Hình học không gian luôn là nỗi ám ảnh đối với các bạn học sinh đang ôn tập cho kì thi đại học hay THPT Quốc Gia.Đây sẽ là bộ tài liệu giúp các bạn có cái nhìn tốt hơn về hình học không gian và tự tin hơn khi bắt gặp bất cứ bài toán không gian nào
Trang 1WH SIHON 9 WOL NOW W xNÿ
CAO VĂN TUẤN - LÊ BÁ BAO - NGUYEN BO CHIEN
DANG QUANG HIEU - NGUYEN MANH HUNG CHINH PHUC
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN
VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
* Ấp dụng từ năm 2017 trắc nghiệm mơn tốn
* Giúp học sinh làm quen ơn tập, luyện thi trắc nghiệm tốn
Trang 2“ Ener eerie
Trang 3
CAO VĂN TUẤN - LÊ BÁ BẢO - NGUYÊN ĐỖ CHIẾN DANG QUANG HIẾU - NGUYÊN MẠNH HÙNG
CHINH PHỤC KỲ THỊ THPT
TRẮC NGHIỆM MƠN TỐN
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN
VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Trang 5nÏạsáchminhthang.vn
LỜI NĨI ĐẦU
Dé dap ting nguyện vọng của đơng đảo bạn đọc trên cả nước mong muốn cĩ một bộ sách hữu ích phục vụ cho việc học tập, ơn luyện và giảng dạy trước
những thay đổi về phương pháp dạy học và kiểm tra, chúng tơi ra mắt bộ sách: Chinh phục kỳ thi THPT mơn Tốn Bộ sách gồm 4 quyển:
1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 Hàm số lũy thừa - Mũ - Lơgarit Nguyên hàm - Tích phân Số phức 3 Hình học khơng gian cổ điển và phương pháp tọa độ trong khơng gian 4 Bộ để thi trắc nghiệm mơn Tốn
Nội dung kiến thức bám sát sách giáo khoa cơ bản đồng thời cĩ thêm phần chuyên sâu, mở rộng gắn liễn với thực tế
Trong các quyển 1,2,3 chúng tơi viết theo cấu trúc: Tĩm tắt lý thuyết căn bản, ví dụ minh họa, câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện, đáp án và hướng dẫn giải chỉ tiết Đặc biệt phần: Những kết quả quan trọng thường dùng giúp cho học
sinh hệ thống được cốt lõi kiến thức và nhanh chĩng tìm ra kết quả chính xác,
các cơng thức giải nhanh và kỹ thuật sử dụng máy tính cẩm tay được chúng tơi để cập, lồng ghép vào các ví dụ ở mức độ vừa phải, lược bỏ những cơng thức và
kỹ thuật cổng kếnh khĩ nhớ
Hệ thống câu hỏi đa dạng, phong phú, từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp, đảm bảo phân bổ hợp lý cả 4 mức độ: Nhận biết, thơng hiểu,
vận dụng và vận dụng cao Các câu hỏi tăng cường và phát huy năng lực tư duy của học sinh hạn chế cách học tập máy mĩc rập khuơn Tất cả các câu hỏi, bài tập đều cĩ lời giải chỉ tiết, đồng thời giải đáp mọi thắc mắc miễn phí qua
Trang 6
i ¡- nhasachminhthang vn ;
Chúng tơi viết bộ sách với tính thần cầu thị rất cao tuy nhiên khĩ tránh
khởi những thiếu sĩt nhất định, chúng tơi mong muốn nhận được sự gĩp ý, chia
sẻ từ quý thầy cơ và các em học sinh trên cả nước để hồn thiện bộ sách hơn trong những lần tái bản sau
Địa chỉ hịm thư gĩp ý tới tác giả: chienmath43@gmail.com
Tran trong cam on!
CÁC TÁC GIÁ
Trang 7nhasachminhthang.vn
PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN
Trong thực tế ta thường gặp những uật thể khơng gian giới hạn bởi cúc đa giác như vién sạch, khối lập phương, kim tự tháp Ai Cập Tình thể của một số hợp chất hố học như truuối
ăn, phèn chua, những uật thể đĩ được gọi là những khối đa diện VẤN ĐỀ 1 KHÁI NIỆM VỀ KHỔI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CÂN NHỚ
1 KHỐI ĐA DIỆN KHỐI CHỐP VÀ KHỐI LÃNG TRỤ
1 Khái niệm về hình đa điện
Hình ẩa điện (gọi tất là đa điện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác
phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:
+ Hai đa giác phân biệt chỉ cĩ thể hoặc khơng cĩ điểm chung hoặc cĩ đỉnh
chung hoặc cĩ một cạnh chung
+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa điện
Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa
diện
2 Khái niệm về khối đa điện
« Khối đa điện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình da diện, kể cả hình đa điện đĩ
+ Những điểm khơng thuộc khối đa điện được gọi là điểm ngồi của khối đa
điện Tập hợp các điểm ngồi được gọi là miền ngồi của khối đa điện
+ Những điểm thuộc khối đa diện nhưng khơng thuộc hình đa diện ứng với
khối đa điện ấy được gọi là điển trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện
Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nĩ Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi, của một khối đa điện theo thứ tự là
đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi, của hình đa diện tương ứng
« Khối đa điện được gọi là khối lăng trụ nếu nĩ được giới hạn bởi một hình lăng trụ Khối đa điện được gọi là khối chĩp nếu nĩ được giới hạn bởi một hình chĩp Khối đa diện được gọi là khối chĩp cụt nếu nĩ được giới hạn bởi một hình chĩp cụt
Tương tự ta cĩ các định nghĩa về khối chĩp m0 — giác; khối chĩp cụt n — giác, khối
( chĩp đều, khối hộp,
Trang 8
: nhasachminhthang.vn © Tên của khối lăng trụ hay khối chớp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chĩp giới hạn nĩ
Ví dụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.ABCDE' ta cĩ khối lăng trụ ngũ giác
ABCDE.ABCDE; với hình chĩp tứ giác đều 5.ABCD ta cĩ khối chĩp tứ giác déu S.ABCD,
I PHAN CHIA VA LAP GHEP CAC KHOI DA DIEN
Nếu khối đa điện (H) là hợp của hai khối đa điện (H,), (H;} sao cho (H,) va (H,) khơng cĩ điểm trong chung thì ta nĩi cĩ thể phân chia khối đa điện (H) thành
hai khối đa điện (H,) va (#,) Khi đĩ, ta cũng nĩi cĩ thể ghép hai khối đa diện (H,) và (H;) để được khối đa điện (H)
Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện:
Ví dụ 1: Với khối chớp tứ giác S.ABCD, ta hãy 5
xét hai khối chĩp tam giác S.ABC và S.ACD Ta
thấy rằng:
+_ Hai khối chĩp S.ABC và S.ACD khơng cĩ
điểm trong chưng (tức là khơng tồn tại
điểm trong của khối chĩp này là điểm 4 ” trong của khối chĩp kia và ngược lại)
+ Hợp của hai khối chĩp S.ABC va S.ACD €
chính là khối chĩp S.ABCD ,
Vậy khối chớp S.ABCD được phân chia thành hai khối chép S.ABC va S.ACD hay hai
khối chĩp 5.4BC và S.ACD được ghép lại thành khối chĩp S.4BCD
Ví dụ 2:
+ Cất khối lăng trụ ABC.AEC' bởi mặt a Œ
phẳng (A'EC) Khi đĩ, khối lăng trụ
được phân chia thành hai khối đa điện A'ABC và A'BCCP'
+ Nếu ta cắt khối chĩp A'BCCB' bởi mặt
phẳng (A'EC) thì ta chia khối chĩp
Trang 9nhasachminhthang.vn ¬ Ví dụ 8: Với hình lập phương ABCD.A'ECT' ta 4 P
cĩ thể phân chia thành 5 khối tứ diện sau: + DADC + AABD + CBCD + BAEC + BDCA'
5 MỘT SỐ KET QUA QUAN TRONG
> Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì cĩ ít nhất 4 mặt > Kết quả 2: Mỗi hình đa diện cĩ ít nhất 4 đình
>_ Kết quả 3: Cho (H) là đa điện mmà các mặt của nĩ là những đa giác cĩ p cạnh Nếu số
mặt của (H) là lẻ thì p phải là số chẵn
Chiing minh: Goi m là số các tnặt của khối äa diện (H) Vi mỗi mặt của (H) cĩ p cạnh
niên m mặt sẽ cĩ pm cạnh Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đứng hai ẩa giác nên số cạnh của (H) bẰng c = ee Vi m lẻ nên p phai la s6'chan
> Kết quả 4 (Suy ra từ chúng mình kết quả 3): Cho (H) là đa điện cĩ m mặt, mà các mt cha nĩ là những đa giác cĩ p cạnh Khi đĩ số cạnh của (H) là c= =
> Kết quả 5: Mỗi khối đa diện cĩ các mặt là các lam giác thì tổng số các mặt của nĩ
phải là một số chẵn
Chứng trình: Gọi số cạnh uà số mặt của khối äa diện Tần lượt là c nà m
Vì mỗi mặt cĩ ba cạnh uà mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt niên ta cĩ số cạnh cia da dién lt c= = (cĩ thểáp dụng luơn kết quả 4 để suy ra c = a),
Suy ra 3m =2n — 3m là số chẵn = mm là số chẵn
Một số khối đa diện cĩ đặc điểm như trên trà cĩ số trặt bằng 4, 6, 8, 10: + Kh6i ti điện ABCD cĩ 4 mặt mà mỗi tặt là một tam giác
+ Xét tam giác BCD 0à hai điểm A, E ở uề hai phía cua mặt phẳng (BCD) Khi
đĩ ta cĩ khối lục điện ABCDE cĩ 6 mặt là những tam giác + Khối bát điện ABCDEF cĩ 8 mặt là các tam giác
+ Xét ngũ giác ABCDE tà hai điểm M, N ở tề hai phía của mặt phẳng chứa
ngũ giác Khi đĩ khối thập điện MABCDEN cĩ 10 mặt là các tam giác > Kết quả 6: Mỗi khơi đa diện bất kì luơn cĩ thể được phân chia được thành những
khối tứ diện
Trang 10i nhasachminhthang.vn
Kết quả 10: Khơng tồn tại hình âa điện cĩ 7 cạnh
Kết quả 11: Với mỗi số nguyên k>3 luơn tồn tại một hình đa diện cĩ 2k cạnh Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k>4 luơn lồn tại một hình đa diện cĩ 2k+1 cạnh Kết quả 13: Khơng tồn tại một hình da dién cé
+ _ Số mặt lớn hơn hoặc bẰng số cạnh;
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh
> Kết quả 14: Tồn tại khối đa điện cĩ 2n mặt là những tam giác đều
Khối tứ diện đều cĩ 4 mặt là tam giác déu Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của tứ diện nàu ghép vito một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện Hs cĩ 6 mặt là tam giác đều Ghép thêm 0uàÀo Ha một khối tứ diện đều nữa ta được khối ân
điện Hà cĩ 8 mặt là các tam giác đều Bằng cách như uậu, ta được khối Âa diện cĩ 2n mặt là những tam giác đều Vvvv He He VẤN ĐỀ2 | PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN
Phép biếu hình F trong khơng gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định
được một điểm M’ đuy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
Ta cịn nĩi F biến điểm M thành điểm A# và kÍhiệu M' = F(M)
Qua phép biến hình F, mỗi hình (H) được biến thành hình (H') gồm tất cả các
ảnh của các điểm thuộc hình (H)
HH PHÉP DỜI HÌNH VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC HÌNH
1 Dinh nghĩa phép dời hình
Phép biến hình F trong khơng gian được gọi là pháp đời hình nếu nĩ bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần
lượt thành hai điểm M,N' thì MỸN =MN
Tinh chất: Phép dời hình biến đường thing thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng,
Trang 11
nhasachminhthang.vn 2, Các nhé t khơng gian thường gấp a g qua niậ
Định nghĩa: Pháp đổi xứng qua mặt phẳng
(P) là phép biến hình biến mỗi điểm Mt thuộc (P) thành chính nĩ và biến mỗi ì | | z điểm M khơng thuộc (P) thành điểm M' N N
sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của px
doan MM’
Dink H: Nếu phép đối xứng qua mp(P) biến hai điển M, N lần lượt thành hai
điển MỤ,N' tì MN'=MN
Như oậu: Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình bảo tồn khoảng
cách giữa hai điểm bất kì
Mặt phẳng đối xứng của một hình: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nĩ thì (P) là mặt phẳng đối xứng qua
hình (H)
Vi du 1: Mọi mặt phẳng (P) đi qua tâm I
của mặt cầu (8) đều là mặt phẳng đối
xứng của mặt cầu (s) \e Z Ví dụ 2: Hình tứ điện đều ABCD cĩ 6 mặt ^
phẳng đối xứng Đĩ là các mặt phẳng đi
qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối
diện Chẳng hạn: Cho tứ điện đều ABCD
Gọi M là trung điểm của cạnh CD Khi đĩ
ta cĩ (ABA4) là mặt phẳng đối xứng của
tứ điện đều ABCD b Phép tịnh tiến
Phép tịnh tiến theo vectơ ư là phép biến hình biến mỗi điểm A thành
điểm M sao cho MIM” =õ Kí hiệu là T„
© Phép đối xứng tr
Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng đ là phép biến hình
biến mỗi điểm AM thuộc 4 thành chính nĩ và biến mỗi điểm M khơng thuộc đ thành điểm Af sao cho đ là đường trung trực đoạn MT
d Phép đối xứng tâm
Cho điểm O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm Mi thành điểm AM sao cho OM+OM =ũ
3 Định nghĩa hai hình bằng nhan
Trang 12XY | j.nhasachminhthang,vn Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.AB'C'D' Khi do: + Các hình chớp A.A4BCD' và C.ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chớp A.4ECTD' biến thành hình chĩp C'.4BCD) + Các hình lăng trụ ABCA'BIC’ va AA'D.BEC' bằng nhau (Qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AsCn) thì hình lăng trụ ABC.AEC' biến thành hình lăng trụ AAD'.BBC') Định lý: Hai hình tứ diện ABCD à A'BCD' bang nhau nếu chúng cĩ các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là: AB= A'B, BC=B'C, CD=CD, DA=DA, AC= AC, BD=
II PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
1 Phép vị tự trong khơng gian a, Dinh nghia
Cho số k khơng đổi khác 0 và một điểm O cố dinh Phép bié biến hình trong
Trang 13nhasachminhthang.vn
8 MỘT SỐ KẾT QUÁ QUAN TRỌNG
Kết quả 1: Pháp biến hình biến mỗi điểm M của khơng gian thành chính nĩ gọi là pháp đồng nhất, thường được kí hiệu là e Pháp đồng nhật e là một phép đời hình Kết quả 2: Pháp dời hình biến một mặt đầu thành một mặt cầu cĩ cùng bán kính Kết quả 3: Cho hai điển phân biệt A, B à phép đời hình ƒ biến A thành A, biến B
thành B Khi đĩ ƒ biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nĩ
Kết quả 4: Cho lam giác ABC uà phép dời hình ƒ biến tam giác ABC thành chính nĩ
tới ƒ(A)=A, ƒ(B)=B, ƒ(C)=C Khi đĩ, ƒ biến mọi điểm M của mặt phẳng
(ABC) thành chính nĩ, tức là f(M)=M
Kết quả 5: Hợp thành của hai pháp đổi xứng qua hai mặt phẳng song song (P) ồ (Q) là một phép tịnh tiến
Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên (P) uà (Q) sao cho AB L (P) Khi đĩ, thực
hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) ồ (Q) thì kết quả
là phép tịnh tiến theo ueclơ 5 =2AB
Kết quả 6: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai tmặt phẳng (P) ồ (Q) uơng sĩc uới nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyết của (P) vi ( Q))
Kết quả 7: Pháp vi tyr biến mỗï đường thằng thành một đường thằng song song hoặc trùng nối nĩ, biển mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng uới mặt phẳng 4ĩ
Kết quả 8: Cho phép ị tự V tâm O HỈ số k #1 à pháp vi tự V' tâm Ơ' tỉ sếk' Khi
đĩ, nếu k.kˆ = 1 thì hợp thành của Ý nà V' là một phép tịnh tiến,
Kết quả 9: Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau niếu các kích thước của chúng bằng nhau Kết quả 10: Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng cĩ độ dài bằẰng nhau Kết quả 11: Cho hai hình tứ diện ABCD nà A'B'C”D' cĩ các cạnh tương ứng song song, tức là:
AB// AB, AC 1! A'C, AD 1! A'D, CB 1! CB, BD If B‘D’, DC I DC’ Khi đĩ hai tứ diện đã cho đồng dạng
Trang 14i ; nhasachminhthang.vn = vANDE3 | KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Khối đa điện lồi
Khối đa diện được gọi là khối đa diện tồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nĩ thì mọi điểm của đoạn 4B cũng thuộc khối đĩ
E
a Cc
F
Khốt đa diện lồi Khối đa diện khơng lồi 2 Khối đa điện đều
a Định nghĩa
Khơi đa diện đều là một khối đa điện lồi cĩ hai tính chất sau đây:
+ Các mặt là những đa giác đều n canh
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng cạnh
Khối đa điện đều rhư vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p} ` b Định Ú
Chỉ cĩ 8 loại khối đa diện đều Đĩ là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại
{5:3}, loai {3;5} Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt
cĩ tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối
mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều 3 Bảng tĩm tắt của năm loại khối đa điện đều
Trang 15nhasachminhthang.vn Bát điện đều 4 6 12 8 {3:4}
Mười hai mặt đều @ 20 30 12 {53}
Hai mươi mặt đều @ 12 30 20 {3:5} Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại {ø,p} cĩ Ð đình, C cạnh và M mặt Khi dé: |pD = 2C = nM}
B MOT SO KET QUA QUAN TRỌNG
> Két quả 1: Cho một khơi tứ diện đều Khi đĩ:
+ Cíc trọng tâm của các mặt của nĩ là các đỉnh của một khối tứ diện đều; + Các trung điểm của các cạnh của nĩ là các đình của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều) > Kết quả 2: Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều > Kết quả 3: Tâm của các mặt của một khơi bát diện đều là các đình của một hình lập phương
> Kết quả 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối điện nếu chúng khơng cùng thuậc một cạnh của khơi đĩ Đoạn thẳng nổi hai đình đối diện gọi
là đường chéo của khối bát diện đều Khi đĩ:
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
+ _ Ba đường cháo đơi một 0uơng sĩc uới nhau;
+ _ Ba đường chéo bằng nhau
J
Trang 16i -› nhasachminhthang.vn
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM “PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN” fa) (b) () (4) Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nĩ), hành đa diện là A hinh (a) B hình (b) C hình (c) Ð hình (4) Câu 2 ao ị LS bs i (a) (b) © (4)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nĩ),
Trang 17nhasachminhthang.vn ~ Câu 4 ⁄⁄2 7 (a) (b) () (4)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nĩ), hình khơng phải đa diện lồi là
A hinh (a) B hinh (b) C hình (©) D hinh (d)
AT ORNS
a i
(a) (b) () (4)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kế cả các điểm trong của nĩ), số
đa điện lồi là
Á.1 B.2 C3 D 4
Cau & Trong cae mat cua các khối đa điện, số cạnh cùng thuộc một mặt tối thiểu là
A.2 B.3 c4 D.5
+ âu — Khối đa diện đều loại {5;3} cĩ tên gọi là
A khối lập phương B khối bát điện đều
Trang 18| | ahasachminhthang.vn Câu 14 Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là A.12 B 18 Cc 20 D 24 Câu 15 Số cạnh của một bát điện đều là A.8 B.12 Cc 16 D 10 Cau 16 Số cạnh của một hình mười hai mặt đều là A.12 B 20 C 30 D 24 Câu 17 Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ điện đều cạnh 4 bằng A vn, B 23/2 € ãa? D #322 Câu 18 Tổng điện tích tất cả các mặt của hình tám mặt đều cạnh @ bằng A 4V30 B 6V3a? C 24322 D 84/322, Câu 19 Tổng diện tích tất cả các mặt của hủnh đa điện đều loại {4;3} cạnh # bằng A 4 B 6 C 8 D 10a’ Câu 20 Tổng điện tích tất cả các mặt của hình đa diện đều loại {3;5} cạnh @ bang A 54342, B 6342 C 3V32? D 84322 Câu 21 Khối đa điện đều loại {4;3} cĩ số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng A & 6; 4 B 12; 30; 20 C 6; 12; 8 D 8; 12; 6 “âu 22 Khối đa diện đều loại {3; 3} cĩ số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng A 4 6; 4 B 12; 30; 20 C 6; 12; 8 Ð 8; 12; 6 Câu 23 Khối đa diện đều loại {3;4} cĩ số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng A 4; 6; 4 B 12; 30; 20 C 6; 12; 8 D 8; 12; 6 Câu 24 Phát biểu sau đây là đúng (Ð) hay sai (S): " Khối lăng trụ đều bất kì là một khối đa điện đều"
Câu 25 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Tén tại khối tứ điện là khối đa diện đều 8B Ton tại khối lăng trụ đều là khối đa điện đều C Tồn tại khối hộp là khối đa điện đều
D Tén tại khối chĩp tứ giác đều là khối đa diện đều Câu 26 Cĩ bao nhiêu khối đa diện đều? A.2 B.3 c4 D.5 Câu 27 Các khối đa diện đều loại {p;q} được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số mặt là A {3:3}, {3:4}, {3:5}, {63} {53} B {3:3}, {4:3}, {3:4}, {5:3} {3:5} C {3:3}, {3:4}, {4:3}, {3:5}, {5:3} D {3:3}, {4:3}, {3:4}, {3:5} {5:3}
Câu 28 Phát biểu sau đây là đúng (Ð) hay sai (S): " Khối chĩp tam giác đều bất kì là
một khối đa diện đều"
Câu 29 Phát biểu sau đây là đúng (Ð) hay sai (S): " Tồn tại khối đa điện đều cĩ số
cạnh bằng số mặt"
Câu 30 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Số đỉnh và số mặt của mọi hình đa diện luơn bằng nhau Ð Số đỉnh của mọi hình đa điện luơn lớn hơn 4
Trang 19
nhasachminhthang.vn
C Tơn tại một hình đa diện cĩ số cạnh gấp 2 lần số đỉnh
D Tồn tại một hình đa điện cĩ số cạnh nhỏ hơn 6
Câu 31 Một hình đa diện cĩ các mặt là những tam giác thì số mặt Mf và số cạnh C của đa diện đĩ thỏa mãn
A 3C=2M B.C=M+2 € M>C D 3M=2C Câu 32 Các khối đa điện đều mà mỗi đỉnh của nĩ đều là đỉnh chưng của ba mặt thì số đỉnh Ð và số cạnh C của các khối đa diện đĩ luơn thỏa mãn A.Đ=C-2 B8 Đ>C €,3Ð=2C D.3C=2Ð 3 Khối tứ diện đều, khối bát điện đều và khối hai mươi mặt đều cĩ số đỉnh Ð, số cạnh C, số mặt Mí thỏa mãn A.C= 5, BA ST, C.M=Ð Đ.C=2Ð , Mỗi đỉnh của hình đa điện là đỉnh chung của ít nhất A năm mặt bốn mặt €, hai mặt D ba mặt, 35 Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ điện đều là : A 10 B 8 C6 D.4 Câu 36 Số mặt phẳng đối xứng của hình bát điện đều là A.4 B 6 C12 D.9 Câu 37 Số mặt phẳng đối xứng của đa điện đều loại {4;3} là A.9 B.8 €7, D 6 Sâu 38 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng A thành đường thẳng A' cất A khi và chỉ khí Á.AC (P } B A cắt (P) C A khơng vuơng gĩc với (P) D A cắt (P) nhưng khơng vuơng gĩc với (P) €lá¿ 39 Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho đưới đây để sau khi điền nĩ vào chổ trống, mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng "6ố cạnh của một hình đa diện luơn số mặt của hình đa điện ấy." A lớn hơn B bằng,
€ nhỏ hơn hoặc bang D nhỏ hơn
Cán 40 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A, Hình hộp là đa diện lồi
B Tứ diện là đa điện lồi
C Hình tạo bởi hai tứ điện đều ghép vào nhau là một hình đa diện lồi
D Hình lập phương là đa điện lồi
#¡ Cho một hình đa diện Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Trang 20i nhasachminhthang.vn
“
D Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt Câu 42 Hình chĩp tứ giác đều cĩ mấy mặt phẳng đối xứng? Al B 2 C.3 D.4 Cau 43 Diện tích xung quanh của hình chớp tứ giác đều cĩ tất cả các cạnh đều bằng 2a là A 42⁄3 B 22/3 € 222/3 D 8223 Câu 44 Cĩ thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau? A.2 B.8 C.4 Đ.6 Câu 45 Số các đỉnh hoặc số các mặt bất kì hình đa diện nào cũng
A.lớn hơn 4 B lớn hơn hoặc bằng 5, C lớn hơn 5 D lớn hơn hoặc bằng 4
Câu 46 Số các cạnh của hình đa điện luơn luơn
A lớn hơn 6 B lớn hơn 7
C lớn hơn hoặc bằng 6 D lớn hơn hoặc bằng 8
Câu 47 Trưng điểm của tất cả cạnh của hình tứ diện đều là các đỉnh của
A hình lập phương B hình tám mặt đều € hình hộp chữ nhật Ð hình tứ diện đều
Cầu 48 Phát biểu sau đây đứng (Ð) hay sai (S)?
"Tâm của tất cả mặt của hình tứ diện đều lập thành hình tứ điện đều" Câu 49 Tâm của các mặt hình tám mặt đều điện đều là các đỉnh của
A hình lập phương B hình tám mặt đều
€ hình hộp chữ nhật D hình tứ điện đều
Câu 50 Biết rằng khối đa diện mà mỗi mặt đều là hình tam giác Gọi ?t là số mặt của khối đa điện đĩ, lúc đĩ ta cĩ
A 71 là số chia hết cho 3 B z là số chẵn
€ rr là số lẻ D rí là số chia hết cho 5
Câu 51 Biết rằng khối đa diện mà mỗi mặt đều là hình ngũ giác Gọi C là số cạnh
của khối đa điện đĩ, lúc đĩ ta cĩ
A C là số chia hết cho 3 B C là số chan € C là số lẻ D C là số chia hết cho 5 Câu 52 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng đ thành chính nĩ khi và chỉ khi A d song song với (P) B đnằm trên (P) C.dL(P) D nằm trên (P) hoặc 41(P) Cau 53 Cho hai đường thing đ và #' cắt nhau Cĩ bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành đ'?
A Cĩ một B, Cĩ hai, € Khơng cĩ Ð Cĩ vơ số
Cầu 54 Cho hai đường thẳng phân biệt đ và 4' đồng phẳng Cĩ bao nhiêu phép đối
xứng qua mặt phẳng biến đ thành đ'?
A Khơng cĩ B Cĩ một € Cĩ hai D Cĩ một hoặc hai
Cau 55 Một hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi (khơng phải là hình vuơng) cĩ bao
| nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Trang 21nhasachminhthang.vn A.1 B.2 €.3 D.4 Cáo 56, Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B, biết rằng OA—2OB Khi đĩ, tỉ số vị tự là bao nhiêu? A.2, B -2 eek 2 D.2 2
ca Cho hai đường thẳng song song đ, # và một điểm O khơng nằm trên
ching C6 bao nhiéu phép vi ty tam O bién d thành đ'? A Cĩ một B, Khơng cĩ
C Cé hai D Cĩ một hoặc khơng cĩ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Số đỉnh và số mặt của một hình đa điện luơn bằng nhau
Ð Tồn tại hình đa điện cĩ số đỉnh và số mặt bằng nhau C Tồn tại một hình đa diện cĩ số cạnh bằng số đỉnh
D Tén tại một hình đa điện cĩ số cạnh và mặt bằng nhau
Can 59, Cho khối chĩp cĩ đáy là n—gidc Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Số cạnh của khối chĩp bằng ø+1 B Số mặt của khối chĩp bằng 2n C Số đỉnh của khối chớp bằng 2+1 Ð Số mặt của khối chĩp bằng số đỉnh của nĩ,
rong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
A Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với nĩ B Phép vị tự biến mặt phẳng qua tâm vị tự thành chính nĩ
Trang 22nhasachminhthang.vn
HUONG DAN GIAI CAU HOI TRAC NGHIEM
Câu 1
Áp dụng các tính chất của hình đa điện:
+ Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc cĩ 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc khơng cĩ điểm
chưng nào
=> Chon dap an A Câu 2
Áp dụng các tính chất của hình đa diện:
+ Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc cĩ 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc khơng cĩ điểm
chung nào
z= Chọn đáp án D Câu 3
Áp dụng các tính chất của hình đa điện: + Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mat;
+ Hai mặt bất kì hoặc cĩ 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc khơng cĩ điểm chung nào => Chon đáp án C Câu 4 Áp dụng các tính chất của khối đa điện lồi (H): “Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) tuơn thuộc (H)“ = Chọn đáp án B Câu 5
Ấp dụng các tính chất của khối đa điện lồi (H): “Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
(A) luơn thuộc (“)“ = Chọn đáp án B
Câu 6 Do mỗi mặt của hình đa diện tối thiếu là tara giác nên số cạnh tối thiểu của
mỗi mặt là 3, áp dụng các tính chất của khối đa diện lồi (H): “Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luơn thuộc (H)” => Chon dap án B Câu 7, ist | ba) | 0) | B3 | 83 | B3
Trang 23nhasachminhthang.vn (_- ) Khối đa diện đều loại {3:4} là khối tám mặt đều, gồm 8 mặt là các tam giác đều nên tổng các gĩc bằng 8.z=8z= Chọn đấp án C Coun hi Khối đa diện đều loại {5:3} là khối mười hai mặt đều, gồm 12 mặt là các ngũ giác đều nên tổng các gĩc bằng 12.3z =36z => Chọn đáp dn B
Lưu ý: Đa giác đều n cạnh cĩ gĩc bằng (n—2)z
Khối đa diện đều loại {3:5} là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các gĩc bằng 20.+=20z => Chọn đáp án C Aw FẦ, Gọi Ð là tổng số đỉnh, C là tổng cạnh và M 1a tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; pt Ta cĩ: Bát điện đều loại {3;4]}= n=3, p=4 Ta cé: 4D +3.8<> D=6= Chon dap dn A Gọi Ð là tổng số đỉnh, C là tổng cạnh và AM là tổng các mặt của khối đa điện đều loại {n;p} Ta cĩ: Hình mười hai mặt đều loại {5;3} „ =5, p =3 Tacé: 3D =5.12<2 D=20= Chọn đáp án C Gọi Ð là tổng số đỉnh, C là tổng cạnh và Af là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {nip} Ta cĩ: Bát điện đều loại {3;4}= n =3, p=4 Ta cé: 2C =3.8<>C =12=> Chon dép an B Gọi Ð là tổng số đỉnh, C là tổng cạnh và A4 là tổng các mặt của khối đa điện đều loại {mp} Ta cố: Hình mười hai mặt đều loại {5;3}= ø =5, p =3 Ta cé: 2C =5.12 > C=30= Chon dép an C
Tứ diện đều cĩ 4 mặt là các tam giác đều canh a nén ty dién cé tổng diện tích tất cả
các mặt là 8=4TT— 3a? => Chon dap dn C
Trang 24nhasachminhthang.vn
Cau 19
Đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương nên cĩ 6 mặt là các hình vuơng cạnh 4
nên hình lập phương cĩ tổng diện tích tất cả các mặt là S=6.0" = 60"
= Chợn đáp án B Câu 20
Đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều nên cĩ 20 mặt là các tam giác đều
cạnh 2 nên hình hai mươi mặt đều cĩ tổng diện tích tất cả các mặt là
2
s =20- 5 5,
=> Chon dép an A
Câu 21
Cách 1: Gọi Ð là tổng số đỉnh, C là tổng cạnh và A là tổng các mặt của khối đa điện đều loại {n;p} Ta cĩ: |pÐ=2C = ni
Cách 2: Bảng tổng hợp 5 loại đa diện đều Loại | Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt {3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 {3} | Lập phương 8 12 6 {3;4} | Bát diện đều 6 12 8 {5:3} | Mười hai mặt đều 20 30 12 {3,5} | Hai muoi mặt đều 12 30 20 => Chon dap dn D Câu 22 : Tương tự câu 21 Chọn đáp án A Câu 23 Tương tự câu 21 Chọn đáp án C Câu 24 Phát biểu sai (S), do chỉ cĩ khối lập phương là khối đa diện đều Câu 25 Trong ư loại khối đa diện đều khơng iồn tại khối chĩp cĩ đáy là tứ giác => Chợn đáp án D Câu 26 Cĩ 5 loại khối đa diện đều = Chọn đáp ẩn D, Câu 27,
Sắp xếp theo thứ tự tăng đần số mặt của các khối đa diện đều là: Khối tứ diện (3;3}, khối lập phương {4;3}, khối tám mặt đều {3;4}, khối mười hai mặt đều {5:3} và khối hai mươi mặt đều {35} => Chon dép dn B
Cau 28
Phát biểu sai (S) Chỉ cĩ khối chĩp tam giác đều cĩ tất cả các cạnh bằng nhau là khối đa diện đều loại {3;3}
CHINHPHUCKYTHITHPT Trácnghiệm Mơn Todn HINH HOC KHONG GIAN CO DIEN VA PHUONG PHAP TOADO TRONG KHONG GIAN
Trang 25nhasachminhthang.vn tấu 20, Phát biểu sai (S) Khối đa điện đều cĩ số cạnh luơn lớn hơn số mặt Cao 36, Khối lập phương cĩ số cạnh bằng 12 và số mặt bằng 6 = Chọn đáp án C Can šL,
Tổng số cạnh của hình đa diện là 2C Tổng số mặt của hình đa điện lẢ M và mỗi
mặt đều là tam giác nên cĩ tổng số cạnh 3A Vậy ta cĩ 3M =2C
= Chợn đáp án D Cau 32
Tổng số cạnh của hình đa điện là 2C Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt niên suy ra các cạnh của hình đa diện là 3Ð Vậy ta cĩ 3Ð =2C
=> Chon đáp án C
Dựa vào bảng tổng hợp 5 khối đa diện đều (câu 21) ta suy ra 3 khối tứ điện đều, khối
bát điện đều và khối hai mươi mặt đều cĩ A = ze => Chon đáp án B
Dựa vào khái niệm và điều kiện xác định của hình đa điện ta suy ra mỗi đỉnh là đỉnh
chung của ít nhất 3 mat => Chọn đáp án D
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối điện Vậy hình tứ điện đều cĩ 6 mặt phẳng đối xứng 2 Chọn đáp án C
Cầu 36 E
Goi bát điện đều ABCDEF, cĩ 9 mặt phẳng đối
xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng 4 6 han AB va CD) > Chọn đáp án D F au WW
Da dién déu loai {4:3} là hình lập phương, gọi A D
ABCD.A'BCT', cĩ 9 mặt phẳng đối xứng, bao :
gồm: 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh 4B, AD, B i c
AA’ va 6 mat phẳng mà mỗi mặt phẳng đi qua hai at _
cạnh đối điện, oy ”
= Chọn đáp án A B “ c
Dau 38,
Trong trường hợp A c (P) thủ ảnh của A qua phép đối xứng theo giả thiết là A Giá thiết câu B, trong trường hợp A L(P) thì ảnh của A qua phép đối xứng theo giả
Trang 26
i nhasachminhthang.vn thiết là A và giả thiết câu C thì trong trường hợp A // (P) thì khơng thỏa yêu cầu bài tốn > Chọn đáp án D Câu 39 Dựa vào khái niệm hình đa điện và mối quan hệ giữa số cạnh, số mặt ta cĩ kết quả => Chợn đáp an A Câu 40 Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái riệm hình đa diện lồi => Chon đáp án C Câu 41 Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa điện => Chon dap an C Cau 42
Hình chĩp tứ giác đều cĩ 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:
+2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chĩp và chứa đường trung bình của đáy +2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chĩp và chứa đường chéo của đáy => Chon đáp án D Câu 43 Hình chĩp tứ giác đều cĩ 4 mặt là các tam giác đều cạnh 2z nên diện tích xung 2 3 (2: quanh la S,, = „ 503) =4|32? => Chon dap dn A Cau 44
Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD'E') ta chia thanh A D
hai khối lăng trụ ABD.A'B'D' va BCD.B'C'D’ Voi
khối ABD.A'ED ta lần lượt dùng các mặt phẳng = B i; ¢
(4B'P'), (AB'D) ta chia thành 3 khối tứ điện bằng Porro nny Dt „
nhau Tương tự với khối BCD.ECD' “ => Chọn đáp án D Bie © Câu 45 Xét hình đa diện là hình tứ điện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt thỏa mãn đáp án D = Chọn đáp án D Câu 46 Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt thỏa mãn dap an C = Chọn đáp án C
Câu 47 Tứ diện đều cĩ 6 cạnh nên cĩ 6 trung điểm Nối các điểm này ta được hình
Trang 27nhasachminhthang.vn
Tứ điện đều cĩ 4 mặt nên cĩ 4 tâm các mặt suy ra cĩ 6 cạnh nối các điểm này Nối
các tâm ta được các cạnh với độ đài bằng nhau và bằng ; độ dài cạnh tứ điện đều Cầu 49 Lập luận tương tự câu 47, 48 Chợn đáp án B Cảu 50 Gọi C là số cạnh của đa diện Do mỗi mặt của khối đa diện là các tam giác nên ta cĩ 2C =3 Vậy r là số chấn = Chọn đáp an B Cân 51
Gọi C là số cạnh của đa điện Do mỗi mặt của khối đa điện là các ngũ giác nên ta cĩ 2C =5n Vậy rt là số chia hết cho 5 = Chọn đáp án D
Câu 52,
Kiểm tra thấy các đáp án A, B, C khơng thỏa mãn giả thiết đề bài (chú ý yếu tố khi và chỉ khi tức là bao gồm tất cả các trường hợp xảy ra) = Chọn đáp án D
Cầu 53,
Tn tại hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là các mặt phẳng chứa các đường phân giác của gĩc tạo bởi hai đường thẳng và vuơng gĩc với mặt phẳng (4,đ')}= Chọn đáp án B
Cin 54
Hai đường thẳng phân biệt là hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau Trong
trường hợp hai đường thẳng song thì tồn tại một mặt phẳng thỏa yêu cầu, đĩ là mặt phẳng vuơng gĩc với (4,đ') và cách đều hai đường thẳng Trong trường hợp hai
đường thẳng cắt nhau, như cầu 53, cĩ hai mặt phẳng thỏa yêu cầu
= Chọn đáp án D
Ca
Hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi (khơng phải là hình chữ nhật) cĩ 3 mặt phẳng đối
xứng bao gồm:
+2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuơng gĩc với đáy
+ Mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên => Chon dap án C
Cần hố
Ta cĩ hai hệ thức tương ứng thỏa giả thiết OA =2OB là OB =50A va OB=-—OA
Vậy cĩ hai phép vị tự Yo 2 Yo 7 biến điểm A thành điểm B 2 rộ => Chon dap dn C + Trong trường hợp O, đ, Z' đồng phẳng thì tồn tại duy nhất phép vị tự tâm O biến đ thành a’ + Trong trường hợp O z(4,đ') thì khơng tồn tại phép vị tự tâm O biến đ thành a => Chon dap an D Câu 58
Hình tứ diện cĩ 4 đỉnh và 4 mặt => Chon dap an B _/
Trang 28nhasachminhthang.vn Câu 59
Trang 29nhasachminhthang.vn HẦN 2: GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH NG KHƠNG GIAN
+ Néu a và b song song hoặc trùng nhau thì gĩc giữa chúng bằng 0!
+ Nếu 4 và b cắt nhau thì gĩc giữa chúng là gĩc nhỏ nhất trong các gĩc được
tạo bởi hai đường thẳng
+ Gĩc giữa hai đường thẳng chéo nhau 2 và b là a
gĩc gitta hai duwong thang a’ va b’ cing đi qua b
một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với 4 va b at M Tức là: es =(a,b)= (a8) b), Chay: * 0° <(a,b)<90°
* Dé xde dinh géc giira hai đường thẳng, ta cĩ B
thé lấy một điểm (thuộc một trong hai đường
thẳng đĩ) từ đĩ kẻ đường thẳng song song với E
đường cịn lại A
Ví dụ: Để tính (4B,CD) Ta kế AE // CD oP Khi dé: (AB,CD) =(AB, AE) = BAE - ¢
* Nếu đ,, đ, lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thing a và b thì (6= („1,)=ø khi œ<909 - 180° -@ khi a >90° JR|j5| Tức là: cos(z,b}= ke(Z.z) (4, đ,)
Ví đụ 1: Cho tứ điện đều 4BCD cĩ cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC Gọi
Trang 30nhasachminhthang.vn
Lời giải:
Gọi N là trung điểm của AC A => MN la đường trung bình của AABC ‘MN // AB > MN=2AB 1> Vì ABCD và AACD là các tam giác đều cạnh bằng s=MD=ND=®S, B D Vi MN // AB => a =(AB,DM)= (MN,DM), A Xét AMND, ta cĩ: M Ï— 2 2 2 coaNMD- XIN +MD ND ve C Ay APJ PD 1, T0 2.8 ava 2/3 6 tạ 2 => NMD <90° = (MN, DM) =NMD Vay cos@ = cos NMD = 4% => Chon dap dn A
Ví đụ 2: Cho hinh chép S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình vuơng tam O, canh bang 4; SA vuơng gĩc với đáy và SA = a3 Khi đĩ, cosin gĩc giữa 5B và AC bằng
a 2 2 n X2, 4 củ, 2 p 8, 4
Loi giải: Gọi I là trung điểm của SD
Trang 31nhasaechminbhthang.vn wh Xét AOHH, ta cĩ: cosHor =H 4.82 Ol oa 4` vs cocfSD T1 -.o E2 2 ae Vậy cos(SB, AC) =cos HOI = 7? Chon dap én B Chú ý: Để tính cos AOï ta cĩ thể tính cách khác như sau: ava ee OA°+OP — AI? _\ 2 ⁄2 20AOI — 2 we A "xa cos AOI =
Vi dụ 3: Cho hinh chép S.ABCD, cé day ABCD là hinh thang vudng tai A va D; canh
AB=2a, AD=DC=a; SAL AB, SALAD va SA=203,
a) Gĩc giữa đường thang SB va DC bing A 30° B 45° C 60, D 75° b) Goi a 1A géc gitra SD và BC Khi dé, cosa bing J3 442 A= B — 14_ 14 a) Vì DC//AB =(SB,DC)=(SB, AB) = SBA
(vì ASAB vuơng tai A => ŠBÄ < 909)
Trang 32nhasachminhthang.vn Vay (SD,BC)=(SD,DE)=SDE=a = cosa= cosSDE -# => Chọn đáp án B DANG 2; GOC GIỮA ĐƯỜNG THẮNG VÀ MẶT PHẲNG 1 Phương pháp + Néu đường thẳng # vuơng gĩc với mặt phẳng (P) thì gĩc giữa đường thắng 4 và mặt phẳng (P) bằng 90” Tức là: 4 LÍP)= (s,(P))=90!
+ Nếu đường thẳng 4 khơng vuơng gĩc với mặt 4
phẳng (P) thì gĩc giữa đường thing ava hinh
chiếu đ' của nĩ trên (P) gọi là gĩc giữa đường thẳng 2 và mặt phẳng (P) Tức là: Nếu z1 (P) và 2 là hình chiếu của 4đ trên (P) tủ (s{P))=(sz)=ø Chú ý: _ + 0°<(s(P))<90 * Nếu sàn) 2 (48)
* Dé tim hình chiếu Z của 4 trên (P) ta cĩ thể làm như sau:
Tìm giao điểm M = an(P)
Lấy một điểm A tùy ý trên 4 và xác định hình chiếu H của A trên (P) Khi
Trang 33nhasachmiähthang.vn Gĩc giữa cạnh bên và mặt đứng Dung CELHD (EeHD) s CE 1.HD và [SE sự Z CP+(SPH), \ =E là hình chiếu vuơng gĩc của C trên (SHD) A = SE là hình chiếu vuơng gĩc của SC trên (SHD) H Vậy |(SC,(SHD)]=(SC,SE) =€SE|, B C Gĩc giữa đường cao và mặt bên Dựng HE LCD (EeCD) , JCDLHE , 8 SH = (SCD) 1 (SHE) Ma (SCD) (SHE) = SE => SE la hinh chiéu vuéng gĩc của SH trén (SAD) Ss =>CD (SHE) Vay_|(SH.(SAD)) =(SH,SE) = HSE 3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng đ; 5A vuơng gĩc với đáy và SA= ole Gọi ø là gĩc giữa SC va (ABCD), khi dé sé do géc ø bằng A 30 B 45 C 60 D.7 Tời giải: Vì SAL(ABCD)= AC là hình chiếu vuơng gĩc SC lên mặt phẳng (ABCD)
Do đĩ: #=($C,(ABCD)) =(SC, AC) =5CA
(vì ASAC vudng tai A = SCA <90°)
Trang 34¡ nhasachminhthang.vn
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.4BC, cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4; $4 vuơng gĩc véi day va SA=2a, Goi @ là gĩc giữa SC va mat phẳng (SAB), khi dé tana nhận giá trị nào trong các giá trị sau a8, 17 n 81 17 c Số, 17 p28, 17 Lời giải: Gọi M là trung điểm của AB— CM L AB Ss CM 1 AB Vi SA L(ABC) CM LSA | do CM (ABC)
= CM L{SAB)=> SM Ia hinh chiéu vudng géc
của $C trên (SAB) Khi dé: a =(8C,(SAB))=(SC,SM) = CSM wa & (SAB) SMC (SAB) tai S=> CSM <90°) =>CM 1SM=>ASCM vuơng CM Xét ASCM vuơng tai S, tacé: tanCSM =Ch1-_——CM_ _ SM VSA?+ AM? Vậy tanz= tanCSM -fi., Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Cho hình chớp §.4BC, cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại 4; BC=a và SA=SB=SC =o Gĩc giữa đường thắng SA và (ABC) bằng
A 30° B 45° C ĩ0 D 9
Tời giải: Gọi H là trung điểm của BC
Vì AABC vuơng tại A nên H là tâm đường s
BC _a
trịn ngoại tiếp AABC và AH oF
Mà SA =SB=SC =>S5H là trục của đường trịn ngoại tiếp AABC = SH 1 (ABC)
=> HA là hình chiếu của SA trên (ABC) B Cc
Trang 35nhasachminhthang.vn (vì ASHA vuơng tại H nên SAH< 90°) 3 = AH => SAH =30° Xét ASHA vuơng tại H, ta cĩ: cosSAH = cA = 2 5|»
Vậy (SA,(ABC))=5AH =30° = Chọn đáp din A
Trang 36phagachminhthang.yn | i Cách 3: Theo định lí vé hình chiếu 7 S'=S.cosg => cosp= = 2 Vidu minh hoa
Vi dy 1: Cho hinh chĩp tứ giác đều 5.4BCD cĩ cạnh đáy bằng a, chiéu cao hinh
chĩp bằng sổ, Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy là A 30 B 45° C 6 D 78 Lời giải Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD va E là
trung điểm của CD
Trang 37
nhasachminhthang.vn
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'EC?D' cĩ cạnh bằng a Gọi Œ' là tâm của hình vuơng AC và # là gĩc giữa hai mặt phẳng (4B) và (ABCD) Gĩc thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
A cosas 2 B tana =2 C-sinz=4, 2 D tano=1, 2
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vuơng 4BCD và ï là At ” trung điểm của AB— ƠI L AB 7 AB LOI J ƠI ì ng AB 1(OIO)= ABL (OAB)¬(ABCD)= AB Vì sO L AB OTL AB
=> {(O'AB),{ABCD)) =(01,01)=O'10 =a
Xét AO'OI vudng tai I, ta cd: °ơ tan ø = tan 7Ĩ = = Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B và BA=BC=a; SA vuơng gĩc với đáy, SA =a Gĩc œ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng A 30° B 45° € 60 D 75° Loi giải Gọi H là trung điểm của AC > BH 1 AC BH+LAC SA +L(ABC} BH LSA | do BH c(ABC) => BH 1 (SAC)
=? ASHC là hình chiếu của ASBC lên
(SAC) = cosar = Sass
AS&C
+ Tacĩ: AC=VBA?+BC? =
s sục =25A.HC=Sa “TS <<, V1 1 a2 -
Trang 38nhasachminhthang.vn
BC LAB
Ẻ {rc 15A (do SA L(ABC))
= BC 1 (SAB) = BC 1 SB = ASBC vuơng tại B 22 2 Khi đĩ: 5, „ ~258.8C = sẻ +0 a= a2 5 1 Vậy cosa = SE =—4_ =—— ø=600 Chọn đáp án C ưn 2
Bình luận: Trong bài tốn trên, ta đễ dàng xác định được giao tuyến SC = (SAC)¬(SBC) nhưng lại gặp khĩ khăn trong tiệc tìm một mặt phẳng ouơng gĩc với SC, mất nhiều thời
gian tính tốn, khơng phù hợp uới yêu cầu tốc độ của hình thức thi trắc nghiệm Đồng thời nhận thấy rằng iệc xác định hình chiếu của B lên (SAC) nà tính diện tích của hai lam giác ASHC; ASBC là khá dễ dàng nên ta uận dụng cách 3 trong nội dung phương pháp đã trình
bàu ở trên để giải quyết nhanh bài tốn
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
“VẤN ĐỀ 1: GĨC TRONG KHỐNG GIAN”
Câu 1 Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A Gĩc giữa hai đường thẳng bằng gĩc giữa hai vecto chi phương của hai đường thẳng đĩ
B Gĩc giữa hai đường thẳng là gĩc nhọn
€ Gĩc giữa hai đường thắng z và b bằng gĩc giữa hai đường thẳng 4 và c
khi b song song hoặc trùng với c
D Gĩc giữa hai đường thẳng 4 và b bằng gĩc giữa hai đường thẳng @ va c
thì b song song với c
Câu 2 Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng gĩc giữa đường thẳng đĩ và hình chiếu của nĩ trên mặt phẳng đã cho
B Gĩc giữa đường thẳng a va mat phẳng (P) bằng gĩc giữa đường thẳng b
và mặt phẳng (P) khi @ va ở song song hoặc trùng nhau
C Gĩc giữa đường thẳng 4 va mặt phẳng (P) bằng gĩc giữa đường thẳng ø
và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)
D Gĩc giữa đường thẳng 2 và mặt phẳng (P) bằng gĩc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì 4 song song với b
Câu 3 Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Trang 39nhasachminhthang.vn € Gĩc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q} bằng gĩc giữa mặt phẳng (P} và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R) D Cả ba mệnh đề trên đều đúng Câu 4 Cho tứ điện đều ABCD Số đo gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A 30°, B 45°, Cc of D 9°
Câu 5 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD 1a hình vuơng cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a Gọi AI, N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo của gĩc
(MN,SC) bằng
A 30 B, 45°, € 60 D 9
Câu 6 Cho hình chớp tứ giác đều 5.4BCD cĩ cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 4 Gọi O là giao điểm của AC và BD Khẳng định nào sau đây đúng?
A, Gĩc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bing 90°
B Gĩc giữa đường thang $B va mat phẳng (SCD) bằng gĩc giữa đường thẳng BC và mặt phang (SCD) C Gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) lớn hơn gĩc giữa đường thang BC và mặt phang (SCD) D Gĩc giữa đường thẳng S4 và mặt phẳng (SCD) bằng tích của 42 với gĩc giữa đường thẳng SO va mặt phẳng (SCD) Câu 7 Cho hình chĩp ngũ giác đều S.4BCDE Gĩc giữa cạnh bên 5A và các cạnh đáy cĩ số đo lớn nhất là A 36° B, 54° c.72 D 90°
Câu 8 Cho hình chớp lục giác đều S.ABCDE cĩ cạnh đáy bằng a Goi O là hình
chiếu của 5 lên mặt đáy và SO =a Gĩc giữa cạnh bên §A và các cạnh đáy cĩ số đo nhỏ nhất là
A 30°, B 45°, C 60 D 90°
Câu 9.Cho điểm S$ khéng thuéc mat phẳng (?) đoạn vuơng gĩc SH=1 và các đoạn xiên SA=2, SB=3 và SC=4 Gọi #, Ø r lần lượt là gĩc tạo bởi 5A, 5B, SC
và mặt phẳng (P) Khẳng định nào sau đây đúng?
A a<45, B B>45° CG B<y D 7 >60°
Câu 10 Cho tứ điện ABCD cĩ cạnh AB, BC, BD bằng nhau và đơi một vuơng gĩc
với nhau Khẳng định nào sau đây đúng?
A Gĩc giữa AC và (BCD) là gĩc ACD
B Gĩc giữa AD và (ABC) là gĩc ADB (ABD) 1a goc CAB
D Gĩc giữa CD và (ABD) là gĩc ẾBB,
C Gĩc giữa ÁC và
Trang 40
nhasachminhthang.vn
Câu 11 Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm O và cạnh bằng 2a Trên đường thang qua
O và vuơng gĩc với (ABCD) lấy điểm S$ Néu géc gitra SA va (ABCD) cd sd do ị bang 45° thi độ dài đoạn SƠ bằng
: A SO =a3 B SO=a42 Cc so=28, D so= 82, Câu 12 Cho hình chĩp S.ABCD, cé day ABCD là hình vuơng cạnh bằng 4; SA vuơng gĩc với đáy và SA = ave
a) Gée gitta SC va (ABCD) cé 86 đo bằng
A 30° B 45 C 60 D.75
b) Gĩc ø giữa SB và (sac ) thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
A cosa = V14, B sina = 14, c cosz =2, D sina =X^,
14 14 14 14
c Gĩc Ø giữa ÁC và (SBC) thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
A — B sing = Cc - D cing = Câu 13 Cho hình chĩp S.ABC cé day ABC la tam giác đều cạnh a Hinh chiéu
vuơng gĩc của $ lén (ABC) tring véi trang diém cua canh BC Biét tam giac SBC
là tam giác đều Số đo của gĩc giữa 5A và (ABC) bằng
A 30 B 45 C 60 D 78
Câu 14 Cho hình chĩp S.4BC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cạnh huyền BC=a Hình chiếu vuơng gĩc của S lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC Biết SB=a, khi đĩ số đo của gĩc giữa SA và (ABC) bằng
A 30° B 45° c 6 D 78
Câu 15 Cho hinh chép $.ABCD, cĩ đáy là hình vuơng cạnh 4 Đường thẳng 5A
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA =a Gĩc giữa đường thing SC va mp(SAB) lA
a, khi dé tana nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A Lang B tanz =2 C tang =1, D tana = v3
Câu 16 Cho hình chĩp S.4BCD, cĩ đáy là hình vuơng cạnh ø Đường thẳng 5A
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA=a Gĩc giữa mp(SCD)vàmp(ABCD) là g,
kh đĩ tanø nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A tang= 2 B tang=1 Cc tang = 2 D tanp=3
Câu 17 Cho hình lập phương ABCD.A'BCTY Xét mặt phẳng (A'BD) Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
X-