Các tính chất và mô phỏng của phân phối rời rạc

Luận văn tốt nghiệp BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TỐN CÁC TÍNH CHẤT VÀ MƠ PHỎNG CỦA PHÂN PHỐI RỜI RẠC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SVTH : TRẦN THỊ HIỀN LỚP : 09ST Chuyên ngành: SƯ PHẠM TOÁN Giáo viên hướng dẫn: Th.S TÔN THẤT TÚ THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 2013 SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Th.S Tôn Thất Tú tận tình hướng dẫn em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình dạy bảo em suốt thời gian em học tập khoa Đồng thời xin gởi lời cảm ơn đến bạn lớp 09ST nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Trong trình làm luận văn, giúp đỡ nhiệt tình nhà trường, thầy giáo hướng dẫn, em cố gắng hoàn thành luận văn thời gian có hạn, kiến thức chưa đủ rộng sâu sắc nên tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp q báu thầy giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Đà Nẵng, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Hiền SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức sở 1.1: Kiến thức sơ xác suất 1.1.1: Định nghĩa xác suất 1.1.2: Xác suất có điều kiện 1.1.3: Công thức xác suất đầy đủ Bayes 10 1.2: Đại lượng ngẫu nhiên hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên 11 1.2.1: Đại lượng ngẫu nhiên 11 1.2.2: Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 12 1.2.3: Phân phối rời rạc 14 1.2.4: Phân phối hàm đại lượng ngẫu nhiên 14 1.3: Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 15 1.3.1: Kì vọng 15 1.3.2: Phương sai 15 1.3.3: Trung vị 16 1.3.4: Mode 17 1.3.5: Phân vị cấp 17 SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp Chương II: Các phân phối rời rạc dùng xác suất thống kê 18 2.1: Phân phối nhị thức 18 2.2: Phân phối Poison 23 2.3: Phân phối siêu hình học 31 2.4: Phân phối Pascal 32 2.5: Mô đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 34 2.5.1: Mô phân phối nhị thức 35 2.5.2: Mô phân phối Poisson 36 2.5.3: Mô phân phối Pascal 36 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Lý thuyết xác suất đời vào nửa cuối kỷ thứ 17 nước Pháp Hai nhà toán học vĩ đại nước pháp Blaise Pascal (1623-1662) Pierre de Fermat (1601-1665) trao đổi thư từ với bàn số tốn liên quan đến trị chơi may rủi Những toán phương pháp giải chúng xem nghiên cứu lý thuyết xác suất Lý thuyết xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên tìm qui luật tượng Luật phân phối quan trọng lý thuyết xác suất ứng dụng thống kê Nhiều tượng sống phản ánh mơ hình tốn học Chẳng hạn phân phối Poisson phản ánh phân phối số gọi đến tổng đài, số điện đánh từ trạm điện thoại, số khách hàng đến rút tiền từ ngân hàng… ; phân phối nhị thức sử dụng phép đếm Do việc nghiên cứu tính chất luật phân phối rời rạc giúp ta hiểu rõ mơ hình Đó lí em chọn “ CÁC TÍNH CHẤT VÀ MƠ PHỎNG CỦA PHÂN PHỐI RỜI RẠC” làm đề tài luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Nội dung luận văn nhằm làm rõ số tính chất mơ số phân phối rời rạc thường gặp ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu phân phối xác suất rời rạc Ta biết phân phối xác suất có phạm vi tác động lớn trở nên phổ biến khoa học tự nhiên, kỹ thuật, y tế, quân sự… SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp Trong lý thuyết xác suất thống kê, luật phân phối tảng phân tích thống kê mơ hình cho nhiều xác suất khác Phạm vi nghiên cứu luận văn sâu tìm hiểu tính chất luật phân phối rời rạc tính chất tìm hiểu phương pháp mơ phân phối PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Luận văn nghiên cứu dựa phương pháp sử dụng biến đổi giải tích kết hợp với tính chất phân phối rời rạc Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI: - Nghiên cứu tính chất phân phối xác suất đưa ví dụ minh họa nhằm làm rõ tính chất - Đi sâu mở rộng số tính chất vài phân phối xác suất - Luận văn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên kiến thức liên quan đến phân phối xác suất trình học tập môn xác suất thống kê CẤU TRÚC LUẬN VĂN: Luận văn gồm chương: Chương 1: Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến nội dung luận văn Bao gồm: Định nghĩa xác suất; Xác suất có điều kiện; Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes Giới thiệu phân phối đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên Chương 2: Đây nội dung luận văn Trong chương em nghiên cứu về: Tính chất phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Pascal, phân phối siêu hình học Đồng thời trình bày phương pháp mô phân phối rời rạc thường dùng xác suất.(Phân phối nhị thức; Phân phối Poisson; Phân phối Pascal) SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ XÁC SUẤT 1.1.1: Định nghĩa xác suất Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển: Nếu A biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với không gian biến cố sơ cấp gồm n(Ω) biến cố khả P(A)= 𝑛(𝐴) n(Ω) xác suất A Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Giả sử điểm rơi ngẫu nhiên vào miền D, A miền D Khi xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A xác định công thức: 𝑃(𝐴) = 𝑚𝑒𝑠 𝐴 𝑚𝑒𝑠 𝐷 Với mes A: số đo miền A; mes D : số đo miền D Tính chất: 1.1.1 i P(𝜙) = ii {𝐴𝑖 }𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ⋂𝐴𝑗 = 𝜙 ; ∀𝑖 ≠ 𝑗 𝑛 𝑛 𝑃 (∑ 𝐴𝑖 ) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 Định lý 1.1.1 A, B hai biến cố ngẫu nhiên: i 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵) ii Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) iii ∀𝐴 ∈ 𝒜 có ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐴𝑐 ) = − 𝑃(𝐴) Chứng minh i) Ta có 𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵)⋃(𝐴𝐵)⋃(𝐵 ∖ 𝐴) SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp Và 𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵)⋃𝐴𝐵 𝐵 = (𝐵 ∖ 𝐴)⋃𝐴𝐵 ; Mà 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴, 𝐴𝐵 xung khắc đôi nên 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∖ 𝐵) + 𝑃(𝐴𝐵) + 𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴\𝐵) + 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴\𝐵) + 𝑃(𝐴𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵) ii) Vì 𝐴 ⊂ 𝐵 nên 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴) ⇒ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) (Vì 𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) > 0) ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) iii) Ta có: ∀𝐴 ∈ 𝒜 ⇒ 𝑃(𝐴) ≥ 𝐴 ⊂ Ω ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(Ω) Mà 𝑃(Ω) = nên ≤ P(A) ≤ Vì 𝐴𝑐 + 𝐴 = Ω nên P(𝐴𝑐 ) + 𝑃(𝐴) = 𝑃(Ω) = ⇒ P(𝐴𝑐 ) = − 𝑃(𝐴) Định lý 1.1.2 (Ω, 𝒜, 𝑃) họ {𝐴𝑛 }𝑛≥1 biến cố ngẫu nhiên i 𝐴1 ⊃ 𝐴2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐴𝑛 ⊃ ⋯ ii ⋂∞ 𝑘=1 𝐴𝑘 = 𝜙 Khi đó: 𝑃(𝐴𝑛 ) → 𝑛→∞ Chứng minh Từ giả thiết: 𝐴1 ⊃ 𝐴2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐴𝑛 ⊃ ⋯  ⇒ I k 1 Ak = (I A k )(I Ak ) = k n SVTH: TRẦN THỊ HIỀN k n I k n Ak = 𝜙 Trang Luận văn tốt nghiệp Ta lại có 𝐴𝑛 = I k n Suy A k  Ak Akc1 với 𝑛 ≥ k n 𝑃(𝐴𝑛 ) = P(I Ak )  P( Ak Akc1 ) k n k n Khi 𝑛 → ∞ P(I Ak ) → k n Nên 𝑃(𝐴𝑛 ) → 𝑛→∞ P( A A k k n c k 1 ) →0 1.1.2: XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa 1.1.2 Xét khơng gian xác suất (Ω, 𝒜, 𝑃) Giả sử A, B biến cố ngẫu nhiên có 𝑃(𝐵) > 0, 𝐴 ∈ 𝒜 Giá trị 𝑃(𝐴\𝐵) = P( A I B) gọi xác suất A với điều kiện B P( B) Từ định nghĩa số điều sau hiển nhiên: - 𝑃(𝐴\𝐵) ≥ - 𝑃(𝛺\𝐵) = 𝑃(𝐵\𝐵) = - Nếu (𝐴𝑖 ) dãy biến cố đơi xung khắc 𝑃(∑ 𝐴𝑖 \𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 \𝐵) 𝑖 𝑖 Định lý 1.1.3 ( Công thức nhân xác suất) Giả sử 𝐴, 𝐵 biến cố ngẫu nhiên có 𝑃(𝐴) > 0; 𝑃(𝐵) > 0; 𝐴 ∈ 𝒜 Khi đó: i 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴\𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵\𝐴) ii 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 \𝐴1 )𝑃(𝐴3 \𝐴1 𝐴2 ) … 𝑃(𝐴𝑛 \ 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) với điều kiện 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) > SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang Luận văn tốt nghiệp Chứng minh i Hiển nhiên Suy từ cơng thức xác suất có điều kiện ii Ta chứng minh phương pháp qui nạp Ta có: (𝐴1 \𝐴2 ) = Từ hệ thức: P( A1 A2 ) (∗) ⇒ 𝑃(𝐴1 𝐴2 ) = 𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐴1 \𝐴2 ) P( A2 ) 𝐴1 ⊃ 𝐴1 𝐴2 ⊃ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ; 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) > ⇒ 𝑃(𝐴1 ) ≥ 𝑃(𝐴1 𝐴2 ) ≥ 𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 ) ≥ ⋯ ≥ 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) > Suy xác suất điều kiện (*) tồn tức 𝑃(𝐴1 ), 𝑃(𝐴2 ), … , 𝑃(𝐴𝑛 ) > Với n = ta có 𝑃(𝐴2 \𝐴1 ) = P( A1 A2 ) ⇒ 𝑃(𝐴1 𝐴2 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 \𝐴1 ) P( A2 ) Suy : Đúng (Vì 𝑃(𝐴1 𝐴2 ) tồn tại) Giả sử công thức với 𝑛 = 𝑘, phải chứng minh với 𝑛 = 𝑘 + Với 𝑛 = 𝑘 ta có 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑘 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 \𝐴1 )…𝑃(𝐴𝑘 \𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑘−1 ) Với 𝑛 = 𝑘 + ta có: 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑘+1 ) = 𝑃[(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑘 )(𝐴𝑘+1 )] = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 \𝐴1 ) … 𝑃(𝐴𝑘 \𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑘−1 )𝑃(𝐴𝑘+1 \𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑘 ) Suy : Đpcm 1.1.3: CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ BAYES Định nghĩa 1.1.3 Hệ biến cố {𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 } gọi hệ đầy đủ nếu: SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 10 Luận văn tốt nghiệp 𝑘 = ∑ 𝑃(𝑋1 = 𝑗)𝑃(𝑋2 = 𝑘 − 𝑗) 𝑗=0 𝑘 𝑒 −𝜆1 𝜆1 𝑗 𝑒 −𝜆2 𝜆2 𝑘−𝑗 =∑ 𝑗! (𝑘 − 𝑗)! 𝑗=0 𝑘 =𝑒 −(𝜆1 +𝜆2 ) 𝜆1 𝑗 𝜆2 𝑘−𝑗 ∑ 𝑗! (𝑘 − 𝑗)! 𝑗=0 𝑘 𝑒 −(𝜆1 +𝜆2) 𝑗 = ∑ 𝐶𝑘 𝜆1 𝑗 𝜆2 𝑘−𝑗 𝑘! 𝑗=0 e1 2  = (𝜆1 + 𝜆2 )𝑘 k! Vậy X1 + X2 ~𝑃(𝜆1 + 𝜆2 )  Tương tự với n ĐLNN độc lập ta có (𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) ~𝑃(𝜆1 + 𝜆2 + ⋯ + 𝜆𝑛 ) Định lý 2.2.2 Cho 𝑋1 ; 𝑋2 ĐLNN độc lập ; 𝑋1 ~𝑃(𝜆1 ); 𝑋2 ~𝑃(𝜆2 ) ; 𝜆1 ; 𝜆2 > 𝑃(𝑋1 = 𝑘/(𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛)) = 𝐶𝑛𝑘 ( 𝜆1 𝜆1 +𝜆2 )𝑘 ( 𝜆2 𝜆1 +𝜆2 X với điều kiện 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛 phân phối 𝐵 (𝑛, )𝑛−𝑘 tức phân phối 𝜆1 𝜆1 +𝜆2 ) Chứng minh Theo cơng thức xác suất điều kiện ta có 𝑃(𝑋1 = 𝑘/(𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛)) = SVTH: TRẦN THỊ HIỀN P( X1  k , X1  X  n) P( X1  X  n) (9) Trang 24 Luận văn tốt nghiệp Ta có 𝑋1 ~𝑃(𝜆1 ); 𝑋2 ~𝑃(𝜆2 ) ; 𝜆1 ; 𝜆2 > nên 𝑃(𝑋1 = 𝑘, 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛) = 𝑃(𝑋1 = 𝑘; 𝑋2 = 𝑛 − 𝑘) = 𝑃(𝑋1 = 𝑘)𝑃(𝑋2 = 𝑛 − 𝑘) =( e−λ1 λ1k k! )( e−λ2 λ2 n−k = 𝑒 −(𝜆1+𝜆2 ) (n−k)! ) 𝜆1 𝑘 𝜆2 𝑛−𝑘 (10) 𝑘!(𝑛−𝑘)! Mà X1 + X2 ~𝑃(𝜆1 + 𝜆2 ) (chứng minh trên) nên ta có: 𝑃(𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛) = 𝑒 −(𝜆1+𝜆2) (𝜆1 +𝜆2 )n (11) 𝑛! Thay (10) (11) vào (9) ta được: 𝑃(𝑋1 = 𝑘/(𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛))  e1 2  = 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝜆1 𝑘 𝜆2 𝑛−𝑘 𝑘!(𝑛−𝑘)! 𝑛! 𝑒 −(𝜆1+𝜆2) (𝜆1 +𝜆2 )n 𝜆1 𝑘 𝜆2 𝑛−𝑘 (𝜆1 +𝜆2 )n 𝜆1 𝑘 𝜆2 𝑛−𝑘 (𝜆1 +𝜆2 )k (𝜆1 +𝜆2 )n−k = 𝐶𝑛𝑘 ( 𝜆1 (𝜆1 +𝜆2 )𝑘 ( 𝜆2 𝜆1 +𝜆2 )𝑛−𝑘 Vậy phân phối 𝑋1 với điều kiện 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑛 phân phối nhị thức với 𝑝 = 𝜆1 (𝜆1 +𝜆2 ) Định lý 2.2.3 Các tham số đặc trưng phân phối Poisson Nếu ĐLNN X có phân phối poisson với tham số 𝜆 > 0, : SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 25 Luận văn tốt nghiệp Kì vọng : 𝐸(𝑋) = 𝜆 Phương sai : 𝐷(𝑋) = 𝜆 Chứng minh Ta có: ∞ ∞ ∞ 𝑘𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 𝜆𝑘−1 𝜆𝑚 −𝜆 −𝜆 𝐸𝑋 = ∑ = 𝜆𝑒 ∑ = 𝜆𝑒 ∑ (𝑘 − 1)! (𝑚)! 𝑘! 𝑘=0 𝑘=1 (12) 𝑚=0 Với 𝑚 = 𝑘 −  xm Ta có 𝑒 =  với ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞) m0 m! 𝑥 ∞ 𝜆𝑚 𝑒 = ∑ 𝑚! 𝜆 (13) 𝑚=0 Từ (12) (13) ⇒ 𝐸𝑋 = 𝜆 𝑒 −𝜆 𝑒 𝜆 = 𝜆 (Đpcm) D(X) = E(X2) – (EX)2 ∞ ∞ ∞ 𝑘=0 𝑘=1 𝑘=1 (𝑘 − + 1) 𝜆𝑘−1 𝑘 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 𝑘 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 2) −𝜆 𝐸(𝑋 = ∑ =∑ = 𝜆𝑒 ∑ (𝑘 − 1)! 𝑘! 𝑘! ∞ ∞ (𝑘 − 1) 𝜆𝑘−1 𝜆𝑘−1 −𝜆 −𝜆 = 𝜆𝑒 ∑ + 𝜆𝑒 ∑ (𝑘 − 1)! (𝑘 − 1)! 𝑘=1 = 𝜆𝑒 −𝜆 𝑘=1 ∞ ∞ 𝑚=0 𝑚=0 𝑚 𝜆𝑚 𝜆𝑚 −𝜆 + 𝜆𝑒 ∑ ∑ (𝑚)! (𝑚)! Với 𝑚 = 𝑘 − = 𝜆2 𝑒 −𝜆 SVTH: TRẦN THỊ HIỀN ∞ ∞ 𝑚=1 𝑚=0 𝜆𝑚−1 𝜆𝑚 −𝜆 + 𝜆𝑒 ∑ ∑ (𝑚 − 1)! (𝑚)! Trang 26 Luận văn tốt nghiệp = 𝜆2 + 𝜆 Vậy 𝐷(𝑋) = 𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2 = 𝜆 Định lý 2.2.4 Định lí Poisson Cho X∼B(n,𝑝𝑛 ) Khi 𝑛 → ∞, 𝑝𝑛 → , 𝑛𝑝𝑛 = 𝜆 (const) 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 lim 𝑃𝑛 (𝑘) = n→∞ 𝑘! Định lý poisson cho ta công thức xấp xỉ: e   k 𝑃𝑛 (𝑘) ≈ k! Khi n lớn 𝑝𝑛 ≈ 0, 𝑛𝑝𝑛 = 𝜆 Chứng minh Ta có: 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑘) = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑛𝑘 (1 − 𝑝𝑛 )𝑛−𝑘 = 𝑛! 𝑝𝑘 (1 𝑘!(𝑛−𝑘)! 𝑛 − 𝑝𝑛 )𝑛−𝑘 𝑛.𝑝𝑛 (𝑛𝑝𝑛 )𝑘 = 1 𝑘−1 𝑝 (1 − 𝑛) (1 − 𝑛) … (1 − 𝑛 ) [(1 − 𝑝𝑛 ) 𝑛 ] 𝑘! (1 − 𝑝𝑛 )𝑘 lim 𝑃𝑛 (𝑘) = lim 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑛𝑘 (1 − 𝑝𝑛 )𝑛−𝑘 n→∞ = lim n→∞ (𝑛𝑝𝑛 )𝑘 n→∞ = lim n→∞ 𝑘! (1 − 𝑛) (1 − 𝑛) … (1 − (𝑛𝑝𝑛 )𝑘 𝑘! 1 𝑘−1 𝑛 (1 − 𝑛) (1 − 𝑛) … (1 − 𝑝𝑛 𝑛.𝑝𝑛 ) [(1 − 𝑝𝑛 ) ] 𝑛) 𝑝𝑛 𝑘−1 𝑛 (1−𝑝 𝑛.𝑝𝑛 ) lim [(1 − 𝑝𝑛 ) ] n→∞ 𝑘 n→∞ (1 − 𝑝𝑛 )𝑘 lim SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 27 Luận văn tốt nghiệp  k k! e   e   k k! Vậy 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 lim 𝑃𝑛 (𝑘) = n→∞ 𝑘! Định lý 2.2.5 Cho 𝑋𝑖 ~𝐵(1; 𝑝); 𝑋𝑖 độc lập 𝑆𝑛 = 𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 ; 𝜏~𝑃(𝜆) Khi : 𝑆𝜏 = 𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝜏 ~𝑃(𝜆𝑝) Chứng minh Im (𝑆𝜏 )= {0,1,2, … } ; 𝐴𝑙 = (𝜏 = 𝑙) với 𝑙 = 0,1,2, …  Và UA  Ω j 0 l Ta có:  (𝑆𝜏 = 𝑘) = (𝑆𝜏 = 𝑘) ∩ Ω = (𝑆𝜏 = 𝑘) ∩ ( U Al ) l 0 ∞ ∞ = ⋃(𝐴𝑙 ∩ (𝑆𝜏 = 𝑘)) = ⋃(𝐴𝑙 ∩ (𝑆𝑙 = 𝑘)) 𝑙=0 𝑙=0 ∞ ∞ 𝑃(𝑆𝜏 = 𝑘) = 𝑃 (∑(𝐴𝑙 ∩ (𝑆𝑙 = 𝑘)) = ∑ 𝑃(𝐴𝑙 )𝑃 (𝑆𝑙 = 𝑘) 𝑙=0 𝑙=0 Vì 𝑆𝑙 ≤ 𝑙 nên 𝑃(𝑆𝑙 = 𝑘) = 𝑙 < 𝑘 ∞ ∞ ⇒ ∑ 𝑃(𝐴𝑙 )𝑃 (𝑆𝑙 = 𝑘) = ∑ 𝑃(𝐴𝑙 )𝑃 (𝑆𝑙 = 𝑘) 𝑙=0 𝑙=𝑘 ∞ ∞ 𝑙=𝑘 𝑙=𝑘 𝑒 −𝜆 𝜆𝑙 𝑘 𝑘 = ∑ 𝑃(𝜏 = 𝑙)𝑃(𝑆𝑙 = 𝑘) = ∑ 𝐶𝑙 𝑝 (1 − 𝑝)𝑙−𝑘 𝑙! SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 28 Luận văn tốt nghiệp ∞ 𝑒 −𝜆 𝜆𝑙 𝑙! =∑ 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑙−𝑘 (𝑙 𝑙! 𝑘! − 𝑘)! 𝑙=𝑘 ∞ 𝑒 −𝜆 𝑝𝑘 𝜆𝑙 (1 − 𝑝)𝑙−𝑘 = ∑ (𝑙 − 𝑘)! 𝑘! 𝑙=𝑘 ∞ ∞ 𝑙=𝑘 𝑙=𝑘 𝑒 −𝜆 𝑝𝑘 𝜆𝑙−𝑘 𝜆𝑘 (1 − 𝑝)𝑙−𝑘 𝑒 −𝜆 (𝜆𝑝)𝑘 𝜆𝑙−𝑘 (1 − 𝑝)𝑙−𝑘 = = ∑ ∑ (𝑙 − 𝑘)! (𝑙 − 𝑘)! 𝑘! 𝑘! Với 𝑚 = 𝑙 − 𝑘 ∞ ∞ 𝑚=0 𝑚=0 𝑒 −𝜆 (𝜆𝑝)𝑘 𝜆𝑚 (1 − 𝑝)𝑚 𝑒 −𝜆 (𝜆𝑝)𝑘 (𝜆(1 − 𝑝))𝑚 = ∑ = ∑ 𝑘! 𝑚! 𝑘! 𝑚! 𝑒 −𝜆 (𝜆𝑝)𝑘 𝜆.(1−𝑝) 𝑒 −𝜆𝑝 (𝜆𝑝)𝑘 = 𝑒 = 𝑘! 𝑘! Vậy 𝑆𝜏 = 𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝜏 ~𝑃(𝜆𝑝) Định lý 2.2.6 Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝); 𝑌~𝑃(𝜆), với 𝜆 = 𝑝 1−𝑝 , đặt 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 Khi đó: 𝑃(𝑍 = 𝑘) = (1  p) n k  min{k ,n} k e p  C  k  i ! i 0 i n Giải:  𝑘 < 𝑛: 𝑘 𝑃(𝑍 = 𝑋 + 𝑌 = 𝑘) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑖; 𝑌 = 𝑘 − 𝑖) 𝑖=0 𝑘 = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑖)𝑃(𝑌 = 𝑘 − 𝑖) 𝑖=0 SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 29 Luận văn tốt nghiệp 𝑘 = ∑ 𝐶𝑛𝑖 𝑝𝑖 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑖 𝑖=0 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘−𝑖 (𝑘 − 𝑖)! 𝑘 = (1 − 𝑝)𝑛 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 ∑ 𝐶𝑛𝑖 𝑝𝑖 𝑖=0 𝑘 𝑛 −𝜆 𝑘 = (1 − 𝑝) 𝑒 𝜆 ∑ 𝐶𝑛𝑖 𝑖=0 (1 − 𝑝)𝑖 𝜆𝑖 (𝑘 − 𝑖)! 𝑖 𝑝 ( ) 𝜆(1 − 𝑝) (𝑘 − 𝑖)! 𝑘 𝑝 𝑘 = (1 − 𝑝)𝑛 𝑒 −𝜆 ( ) ∑ 𝐶𝑛𝑖 (𝑘 − 𝑖)! 1−𝑝 𝑖=0 𝑘 = (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒 −𝜆 𝑝𝑘 ∑ 𝐶𝑛𝑖 𝑖=𝑜 (𝑘 − 𝑖)!  𝑘 ≥ 𝑛: 𝑛 𝑃(𝑍 = 𝑋 + 𝑌 = 𝑘) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑖; 𝑌 = 𝑘 − 𝑖) 𝑖=0 𝑛 = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑖)𝑃(𝑌 = 𝑘 − 𝑖) 𝑖=0 𝑛 = ∑ 𝐶𝑛𝑖 𝑝𝑖 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑖 𝑖=0 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘−𝑖 (𝑘 − 𝑖)! 𝑛 = (1 − 𝑝)𝑛 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 ∑ 𝐶𝑛𝑖 𝑖=0 𝑛 = (1 − 𝑝)𝑛 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 ∑ 𝑖=0 (𝑘 − 𝑖)! 𝑛! 𝑖! (𝑛 − 𝑖)! (𝑘 − 𝑖)! 𝑛 = (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒 −𝜆 𝑝𝑘 ∑ 𝑖=0 SVTH: TRẦN THỊ HIỀN 𝑛! 𝑘! 𝑘! 𝑖! (𝑛 − 𝑖)! (𝑘 − 𝑖)! Trang 30 Luận văn tốt nghiệp 𝑘 𝑛! = (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒 −𝜆 𝑝𝑘 ∑ 𝐶𝑘𝑖 (𝑛 − 𝑖)! 𝑘! 𝑖=0 𝑛 𝑛! 𝐶𝑘𝑖 𝑛−𝑘 −𝜆 𝑘 = (1 − 𝑝) 𝑒 𝑝 ∑ (𝑛 − 𝑖)! 𝑘! 𝑖=0 2.3: PHÂN PHỐI SIÊU HÌNH HỌC Định nghĩa 2.3.1 ĐLNN X gọi có phân phối siêu hình học với tham số N,M,n với M 𝑘) + 𝑃(𝑋1 > 𝑘; 𝑋2 = 𝑘) = 𝑃(𝑋1 = 𝑘) 𝑃(𝑋2 = 𝑘) + 𝑃(𝑋1 = 𝑘) 𝑃(𝑋2 > 𝑘) SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 32 Luận văn tốt nghiệp + 𝑃(𝑋1 > 𝑘) 𝑃(𝑋2 = 𝑘) (14) Với : ∗ 𝑃(𝑋1 = 𝑘) 𝑃(𝑋2 = 𝑘) = 𝑝1 𝑘−1 (1 − 𝑝1 ) 𝑝2 𝑘−1 (1 − 𝑝2 ) (15) ∞ ∗ 𝑃(𝑋1 = 𝑘) 𝑃(𝑋2 > 𝑘) = 𝑝1 𝑘−1 (1 − 𝑝1 ) ∑ 𝑝2 𝑖−1 (1 − 𝑝2 ) 𝑖=𝑘+1 ∞ = 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘 (1 − 𝑝1 ) ∑ 𝑝2 𝑖−1−𝑘 (1 − 𝑝2 ) 𝑖=𝑘+1 = 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘 (1 − 𝑝1 ) ( 1−𝑝2 ) (1 − 𝑝2 ) = 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘 (1 − 𝑝1 ) (16)  P(𝑋1 > 𝑘) 𝑃(𝑋2 = 𝑘) ∞ = ∑ 𝑝1 𝑖−1 ( − 𝑝1 ) 𝑝2 𝑘−1 (1 − 𝑝2 ) 𝑖=𝑘+1 ∞ = ∑ 𝑝1 𝑖−1−𝑘 (1 − 𝑝1 ) 𝑝2 𝑘−1 𝑝1 𝑘 (1 − 𝑝2 ) 𝑖=𝑘+1 =( ) (1 − 𝑝1 ) 𝑝2 𝑘−1 𝑝1 𝑘 (1 − 𝑝2 ) − 𝑝1 = 𝑝2 𝑘−1 𝑝1 𝑘 (1 − 𝑝2 ) (17) Thay (15) (16) (17) vào (14) ta : 𝑃(min(𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑘) = 𝑝1 𝑘−1 (1 − 𝑝1 ) 𝑝2 𝑘−1 (1 − 𝑝2 ) + 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘 (1 − 𝑝1 ) +𝑝2 𝑘−1 𝑝1 𝑘 (1 − 𝑝2 ) = 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘−1 (1 − 𝑝1 ) ( − 𝑝2 + 𝑝2 ) + 𝑝2 𝑘−1 𝑝1 𝑘 (1 − 𝑝2 ) = 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘−1 (1 − 𝑝1 ) + 𝑝2 𝑘−1 𝑝1 𝑘 (1 − 𝑝2 ) SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 33 Luận văn tốt nghiệp = 𝑝1 𝑘−1 𝑝2 𝑘−1 (1 − 𝑝1 + 𝑝1 (1 − 𝑝2 )) = (𝑝1 𝑝2 )𝑘−1 (1 − 𝑝1 𝑝2 ) Vậy min(𝑋1 ; 𝑋2 ) = 𝑃𝑎(𝑝1 𝑝2 ) Nhận xét: Tượng tự với n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có : min(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) ~ 𝑃𝑎(𝑝1 … 𝑝𝑛 ) Định lý 2.4.2 𝑋𝑖 ~𝐵(1; 𝑝) ; 𝑋𝑖 độc lập 𝑆𝑛 = 𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝜏 = inf(𝑛: 𝑆𝑛 = 1) Khi 𝜏~𝑃𝑎(1 − 𝑝) Chứng minh Ta có : 𝜏 = inf(𝑛: 𝑆𝑛 = 1) 𝑃(𝜏 = 𝑘) = 𝑃(𝑋1 = 0; 𝑋2 = 0; … ; 𝑋𝑘−1 = 0; 𝑋𝑘 = 1) = 𝑃(𝑋1 = 0)𝑃(𝑋2 = 0) … 𝑃(𝑋𝑘−1 = 0)𝑃(𝑋𝑘 = 1) = 𝐶10 𝑝0 (1 − 𝑝)1−0 𝐶10 𝑝0 (1 − 𝑝)1−0 … 𝐶10 𝑝0 (1 − 𝑝)1−0 𝐶11 𝑝1 (1 − 𝑝)1−1 = (1 − 𝑝)𝑘−1 𝑝 Vậy 𝜏~𝑃𝑎(1 − 𝑝) 2.5 MÔ PHỎNG CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 với xác suất tương ứng 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) Ta cần mô giá trị X Ta chia đoạn [0;1] thành n đoạn có độ dài thứ tự tương ứng 𝑝𝑖 𝑖 = 1, 𝑛 , đoạn 𝑝𝑖 có giá trị tương ứng 𝑥𝑖 Cho điểm chạy SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 34 Luận văn tốt nghiệp đoạn [0;1] điểm rơi vào đoạn 𝑝𝑖 X nhận giá trị tương ứng 𝑥𝑖 i Giả sử R ĐLNN có phân phối [0;1] Đặt 𝑞0 = ; 𝑞𝑖 = p j 1 j ; 𝑖 = 1, 𝑛 Thuật toán:  Mô giá trị R  Nếu 𝑞𝑖−1 ≤ 𝑅 < 𝑞𝑖 X nhận giá trị 𝑥𝑖 Chứng minh: 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 𝑃(𝑞𝑖 ≤ 𝑅 < 𝑞𝑖+1 ) = 𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖 = 𝑝𝑖 ( R có phân phối [0;1]) 2.5.1 MƠ PHỎNG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị i 𝑖 = 0, 𝑛 với xác suất tương ứng : 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖) = 𝐶𝑛𝑖 𝑝𝑖 (1 − 𝑝)𝑛−𝑖 ; 𝑖 = 0, 𝑛 i 1 Đặt 𝑞0 = 0; 𝑞𝑖 = p ; j 0 j 𝑖 = 1, 𝑛 + Thuật tốn:  Mơ giá trị R  Nếu 𝑞𝑖 ≤ 𝑅 < 𝑞𝑖+1 X nhận giá trị i SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 35 Luận văn tốt nghiệp 2.5.2 MÔ PHỎNG PHÂN PHỐI POISSON Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị i 𝑖 = 0, 𝑛 với xác suất tương ứng : 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖) = 𝑒 −𝜆 𝜆𝑖 𝑖! ; i = 0,1,2,… i 1 Đặt 𝑞0 = 0; 𝑞𝑖 = p ; i= 1,2,… j 0 j Thuật tốn:  Mơ giá trị R  Nếu 𝑞𝑖 ≤ 𝑅 < 𝑞𝑖+1 X nhận giá trị i 2.5.3 MÔ PHỎNG PHÂN PHỐI PASCAL (Phân phối hình học) Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị i i= 1,2,… với xác suất tương ứng : 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖) = 𝑝𝑖−1 (1 − 𝑝) ; i = 1,2,… Thuật toán :  Mô giá trị R  Nếu 𝑞𝑖−1 ≤ 𝑅 < 𝑞𝑖 X nhận giá trị i SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 36 Luận văn tốt nghiệp KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày số nội dung tính chất mơ phân phối rời rạc thường gặp môn Lý thuyết xác suất thống kê Em sâu vào tìm hiểu phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Pascal Đã chứng minh số tính chất phân phối rời rạc, tìm hiểu phương pháp mơ số phân phối rời rạc Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực hạn chế cịn nhiều sai sót Rất mong góp ý xây dựng q thầy bạn sinh viên để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 37 Luận văn tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Ngọc Siêng (2010), Lý thuyết xác suất thống kê toán, Nhà xuất Đà Nẵng Đinh Văn Gắng (1999), Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo dục TP Hồ Chí Minh Tống Đình Quỳ (2004), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Ngọc Siêng (2000), Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán học, Nhà suất Đà Nẵng Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Lê Trung Tương , Lê Hồng Vân, Huỳnh Văn Sáu (1992), Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn học, Nhà suất TP Hồ Chí Minh SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 38 ... ngân hàng… ; phân phối nhị thức sử dụng phép đếm Do việc nghiên cứu tính chất luật phân phối rời rạc giúp ta hiểu rõ mơ hình Đó lí em chọn “ CÁC TÍNH CHẤT VÀ MÔ PHỎNG CỦA PHÂN PHỐI RỜI RẠC” làm đề... dung tính chất mơ phân phối rời rạc thường gặp môn Lý thuyết xác suất thống kê Em sâu vào tìm hiểu phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Pascal Đã chứng minh số tính chất phân phối rời. .. với tính chất phân phối rời rạc Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI: - Nghiên cứu tính chất phân phối xác suất đưa ví dụ minh họa nhằm làm rõ tính chất - Đi sâu mở rộng số tính chất vài phân