[tailieulovebook.com] - Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán - Tập 2

A⃗⃗B⃗.A⃗⃗C=xB−xAxC−xA+yB−yAyC−yA≠0ΔABCkhôngvuông⇔ABCkhôngvuông⇔{A⃗⃗B⃗.B⃗⃗⃗ ⃗ C⃗=xB−xAxC−xB+yB−yAyC−yB≠01 B⃗⃗⃗ ⃗C⃗.A⃗⃗C=xC−xBxC−xA+yC−yByC−yA≠0NhậnthấyđiểmđặcbiệtxA;xB;xC∈−∞;2làkhoảngnghị

4y316xy16y2

0

x2y xy23

CâuIX(1,0điểm).ChohìnhvuôngABCD.Đặtnđiểmlầnlượttrêncáccạnhcủahìnhvuôngtheocách:A1∈AB,A2∈BC,A3∈CD,A4∈DA,A5∈AB…saochokhôngđiểmnàotrùngnhauvàkhôngtrùngA,B,C,D

Biếtrằngsốtamgiáccó3đỉnhlấytừn iểđ mA1,A2,A3,…Anlà17478,hỏiđiểmAnAnđượcđặttrêncạnhnào?

-HẾT -GIẢICHITIẾTVÀBÌNHLUẬNCâ u I 2

Trướcnhữngbàitoánvềtamgiácvuông,tathườngcóhaihướnggiảiquyết:

+SửdụngđịnhlýPitago

+Sửdụngtíchvôhướng

Ởbàinàytacóthểsửdụngcả2cáchđểgiảimộtcáchkhôngmấykhókhăn,tasẽchọnphươngpháptíchvôhướngđểgiải

A⃗⃗B⃗.A⃗⃗C=(xB−xA)(xC−xA)+(yB−yA)(yC−yA)≠0ΔABCkhôngvuông⇔ABCkhôngvuông⇔{A⃗⃗B⃗.B⃗⃗⃗

⃗

C⃗=(xB−xA)(xC−xB)+(yB−yA)(yC−yB)≠0(1)

B⃗⃗⃗

⃗C⃗.A⃗⃗C=(xC−xB)(xC−xA)+(yC−yB)(yC−yA)≠0NhậnthấyđiểmđặcbiệtxA;xB;xC∈(−∞;2)làkhoảngnghịchbiếncủahàmsố⟶chứngminh(1)bằngánhgiábất

yB−yA>0;yC−yA>0⇒(yB−yA)(yC−yA)>0

⇒A⃗⃗B⃗.A⃗⃗C=(xB−xA)(xC−xA)+(yB−yA)(yC−yA)>0

Tươngtự:

A⃗⃗B⃗.B⃗⃗⃗

⃗C⃗=(xB−xA)(xC−xB)+(yB−yA)(yC−yB)>0B⃗⃗⃗

⃗C⃗.A⃗⃗C=(xC−xB)(xC−xA)+(yC−yB)(yC−yA)>0VậytamgiácABCkhôngphảitamgiácvuông

Nh

ậ n ét :

-Bàinàychỉxuấtphátđơnthuầntừtínhchất ơnđ điệucủabàitoánnênhoàntoàncóthểmởrộngđượcnhưsau:Xéthàmsốfđơnđiệu( ồđ ngbiếnhoặcnghịchbiến)vàliêntụctrênD.Khi ó,đ vớimọibộ3điểmA,B,CthỏamãnxA,xB,xC∈DthìtamgiácABClàtamgiáctù.Bạnđọccóthểchứngminhđiềunàytươngtựnhưlờigiảitrên

C mp(α){∩AHtạiB(vìBC⊥AH)⊥AH ⟶B ⟶BA≡BC

ptđtCN{C′đốixứngvớiCquaBM⇒C′∈BA}

u⃗AH=(1;1;−2);u⃗BM=(1;−2;1);M1(2;3;3)∈AH;M2(1;4;3)∈BM

x=1+ty=4−2tz=3+t đ ợc:t=1;x=2;y=2;z=4ư

VậyK(2;2;4).SuyraC’(1;2;5)làđiểmđốixứngvớiCquaBM

2.2a 4

u V I

1

- Khikhaitriểnsẽtạorasựbiếnthiênvềdấutheochukì4(vìi2=−1)

- Dễdàngxửlícácsốmũlớndướidạnglượnggiác.

Dấuhiệunhậnbiếtphươngpháp:Cósự andđ ấutheochukì4hoặcđandấutrongtậpcáchạngtửcóhệsốchẵn(nhưbàitrênlàdãyvớihệsốchẵn:0;-2;4;-6;…)

1 3 5 2n1 2n1

Ápdụng:khaitriểnlũythừacủamộtsốphứcdưới2dạng:Dạngthườngvàdạnglượnggiác.Sau óđ đồngnhấthệsốchotakếtquả

ân tí ch : Phươngtrình(2)chứacănthứckhóxửlí,phươngtrình(1)bậckhôngquácao→phântích(1)thànhnhântử.Trướchếttathửvớicácnhântửliênquantớiphươngtrình(2)như(x-2y);(x+y)→

thấy(x−2y)lànhântử

Phươngtrình(1)⇔(x−2y)2(x+y−4)=0

+Vớix-2y=0⇔x=2ythếvàophươngtrình(2)

⟹√3y=2√3⟺y=4⟹x=8⟹(x;y)=(8;4)+Vớix+y-4=0⟺y=4−xthếvàophươngtrình(2)

Cóthểtổngquátxétvới agiácnđ cạnh(vớinnhỏ)cáchlàmtươngtựnhưtrên.

CâuIII(1,0điểm).TínhtíchphânI= 2sinxcosxdx

0sinxcosx3CâuIV(1,0điểm).TrongmặtphẳngvớihệtrụctọađộOxyz,lậpphươngtrìnhmặtphẳng(α)quagiaotuyếnhaim

ặtphẳng(P):2x–z=0và(Q):x+y–z+5=0, ồđ ngthời(α)songsongvới ườđ ngthẳng

–––––HẾT–––––

 x012 

–Cácem ểđ ýdữkiệnAB 82.OB.Tacóchútgìđónghinghờ.Saolạilà82màkhôngphảilàsốkhác(82

gần81)?Từ ótađ kếthợpvớiΔABCkhôngvuông⇔OABvuôngtạiO⇒OA=9.OB.Đếnđâybàitoánđượcgiảiquyết.Câ

–Tacómộtcáchkháclàđặtt=tanx.Khi ó,đ sinx 2t vàcosx1t.

Tasẽ iđ đếnlờigiảidễdàngvàngắngọnhơn.Tuynhiênlốisuynghĩcủabàitheohướngnàykhôngtựnhiêncholắm

uV

HC

SaukhicóA'G⊥(ABC).Dữkiện: ABC,BCCB 90đ hỏiphảitìmđượcgiaotuyếncủa(A'BC)vằi

 



Tacó:(2*)3 x

22x x2

KếthợpvớiđiềukiệntacótậpnghiệmcủabấtphươngtrìnhlàS=[3+ 13;+∞).

ìn h l u ậ n:

(1*)làdạngphươngtrình,bấtphươngtrìnhđẳngcấpcódạngtổngquát:m.f  x  n.g  x  pf  x  g  x .Cáchgiải:

Lờigiải:

Cách1:Nhậnxét:Dox,y∈(0;1]⇒(x−1)(y−2)≥0⇔xy+1≥x+y

xTừgiảthiếtsuyraxy≥z.TacóP=yz

z+1

y+xzz+1

1+xyz

SuyraP≥ 1+√ab + ab+1 Đặt√ab=t≥11

TacóP≥

2t

1+t

1+1+t2

Xéthàmsốf(t)=

+1+t 1+t2 ,t≥1

CâuIV(1,0 iểđ m)TrongkhônggiantọađộOxyz,cho ườđ ngthẳng(d):x1y2z

2 1 1 vàmặtphẳng(P):

x2yz30.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(ΔABCkhôngvuông⇔)thuộc(P),vuônggócvới(d)vàcókhoảngcáchgiữa

(d)và(ΔABCkhôngvuông⇔)bằng√2

CâuV(1,0 iểđ m).ChohìnhchópS.ABCDcó áyAđ BCDlàhìnhthoitâmO,cạnha,BD=a.TrêncạnhABlấyđiểmMsaochoBM=2AM.Biếtrằnghaimặtphẳng(SAC)và(SDM)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD)vàmặtbên(SAB)tạovớimặt áyđ mộtgóc60°.TínhthểtíchkhốichópS.ABCDtheoavàcosincủagóctạobởihaiđườngthẳngOMvàSA

1P=3(a+b+c)+2(+ a 1b+).1c

–––––HẾT–––––

ìn h l u ậ : Đểlàm ượđ cvàtrìnhbàychặtchẽbàitoántrên,cầnnắmvữngmộtsốđiểmquantrọngsau ây:đ

- Hàm athđ ứcnếucótiếptuyếnthìtiếptuyến óđ tồntạihệsốgóc.Nhưtronglờigiải,ta ãnđ hậnxétx=mkhôngtiếptuyếncủa ồđ thịhàmsố.Nhờ óđ màtabiểudiễnđượcphươngtrình(d)quaMcóhệsốgóck.Nếuquênlậpluận iềđ unàythìlờigiảisẽthiếuchặtchẽ

- (d):y=kx+ptiếpxúcvới ồđ thịhàmsốf(x)⟺{f(x)=kx+p(1)

f′(x)=k(2)Sau óđ tathayktừphươngtrình(2)vào(1)rồitìmmđể(1)có3nghiệm

Kinhnghiệmgiảibướctiếptheolànhẩmnghiệmđểtìmramộtnghiệm“ ẹp”,giảđ sửlàx0(đốivớibàinày

x0=1).Sau óđ phântíchthànhnhântửđể ưavềđ mộtphươngtrìnhcódạng:(x−x0)(ax2+bx+c)=0màmnằmđâu ótrođ nga,b,c

Hàmsốcó3nghiệm⟺(ax2+bx+c)=0có2nghiệmphânbiệtkhác���.Nhưvậytatìm ượđ cm.Nếukhôngthểnhẩmranghiệm“ ẹđ p”thìtakhôngthểtiếnhànhnhưtrênmàphảixét

hàmbậc3truyềnthống

Câ

u I I :

1Điềukiện:sin2x≠ 2

Vớiđiềukiệntrên,phươngtrình ãđ chotươngđương:

ìn h l u ậ : Mộtđiểmkhálạđậpngayvàomắtchúngtalà:vếtráilàmộtphânthức,trongkhi óđ vếphảibằng0.Rõràng,khigiảibàitoánnày,chúngtasẽbỏmẫu.Do ókhảnăngđ lớnmẫusốdùnglàmđiềukiệnđểloạinghiệm.Quaylại“ngoạihình”củabàitoán,khaitriểnvềdạng:

ìn h l u ậ : Tưduyrấthay ượđ cdùngởcácbàitíchphânlượnggiáclà ưabđ iếuthứcvềcùng1cung

Nhưngbàinàylàcungx,“đisâuhơn”là ưađ vềhếtsinxvàcosx.Ởbàinày,sin3x=3sinx−4sin3xgiúp

1+cosx chỉtoàncosx,sinx.Đến âđ y,tưduyhaygặplàđổibiếnvềcosxhoặcsinx

3sinx−4sin3xlàbiểuthứcđẹpvìnócónhântửchungsinxđểrútravà ưavàođ dxthành−d(cosx)

Phầncònlạilà4sin2x−3=1−4cos2x.Ýđồ ưahếđ tvềbiếnt=cosx ãthđ ànhcông

Cuốicùnglà1sốbàitậpsửdụngtưduy ưavềđ 1cung:sinx,cosx

ΔABCkhôngvuông⇔ d

I1=∫1+sin2x;I2=∫1

=

−1-

($1):Đềbàichodữkiệnkhoảngcáchgiữahai ườngtđ hẳng,tacầnquyvềkhoảngcáchgiữa ườđ ngthẳngvàmộtmặtphẳngsongsongvớiđườngthẳng óđ và iqua ưđ đ ờngthẳngcònlại

TừHkẻHK ABSKABSKH60 olàgócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(ABCD)

DoAM∥CDHAAM1

AH1ACAOAHa3

HC CD

ÁpdụngđịnhlýCo-sinchotamgiácBMOtacóMO MB2

BO22MB.BOcosABOa136

ìn h l u ậ : Bàitoángâykhókhănởchỗcácchữsố ãchọđ nbịtrùngnhau.Nếutadùngcôngthứctínhhoánvịthôngthườngsẽbịthừaramộtsốtrườnghợp(thựcralàbịtrùng).Đểdễhìnhdung,tacứgiảsử5chữsốđượcchọnragồm:a,b,c,d,eđểtínhsốhoánvị.Sau óđ lầnlượtchod=e=a(tươngtựvớib,c)rồi

chod=avàb=e(cùngvớicáchoánvị).Nhờ óđ taloạibỏđượccáctrườnghợpbịlặp.Lưuý,cácbàitoántổhợp–xácsuấtthườngrơivàođềcơbản.Nếuchọnlàmcâunàythìphảihếtsứcthậntrọngđểxétđầy

đủvàkhôngthừatrườnghợpnào.Mộtcáikhónữalàgầnnhưkhôngcócách ểđ thửlạixem ápánđ đúnghaysai

2

1Điềukiện0<x< 4

Phươngtrình ãchotưđ ơng ưđ ơngvới:

(4x)2 4xChiahaivếcủa(∗)cho1−2√xtađược

2=(1−2√x) 1 −2√x+2

Đặtt  1 2x 4x t2t2t2x1 32

√3Vậynghiệmcủaphươngtrìnhđãcholà:x=1− 2

B

ìn h l u ậ : Bàinàycũngvậy,tabiếnđổi ểđ đưavềcùngcơsố2(trước ónđ hớđặtđiềukiệnthìmớibiến

đổitương ươngđ được):

12log2x+log1(1−2√x)=

trìnhbậc4( ãcócđ ôngthứcgiảitổngquát,tuynhiênkhádàidòngvàkhôngthiếtthực).Hoặccóthểnhẩmnghiệmbằngmáytính.Mẹo óđ làcácbạnchoxchạyởnhiềumiềnkhácnhauđểtìmranhiềunghiệmcủaphươngtrình,sau ólđ ưucácnghiệmđótrongmáytínhrồicộngchúnglạivớinhau.Nếumaymắn,tổng2nghiệmnào ólàđ sốđẹpthìcóthểsuyranghiệmchínhxác.ĐiềunàynhờvàoviệclợidụngđịnhlíViet:

4 t2

4 t2

4 làhàmsố ồđ ngbiếntrênR.Từ ó:đ

f(x)=f(−2y)⇔x=−2y

Thếx=−2yvàophươngtrìnhsaucủahệphươngtrình ãchotađ được

y2

1 Tới ây,kiểđ mtratrựctiếpthấyhàmvếtráitheoẩnxlàhàm ồđ ngbiến,cònvếphảitheoẩnylàhàmnghịchbiến.Vậy

−1 =−2y+2√y2+1=−2y+√(−2y)2+4.Khiđótađược:

x+√x2+4=−2y+√(−2y)2+4.Tới âypđ hươngpháphàmsố ãhiđ ệndiễnrõràng

sẽcórủiro( ôikhikhđ ôngápdụngđược)nhưngcócònhơnkhông.Đểýrằngvếtráilàmộthàmbậc2,vế

phảilàmộthàmtăng.Do óđ đồthịcủachúngcắtnhautạitối a2đ điểm.Maymắnthay,bàinàydễdàng

1m=

n=

2Đếnđâychắcbạn ãtđ rảlời ượđ ccâuhỏiTạisao?ởtrên

Bàitậpvậndụng:

1.Choa,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãna3+b3+c3=3.Chứngminhbất ẳđ ngthức

13(a+b+c)+2(

a

1 1+ +)≥15

b c

a