phối nhị thức Ví dụ μ nP (5)(0.1) 0.5 Mean σ nP(1- P) (5)(0.1)(1 0.1) 0.6708 μ nP (5)(0.5) 2.5 σ nP(1- P) (5)(0.5)(1 0.5) 1.118 P(x) x n = P = 0,1 P(x) n = P = 0,5 x Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-42 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-15 Sử dụng Bảng nhị thức N x … p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50 10 10 … … … … … … … … … … … 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0563 0.1877 0.2816 0.2503 0.1460 0.0584 0.0162 0.0031 0.0004 0.0000 0.0000 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090 0.0014 0.0001 0.0000 0.0135 0.0725 0.1757 0.2522 0.2377 0.1536 0.0689 0.0212 0.0043 0.0005 0.0000 0.0060 0.0403 0.1209 0.2150 0.2508 0.2007 0.1115 0.0425 0.0106 0.0016 0.0001 0.0025 0.0207 0.0763 0.1665 0.2384 0.2340 0.1596 0.0746 0.0229 0.0042 0.0003 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010 Ví dụ: n = 10, x = 3, P = 0,35: P(x = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522 n = 10, x = 8, P = 0,45: P(x = 8|n =10, p = 0,45) = 0,0229 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-43 Phân phối nhị thức: Ví dụ Một đại lý bất động sản, Jeanette Nelson, có liên hệ Xác suất bán hàng từ liên hệ 0,4 a Tìm xác suất mà tối đa lần bán b Tìm xác suất để thực từ đến lần bán hàng (đã bao gồm) c Vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-44 Phân phối nhị thức: Ví dụ Giải: a P(tối đa lần bán) = P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) 5! 0,400,65 0,078 0!5! 5! P(1) 0, 410,64 0, 259 1!4! P(0) P(tối đa lần bán) = 0,078 + 0,259 = 0,337 b P(2 X 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) Tương tự trên, ta tính được: P(2 X 4) = 0,653 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-45 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-16 Phân phối nhị thức: Ví dụ c Hàm phân phối xác suất hiển thị Hình P(x) 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Nhận xét: • Hình dạng điển hình cho xác suất nhị thức P không lớn khơng q nhỏ • Ở thái cực (0 lần bán), xác suất nhỏ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-46 Sử dụng PHStat Chọn PHStat / Probability & Prob Distributions / Binomial… Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-47 Sử dụng PHStat (continued) Nhập giá trị mong muốn hộp thoại Ở đây:n = 10 p = 0,35 Kết cho x = đến x = 10 tạo PHStat Optional check boxes for additional output Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-48 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-17 PHStat Output P(x = | n = 10, P = 35) = 2522 P(x > | n = 10, P = 35) = 0949 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-49 Phân phối Poisson Phân phối xác suất Phân phối xác suất rời rạc Nhị thức Hypergeometric Poisson Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-50 Phân phối Poisson Một số ứng dụng: Số lượng lỗi hệ thống máy tính lớn ngày định Số lượng đơn đặt hàng thay cho phụ tùng nhận công ty tháng định Số lượng tàu đến sở bốc hàng thời gian tải Số lượng xe tải giao hàng đến nhà kho trung tâm Số lượng khách hàng đến lối toán cửa hàng tạp hóa địa phương bạn khoảng thời gian cụ thể Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-51 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-18 Giả định phân phối Poisson Áp dụng phân phối Poisson khi: Bạn muốn đếm số lần kiện xảy khoảng thời gian liên tục định Xác suất xảy kiện khoảng thời gian nhỏ giống cho tất khoảng thời gian Số lượng kiện xảy khoảng thời gian không phụ thuộc vào số lượng kiện xảy khoảng thời gian khác Không thể có nhiều lần xuất khoảng thời gian Số kiện trung bình đơn vị (lambda) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-52 Phân phối Poisson Các xác suất Poisson lấy từ phân phối xác suất nhị thức, Lấy giới hạn toán học P n Với giới hạn, tham số = nP số định số lần xuất trung bình thời gian /hoặc khơng gian cụ thể Phân phối Poisson trường hợp đặc biệt phân phối nhị thức Các chứng minh tốn học nằm ngồi phạm vi khóa học Chap 5-53 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Công thức phân phối Poisson P(x) e λλ x x! Trong đó: x = số lượng thành công đơn vị = số lượng thành công kỳ vọng đơn vị e = số logarit tự nhiên (2,71828 ) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-54 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-19 Đặc điểm phân phối Poisson Trung bình μ E(x) λ Phương sai độ lệch chuẩn σ E[( X ) ] λ σ λ Trong = số lần thành cơng kỳ vọng đơn vị Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-55 Phân phối Poisson: Ví dụ Ví dụ: Lỗi thành phần hệ thống Andrew Whittaker, quản lý trung tâm máy tính, báo cáo hệ thống máy tính trải qua ba lần hỏng hóc thành phần 100 ngày qua a Xác suất khơng có lỗi ngày định bao nhiêu? b Xác suất nhiều lỗi thành phần ngày định gì? c Xác suất hai lần lỗi khoảng thời gian ngày gì? Giải: Một hệ thống máy tính đại có số lượng linh kiện lớn, thành phần bị lỗi Để tính xác suất lỗi, giả sử số hàng triệu thành phần có xác suất lỗi nhỏ Cũng giả sử lỗi không ảnh hưởng đến xác suất lỗi thứ hai (trong số trường hợp, giả định khơng đúng) Trong trường hợp này, giả định 100 ngày qua hiệu suất tiêu chuẩn tốt cho hệ thống máy tính tiêu chuẩn tiếp tục tương lai Chap 5-56 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối Poisson: Ví dụ (continued) Từ kinh nghiệm khứ, số lần lỗi kỳ vọng ngày 3/100, hay = 0,03 e0,03 0,97 a P(không lỗi ngày) = P( X 0) 0! b Xác suất có lần lỗi phần bù cho xác suất lần thất bại P( X 1) P( X 0) 1 0,97 0,03 c P(ít hai lần lỗi ngày) = P(X 2| = 0,09) (do, = 0,03x3) P(X 2| = 0,09) = – P(X < 2| = 0,09) = – [P(0) + P(1)] = – (0,9139 + 0,0823) = 0,0038 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-57 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-20 Phân phối Poisson nhị thức Mẫu nhỏ: giới hạn xác suất không áp dụng phân phối nhị thức Mẫu lớn xác suất thành công nhỏ: Phân phối Poisson Khi n 20 P 0,05: phân phối nhị thức Poisson xấp xỉ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-58 Sử dụng Bảng Poisson X 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.0000 0.0000 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007 0.0001 0.0000 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002 0.0000 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003 0.0000 Ví dụ: tính P(X = 2) = 0,50 P( X 2) e X e 0.50 (0.50) 0758 X! 2! Chap 5-59 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Đồ thị phân phối Poisson 0.70 Đồ thị: 0.60 = 0,50 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.50 P(x) X = 0,50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 x P(X = 2) = 0,0758 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-60 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-21 Hình dạng phân phối Poisson Hình dạng Phân phối Poisson phụ thuộc vào tham số : = 0,50 0.70 = 3,00 0.25 0.60 0.20 0.40 P(x) P(x) 0.50 0.30 0.15 0.10 0.20 0.05 0.10 0.00 0.00 7 10 11 12 x x Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-61 Phân phối Poisson PHStat Select: PHStat / Probability & Prob Distributions / Poisson… Chap 5-62 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân phối Poisson PHStat (continued) Complete dialog box entries and get output … P(X = 2) = 0.0758 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-63 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-22 Phân phối kết hợp biến ngẫu nhiên Để khám phá mối quan hệ biến: Sản phẩm cấp chất lượng khác có giá khác nhau, Nhóm tuổi có sở thích khác quần áo, thực phẩm, âm nhạc, v.v Người ta phải tính đến mối quan hệ mơ hình xác suất Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-64 Xác suất kết hợp: Ví dụ Chap 5-65 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Hàm xác suất kết hợp Hàm xác suất kết hợp sử dụng để biểu thị xác suất X nhận giá trị cụ thể x đồng thời Y nhận giá trị y, hàm x y P(x, y) P(X x Y y) Xác suất biên là: P(x) P(x, y) y P(y) P(x, y) x Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-66 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-23 Hàm xác suất có điều kiện Hàm xác suất có điều kiện biến ngẫu nhiên Y biểu thị xác suất Y nhận giá trị y giá trị cụ thể x định cho X P(y | x) P(x, y) P(x) Tương tự, hàm xác suất có điều kiện X, cho Y = y là: P(x | y) P(x, y) P(y) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-67 Độc lập Các biến ngẫu nhiên X Y có phân phối kết hợp cho độc lập hàm xác suất kết hợp chúng tích hàm xác suất biên chúng: P(x, y) P(x)P(y) cho tất cặp giá trị x y có Một tập hợp k biến ngẫu nhiên độc lập khi: P(x1, x ,, x k ) P(x1 )P(x )P(x k ) Chap 5-68 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Hiệp phương sai Gọi X Y biến ngẫu nhiên rời rạc với trung bình μX μY Kỳ vọng (X - μX)(Y - μY) gọi hiệp phương sai X Y Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc Cov(X, Y) E[(X μ X )(Y μY )] (x μ x )(y μy )P(x, y) x y Biểu thức tương đương: Cov(X, Y) E(XY) μ xμ y xyP(x, y) μ xμ y x y Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-69 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-24 Hiệp phương sai độc lập Hiệp phương sai đo cường độ mối quan hệ tuyến tính hai biến Nếu hai biến ngẫu nhiên độc lập thống kê, hiệp phương sai chúng Điều ngược lại không thiết Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-70 Tương quan Tương quan X Y là: ρ Corr(X, Y) Cov(X, Y) σ Xσ Y ρ = khơng có mối quan hệ tuyến tính X Y ρ > mối quan hệ tuyến tính dương X Y Khi X cao (thấp) Y cao (thấp) ρ = +1 phụ thuộc tuyến tính dương hồn hảo ρ < mối quan hệ tuyến tính âm X Y Khi X cao (thấp) Y thấp (cao) ρ = -1 phụ thuộc tuyến tính âm hồn hảo Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-71 Tóm tắt quan hệ tuyến tính Tổng Hiệu của biến ngẫu nhiên Gọi X Y cặp biến ngẫu nhiên với trung bình X Y phương sai 2X 2Y: E(X + Y) = X + Y; E(X - Y) = X - Y; Nếu cov(X, Y) = 0, Var(X + Y) = 2X + 2Y; Nếu cov(X, Y) 0, Var(X + Y) = 2X + 2Y + 2cov(X, Y) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-72 © 2007 Pearson Education, Inc Chapter 5-25 Tóm tắt quan hệ tuyến tính Tổng Hiệu của biến ngẫu nhiên Nếu cov(X, Y) = 0, Var(X - Y) = 2X + 2Y; Nếu cov(X, Y) 0, Var(X - Y) = 2X + 2Y - 2cov(X, Y); Tổng quát: E(X1 + X2 + … + Xk) = 1 + 2 + … + k k k 1 k i1 i 1 j i Var(X1 + X2 + … + Xk) = i 2cov( Xi ,Yj ) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 5-73 Phân tích danh mục đầu tư Đặt biến ngẫu nhiên X giá cổ phiếu A Đặt biến ngẫu nhiên Y giá cổ phiếu B Giá trị thị trường, W, cho danh mục đầu tư cho hàm tuyến tính W aX bY (a số cổ phiếu chứng khoán A, b số cổ phiếu chứng khoán B) Chap 5-74 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Phân tích danh mục đầu tư (continued) Giá trị trung bình W μW E[W] E[aX bY] aμX bμY Phương sai W σ 2W a 2σ 2X b2σ 2Y 2abCov(X, Y) hay áp dụng công thức tương quan: σ 2W a 2σ 2X b2σ 2Y 2abCorr(X, Y)σ Xσ Y Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Statistics for Business and Economics, 6/e Chap 5-75 © 2007 Pearson Education, Inc