Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn toán tập 1

Với sự đam mê mãnh liệt và nguồn cảm hứng vô tận từ việc được đóng góp một phần vào con đường chinh phục cánh cổng đại học của các em, chúng tôi tin tưởng chắc chắn rằng cuốn sách này sẽ

LOVEBOOK.VN

Lời chúc & kí tặng

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook Bất kể cuốn sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đặng Thùy Trâm

Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa!

Lương Văn Thùy

LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ

đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp

Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty

CHINH PHỤC

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

MÔN TOÁN TẬP 1

Sách dành cho:

 Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA

 Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông

 Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán

 Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng

tạo và độc đáo

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896;

Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011

Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc – Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: ĐẶNG PHƯƠNG ANH

Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP

Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG

Sửa bản in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN

Đối tác liên kết xuất bản:

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP

Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội

SÁCH LIÊN KẾT

CHINH PHỤC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TẬP 1

Mã số: 1L – 173 ĐH2015

In 2000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm tại Nhà máy In Bộ Tổng Tham Mưu – Bộ Quốc Phòng

Địa chỉ: Km13 Ngọc Hồi, Thanh Trì, Hà Nội

Số xuất bản: 999 – 2015/CXB,IPH/03- 124/ĐHQGHN, ngày 31/08/2015

Quyết định xuất bản số: LK-TN/ QĐ – NXBĐHQGHN, ngày 31/08/2015

In xong và nộp lưu chuyển quý III năm 2015

I- GIỚI THIỆU CHUNG

II- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

TRẦN TRÍ KIÊN – LÊ TẤN Ý – NGUYỄN VĂN QUỲNH - MAI VĂN CHINH – LƯƠNG VĂN THIỆN – DOÃN

TRUNG SAN- TRẦN VĂN THUẬN

TRẦN HƯNG - BÙI VĂN CƯỜNG NGUYỄN TRỌNG NAM - KHA VĂN LỢI

LÊ ANH TUẤN – TRẦN DUY QUÂN

F1

(T1/2014)

F2

(T9/2015)

Để chuẩn bị cho các kì thi quốc gia (tốt nghiệp, tuyển sinh đại học,…) do bộ GD & ĐT tổ chức, tiếp nối chuỗi sách luyện đề “Tuyển tập 90 đề thi thử kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán”, chúng tôi xin giới thiệu bạn đọc cuốn tập 1 “Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán tập 1” do đội ngũ tác giả đến từ LOVEBOOK

Nội dung sách bám sát các kỹ năng, kiến thức đòi hỏi cần có để phục vụ cho kỳ thi THPT quốc gia Ở tập 1 này, chúng tôi cung cấp 25 đề thi thử được biên soạn theo cấu trúc mới nhất (năm 2015) của Bộ Không chỉ dừng lại ở việc cung cấp lời giải chi tiết cho mỗi bài toán, chúng tôi còn đưa ra những phân tích, bình luận về lời giải Giúp các e học sinh có thể trả lời được những câu hỏi như “tại sao lại biến đổi như thế? Tại sao lại chọn A? Bài này có thể áp dụng cho những dạng bài nào khác? Mấu chốt của bài toán ở đây là gì? Kỹ thuật phán đoán hướng giải là gì? Tất cả những kinh nghiệm, những kiến thức chúng tôi đều trải lòng hết lên từng lời giải Các bạn không chỉ đọc nội dung mà thậm chí các bạn còn

có thể cảm nhận được nỗi lòng, niềm đam mê của chúng tôi truyền lại trên từng trang của sách

Ngoài việc biên soạn 25 đề thi thử theo cấu trúc mới nhất của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, chúng tôi còn

bổ sung thêm 24 chuyên đề (bao phủ hết chương trình ôn thi đại học) Những chuyên đề được xuất hiện trong cuốn sách này đề là những chuyên đề được chọn lọc rất kĩ càng Với 24 chuyên đề kèm lời giải chi tiết này chúng tôi kì vọng rằng sẽ giúp các em củng cổ phần nào thêm nữa kiến thức và kỹ năng Với sự đam mê mãnh liệt và nguồn cảm hứng vô tận từ việc được đóng góp một phần vào con đường chinh phục cánh cổng đại học của các em, chúng tôi tin tưởng chắc chắn rằng cuốn sách này sẽ đem lại hững điều bổ ích cho bạn đọc, nhất là một sự đam mê Toán như chúng tôi trải qua

Do đây là lần đầu tiên biên soạn sách Toán nên mặc dù đã cố gắng nhưng cuốn sách này chắc chắn không thể tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong nhận được những đóng góp chân tình của các quý thầy cô và các bạn học sinh xa gần để cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau

Thư từ góp ý xin gửi về:

Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ

o Hòm thư điện tử tổ trưởng tổ Sinh học Vedu: gopy.lovebook.vn@gmail.vn

o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/

Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!

Theo thầy Phạm Vĩnh Phúc [Nguyên chuyên viên cao cấp của bộ giáo dục và đào tạo, cán bộ chỉ đạo

môn Toán]: “Các em phân tích hệ thống đề đại học các năm rất hệ thống và chi tiết Những dự đoán được xây dựng trên nền tảng phân tích dữ liệu các năm trước và xu hướng ra đề mới sẽ giúp cho học sinh ôn tập có trọng tâm hơn”

Theo thầy Đinh Văn Khâm [Giáo viên chuyên Toán – Hiệu trưởng THPT chuyên Lương Văn Tụy –

Ninh Bình]:”Cuốn toán 3 tổng hợp rất nhiều tinh túy trong tư duy giải toán phổ thông, nhất là mảng ôn thi đại học Phần dự đoán là điểm khác biệt và ấn tượng nhất của sách Không chỉ đơn thuần đưa ra những dự đoán về các câu cụ thể trong đề, đội ngũ tác giả còn phân tích rất chi tiết và hệ thống các chủ

đề, giúp cho các em học sinh có cái nhìn chính xác và bao quát nhất về nội dung thi đại học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo”

Theo thầy Nguyễn Minh Tuấn - GV THPT Hùng Vương - Phú Thọ [tác giả của hơn 20 đầu sách ôn thi

đại học nổi tiếng và nhiều tài liệu chỉa sẻ trên mạng): “Đây thực sự là một cuốn sách ôn thi đại học chất nhất, công phu và tâm huyết nhất mà thầy từng biết tới Một học sinh ôn thi đại học mà không sở hữu cuốn này thì sẽ thiệt thòi rất nhiều so với các bạn”

Theo em Lê Nhất Duy [THPT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp]: “Đây là lần đầu tiên em được đọc một cuốn sách tâm huyết như thếnày Từng lời bình của anh chị LOVEBOOK rất chất và gần gũi nữa Kể từ khi cầm trên tay cuốn sách này, em đã cảm thấy tự tin và yêu môn toán hơn nhiều”

Theo cô Lê Thị Bình [Thạc sĩ Toán - Hóa] - giảng viên khoa Toán Tin ứng dụng- ĐH Kiến Trúc Hà Nội:

"Một cuốn sách đẳng cấp và thiết thực nhất tôi từng biết Không chỉ dừng lại ở những lời giải kho khan

mà cuốn sách còn cho ta những lối tư duy, những kinh nghiệm sương máu mà họ trải qua"

Theo Nguyễn Văn Tiến [cựu học sinh Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, tân sinh viên Y Hà Nội 29/30]: “Lovebook luôn biết cách tạo ra những ấn phẩm thật hữu ích cho các em học sinh, đặc biệt cuốn Toán Năm vừa rồi mình chỉ tiếc là chưa có cuốn Toán, nếu có thì chắc kết quả của mình sẽ trọn vẹn hơn Tuy nhiên với

2 cuốn Hóa năm ngoái cũng đủ khiến mình đạt được ước mơ vào đại học Y Hà Nội"

Theo em Nguyễn Văn Trường [cựu học sinh Diễn Châu 4, Nghệ An - Tân sinh viên Đại Học Bách Khoa

HN]: “Cuốn sách 90 đềToán giúp em rất nhiều trong việc tự học ở nhà Ở quê nghèo như em, việc đi học thêm hoặc học online quả là một vấn đề rất nan giải Nếu không có những cuốn sách có hướng dẫn

tư duy như của LOVEBOOK thì thật khó khăn Đọc sách anh chị viết mà có cảm giác như đang được người thầy trực tiếp giảng dạy cho”

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

1 Hướng dẫn cách luyện đề

Các đề trong cuốn sách này có số lượng câu dễ ở mức vừa phải, không quá nhiều câu dễ (30 câu) giống như đề thi THPT Quốc gia năm nay Vì chúng ta chưa biết các năm tới sự phân bố câu dễ, khó trên một đề thi thay đổi như thế nào

Khi bắt đầu luyện, hãy để cho tâm lí thoải mái nhất có thể !

Hãy nhớ, bạn đang bắt đầu luyện đề, do đó, đừng trông chờ vào việc mình phải làm đúng nhiều

câu và trong đúng thời gian quy định trong những đề đầu tiên

Làm những đề đầu tiên, hãy để thời gian làm thật thoải mái, không nhất thiết là 90 phút mà 120 phút hoặc 150 phút cũng được Nghĩ thật kĩ, nghĩ lâu cũng được, đến khi không làm được nữa thì thôi Sau đó, đọ đáp án và ghi điểm vào bảng kết quả

Nếu điểm tốt, chúc mừng bạn, hãy phát huy và làm các đề tiếp theo, chú ý đến tốc độ làm bài, tăng tốc độ lên!

Nếu điểm xấu hoặc điểm không như mong muốn thì cũng chúc mừng bạn! Vì bạn thuộc 90% đại

đa số học sinh khi bắt đầu luyện đề Đừng nản, vì điều đó là quá bình thường Hãy nhìn lại các câu mà mình làm sai, và phải biết được vì sao mình sai Ghi chú lại, rút kinh nghiệm dần dần

Quan trọng nhất khi luyện đề: kiên trì, chăm chỉ !!!

2 Đọc lời giải có câu không hiểu, bạn nên làm gì?

Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!

- Hỏi bạn bè cùng lớp Học thầy không tày học bạn

- Hỏi thầy cô giáo trên lớp

- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng

- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách

của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/

3 Ghi chú, đánh dấu

Trong quá trình luyện đề, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những câu mà bạn còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những câu mà bạn thấy quan trọng Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ những phần mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính thức

4 Kết hợp với bộ sách chuyên đề

Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ chuyên

đề Để làm gì ? Khi làm đề, gặp phải những bài toán, những dạng toán và những kiến thức lý thuyết mà bạn chưa nắm vững, bộ chuyên đề là cuốn cẩm nang dành cho bạn ôn lại những kiến thức đó

Đề số 1 13

Đề số 2 24

Đề số 3 34

Đề số 4 47

Đề số 5 58

Đề số 6 70

Đề số 7 78

Đề số 8 88

Đề số 9 98

Đề số 10 107

Đề số 11 117

Đề số 12 129

Đề số 13 140

Đề số 14 150

Đề số 15 161

Đề số 16 170

Đề số 17 182

Đề số 18 192

Đề số 19 202

Đề số 20 212

Đề số 21 224

Đề số 22 232

Đề số 23 240

Đề số 24 249

Đề số 25 257

PHẦN II: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC 256

1 – Phương pháp thế trong giải hệ phương trình 256

2 – Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình 270

3 – Giải một số phương trình vô tỉ có dạng đặc biệt 274

4 – Phương pháp nhân liên hợp trong giải phương trình, bất phương trình vô tỷ 278

5 – Tư duy đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình 283

6 – Phương pháp hằng đẳng thức trong giải hệ phương trình 287

7 – Một số chú ý khi giải hệ phương trình 292

8 – Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việt 299

9 – Giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính Casio 305

10 – Một vài điểm cần chú ý khi giải phương trình lượng giác 318

11 – Một số dạng toán thường gặp về số phức 324

12 – Một số loại toán tổ hợp thường gặp trong kì thi tuyển sinh đại học 328

13 – Suy nghĩ không cũ về một dạng toán không mới 331

15 – Phương pháp đổi biến trong bài toán chứng minh bất đẳng thức 337

16 – Một số bài toán xác định các yếu tố trong tam giác 341

17– Chuyển bất phương trình về giải phương trình 345

18 – Yếu tố bất biến trong giải hệ phương trình 349

19 – Tính khoảng cách trong không gian (Tổng quát) 380

20 – Phương pháp véctơ 396

21– Thêm một phương pháp tìm tập hợp điểm 406

22 – Bất đẳng thức trong đề đại học 422

23- Phương trình, hệ phương trình vô tỷ và một số lối tư duy, phương pháp giải toán cổ điển 435

24- Phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá 447

PHẦN I ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

Câu 2 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt:

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân: I =  

x 5 x 2

a) Giải phương trình: 2sinxsin2x 11cosx cot x 2

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có C(3; 2; 3), đường cao qua

A và đường phân giác trong góc B của tam giác ABC lần lượt có phương trình là d :1 x 2 y 3 z 3

 Lập phương trình đường thẳng BC và tính diện tích của tam giác ABC

Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình: 1 x x ln x 1 1

LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN Câu 1

Đồ thị (C) của hàm số cắt trục tung tại điểm (0; –1), cắt

trục hoành tại điểm 1;0

Với bài này, muốn cô lập m một cách nhanh chóng thì ta chia hai vế cho  3 x 1   Thế nhưng trước khi chia thì ta phải xét trường hợp x = 2 (để đảm bảo  3 x 1    0) Khi ta thử x = 2 vào vế trái thì thấy rằng vế trái cũng bằng 0  chắc chắn vế trái có thể phân tích được nhân tử (x – 2)  nhân tử (x – 2) có thể chia được cho  3 x 1   (vì cả hai đều có nghiệm bằng x = 2) Thật vậy:

y

2

Như vậy chuyển vế ta sẽ thu được hai nhân tử là  3 x 1   và:  3 x  1 x  1 x 3 x    m 3Cái khó còn lại là đi xử lí nhân tử thứ hai:

5

1

Câu 3

a) Đây là một bài toán hoàn toàn cơ bản, chỉ yêu cầu bạn nắm được cách giải phương trình bậc 2 trong tập

số phức là được Nhưng lời khuyên cho các bạn là khi tìm được nghiệm của phương trình rồi thì chẳng dại

gì lại trình bày theo các bước giải phương trình mình đã làm trong nháp vào giấy thi cả! Hãy dùng cách phân tích nhân tử để trong bài làm, ta chỉ cần dùng các dấu tương đương chứ không cần viết câu chữ gì nhiều nhé Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

Định hướng: Nhận thấy tích phân có chứa cả hàm vô tỉ, hữu tỉ và cả hàm mũ (các hàm khác tính chất) nên

ta nghĩ đến phương pháp tích phân từng phần, hoặc tác dạng I = b b

a a

g’(x)f(x)

g(x)



  để làm dễ dàng hơn Nhưng với bài toán thì cách dùng tích phân từng phần gần như… vô hiệu Vậy nên ta suy nghĩ đến hướng thứ hai là tách I thành dạng như trên Một điều gợi ý cho chúng ta thực hiện theo phương án thứ hai nữa đó là tử số

có phần giống với mẫu số (phải nói là rất giống), nên việc rút gọn bớt đi là điều đương nhiên:

g(x) thì nhiều lúc ta nhân phải cùng chia cả tử cả mẫu cho một lượng nào đó (và thường thì lượng này là lượng tương đồng, hoặc là nhân tử ở mẫu số hoặc tử số), hoặc có lúc là cả tử và mẫu với một lượng nào đó

để xuất hiện được dạng đó Thử xem nhé!

Với “cục diện” như thế này thì ta sẽ có hai hướng:

+ Hướng 1: Chia hai vế cho ex ta được:

Đồng thời bài ra còn cho thêm khoảng cách giữa một đỉnh đến mặt phẳng đối diện và cho thêm cả thể tích khối tứ diện  dễ dàng tính được diện tích mặt đáy là ACD  tính được độ dài CD (do ACD đã biết độ dài 2 cạnh) BCD hoàn toàn xác định các thông số về 3 cạnh  tính được BM (là đường cao BCD) Ngoài

ra nhận thấy có khoảng cách từ B đến (ACD) nên sin (ACD) (BCD) ,  = d B (ACD) 

BM ,  từ đó xác định được

góc giữa hai mặt phẳng  (ACD) (BCD) , 

 cosCAD = ± 1 sin CAD 2 = ±2

3 Gọi M là trung điểm của CD thì do ACD cân tại A và cân tại B

nên BM  CD và AM  CD  (ABM)  (ACD) Gọi H là hình chiếu

của B lên (ACD) thì ta có H thuộc đường thẳng AM, đồng thời độ

dài BH = d(B, (ACD)) = 3 Ta có góc giữa mặt phẳng (BCD) và

cosCAD = 2

3

 Tương tự ta tính được CD = 2 15 > BC + BD, không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 

loại

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) là 450

Lưu ý: Có thể xảy ra hai trường hợp về vị trí điểm H như 2 hình vẽ trên, nhưng dù thế nào đi nữa thì góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) vẫn bằng 450

Câu 6

a) Định hướng: Khi đánh giá qua phương trình này thì ta thấy rằng nó cũng không phức tạp quá, chỉ chứa hàm sin, cos và cot ở dạng “thuần” (đơn giản) “Nhẩm” trong đầu nhân tử thì thấy cotx = cos x

sin x ; sin2x = 2sinxcosx thì thấy ngay cả tử và mẫu đều xuất hiện nhân tử là cosx

Tiếp tục “nháp” thêm tí sau khi rút gọn cosx ở tử và mẫu thì được:  





12sin x.2sin x 11

sin x 2

1 3.2sinxsin x

sin

Phương trình đã cho tương đương với:

cosx2sin x.2sin xcosx 11cosx

sin x 2cosx 3.2sinxcosx

sin x 2

1 3.2sinxsin x

2sinx 1 2sinx 3 sinx 1 0  

21

x2x

sẽ giúp ta tìm ra điều này Chú ý trong quá trình làm ta cần xác xét điều kiện để trách hợp khi giải ra nghiệm

có thể nó không thỏa mãn các điều kiện của công thức tổ hợp Sau đó thay vào và bắt đầu xét theo đúng yêu cầu bài

Định hướng: Do tọa độ của A và O đã biết nên phương trình đường thẳng OA là hoàn toàn xác định  dạng của phương trình đường thẳng BC (chỉ chứa một ẩn cần tìm là m) Vậy hoàn toàn có thể xác định được tọa

độ điểm B và C theo một ẩn m, dựa vào hệ phương trình giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng d1(tìm được B); hệ phương trình giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng d2 (xác định được C) Cuối cùng ta khai thác dữ kiện diện tích: S = 1OA BC d O BC  

2  , → Đây sẽ là phương trình có một ẩn duy nhất là m  tìm m  tọa độ B, C

OA // BC  phương trình đường thẳng BC có dạng: 2x + y + m = 0 (với m  0)

+) Tọa độ B là nghiệm của hệ: x y 1 0 x 1 m

Kiểm tra điều kiện ta chỉ lấy nghiệm m = 3  B(–2; 1) và C(1; –5)

Vậy có hai cặp điểm B, C thỏa mãn đề bài như trên

Câu 8

Ta xử lí bài toán này giống như xử lí một bài toán hình học phẳng, về phương pháp thì không có gì mới khi gặp đường cao (tận dụng yếu tố vuông góc) và đường phân giác (tận dụng phương pháp lấy đối xứng) Bài giải:

+) d1, d2 có véctơ chỉ phương lần lượt là u1 = (1; 1; –2) và u2 = (1; –2; 1)

+) Thấy rằng H ∈ d2 A ≡ H  A(1; 2; 5) và ABC vuông tại A

Diện tích tam giác ABC là: S = 1

2 AB.AC = 1.2 2.2 2

2 = 4 (đvdt)

Nhận xét: Bài toán này sẽ là “vượt tầm” thi đại học nếu điểm H tìm được không thuộc đường thẳng d2 Bởi nếu vậy thì sau khi tìm được điểm H, ta sẽ phải đi viết phương trình AB, rồi tìm tọa độ A  dùng công thức diện tích để tính diện tích tam giác thì bài làm trở nên quá dài, không phù hợp với một bài thi đại học (nhất

là ở câu ăn điểm như tọa độ không gian) Vậy nên trong quá trình làm bài, các bạn hãy chú ý đến sự đặc biệt của đề bài, chứ đừng dại gì mà cứ đi theo lối mòn phương pháp mà ta đã sử dụng lâu nay trong khi giải toán Nếu gặp một bài tương tự thế này thì khi tìm được tọa độ H, nếu thấy H ∉ d2 thì khi dùng công thức tính diện tích, ta dùng S = 1

2 AB.CH nhé! Đừng nên dùng công thức S = 1

2 BC.d(A, BC) trong trường hợp này vì làm như vậy sẽ phức tạp tính toán hơn ở chỗ dùng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước!

Câu 9

Định hướng: Đầu tiên, điều kiện x > 0 là không thể thiếu

Nhận thấy phương trình có chứa hàm hữu tỉ và cả hàm logarit (hai hàm khác tính chất) nên ta nghĩ ngay đến phương pháp hàm số ở trong đầu

Định hướng đầu tiên giúp ta phát triển hướng giải cho bài toán: Chúng ta nên dùng hàm số theo kiểu tính đơn điệu hay là nên dùng hàm số theo kiểu hàm g(f(x)) = g(h(x)), với g là hàm đơn điệu?

– Nếu triển khai theo hướng thứ nhất: để việc đạo hàm tránh phức tạp, chúng ta sẽ nên chia hai vế cho x Bởi vì ta lấy đạo hàm của x.ln x 1

6x 12x 1 4

Vậy việc dùng hàm đơn điệu của chúng ta đã “tiêu tan” thi mà đạo hàm không dương hoặc không âm với x

> 0 Nhưng như thế cũng đừng vội nản nhé , khi đạo hàm có nghiệm (và chỉ có một nghiệm “đẹp”) thì ta

có thể vẽ được bảng biến thiên của hàm số, và biết đâu nó sẽ có nghiệm đẹp cho chúng ta nhận xét!

Thật vậy, thử lập bảng biến thiên thì thấy ngay VT(*)  0 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1

2 (chính là nghiệm của đạo hàm luôn!)

– Nếu triển khai theo hướng dùng hàm số Cách này sẽ thường được các bạn “ngại” (nói đúng hơn là “lười”) đạo hàm dùng!

Khi đã gặp phương trình dạng: A x  lnA x      B x

B x

  (với A, B dương) thì ta biến đổi một chút phương trình

sẽ thành: A x ln A x  B x ln B x  , phương trình này có dạng hàm đồng biến là f(t) = t + lnt, là hàm đồng biến trên (0; +)

Vậy khi gặp phương trình này thì ta thấy trong logarit có thể phân tích được thành nhân tử, đồng thời muốn đưa phương trình về được dạng trên thì đầu tiên mình phải chia hai vế cho x đã Sau đó ta thu được phương trình:

2

11

Mặt khác (*) có dạng 12 1

x4x

x )



2 2

Điều kiện x > 0 Chia hai vế của phương trình cho x ta được:

3 2

3 2 2

1 1

1 1 4x

1

2x 1 4x2x

6x 1f’(x)

2 Bài tập củng cố:

Phân tích và hướng dẫn giải :

Dự đoán dấu “=” khi a = b = c = 1 Khi đó P = 2 Như vậy ta có thể thay đổi tìm GTNN thành chứng minh :

P ≥ 2 ⟺ f(a; b; c) = a2b2+ b2c2+ c2a2+ a + b + c − 2(ab + bc + ca) ≥ 0

Rõ ràng biểu thức không chứa phân thức trông về mặt hình thức sẽ đơn giản hơn

Theo phân tích trên ; ta xét hiệu :

f(a; b; c) − f(a; √bc; √bc) = a2(b2+ c2− 2bc) + (b + c − 2√bc) − 2a(b + c − 2√bc)

= (√b − √c)2((√b + √c)2a2+ 1 − 2a) Tương tự các bài trên cần có : (√b + √c)2a2+ 1 − 2a ≥ 4√bca2+ 1 − 2a ≥ 0 ⟺ 4a32+ 1 − 2a ≥ 0

Tuy nhiên bất đẳng thức cuối đúng do theo bất đẳng thức Cauchy cho ba số ta được :

2a32+ 2a32+ 1 ≥ 3√43 a > 2a Như vậy bài toán này luôn có : f(a; b; c) ≥ f(a; √bc; √bc) ; ∀a; b; c > 0 ; abc = 1 Xét :

− 2a = a > 0 Ngoài ra : f(a; √bc; √bc) ≥ 0 ⟺ (3t4+ 2t2)a2− (4t − 1)a + t4− 2t2+ 2t ≥ 0 ; ( do (∗) )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng (d): y = –x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía trục tung sao cho góc AOB nhọn (O là gốc tọa độ)

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Tính môđun của số phức z, biết rằng z3 12i  z và z có phần thực dương

b) Giải phương trình: log2(𝑥 − 2) + 3 log8(3𝑥 − 5) − 2 = 0

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I = π2   

π 3

sin2x cos x 1 2xcos x 1 ln x

dxsin x x ln x

 Viết phương trình (P) chứa đường

thẳng  và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 4

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình: cos2x + sin2x – cosx – (1 – sinx)tanx = 0.1

b) Anh Thùy và chị Hiền cùng chơi Boom Online Vì muốn tăng thêm sức hấp dẫn cho trò chơi cũng như

sự cố gắng của mình, chị Hiền đã nghĩ ra một trò cá cược: nếu ai thắng trước 3 ván thì thắng trận và người thua phải “nạp” cho người thắng 3K Biết rằng số trận chơi tối đa là 5 ván, xác suất mà chị Hiền thắng mỗi trận là 0,4 và không có trận hòa Đồng thời khi có người thắng đúng 3 ván rồi thì trò cá cược dừng lại Tính xác suất mà chị Hiền sẽ lấy được 3K từ vụ thắng cược này?

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh AB = 2a và góc

ABC = 300 Mặt phẳng (C’AB) tạo với mặt đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ theo a

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên đoạn CD sao cho CN = 2DN Biết đường thẳng AN có phương trình: 2x – y – 3 = 0

x 4x 9x 6

12