CÁC bài TOÁN HÌNH ôn THI vào lớp 10

CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K Chứng minh M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp Ta có : · EAC = sđ »AC x D (góc tạo tia tiếp tuyến AE Tương tự: · xDB = M E dây AC đường tròn (O)) C H K O A sđ » DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên »AC = BD » Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Do B Hình 01 · · EAC = xDB · · EAD = EMD Tứ giác AEDM nội tiếp nên (cùng chắn cung ED) Mà (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD) Suy ra: · EMD = ·ABD · EAD = ·ABD Do EM // AB Chứng minh M trung điểm HK ∆DAB ⇒ có HM // AB HM DH = AB DA ∆CAB DH CK = DA CB ⇒ có MK // AB (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên Vậy M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD HM MK = AB AB MK CK = AB CB Mà Do MH = MK Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM = AB DB được: KM BM = CD BD (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: Suy ra: HM KM + =2 AB CD HK HK + =2 AB CD Suy ra: Lời bàn: HM KM DM BM DM + BM BD + = + = = =1 AB CD DB BD BD BD , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK 1 = + HK AB CD (đpcm) Do đó: ¼ ⇒¼ ADC = BCD Do AC = BD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE tốn giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé) Câu có cách chứng minh khác khơng? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm Câu tốn quen thuộc lớp phải khơng em? Do học tốn em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem? Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn (O) theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp ·AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) // BM (gt) nên AM ¼ ¼ AM = CM (gt) ⊥ CD Vậy · MKC = 900 Tứ giác CKMH có Mà CD D · ⇒ OM ⊥ AC ⇒ MHC = 900 · · MKC + MHC = 1800 ⇒ AM ⊥ MB K nên nội tiếp đường tròn Chứng minh CD = MB DM = CB = A C // M H O B Ta có: ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O) ⇔ AD ⊥ AB ∆ADC AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM Vậy Mà AD ⊥ AB ⇔ ¼ ¼ AM = MC nên CM // AB ⊥ ⊥ có AK CD DH AD » ⇔¼ AM = BC ¼ » ⇔¼ ¼ = BC » AM = BC AM = MC = 600 D K Tính diện tích phần tam giác ADC ngồi (O) theo R: // M Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi C = H đường tròn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD A B O S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 ∗ hình Tính S1: AD tiếp tuyến đường tròn (O) Do đó: AD = AO tg 60 = ∆AOD = ∆COD ∗ Tính S2: (c.g.c) ⇒ »AC = 1200 ⇒ R ⇒ ¼ = BC » = 600 ⇒ ·AOD = 600 ⇔ ¼ AM = MC SADO = SAOD = SCOD S quạt AOC = ⇒ 1 R2 AD AO = R 3.R = 2 SAOCD = SADO = π R 1200 3600 = π R2 R2 = R2 ⊥ ∗ Tính S: S = S1 – S2 = R2 – π R2 = 3R − π R ( = R2 3 −π ) (đvdt) Lời bàn: Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K ⊥ góc vng, để có góc K vng ta cần MB AM CD// MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vng suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường tròn Khi gặp loại tốn đòi hỏi phải tư cao Thơng thường nghĩ có kết tốn xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải toán Với tập phát M trực tâm tam giác khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm nửa đường tròn mà » = 600 BC AD tiếp tuyến Chứng minh nhận định xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến » = 600 BC Từ kết luận Phát diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC tốn dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); cắt Ax, By E F Chứng minh: · EOF = 900 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK ⊥ AB y Khi MB = F MA, tính diện tích tam giác KAB theo a x M BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh: E · EOF = 900 K A EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt E nên OE phân giác Tương tự: OF phân giác Mà ·AOM · BOM kề bù nên: · BOM ·AOM N O B · EOF = 900 (đpcm) hình Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Ta có: · · EAO = EMO = 900 Tứ giác AEMO có • (tính chất tiếp tuyến) · · EAO + EMO = 1800 nên nội tiếp đường tròn ·AMB = EOF · = 900 · · MAB = MEO Tam giác AMB tam giác EOF có: , (cùng chắn cung MO đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g) Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK ⊥ AB Tam giác AEK có AE // FB nên: tiếp tuyến cắt nhau) Nên Lại có: AE ⊥ AK ME = KF MF AB (gt) nên MK Khi MB = ⊥ AK AE = KF BF Mà : AE = ME BF = MF (t/chất hai Do MK // AE (định lí đảo định lí Ta- let) AB .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a Gọi N giao điểm MK AB, suy MN ∆ FEA có MK//AE nên Mà FK BK = KA KE MK FK = AE FA (do BF // AE) nên Từ (1), (2) (3) suy MK KN = AE AE (1) ∆ ⊥ AB BEA có NK//AE nên FK BK = KA + FK BK + KE hay Do S AMB Vậy AM = (3) S AKB KN = = S AMB MN Tam giác AMB vuông M nên tg A = a FK BK = FA BE (2) Vậy MK = NK Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên: S AKB = NK BK = AE BE MB = MB = · ⇒ MAB = 600 MA a 1 a a ⇒ S AKB = ⇒ 2 2 = a 16 (đvdt) Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy cô ôn tập, em ơn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài tốn có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, tốn qui tính diện tích tam giác AMB khơng phải khó phải khơng em? Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vng góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) ·AQI = ·ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) M OA = OC (bán kính đường tròn (O)) Do đó: MO ·AQB = 900 ⊥ AC · ⇒ MIA = 900 Q I C N A O H x (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) · ⇒ MQA = 900 K Hai đỉnh I Q nhìn AM góc vng nên tứ giác AMQI nội tiếp Hình M đường tròn b) Chứng minh: ·AQI = ACO · Q I A C N O H B B Tứ giác AMQI nội tiếp nên (cùng phụ ∆AOC ·AQI = ACO · · MAC ·AQI = AMI · Hình ) (2) có OA = OC nên cân O · ⇒ CAO = ·ACO (3) Từ (1), (2) (3) suy c) Chứng minh CN = NH Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: đường tròn(O)) AC // BK ⇒ ⊥ BK , AC ⊥ OM ⇒ ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa OM // BK Tam giác ABK có: OA = OB, OM MA = MK Áp dụng hệ định lí Ta let cho NH BN = AM BM có NH // AM (cùng (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho CN BN = KM BM AB) ta được: NH (đpcm) ∆ABM (5) Từ (4) (5) suy ra: ∆BKM NH CN = AM KM ⊥ AB) ta được: có CN // KM (cùng ⊥ Mà KM = AM nên CN = Lời bàn Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vng Góc AQM vng có kề bù với ACB vng, góc MIA vng suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy cần · · IMA = CAO ·AQI = ·AMI , ·ACO = CAO · , vấn đề lại , điều khơng khó phải không em? Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ tốn có liên quan đến phần thi ta qui tốn giải đề thi cách dễ dàng Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D a) Chứng minh OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh OD // BC ∆BOD Mà cân O (vì OD = OB = R) · · OBD = CBD (gt) nên Hình F · · ⇒ OBD = ODB · · ODB = CBD E Do đó: OD // BC ·ACB = 900 ∆EAB C // = b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF ·ADB = 900 D (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) vng A (do Ax tiếp tuyến ), có AD ⇒ AD ⊥ BE ⇒ AC ⊥ BF ⊥ A O BE nên: AB2 = BD.BE (1) ∆FAB vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC ⊥ BF nên AB2 = BC.BF (2) Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có: · · (hai góc nội tiếp chắn cung BC) CDB = CAB  · · = CFA  CAB B b) Chứng minh AF phân giác góc EAD: Ta có:  AE ⊥ CD ⇒ AE // OC  OC ⊥ CD · · EAC = CAD Vậy Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm) ( so le trong) · · CAO = OCA Do đó: · · EAC = CAD c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng: ∆ EFA ∆ · · EFA = CDB BDC có: (hai góc nội tiếp chắn »AE đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA) · ·  EAC = CAB · · ⇒ EAF = BCD  · · CAB = DCB Vậy ∆ EFA ∆ BDC đồng dạng (góc- góc) d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích: SACD = DF AC BC // DF (cùng ⊥ SABF = AF) nên BC AF (1) BC AC = DF AF hay DF AC = BC.AF (2) Từ (1) (2) suy : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác nữa) · BAC < 450 Bài Cho tam giác ABC ( ) nội tiếp nửa đường tròn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường tròn (O) M (M ≠ A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K AB P a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh ∆MAP cân c) Tìm điều kiện ∆ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng H BÀI GIẢI M C a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: · MHC = 900 Ta có : (gt), · MKC = 900 K (gt) A O P B Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối 1800 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác MAP cân: AH // OC (cùng vng góc CH) nên ∆ · MAC = ·ACO AOC cân O (vì OA = OC = R) nên (so le trong) ·ACO = CAO · Do đó: · · MAC = CAO · MAB phân giác Tam giác MAP có AK đường cao (do AC đường phân giác nên tam giác MAP cân A (đpcm) Cách Tứ giác MKCH nội tiếp nên (cùng Suy ra: sđ »AC ), · · CBA = MPA ·AMP = ·APM ·AMP = HCK · (cùng bù ⊥ Vậy AC MP), đồng thời · HMK ) · · HCA = CBA (hai góc đồng vị MP// CB) Vậy tam giác AMP cân A c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng: Ta có M; K; P thẳng hàng Do M; K; O thẳng hàng P hợp với câu b tam giác MAP cân A suy tam giác MAP Do · CAB = 300 Đảo lại: · CAB = 300 ta chứng minh P ≡ O: ≡ O hay AP = PM Kết Khi O có · · CAB = 300 ⇒ MAB = 600 · MAO = 600 ∆ nên A) nên AO = AP Vậy P ≡ (do AC phân giác · MAB ) Tam giác MAO cân MAO Do đó: AO = AM Mà AM = AP (do ∆ MAP cân O Trả lời: Tam giác ABC cho trước có · CAB = 300 ba điểm M; K O thẳng hàng Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A≠ M&N) Gọi I, P Q trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh: a) ·AHN = ·ACB A b) Tứ giác BMNC nội tiếp M c) Điểm I trực tâm tam giác APQ B BÀI GIẢI a) Chứng minh ·ANH = 900 ·AHN = ·ACB / I P / H // Q C (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) tam giác AHC vng H Do ·AHC = 900 ·AHN = ·ACB (do AH đường cao (cùng phụ · HAC ) b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp: ·AMN = ·AHN ·AHN = ·ACB Vậy: // : Nên Tam giác ANH vuông N Ta có : N O (hai góc nội tiếp chắn cung AN) (câu a) ·AMN = ·ACB Do tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh I trực tâm tam giác APQ: ∆ ABC) nên OA = OH QH = QC (gt) nên QO đường trung bình tam giác AHC Suy ra: OQ//AC, mà AC ⊥ AB nên QO Tam giác ABQ có AH ⊥ ⊥ ⊥ AB BQ QO ⊥ AB nên O trực tâm tam giác Vậy BO AQ Mặt khác PI đường trung bình tam giác BHO nên PI // BO Kết hợp với BO ⊥ AQ ta PI giác APQ (đpcm) ⊥ AQ Tam giác APQ có AH ⊥ PQ PI ⊥ AQ nên I trực tâm tam Bài 11 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường tròn (C≠ A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường tròn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ I giác đó: Ta có ·ACB = ·ANB = 900 Do đó: K (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) · · ICP = INP = 900 C M = N H P / = Tứ giác ICPN có · · ICP + INP = 1800 A O nên nội tiếp đường tròn Tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường tròn (O) Tam giác INP vng N, K trung điểm IP nên KN = KI = / IP Vậy tam giác IKN cân K Do · · KIN = KNI (1) B Mặt khác · · NKP = NCP (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2) N trung điểm cung CB nên · · NCB = NBC Do : đồng vị nên KN // BC Mặt khác ON ⊥ » = BN » ⇒ CN = NB CN Vậy Chú ý: * Có thể chứng minh * chứng minh ⊥ NCB cân N · · INK = IBC (3) Từ (1), (2) (3) suy BC nên KN ∆ , hai góc vị trí ON Vậy KN tiếp tuyến đường tròn (O) · · · KNI + ONB = 900 ⇒ KNO = 90 · · KNA + ·ANO = 900 ⇒ KNO = 900 c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định: Ta có ¼ ¼ AM = MC (gt) nên ·AOM = MOC · Tương tự ON phân giác · COB Vậy OM phân giác , mà ·AOC · COB kề bù nên ·AOC · MON = 900 Vậy tam giác MON vuông cân O Kẻ OH ⊥ MN, ta có OH = OM.sinM = R 2 = R 2 không đổi Vậy C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định (O; R 2 ) Bài 12 Từ điểm A ngồi đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn B b) Chứng minh HA tia phân giác · BHC // O A // D / K H C / E 1 = + AK AD AE c) Chứng minh : BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: ·ABO = ·ACO = 900 (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác ABOC có ·ABO + ·ACO = 1800 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy Vậy HA tia phân giác góc BHC c) Chứng minh ∆ ABD · BAE chung, Suy : Do đó: ∆ ∆ ABD ~ ∆ chung, Suy ra: ∆ ·AHB = ·AHC B = AEB có: ·ABD = ·AEB Do : (cùng A sđ » BD _ O ) = D / K C AEB AB AD = ⇒ AB = AD AE AE AB ABK · BAH ∆ 1 = + AK AD AE »AB = »AC (1) AHB có: ·ABK = ·AHB (do »AB = »AC AK AB = ⇒ AB = AK AH AB AH ) nên chúng đồng dạng (2) Từ (1) (2) suy ra: AE.AD = AK AH H / E ⇒ AH 2 AH = ⇒ = AK AE AD AK AE AD AE + AD AE AD Vậy: = 1 + AD AE 1 = + AK AD AE = ( AD + DH ) AE AD = AD + DH AD + AD + ED = AE AD AE AD = (do AD + DE = AE DE = 2DH) (đpcm) Bài 13 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Trên đường tròn (O;R) lấy điểm M cho N · MAB = 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MOI đường tròn (O; R) MBJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình tròn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R BÀI GIẢI M a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) Ta có ·AMB = ·ANB = 900 A AN ⊥ ⊥ B O (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) Điểm M N thuộc (B;BM); AM 60 ° N I J MB NB Nên AM; AN tiếp tuyến (B; BM) b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng JI JN = 6R2 · · MNI = MNJ = 900 ⊥ MN JN ⊥ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) Nên IN MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R Tam giác AMO cân O (vì OM = OA), AB ⊥ · MAO = 600 nên tam giác MAO MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) Nên OH = 1 OA = R 2 Vậy HB = HO + OB = R 3R 3R +R= ⇒ NJ = = 3R 2 Vậy JI JN = 2R 3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngồi đường tròn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình tròn (O; R) S1 diện tích hình tròn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) · » = 1200 ⇒ MB = R MAB = 600 ⇒ MB Tính S1: ( ) π R 600 · MBN = 600 ⇒ Tính S2: S2 = Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB OA = OB Vậy S3 = = 3π R – ⇒ SMOB = π R2 R2 − 3600 = · MOB = 1200 ⇒ SAMB = 1 AM MB 2 = ( π R Vậy: S1 = ) = 3π R π R2 Squạt MOB = R.R π R 1200 π R = 3600 = R2 = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3)  π R 2π R R  + −  ÷ ÷   = 11π R + 3R (đvdt) Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O; R), với D tiếp điểm a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp b) Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Chứng minh · MHD = 450 d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình tròn nằm ngồi đường tròn (O; R) C BÀI GIẢI // a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp: · · CAO = CDO = 900 = M D (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác ACDO có · · CAO + CDO = 1800 nên A / I _ H O B / nội tiếp đường tròn b) Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD: CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R ⇒ OC ⊥ AD AH = HD Tam giác ACO vuông A, AH nên 1 = + 2 AH AO AC c) Chứng minh ·AMB = 900 = 1 + R ( 2R ) · MHD = 450 ⊥ = OC 4R Vậy AH = AD = 2AH = 4R 5 : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2R 5 · ⇒ CMA = 900 nhìn AC góc 90 nên ACMH tứ giác nội tiếp Suy ra: Hai đỉnh H M ·ACM = MHD · Tam giác ACB vuông A, AC = AB(gt) nên vuông cân Vậy Do : · MHD = 450 ·ACB = 450 d) Tính diện tích hình tròn (I) nằm ngồi đường tròn (O) theo R: Từ · CHD = 900 · · MHD = 450 ⇒ CHM = 450 mà · CBA = 450 (do ∆ CAB vuông cân B) · · CHM = CBA ⇒ · · MHB = MOB = 900 Nên Tứ giác HMBO nội tiếp Do Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB trung điểm MB Gọi S diện tích phần hình tròn (I) ngồi đường tròn (O) S1 diện tích nửa hình tròn đường kính MB S2 diện tích viên phân MDB Ta có S = S1 – S2 Tính S1: » = 900 ⇒ MB = R MB Vậy S1 = Tính S2: S2 = SquạtMOB – S ∆ MOB =  R  π R2 π  ÷ =  ÷  π R 900 R − 3600 = π R2 R2 − π R2 π R2 R2 R2 − − 4 2 ∗ S= ( )= Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tg ·ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH BÀI GIẢI M a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp: ·ACB = 900 Suy K (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · MCA = 900 Tứ giác MNAC có µ +C µ = 1800 N N C E I A H B O nên nội tiếp đường tròn D b) Tính CH tg ABC AB = (cm) ; AH = (cm) ⇒ Tam giác ACB vuông C, CH CH2 = AH BH = = HB = (cm) ⊥ AB ⇒ ⇒ CH = (cm) Do tg ABC = CH = BH c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O): Ta có · · NCA = NMA tứ giác MNAC) (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại tiếp · NMA = ·ADC (so le MN // CD) ·ABC = · NCA = ·ABC · »AC ⇒ NCA = ·ADC = ·ABC (cùng chắn »AC »AC ) Nên Do sđ sđ Suy CN tiếp tuyến đường tròn (O) (xem lại tập 30 trang 79 SGK toán tập 2) d) Chứng minh EB qua trung điểm CH: Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùng với AB) đỉnh) · ⇒ ·AKB = DCB · · MAN = MCN (đồng vị) (cùng chắn · · EKC = ECK ⇒ ∆KEC · · DAB = DCB ¼ MN (cùng chắn cung BD) · · DAB = MAN ⊥ (đối ) Suy ra: cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA ∆KBE Vậy có CI // KE CI IH = KE AE CI BI = ⇒ KE BE ∆ABE có IH // AE IH BI = ⇒ AE BE mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) Bài 16 Cho đường tròn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K (K nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H a Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b Chứng minh AD2 = AH AE c Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình tròn (O) d Cho · BCD =α Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân α M Tính góc MBC theo để M thuộc đường tròn (O) Hướng dẫn B c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng tính CA = 25 cm π Từ tính C = 25 d) M ∈ ⇒ Từ tính ? / M / R = 12,5 cm A K O α C H E (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp ⇔ ·ABM + ·ACM = 1800 _ α · ⇔ 90 + 2MBC + = 180 D 1800 − α · MBC = Bài 17 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh ∆ABE cân b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp c) Cho · CAB = 300 Chứng minh AK = 2CK Bài 18 Từ điểm A ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2 = AM AN b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp c) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh IB DB = IC DC · BAC Bài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác cắt BC D cắt đường tròn M Phân giác Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vng góc với BC trung điểm BC b) ·ABN = EAK · c) AK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 20 Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài 21 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà AC > BC Kẻ CD ⊥ AB ( D ∈ AB ) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K a) Chứng minh M trung điểm AE b) Chứng minh IK // AB c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R Bài 22 Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2 = AP AQ b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP 1 = + PQ PB PC c) Chứng minh Bài 23 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường tròn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung ¼ MN Bài 24 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K a) Tính · MIN ·AKB b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 25 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự điểm cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh rằng: a) ∆BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI // BC d) AN AB = BN BD Bài 26 Cho hai đường tròn (O) (O1) Đường nối tâm OO cắt đường tròn (O) (O1) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF (E ∈ (O), F ∈ (O1)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME MA = MF MD - HẾT ... bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy ơn tập, em ôn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua... dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ... a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) ·AQI = ·ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: Ta có: