Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho các em học sinh lớp 9 đang chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên)

1 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K x Chứng minh M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) D C M E Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp H K O A Ta có : EAC = sđ AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE B Hình 01 dây AC đường tròn (O)) Tương tự: xDB = sđ DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC = BD Do EAC = xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD = EMD (cùng chắn cung ED) Mà EAD = ABD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD) Suy ra: EMD = ABD Do EM // AB Chứng minh M trung điểm HK Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu HM // AB  DAB có HM DH MK CK = = CAB có MK // AB  Mà AB AB CB DA HM MK DH CK = = (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên Do MH = MK DA CB AB AB Vậy M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM = (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD AB DB ta được: KM BM = (2) CD BD Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: HM KM DM BM DM + BM BD HM KM + = + + = = , mà MH = MK = = Suy ra: AB CD AB DB BD CD BD BD nên 2HM = 2KM = HK Do đó: HK HK 1 = + + = Suy ra: (đpcm) HK AB CD AB CD Lời bàn: Do AC = BD  ADC = BCD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE tốn giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé) Câu có cịn cách chứng minh khác khơng? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm Câu toán quen thuộc lớp phải khơng em? Do học tốn em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem? Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường trịn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB)  AM ⊥ MB Mà CD // BM (gt) nên AM ⊥ CD Vậy MKC = 900 AM = CM (gt)  OM ⊥ AC  MHC = 900 D Tứ giác CKMH có MKC + MHC = 180 nên nội tiếp K đường tròn = Chứng minh CD = MB DM = CB A Ta có: ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) C // M H O Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O)  AD ⊥ AB ADC có AK ⊥ CD DH ⊥ AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM ⊥ AD Vậy AD ⊥ AB  CM // AB  AM = BC Mà AM = MC nên AM = BC  AM = MC = BC = 600 Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu Tính diện tích phần tam giác ADC (O) theo R: D Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi K // M đường trịn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD C = H S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC A O Ta có: S = S1 – S2 B hình  Tính S1: AD tiếp tuyến đường trịn (O)  AM = MC = BC = 600  AOD = 600 1 R2 Do đó: AD = AO tg 60 = R  SADO = AD AO = R 3.R = 2 AOD = COD (c.g.c)  SAOD = SCOD  SAOCD = SADO =  Tính S2: AC = 1200  S quạt AOC =  Tính S: S = S1 – S2 = R –  R 1200  R2 3600 = =  R2 R2 = R2 R2 3R −  R 3 −  (đvdt) = 3 ( ) Lời bàn: Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K góc vng, để có góc K vuông ta cần MB ⊥ AM CD// MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vng suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường trịn Khi gặp loại tốn địi hỏi phải tư cao Thơng thường nghĩ có kết tốn xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải toán Với tập phát M trực tâm tam giác Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu khơng phải khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm nửa đường trịn mà BC = 600 AD tiếp tuyến Chứng minh nhận định xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến BC = 600 Từ kết luận Phát diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC tốn dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn (O); cắt Ax, By E F Chứng minh: EOF = 900 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK ⊥ AB Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a BÀI GIẢI CHI TIẾT y F Chứng minh: EOF = 900 x M EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) E cắt E nên OE phân giác AOM Tương tự: OF phân giác BOM Mà AOM BOM kề bù nên: EOF = 900 (đpcm) K A N O hình Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Ta có: EAO = EMO = 900 (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác AEMO có EAO + EMO = 1800 nên nội tiếp đường trịn • Tam giác AMB tam giác EOF có: AMB = EOF = 900 , MAB = MEO (cùng chắn cung MO đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g) Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK ⊥ AB Tam giác AEK có AE // FB nên: hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên AK AE = Mà : AE = ME BF = MF (t/chất KF BF AK ME = Do MK // AE (định lí đảo định lí KF MF Ta- let) Lại có: AE ⊥ AB (gt) nên MK ⊥ AB Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a Gọi N giao điểm MK AB, suy MN ⊥ AB  FEA Mà có MK//AE nên MK FK NK BK = = (1)  BEA có NK//AE nên AE BE AE FA (2) FK BK FK BK FK BK = = = (do BF // AE) nên hay (3) KA KE KA + FK BK + KE FA BE Từ (1), (2) (3) suy MK KN = Vậy MK = NK AE AE Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên: S AKB KN = = S AMB MN 2 Do S AKB = S AMB Tam giác AMB vuông M nên tg A = Vậy AM = MB =  MAB = 600 MA a 1 a a a MB = = a (đvdt)   S AKB = 2 2 2 16 Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy ơn tập, em ôn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài toán có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, tốn qui tính diện tích tam giác AMB khơng phải khó phải khơng em? Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vng góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) AQI = ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường trịn (O)) x M Q Do đó: MO ⊥ AC  MIA = 900 I AQB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) N  MQA = 900 Hai đỉnh I Q nhìn AM A C O H Hình góc vng nên tứ giác AMQI nội tiếp Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu x K đường tròn b) Chứng minh: AQI = ACO Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI = AMI M Q C Hình 6~> I (cùng phụ MAC ) (2) A N O H B AOC có OA = OC nên cân O  CAO = ACO (3) Từ (1), (2) (3) suy AQI = ACO c) Chứng minh CN = NH Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) AC ⊥ BK , AC ⊥ OM  OM // BK Tam giác ABK có: OA = OB, OM // BK  MA = MK Áp dụng hệ định lí Ta let cho ABM có NH // AM (cùng ⊥ AB) ta được: NH BN = AM BM ⊥ AB) ta được: (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho BKM có CN // KM (cùng CN BN = KM BM (5) Từ (4) (5) suy ra: NH CN = Mà KM = AM nên AM KM CN = NH (đpcm) Lời bàn Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vng Góc AQM vng có kề bù với ACB vng, góc MIA vng suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy AQI = AMI , ACO = CAO , vấn đề lại cần IMA = CAO , điều khơng khó phải khơng em? Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ tốn có liên quan đến phần thi ta qui tốn giải đề thi cách dễ dàng Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường trịn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D a) Chứng minh OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh OD // BC x Hình F BOD cân O (vì OD = OB = R)  OBD = ODB Mà OBD = CBD (gt) nên ODB = CBD Do đó: OD // BC E b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)  AD ⊥ BE D C // = A O ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)  AC ⊥ BF EAB vng A (do Ax tiếp tuyến ), có AD ⊥ BE nên: AB2 = BD.BE (1) vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC ⊥ BF nên AB2 = BC.BF (2) FAB Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có: CDB = CAB   CAB = CFA (hai góc nội tiếp chắn cung BC) ( phụ FAC )  CDB = CFA Do tứ giác CDEF nội tiếp Cách khác Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B 10 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu  DBC FBE có: B chung BD BC = (suy từ BD.BE = BC.BF) nên chúng BF BE đồng dạng (c.g.c) Suy ra: CDB = EFB Vậy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi: Ta có: ABD = CBD (do BD phân giác ABC )  AD = CD x F Tứ giác AOCD hình thoi  OA = AD = DC = OC  AD = DC = R  AD = DC = 600  AC = 1200  ABC = 600 Vậy ABC = 600 tứ giác AOCD hình thoi E D C Tính diện tích hình thoi AOCD theo R: A AC = 120  AC = R Sthoi AOCD = 1 R2 (đvdt) OD AC = R.R = 2 O Hình Lời bàn Với câu 1, từ gt BD phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ đến cần chứng minh hai góc so le ODB OBD Việc ý đến góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông Ax tiếp tuyến gợi ý đến hệ thức lượng tam giác vuông quen thuộc Tuy nhiên chứng minh hai tam giác BDC BFE đồng dạng trước suy BD.BE = BC.BF Với cách thực có ưu việc giải câu Các em thử thực xem sao? Khi giải câu câu sử dụng câu , chứng minh giải Câu với đề yêu cầu xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi khơng phải khó Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ đến cung AC 1200 từ suy số đo góc ABC 600 Tính diện tích hình thoi cần nhớ Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B 11 CÁC BÀI TỐN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu cơng thức, nhớ kiến thức đặc biệt mà trình ôn tập thầy cô giáo bổ sung AC = 1200  AC = R , em tính dễ dàng Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đường thẳng BC N a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp A b) Chứng minh FB phân giác EFN F c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT E B H N a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: Ta có : BFC = BEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC) Tứ giác HFCN có HFC + HNC = 1800 nên nội tiếp đường trịn đường kính HC) (đpcm) b) Chứng minh FB tia phân giác góc EFN: Ta có EFB = ECB (hai góc nội tiếp chắn BE đường trịn đường kính BC) ECB = BFN (hai góc nội tiếp chắn HN đường trịn đường kính HC) Suy ra: EFB = BFN Vậy FB tia phân giác góc EFN (đpcm) c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC tam giác ABC:  FAH  FBC có: AFH = BFC = 900 , AH = BC (gt), FAH = FBC (cùng phụ ACB ) Vậy  FAH =  FBC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: FA = FB  AFB vuông F; FA = FB nên vng cân Do BAC = 450 Bài (Các em tự giải) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS C 12 CÁC BÀI TỐN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cát H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh AD AC = AE AB c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA ⊥ DE d) Cho biết OA = R , BAC = 600 Tính BH BD + CH CE theo R Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vng góc hạ từ D xuống đường thẳng AC E Chứng minh: F C a) Tứ giác EFDA nội tiếp b) AF phân giác EAD = A // O B c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích (Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: Ta có: AED = AFD = 900 (gt) Hai đỉnh E F nhìn AD góc 900 nên tứ giác EFDA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AF phân giác góc EAD: Ta có:  AE ⊥ CD  AE // OC Vậy EAC = CAD ( so le trong)  OC ⊥ CD Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS D 13 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên CAO = OCA Do đó: EAC = CAD Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm) c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng:  EFA  BDC có: EFA = CDB (hai góc nội tiếp chắn AE đường trịn ngoại tiếp tứ giác EFDA)  EAC = CAB  EAF = BCD Vậy  EFA  BDC đồng dạng (góc- góc)  CAB = DCB d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích: SACD = 1 DF AC SABF = BC.AF (1) 2 BC // DF (cùng ⊥ AF) nên BC AC = hay DF AC = BC.AF (2) DF AF Từ (1) (2) suy : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác nữa) Bài Cho tam giác ABC ( BAC  450 ) nội tiếp nửa đường trịn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường tròn (O) M (M  A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K AB P a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh MAP cân c) Tìm điều kiện ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng BÀI GIẢI H M a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: C K Ta có : MHC = 900 (gt), MKC = 900 (gt) Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối A O P B 1800 nên nội tiếp đường tròn Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 14 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu b) Chứng minh tam giác MAP cân: AH // OC (cùng vng góc CH) nên MAC = ACO (so le trong)  AOC cân O (vì OA = OC = R) nên ACO = CAO Do đó: MAC = CAO Vậy AC phân giác MAB Tam giác MAP có AK đường cao (do AC ⊥ MP), đồng thời đường phân giác nên tam giác MAP cân A (đpcm) Cách Tứ giác MKCH nội tiếp nên AMP = HCK (cùng bù HMK ) HCA = CBA (cùng sđ AC ), CBA = MPA (hai góc đồng vị MP// CB) Suy ra: AMP = APM Vậy tam giác AMP cân A c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng: Ta có M; K; P thẳng hàng Do M; K; O thẳng hàng P  O hay AP = PM Kết hợp với câu b tam giác MAP cân A suy tam giác MAP Do CAB = 300 Đảo lại: CAB = 300 ta chứng minh P  O: Khi CAB = 300  MAB = 600 (do AC phân giác MAB ) Tam giác MAO cân O có MAO = 600 nên  MAO Do đó: AO = AM Mà AM = AP (do  MAP cân A) nên AO = AP Vậy P  O Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB = 300 ba điểm M; K O thẳng hàng Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A M&N) Gọi I, P Q trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh: a) AHN = ACB A b) Tứ giác BMNC nội tiếp M c) Điểm I trực tâm tam giác APQ BÀI GIẢI N O B / I P / H // Q // C a) Chứng minh AHN = ACB : Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 15 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu ANH = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Nên Tam giác ANH vng N AHC = 900 (do AH đường cao  ABC) nên tam giác AHC vng H Do AHN = ACB (cùng phụ HAC ) b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp: Ta có : AMN = AHN (hai góc nội tiếp chắn cung AN) AHN = ACB (câu a) Vậy: AMN = ACB Do tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh I trực tâm tam giác APQ: OA = OH QH = QC (gt) nên QO đường trung bình tam giác AHC Suy ra: OQ//AC, mà AC ⊥ AB nên QO ⊥ AB Tam giác ABQ có AH ⊥ BQ QO ⊥ AB nên O trực tâm tam giác Vậy BO ⊥ AQ Mặt khác PI đường trung bình tam giác BHO nên PI // BO Kết hợp với BO ⊥ AQ ta PI ⊥ AQ Tam giác APQ có AH ⊥ PQ PI ⊥ AQ nên I trực tâm tam giác APQ (đpcm) Bài 11 Cho đường trịn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường trịn (C A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường trịn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó: Ta có ACB = ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 16 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu I Do đó: ICP = INP = 90 K Tứ giác ICPN có ICP + INP = 1800 nên nội tiếp C = đường tròn Tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP / N H M P / = A O b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường tròn (O) Tam giác INP vuông N, K trung điểm IP nên KN = KI = IP Vậy tam giác IKN cân K Do KIN = KNI (1) Mặt khác NKP = NCP (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2) N trung điểm cung CB nên CN = BN  CN = NB Vậy  NCB cân N Do : NCB = NBC (3) Từ (1), (2) (3) suy INK = IBC , hai góc vị trí đồng vị nên KN // BC Mặt khác ON ⊥ BC nên KN ⊥ ON Vậy KN tiếp tuyến đường tròn (O) Chú ý: * Có thể chứng minh KNI + ONB = 900  KNO = 900 * chứng minh KNA + ANO = 900  KNO = 900 c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định: Ta có AM = MC (gt) nên AOM = MOC Vậy OM phân giác AOC Tương tự ON phân giác COB , mà AOC COB kề bù nên MON = 900 Vậy tam giác MON vuông cân O Kẻ OH ⊥ MN, ta có OH = OM.sinM = R R 2 = không đổi 2 Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định (O; R ) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B 17 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài 12 Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác BHC B 1 = + c) Chứng minh : AK AD AE // O A BÀI GIẢI // D / K a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: H / E C ABO = ACO = 900 (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác ABOC có ABO + ACO = 1800 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy AB = AC Do AHB = AHC Vậy HA tia phân giác góc BHC c) Chứng minh  ABD 1 = + : AK AD AE  AEB có: BAE chung, ABD = AEB (cùng B sđ BD ) = Suy :  ABD ~  AEB A _ O AB AD =  AB = AD AE Do đó: AE AB  ABK (1) = D / K H /  AHB có: E C BAH chung, ABK = AHB (do AB = AC ) nên chúng đồng dạng Suy ra: AK AB =  AB = AK AH AB AH (2) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 18 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Từ (1) (2) suy ra: AE.AD = AK AH  ( AD + DH ) AD + DH AD + AD + ED 2 AH AH  = = = = = = AK AE AD AK AE AD AE AD AE AD AE AD AE + AD 1 + = (do AD + DE = AE DE = 2DH) AD AE AE AD Vậy: 1 = + (đpcm) AK AD AE Bài 13 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Trên đường trịn (O;R) lấy điểm M cho MAB = 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MOI đường trịn (O; R) MBJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường trịn (O; R) theo R BÀI GIẢI a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến M đường trịn (B; BM) Ta có AMB = ANB = 900 60 A B O (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) Điểm M N thuộc (B;BM); AM ⊥ MB N J I AN ⊥ NB Nên AM; AN tiếp tuyến (B; BM) b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng JI JN = 6R2 MNI = MNJ = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O tâm B) Nên IN ⊥ MN JN ⊥ MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R Tam giác AMO cân O (vì OM = OA), MAO = 600 nên tam giác MAO Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 19 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu AB ⊥ MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) R 3R 3R  NJ = +R= = 3R 2 2 Nên OH = OA = R Vậy HB = HO + OB = Vậy JI JN = 2R 3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường trịn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) Tính S1: MAB = 600  MB = 1200  MB = R Vậy: S1 =  ( R ) = 3 R2 Tính S2: MBN = 600  S2 = ( )  R 600 3600 =  R2 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB MOB = 1200  Squạt MOB =  R 1200 3600 =  R2 1 R2 OA = OB  SMOB = SAMB = AM MB = R.R = 2 4 Vậy S3 =  R2   R2 = 3 R –   − R2 = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3) + 2 R R  11 R + 3R = (đvdt) −   Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O; R), với D tiếp điểm a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp b) Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 20 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Chứng minh MHD = 450 d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi đường tròn (O; R) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp: C CAO = CDO = 900 (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác ACDO có CAO + CDO = 1800 nên // = M D nội tiếp đường trịn b) Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD: I _ H A / O / B CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R  OC ⊥ AD AH = HD Tam giác ACO vuông A, AH ⊥ OC nên 1 1 2R 4R = + = 2+ = Vậy AH = AD = 2AH = 2 2 AH AO AC 5 R ( R ) 4R c) Chứng minh MHD = 450 : AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  CMA = 900 Hai đỉnh H M nhìn AC góc 900 nên ACMH tứ giác nội tiếp Suy ra: ACM = MHD Tam giác ACB vuông A, AC = AB(gt) nên vuông cân Vậy ACB = 450 Do : MHD = 450 d) Tính diện tích hình trịn (I) nằm ngồi đường trịn (O) theo R: Từ CHD = 900 MHD = 450  CHM = 450 mà CBA = 450 (do  CAB vuông cân B) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 21 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Nên CHM = CBA  Tứ giác HMBO nội tiếp Do MHB = MOB = 900 Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB trung điểm MB Gọi S diện tích phần hình trịn (I) ngồi đường trịn (O) S1 diện tích nửa hình trịn đường kính MB S2 diện tích viên phân MDB Ta có S = S1 – S2 Tính S1:  R   R2 MB = 90  MB = R Vậy S1 =    =   Tính S2: S2 = SquạtMOB – S  MOB =  S=  R2 −(  R 900 3600  R2 R2 R2 − − = 2  R2 R2 R2 − )= 2 Bài 15 Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng cắt đường trịn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tg ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH BÀI GIẢI M K a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp: ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy MCA = 900 Tứ giác MNAC có N + C = 1800 N C E I A H O nên nội tiếp đường trịn b) Tính CH tg ABC D Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B 22 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu AB = (cm) ; AH = (cm)  HB = (cm) Tam giác ACB vuông C, CH ⊥ AB  CH2 = AH BH = =  CH = (cm) Do tg ABC = CH = BH c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O): Ta có NCA = NMA (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNAC) NMA = ADC (so le MN // CD) ADC = ABC (cùng 2 chắn AC ) Nên NCA = ABC Do ABC = sđ AC  NCA = sđ AC Suy CN tiếp tuyến đường tròn (O) (xem lại tập 30 trang 79 SGK toán tập 2) d) Chứng minh EB qua trung điểm CH: Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùng ⊥ với AB)  AKB = DCB (đồng vị) DAB = DCB (cùng chắn cung BD) DAB = MAN (đối đỉnh) MAN = MCN (cùng chắn MN ) Suy ra: EKC = ECK  KEC cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA KBE Vậy có CI // KE  IH CI BI BI = = ABE có IH // AE  KE BE AE BE CI IH = mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) KE AE Bài 16 Cho đường trịn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K (K nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình trịn (O) d) Cho BCD =  Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo  để M thuộc đường tròn (O) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 23 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Hướng dẫn B c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức _ ? / / lượng tính CA = 25 cm  R = 12,5 cm A Từ tính C = 25  K Từ tính MBC = O  C H d) M  (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp  ABM + ACM = 1800 M  900 + MBC +  E D = 1800 1800 −  Bài 17 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh ABE cân b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp c) Cho CAB = 300 Chứng minh AK = 2CK Bài 18 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2 = AM AN b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp c) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh IB DB = IC DC Bài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BAC cắt BC D cắt đường tròn M Phân giác Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vng góc với BC trung điểm BC b) ABN = EAK Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 24 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) AK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 20 Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài 21 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà AC > BC Kẻ CD ⊥ AB ( D  AB ) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K a) Chứng minh M trung điểm AE b) Chứng minh IK // AB c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R Bài 22 Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2 = AP AQ b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP c) Chứng minh 1 = + PQ PB PC Bài 23 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường trịn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 25 CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN Bài 24 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K a) Tính MIN AKB b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 25 Trên đường trịn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự điểm cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh rằng: a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI  BC d) AN AB = BN BD Bài 26 Cho hai đường trịn (O) (O1) ngồi Đường nối tâm OO1 cắt đường tròn (O) (O1) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF (E  (O), F  (O1)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME MA = MF MD - HẾT Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS ... link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 200 9-2 010 tỉnh Hà Nam) Từ... THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS B CÁC BÀI TOÁN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Tính diện tích phần tam giác ADC ngồi (O)... tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu khơng phải khó, nhiên cần kết hợp với tập 13