CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10

CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K x Chứng minh M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp · = sđ »AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE Ta có : EAC D C M E H K O A B dây AC đường tròn (O)) Hình 01 · » (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) = sđ DB Tương tự: xDB » Do EAC · · Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên »AC = BD = xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM · · Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD (cùng chắn cung ED) Mà = EMD · EAD = ·ABD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD) · Suy ra: EMD = ·ABD Do EM // AB Chứng minh M trung điểm HK HM DH MK CK = = ∆CAB có MK // AB ⇒ Mà AB DA AB CB DH CK HM MK = = (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên Do MH = DA CB AB AB ∆DAB có HM // AB ⇒ MK Vậy M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM = (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // AB DB KM BM = CD ta được: (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: CD BD HM KM DM BM DM + BM BD HM KM + = + = = = Suy ra: + = , mà MH = MK AB CD DB BD BD BD AB CD HK HK 1 + = Suy ra: = + nên 2HM = 2KM = HK Do đó: (đpcm) AB CD HK AB CD Lời bàn: ¼ Do AC = BD ⇒ ¼ nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta ADC = BCD sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE tốn giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé) Câu có cịn cách chứng minh khác khơng? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm Câu toán quen thuộc lớp phải khơng em? Do học tốn em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem? Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường trịn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp ·AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) ⇒ AM ⊥ MB · Mà CD // BM (gt) nên AM ⊥ CD Vậy MKC = 900 D ¼ ¼ · ⇒ OM ⊥ AC AM = CM (gt) ⇒ MHC = 90 K · · C Tứ giác CKMH có MKC + MHC = 180 nên nội tiếp // M đường tròn = H Chứng minh CD = MB DM = CB A B O · Ta có: ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường trịn (O) ⇔ AD ⊥ AB ∆ADC có AK ⊥ CD DH ⊥ AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM ⊥ AD » Vậy AD ⊥ AB ⇔ CM // AB ⇔ ¼ AM = BC ¼ nên ¼ » ⇔¼ ¼ = BC » = 600 D Mà ¼ AM = MC AM = BC AM = MC K Tính diện tích phần tam giác ADC ngồi (O) theo R: // C M Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi = đường trịn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD H A S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC O Ta có: S = S1 – S2 hình ∗ Tính S1: ¼ = BC » = 600 ⇒ ·AOD = 600 AD tiếp tuyến đường tròn (O) ⇔ ¼ AM = MC B 1 R2 ⇒ Do đó: AD = AO tg 60 = R SADO = AD AO = R 3.R = 2 R2 ∆AOD = ∆COD (c.g.c) ⇒ SAOD = SCOD ⇒ SAOCD = SADO = = R2 π R 1200 π R ∗ Tính S2: »AC = 1200 ⇒ S quạt AOC = = 3600 ∗ Tính S: S = S1 – S2 = R – π R 3R − π R R2 3 − π (đvdt) = = 3 ( ) Lời bàn: Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K góc vng, để có góc K vng ta cần MB ⊥ AM CD// MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vng suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường trịn Khi gặp loại tốn địi hỏi phải tư cao Thơng thường nghĩ có kết tốn xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải tốn Với tập phát M trực tâm tam giác khơng phải khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình » = 600 AD tiếp tuyến bày phần đảo: Điểm C nằm nửa đường tròn mà BC Chứng minh nhận định xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến » = 600 Từ kết luận BC Phát diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC tốn dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn (O); cắt Ax, By E F · Chứng minh: EOF = 900 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK ⊥ AB y Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a F BÀI GIẢI CHI TIẾT · Chứng minh: EOF = 900 EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt E nên OE phân giác ·AOM x M E K · B A Tương tự: OF phân giác BOM N O · · Mà ·AOM BOM kề bù nên: EOF hình = 900 (đpcm) Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng · · Ta có: EAO = EMO = 900 (tính chất tiếp tuyến) · · Tứ giác AEMO có EAO + EMO = 1800 nên nội tiếp đường trịn · · · • Tam giác AMB tam giác EOF có: ·AMB = EOF (cùng = 900 , MAB = MEO chắn cung MO đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g) Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK ⊥ AB AK AE = Mà : AE = ME BF = MF (t/chất KF BF AK ME = hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên Do MK // AE (định lí đảo định lí KF MF Ta- let) Lại có: AE ⊥ AB (gt) nên MK ⊥ AB Tam giác AEK có AE // FB nên: Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a Gọi N giao điểm MK AB, suy MN ⊥ AB MK FK NK BK = = (1) ∆ BEA có NK//AE nên (2) AE FA AE BE FK BK FK BK FK BK = = = Mà (do BF // AE) nên hay (3) KA KE KA + FK BK + KE FA BE MK KN = Từ (1), (2) (3) suy Vậy MK = NK AE AE S AKB KN Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên: S = MN = AMB ∆ FEA có MK//AE nên Do S AKB = S AMB Tam giác AMB vuông M nên tg A = Vậy AM = MB · = ⇒ MAB = 600 MA a a ⇒ 1 a a MB = ⇒ S AKB = = a (đvdt) 16 2 2 Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy ơn tập, em ơn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài tốn có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, toán qui tính diện tích tam giác AMB khơng phải khó phải khơng em? Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vng góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) ·AQI = ·ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường trịn (O)) · Do đó: MO ⊥ AC ⇒ MIA = 900 x M Q I ·AQB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) · ⇒ MQA = 900 Hai đỉnh I Q nhìn AM góc vng nên tứ giác AMQI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: ·AQI = ·ACO Tứ giác AMQI nội tiếp nên ·AQI = ·AMI Hình x A N O K C H B Hình M Q C I · (cùng phụ MAC ) (2) N · ∆AOC có OA = OC nên cân O ⇒ CAO = ·ACO (3).ATừ (1),O (2)H vàB (3) suy ·AQI = ·ACO c) Chứng minh CN = NH Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn(O)) AC ⊥ BK , AC ⊥ OM ⇒ OM // BK Tam giác ABK có: OA = OB, OM // BK ⇒ MA = MK Áp dụng hệ định lí Ta let cho ∆ABM có NH // AM (cùng ⊥ AB) ta được: NH BN = AM BM (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho ∆BKM có CN // KM (cùng ⊥ AB) ta được: CN BN = KM BM (5) Từ (4) (5) suy ra: NH CN = Mà KM = AM KM AM nên CN = NH (đpcm) Lời bàn Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vng Góc AQM vng có kề bù với ACB vng, góc MIA vng suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt · Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy ·AQI = ·AMI , ·ACO = CAO , vấn · · đề lại cần IMA , điều khơng khó phải khơng em? = CAO Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ tốn có liên quan đến phần thi ta qui tốn giải đề thi cách dễ dàng Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D a) Chứng minh OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh OD // BC Hình F · · ∆BOD cân O (vì OD = OB = R) ⇒ OBD = ODB · · · · Mà OBD (gt) nên ODB Do đó: OD // BC = CBD = CBD b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF C // E D ·ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) ⇒ AD ⊥ BE = ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) ⇒ AC ⊥ BF B A O ∆EAB vuông A (do Ax tiếp tuyến ), có AD ⊥ BE nên: AB2 = BD.BE (1) ∆FAB vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC ⊥ BF nên AB2 = BC.BF (2) Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có: · · CDB = CAB (hai góc nội tiếp chắn cung BC)  · · · ( phụ FAC ) = CFA  CAB Do tứ giác CDEF nội tiếp Cách khác · · ⇒ CDB = CFA BD BC = (suy từ BD.BE = BC.BF) nên BF BE · · chúng đồng dạng (c.g.c) Suy ra: CDB Vậy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp = EFB µ chung ∆ ∆DBC ∆FBE có: B d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi: · » Ta có: ·ABD = CBD (do BD phân giác ·ABC ) ⇒ »AD = CD Tứ giác AOCD hình thoi ⇔ OA = AD = DC = OC » = 600 ⇔ »AC = 1200 ⇔ ·ABC = 600 ⇔ AD = DC = R ⇔ »AD = DC Vậy ·ABC = 600 tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R: »AC = 1200 ⇒ AC = R 1 R2 Sthoi AOCD = OD AC = R.R = (đvdt) 2 Hình x F E D A C O B Lời bàn Với câu 1, từ gt BD phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ · · đến cần chứng minh hai góc so le ODB OBD Việc ý đến góc nội tiếp chắn nửa đường trịn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông Ax tiếp tuyến gợi ý đến hệ thức lượng tam giác vng quen thuộc Tuy nhiên chứng minh hai tam giác BDC BFE đồng dạng trước suy BD.BE = BC.BF Với cách thực có ưu việc giải ln câu Các em thử thực xem sao? Khi giải câu câu sử dụng câu , chứng minh giải Câu với đề yêu cầu xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi khơng phải khó Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ đến cung AC 1200 từ suy số đo góc ABC 60 Tính diện tích hình thoi cần nhớ cơng thức, nhớ kiến thức đặc biệt mà q trình ơn tập thầy cô giáo bổ sung »AC = 1200 ⇒ AC = R , em tính dễ dàng A Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đườngF thẳng BC N E H a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp · b) Chứng minh FB phân giác EFN B C N · c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC ∆ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: · · Ta có : BFC = BEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC) · · Tứ giác HFCN có HFC + HNC = 1800 nên nội tiếp đường trịn đường kính HC) (đpcm) b) Chứng minh FB tia phân giác góc EFN: · · » đường trịn đường kính Ta có EFB (hai góc nội tiếp chắn BE = ECB BC) · · ¼ đường trịn đường kính HC) (hai góc nội tiếp chắn HN ECB = BFN · · Suy ra: EFB Vậy FB tia phân giác góc EFN (đpcm) = BFN c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC tam giác ABC: · · · · ∆ FAH ∆ FBC có: AFH (cùng phụ = BFC = 900 , AH = BC (gt), FAH = FBC ·ACB ) Vậy ∆ FAH = ∆ FBC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: FA = FB · ∆ AFB vuông F; FA = FB nên vng cân Do BAC = 450 Bài (Các em tự giải) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cát H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh AD AC = AE AB c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA ⊥ DE · d) Cho biết OA = R , BAC = 600 Tính BH BD + CH CE theo R Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm ngồi đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vng góc hạ E F từ D xuống đường thẳng AC C Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp = // · A b) AF phân giác EAD O B c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích (Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: D · Ta có: ·AED = AFD = 900 (gt) Hai đỉnh E F nhìn AD góc 90 nên tứ giác EFDA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AF phân giác góc EAD: Ta có:  AE ⊥ CD · · ⇒ AE // OC Vậy EAC ( so le trong)  = CAD OC ⊥ CD  · · · · Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên CAO Do đó: EAC = OCA = CAD Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm) c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng: ∆ EFA ∆ BDC có: · · (hai góc nội tiếp chắn »AE đường trịn ngoại tiếp tứ giác EFA = CDB EFDA) · ·  EAC = CAB · · ⇒ EAF = BCD  Vậy ∆ EFA ∆ BDC đồng dạng (góc- góc) · · CAB = DCB d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích: 1 DF AC SABF = BC.AF (1) 2 BC AC = BC // DF (cùng ⊥ AF) nên hay DF AC = BC.AF (2) DF AF SACD = Từ (1) (2) suy : S ACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác nữa) · Bài Cho tam giác ABC ( BAC < 450 ) nội tiếp nửa đường trịn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường tròn (O) M (M ≠ A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K AB P a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh ∆MAP cân c) Tìm điều kiện ∆ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng H BÀI GIẢI M C a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: K · · Ta có : MHC = 900 (gt), MKC = 900 (gt) Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối B A O P 1800 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác MAP cân: · AH // OC (cùng vng góc CH) nên MAC = ·ACO (so le trong) · · · ∆ AOC cân O (vì OA = OC = R) nên ·ACO = CAO Do đó: MAC Vậy = CAO · AC phân giác MAB Tam giác MAP có AK đường cao (do AC ⊥ MP), đồng thời đường phân giác nên tam giác MAP cân A (đpcm) · · · · Cách Tứ giác MKCH nội tiếp nên ·AMP = HCK (cùng bù HMK ) HCA = CBA · · sđ »AC ), CBA (hai góc đồng vị MP// CB) = MPA Suy ra: ·AMP = ·APM Vậy tam giác AMP cân A (cùng c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng: Ta có M; K; P thẳng hàng Do M; K; O thẳng hàng P ≡ O hay AP = PM Kết hợp với câu b tam giác MAP cân A suy tam giác MAP · · Do CAB = 300 Đảo lại: CAB = 300 ta chứng minh P ≡ O: · · · Khi CAB ) Tam giác MAO = 300 ⇒ MAB = 600 (do AC phân giác MAB · cân O có MAO = 60 nên ∆ MAO Do đó: AO = AM Mà AM = AP (do ∆ MAP cân A) nên AO = AP Vậy P ≡ O · Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB = 300 ba điểm M; K O thẳng hàng Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A≠ M&N) Gọi I, P Q trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh: A a) ·AHN = ·ACB b) Tứ giác BMNC nội tiếp N O c) Điểm I trực tâm tam giác APQ M I BÀI GIẢI / // / // C B Q P H a) Chứng minh ·AHN = ·ACB : ·ANH = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Nên Tam giác ANH vuông N ·AHC = 900 (do AH đường cao ∆ ABC) · nên tam giác AHC vng H Do ·AHN = ·ACB (cùng phụ HAC ) b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp: Ta có : ·AMN = ·AHN (hai góc nội tiếp chắn cung AN) ·AHN = ·ACB (câu a) Vậy: ·AMN = ·ACB Do tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh I trực tâm tam giác APQ: OA = OH QH = QC (gt) nên QO đường trung bình tam giác AHC Suy ra: OQ//AC, mà AC ⊥ AB nên QO ⊥ AB Tam giác ABQ có AH ⊥ BQ QO ⊥ AB nên O trực tâm tam giác Vậy BO ⊥ AQ Mặt khác PI đường trung bình tam giác BHO nên PI // BO Kết hợp với BO ⊥ AQ ta PI ⊥ AQ Tam giác APQ có AH ⊥ PQ PI ⊥ AQ nên I trực tâm tam giác APQ (đpcm) Bài 11 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường trịn (C≠ A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường tròn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại I tiếp tứ giác đó: Ta có ·ACB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) K · · / Do đó: ICP C = INP = 90 N = H · · Tứ giác ICPN có ICP + INP = 180 nên nội tiếp M / P = đường tròn Tâm K đường tròn ngoại tiếp A tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP O b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường trịn (O) Tam giác INP vng N, K trung điểm IP nên · · IP Vậy tam giác IKN cân K Do KIN (1) = KNI · · Mặt khác NKP (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường trịn (K)) (2) = NCP » = BN » ⇒ CN = NB Vậy ∆ NCB cân N N trung điểm cung CB nên CN KN = KI = · · · · Do : NCB (3) Từ (1), (2) (3) suy INK , hai góc vị = NBC = IBC trí đồng vị nên KN // BC Mặt khác ON ⊥ BC nên KN ⊥ ON Vậy KN tiếp tuyến đường trịn (O) · · · Chú ý: * Có thể chứng minh KNI + ONB = 900 ⇒ KNO = 900 · · * chứng minh KNA + ·ANO = 900 ⇒ KNO = 900 c) Chứng minh C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định: ¼ (gt) nên ·AOM = MOC · Ta có ¼ Vậy OM phân giác ·AOC AM = MC · · · Tương tự ON phân giác COB , mà ·AOC COB kề bù nên MON = 900 Vậy tam giác MON vuông cân O Kẻ OH ⊥ MN, ta có OH = OM.sinM = R R = không đổi 2 Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định (O; R ) Bài 12 Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới B đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H // trung điểm DE, AE cắt BC K O A a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn // D / K H C / E B · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) Chứng minh : 1 = + AK AD AE BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: ·ABO = ·ACO = 900 (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác ABOC có ·ABO + ·ACO = 1800 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy »AB = »AC Do ·AHB = ·AHC Vậy HA tia phân giác góc BHC c) Chứng minh 1 = + : AK AD AE B ∆ ABD ∆ AEB có: · chung, ·ABD = ·AEB (cùng BAE » ) sđ BD A = _ Suy : ∆ ABD ~ ∆ AEB AB AD = ⇒ AB = AD AE Do đó: AE AB O (1) = D / K H / E C ∆ ABK ∆ AHB có: · chung, ·ABK = ·AHB (do »AB = »AC ) nên chúng đồng dạng BAH AK AB = ⇒ AB = AK AH (2) Suy ra: AB AH Từ (1) (2) suy ra: AE.AD = AK AH AH 2 AH ( AD + DH ) AD + DH AD + AD + ED = ⇒ = = = = = AK AE AD AK AE AD AE AD AE AD AE AD AE + AD 1 + = (do AD + DE = AE DE = 2DH) AE AD AD AE 1 = + Vậy: (đpcm) AK AD AE ⇒ Bài 13 Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Trên đường trịn (O;R) lấy · điểm M cho MAB = 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MOI đường trịn (O; R) MBJ đường tròn (B; M BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường trịn (O; 60 ° R) theo R B A O BÀI GIẢI N I J a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường trịn (B; BM) Ta có ·AMB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) Điểm M N thuộc (B;BM); AM ⊥ MB AN ⊥ NB Nên AM; AN tiếp tuyến (B; BM) b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng JI JN = 6R2 · · MNI = MNJ = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) Nên IN ⊥ MN JN ⊥ MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R Tam giác AMO · cân O (vì OM = OA), MAO = 600 nên tam giác MAO AB ⊥ MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) Nên OH = 1 OA = R Vậy HB = HO + OB = 2 R 3R 3R +R= ⇒ NJ = = 3R 2 Vậy JI JN = 2R 3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường trịn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) · » = 1200 ⇒ MB = R Vậy: S1 = π ( R ) = 3π R Tính S1: MAB = 600 ⇒ MB · Tính S2: MBN = 600 ⇒ S2 = ( ) π R 600 3600 π R2 = π R 1200 π R ⇒ · = Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB MOB = 120 Squạt MOB = 3600 1 1 R2 OA = OB ⇒ SMOB = SAMB = AM MB = R.R = Vậy S3 = 2 4 π R2 R2 − = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3)  π R 2π R R  11π R + 3R + − ÷ = 3π R –  = (đvdt) ÷   Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O; R), với D tiếp điểm a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp b) Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Chứng minh · MHD = 450 d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi đường trịn (O; R) C BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp: // · · CAO = CDO = 900 (tính chất tiếp tuyến) M = D · · Tứ giác ACDO có CAO + CDO = 180 nên I _ nội tiếp đường trịn H / / B A b) Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD: O CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R ⇒ OC ⊥ AD AH = HD Tam giác ACO vuông A, AH ⊥ OC nên 1 1 2R 4R + = + = 2 = R2 ( R ) 4R Vậy AH = AD = 2AH = AH AO AC · c) Chứng minh MHD = 450 : ·AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ CMA · = 900 Hai đỉnh H M · nhìn AC góc 900 nên ACMH tứ giác nội tiếp Suy ra: ·ACM = MHD Tam giác ACB vuông A, AC = AB(gt) nên vuông cân Vậy ·ACB = 450 · Do : MHD = 450 d) Tính diện tích hình trịn (I) nằm ngồi đường trịn (O) theo R: · · · · Từ CHD = 900 MHD = 450 ⇒ CHM = 450 mà CBA = 450 (do ∆ CAB vuông cân B) · · · · Nên CHM = CBA ⇒ Tứ giác HMBO nội tiếp Do MHB = MOB = 900 Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB trung điểm MB Gọi S diện tích phần hình trịn (I) ngồi đường trịn (O) S1 diện tích nửa hình trịn đường kính MB S2 diện tích viên phân MDB Ta có S = S1 – S2 Tính S1:  R  π R2 » π  Vậy S = ÷ = MB = 90 ⇒ MB = R 2  ÷  Tính S2: S2 = SquạtMOB – S ∆ MOB = ∗ S= π R 900 R π R R − − = 3600 π R2 π R R2 R2 −( − )= 4 2 Bài 15 Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tg ·ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH BÀI GIẢI M K a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp: C ·ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) E I 0 · µ µ Suy MCA = 90 Tứ giác MNAC có N + C = 180 N nên nội tiếp đường trịn A O H b) Tính CH tg ABC AB = (cm) ; AH = (cm) ⇒ HB = (cm) D Tam giác ACB vuông C, CH ⊥ AB ⇒ CH2 = AH BH = = ⇒ CH = (cm) Do tg ABC = CH = BH c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường trịn (O): · · Ta có NCA (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại = NMA · tiếp tứ giác MNAC) NMA = ·ADC (so le MN // CD) ·ADC = ·ABC (cùng 1 · · · chắn »AC ) Nên NCA = ·ABC Do ABC = sđ »AC ⇒ NCA = sđ »AC Suy CN 2 tiếp tuyến đường tròn (O) (xem lại tập 30 trang 79 SGK toán tập 2) d) Chứng minh EB qua trung điểm CH: Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD · · · (cùng ⊥ với AB) ⇒ ·AKB = DCB (đồng vị) DAB (cùng chắn cung BD) = DCB · · · · ¼ ) (đối đỉnh) MAN (cùng chắn MN DAB = MAN = MCN · · Suy ra: EKC = ECK ⇒ ∆KEC cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA ∆KBE có CI // KE ⇒ Vậy CI BI IH BI = = ∆ABE có IH // AE ⇒ KE BE AE BE CI IH = mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) KE AE Bài 16 Cho đường trịn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K (K nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình trịn (O) · d) Cho BCD = α Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O) B Hướng dẫn c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng tính CA = 25 cm ⇒ R = 12,5 cm Từ tính C = 25 π d) M ∈ (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp ⇔ ·ABM + ·ACM = 1800 B _ ? / M / A K O α C H α · ⇔ 900 + MBC + = 1800 E 1800 − α · = Từ tính MBC D Bài 17 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường trịn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh ∆ABE cân b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp · c) Cho CAB = 300 Chứng minh AK = 2CK Bài 18 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2 = AM AN b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp c) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh IB DB = IC DC · Bài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BAC cắt BC D cắt đường tròn M Phân giác Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vng góc với BC trung điểm BC · b) ·ABN = EAK c) AK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 20 Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài 21 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà AC > BC Kẻ CD ⊥ AB ( D ∈ AB ) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K a) Chứng minh M trung điểm AE b) Chứng minh IK // AB c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R Bài 22 Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2 = AP AQ b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP 1 c) Chứng minh PQ = PB + PC Bài 23 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường trịn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường trịn (O) ¼ c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN Bài 24 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K · a) Tính MIN ·AKB b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 25 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự điểm cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh rằng: a) ∆BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI // BC d) AN AB = BN BD Bài 26 Cho hai đường tròn (O) (O1) Đường nối tâm OO1 cắt đường tròn (O) (O1) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF (E ∈ (O), F ∈ (O1)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME MA = MF MD - HẾT ... Nam) Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy cô ôn tập, em ơn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài tốn có nhiều câu khó, câu khó... AMB Tam giác AMB vuông M nên tg A = Vậy AM = MB · = ⇒ MAB = 600 MA a a ⇒ 1 a a MB = ⇒ S AKB = = a (đvdt) 16 2 2 Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 tỉnh Hà Nam) Từ... dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ