Đang tải... (xem toàn văn)
Thiết kế bộ lọc FIR I Thiết kế một bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ tức là chọn loại cửa sổ và chiều dài của bộ lọc thế nào để các đặc tả của bộ lọc được thỏa mãn I Loại bộ lọc được ch[r]
(1)Digital Signal Processing Chapter 6: FIR Digital Filter Design Lưu Mạnh Hà University of Engineering and Technology Vietnam National University Hanoi (2) DSP FIR Filter Design Giới thiệu I Chương trình bày số phương pháp thiết kế các lọc số thuộc họ IIR dựa trên các lọc tương tự, thừa hưởng nhiều kiến thức và phương pháp thiết kế các lọc tương tự đã nghiên cứu nhiều nửa đầu kỷ 20 I Tuy nhiên, họ hệ thống IIR có độ trễ pha phi tuyến theo tần số I Có áp dụng đòi hỏi đáp ứng tần số hệ thống có độ méo pha tối thiểu (minimum phase), thường gặp các hệ thống truyền dẫn liệu Không thế, số hệ thống còn đòi hỏi độ méo pha tuyến tính (linear phase) I Dễ dàng thiết kế lọc FIR có pha tuyến tính Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế H(z) = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bn z −N I Thiết kế thực cách trực tiếp miền rời rạc, tức là xác định trực tiếp các hệ số b0 , b1 , , bN , dựa trên các đặc tả thông số thiết kế / 78 (3) I Chương này trình bày ba phương pháp sử dụng đại trà thực tế: phương pháp cửa sổ phương pháp lấy mẫu trên miền tần số phương pháp Parks–McClellan DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế / 78 (4) Content Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan (5) DSP FIR Filter Design Bộ lọc lý tưởng I Xét lọc FIR lý tưởng có đáp ứng tần số Hid (ejω ) tuần — 2012/7/5 — 4:45 — nghĩa page x — #1 hoàn “./figures/FIR_0” với chu kỳ 2π và định khoảng [−π, π]: Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Hid ( e jω ) Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải −π −ω c ωc π ( 1, |ω| ≤ ωc jω Hid (e ) = 0, ωc < |ω| ≤ π ω Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc I Khai triển chuỗi Fourier Hid (ejω ) Hid (ejω ) = ∞ X Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế hid (n)e−jnω , n=−∞ đó đáp ứng xung lọc lý tưởng là hid (n) = 2π Z π Hid (ejω )ejnω dω = −π với νc = ωc /2π và sinc(x) = 2π Z ωc ejnω dω = 2νc sinc(2nνc ), −ωc sin(πx) πx / 78 (6) DSP FIR Filter Design I Hàm truyền Hid (z) lọc có dạng ∞ X Hid (z) = Phương pháp cửa sổ hid (n)z −n Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ n=−∞ Thiết kế Rõ ràng, Hid (z) không nhân và có đáp ứng xung vô hạn, vì không thể thực lọc này mặt điện tử I hid (n) suy giảm theo n và n vượt qua mức M nào đó, hid (n) có thể xem không đáng kể mặt vật lý Ta xấp xỉ Hid (z) H(z) Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế H(z) = M X hid (n)z −n ≈ Hid (z) (1) n=−M I Ta có đáp ứng xung tương ứng, h(n), là hữu hạn: ( hid (n), |n| ≤ M, h(n) = 0, |n| > M / 78 (7) I Do hid (n) là hàm chẵn nên h(n) là hàm chẵn, từ đó ta có biểu diễn đáp ứng tần số H(z) DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng “./figures/FIR_1” — 2012/7/5 — 4:46 — page xii — jω H(e ) = M X h(n)e Thiết kế Thiết kế lọc thông cao n=−M = h0 + M X Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số h(n)(e−jnω + ejnω ) n=1 = h0 + Phương pháp thiết kế cửa sổ H ( e jω ) −jnω M X −π −ω c ωc π ω Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế h(n) cos(nω) Hiện tượng Gibbs n=1 Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế Đáp ứng tần số H(ejω ) là hàm thực, có giá trị lúc dương lúc âm Đáp ứng pha tần số ∠H(ejω ) = π (bằng lúc đáp ứng tần số là dương π lúc đáp ứng là âm) / 78 (8) I H(z) cho biểu thức (1) là không nhân quả, dễ dàng biến nó thành nhân cách làm trễ M bước: DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Hnq (z) = z −M H(z) = 2M X hnq (n)z −n Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao n=0 Thiết kế lọc thông dải hnq (n) = h(n − M ) = h n − N Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Do đó Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax |Hnq (ejω )| = |H(ejω )| ∠Hnq (ejω ) = ∠H(ejω ) − Phương pháp thiết kế N ω Nếu không quan tâm đến dải tần mà pha H(ejω ) có giá trị âm thì mặt thực tiễn có thể thấy pha Hnq (ejω ) là tuyến tính I Ta trực tiếp dùng dạng (1) H(ejω ) để thiết kế lọc FIR mà không thiết phải quan tâm đến tính chất không nhân nó / 78 (9) Content Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan (10) DSP FIR Filter Design Phương pháp thiết kế cửa sổ I Phương pháp thiết kế lọc FIR: xấp xỉ đáp ứng xung vô hạn hid (n) lọc lý tưởng Hid (ejω ) cách loại bỏ các hid (n) lúc |n| > M để đáp ứng xung hữu hạn h(n) I Hiện tượng Gibbs xuất vì h(M ) 6= lúc n = M và h(n) = lúc n > M , có nghĩa là h(n) bị liên tục M I Để giảm thiểu ảnh hưởng phương pháp xấp xỉ này ta có thể điều chỉnh hid (n) các trọng số w(n) để có Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax h(n) = w(n)hid (n) (2) Phương pháp thiết kế Trong miền tần số, phương trình (2) tương đương với H(e ) = 2π jω Z π Hid (ejθ )W (ej(ω−θ) )dθ (3) −π 10 / 78 (11) I Chọn w(n) nào để đáp ứng các tiêu chí thiết kế tối ưu tương ứng gọi là phương pháp cửa sổ, và w(n) gọi là cửa sổ thiết kế I Những tiêu chí thường gặp như: dải triệt phải có độ suy giảm cao nhất; dải thông có độ gợn sóng thấp nhất; vận tốc suy giảm dải chuyển tiếp là lớn Phần trình bày rõ các loại cửa sổ và tác động chúng DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 11 / 78 (12) DSP FIR Filter Design Cửa sổ chữ nhật I Hàm cửa sổ chữ nhật, — ký 2012/7/5 hiệu là rect(t): “./figures/FIR_2” — 4:46 — page xiv — #1 rect( t) Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao ( t −0, 0, rect(t) = 1, |t| ≤ 0, |t| > 2 Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế I Phương pháp xấp xỉ vừa trình bày trên tương ứng với sử dụng cửa sổ chữ nhật wcn (n): — 4:46 — page xiv — #1 “./figures/FIR_3” — 2012/7/5 Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế wcn ( n) n −M wcn (n) = rect n 2M M 12 / 78 (13) DSP FIR Filter Design I Đáp ứng tần số cửa sổ wcn (n): Wcn (ejω ) = sin(Lω/2) , sin(ω/2) Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao đó L = 2M + là chiều dài wcn (n) tương ứng với Thiết kế lọc thông dải “./figures/FIR_4” — 2012/7/5 — 4:46 — page xiv — #1 chiều dài lọc xấp xỉ L=7 L = 15 L = 21 20 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế | H ( e jω )| Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 10 −0.4 −0.2 0.2 0.4 ν 13 / 78 (14) I Một số tính chất Wcn (ejω ) (theo đơn vị dB) “./figures/FIR_5” — L=7 L = 15 L = 21 Bề rộng búp chính là 2/M ; Cắt trục hoành 2M điểm cách 1/L; H ( e jω ) (dB) Có M điểm cực đại; DSP FIR Filterxiv Design 2012/7/5 — 4:46 — page — # Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ −20 Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải −40 −60 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ν jω Diện tích Wcn (e ) là và đạt trị cực đại L gốc; Tại tần số số ν = ±0, (tức là ω = ±π), Wcn (ejω ) có trị lúc M chẵn và −1 lúc M lẻ; Lúc M tăng thì trị cực đại tăng và bề rộng búp chính giảm Tỷ lệ trị cực đại búp chính và búp phụ biến động (lúc M nhỏ) và 4, 71 (tức là 13, dB lúc M lớn) Lúc M tiến vô cực thì Wcn (ejω ) tiến xung Dirac đơn vị Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 14 / 78 (15) DSP FIR Filter Design Cửa sổ tam giác I Hàm tam giác, ký hiệu—là2012/7/5 tri(t): — “./figures/FIR_6” Phương pháp cửa sổ 4:47 — page xv — #1 Bộ lọc lý tưởng tri( t) Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế t −1 ( − |t|, |t| ≤ tri(t) = 0, |t| > Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan I Trong miền rời rạc, ta có cửa sổ tam giác wtg (n) (cửa sổ Barlett): “./figures/FIR_7” — 2012/7/5 — 4:47 — page xv — #1 Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế wtg ( n) n −2M − 2M + wtg (n) = tri n 2M + Lưu ý: wtg (n) = n n rect ∗ rect 2M + 2M 2M 15 / 78 (16) DSP FIR Filter Design I Đáp ứng tần số wcn (n): Wtg (ejω ) = L sin(Lω/2) sin(ω/2) 2 Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa “./figures/FIR_8” — 2012/7/5 — 4:47 — page xvi — sổ#1 Thiết kế L = 15 L = 21 L = 31 | H ( e jω )| 15 10 Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế −0.4 −0.2 0.2 0.4 ν 16 / 78 (17) “./figures/FIR_9” — 2012/7/5 — 4:47 — page xvi — #1 | H ( e jω )| (dB) DSP FIR Filter Design L = 15 L = 21 L = 31 −20 Phương pháp cửa sổ −40 Bộ lọc lý tưởng −60 Thiết kế Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải −80 −100 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số 0.1 0.2 ν 0.4 0.5 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 17 / 78 (18) So sánh cửa sổ chữ nhật và cửa sổ tam giác DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ I Đáp ứng tần số của sổ chữ nhật và cửa sổ tam giác với Bộ lọc lý tưởng — 2012/7/5 — 4:47 — page xvi —kế cửa#1 Phương pháp thiết L = 21 (tức là M“./figures/FIR_10” = 10) sổ | H ( e jω )| (dB) Thiết kế Chữ nhật Tam giác Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số −20 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax −40 Phương pháp thiết kế −60 0.1 0.2 0.4 0.5 ν 18 / 78 (19) DSP I Đáp ứng tần số các lọc FIR tương ứng, với tần số cắt FIR Filter Design “./figures/FIR_11” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvi — #1 νc = 0, 25: Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ | H ( e jω )| (dB) Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải −20 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan −40 Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Chữ nhật Tam giác −60 0.1 Phương pháp thiết kế 0.2 0.4 0.5 ν I Cửa sổ chữ nhật gây gợn sóng có tác động quan trọng đáp ứng tần số Cửa sổ tam giác đã làm trơn các gợn sóng này Cửa sổ tam giác cho ta kết tốt 19 / 78 (20) Thông số thiết kế “./figures/FIR_12” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvii — #1 DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ | H ( e jω )| (dB) Bộ lọc lý tưởng Các thông số thường chọn lựa lúc thiết kế: ν3 , ν6 , νs và νm tương ứng với dải thông dB, dB, dải thông búp phụ và nửa dải thông búp chính −20 −40 −60 −80 ν3 ν6 0.2 νs 0.4 νm 0.6 0.8 ν Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I Các cửa sổ có tính đối xứng nên đáp ứng biên độ tần số cửa sổ chiều dài hữu hạn luôn cho xuất búp chính (main lobe) và các búp phụ (side lobe) suy giảm theo tần số; I Các búp phụ suy giảm và vận tốc suy giảm thường biểu diễn theo dB/octave dB/decade 20 / 78 (21) Lựa chọn sổ DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 21 / 78 (22) “./figures/FIR_13” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvii“./figures/FIR_14” — #1 — 2012/7/5 — 4:48 — page xvii — #1 Chữ nhật Tam giác Cosine Hanning −20 | H ( e jω )| (dB) | H ( e jω )| (dB) −20 −40 −60 DSP FIR Filter Design Chữ nhật Hamming Blackman Kaiser Phương pháp cửa sổ −40 Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ −60 Thiết kế −80 Thiết kế lọc thông cao −80 Thiết kế lọc thông dải −100 0.1 0.2 ν 0.4 0.5 −100 0.1 0.2 0.4 0.5 ν Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan I Thiết kế tối ưu: búp chính hẹp (hoặc dải chuyển tiếp nhỏ) và mức suy giảm búp phụ nhỏ I Cửa sổ Hanning cho ta độ suy giảm mạnh tần số cao đồng thời có búp sóng chính rộng I Cửa sổ Hamming nhằm tối thiểu hóa các búp phụ lại làm độ suy giảm tần số cao chậm I Cửa sổ Kaiser chứa thông số β nhằm kiểm soát độ suy giảm búp phụ Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 22 / 78 (23) Dạng tổng quát đáp ứng biên độ DSP FIR Filter Design “./figures/FIR_15” — 2012/7/5 — 4:48 — page xviii — #1 Phương pháp cửa sổ | H ( j ω )| Bộ lọc lý tưởng I [1 − δp , + δp ]: Độ gợn sóng dải thông I ωp (hay νp ): Tần số cắt Dải chuyển tiếp + δp − δp I ωs (hay νs ): Tần số triệt I δs : Trị cực đại độ gợn sóng dải triệt I [ωp , ωs ]: Dải chuyển tiếp Dải thông Dải triệt δs ω ω p ω c ωs Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc π Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế − δp + δp δs As = −20 log ≈ −20 log δs , + δp Ap = −20 log 10Ap /20 − 10Ap /20 + δs = (1 + δp )10−As /20 ≈ 10−As /20 , δp δp = δp 23 / 78 (24) Content Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan (25) Thiết kế lọc FIR I Thiết kế lọc FIR phương pháp cửa sổ tức là chọn loại cửa sổ và chiều dài lọc nào để các đặc tả lọc thỏa mãn I Loại lọc chọn theo độ gợn sóng và chiều dài lọc, phụ thuộc vào tần số cắt và bề rộng dải chuyển tiếp DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 25 / 78 (26) “./figures/FIR_16” — 2012/7/5 — 4:49 — page xix — #1 | H ( j ω )| DSP FIR Filter Design Hid ( e jω ) + δp − δp Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ H ( e jω ) Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải δs −δs ω ω p ω c ωs π Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế ∆ωm W ( e j(ω−θ) ) Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế ω θ I Tích chập Hid (ejω ) và W (ejω ) đã biến Hid (ejω ) từ không liên tục thành H(ejω ) mềm mại I Dải chuyển tiếp phụ thuộc vào bề rộng búp chính (∆ωm ) W (ejω ), ∆ωm tỉ lệ nghịch với chiều dài cửa sổ, L 26 / 78 (27) Tính chất đáp ứng biên độ cửa sổ Gợn sóng dải thông gợn sóng dải triệt (δp = δs ) Độ gợn sóng cực đại dải triệt thường nhỏ đỉnh búp phụ cửa sổ Đỉnh búp phụ, trị cực đại gợn sóng dải thông, độ suy giảm dải thông phụ thuộc ít vào chiều dài L lọc Chọn tần số cắt lý tưởng: νc = (νp + νs )/2 Tần tần số cắt thỏa mãn chiều dài L ngắn thường nhỏ trị số trung bình này Để bảo đảm độ dài L tối thiểu ta có thể tính toán với trị số νc này điều chỉnh các thông số sau đó Chẳng hạn, giảm νc giảm L mà thỏa các đặc tả đặc biệt là các tần số giới hạn dải thông và dải triệt DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 27 / 78 (28) Dải chuyển tiếp (∆ν = νp − νs ) có thể xem bề rộng búp chính đáp ứng tần số cửa sổ Dải chuyển tiếp tỉ lệ nghịch với chiều dài lọc: ∆ν = C L Hằng số tỉ lệ C phụ thuộc vào lọc ta chọn, xác định các phương pháp mô và thực nghiệm, theo bảng sau: DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Bảng: Bảng tra giá trị các cửa sổ thông dụng Cửa sổ Ap (dB) As (dB) δp = δ s C Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Chữ nhật 0,742 21 0,0819 0,60 Hanning 0,055 44 0,0063 3,21 Hamming 0,019 53 0,0022 3,47 Blackman 0,0015 75,3 0,00017 5,71 Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế Đối với lọc Kaiser thì L và thông số β tính qua A > 50, 0, 1102(A − 8, 7), 0,4 β = 0, 5842(A − 21) + 0, 07886(A − 21), 21 ≤ A ≤ 50, 0, A < 21 28 / 78 (29) Thuật toán thiết kế DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Algorithm Thiết kế lọc FIR phương pháp cửa sổ 1: 2: 3: 4: 5: 6: Chuẩn hóa các đặc tả tần số tần số lấy mẫu Fs Xác định các tần số νp và νs lọc số thông thấp và chọn tần số cắt νc lọc số thông thấp: νc = (νp + νs )/2 Chọn cửa sổ để thỏa các đặc tả gợn sóng và suy giảm (Tra bảng) Ước lượng chiều dài L công thức C/(νs − νp ) (Tra bảng) Tính đáp ứng xung lọc thông thấp lý tưởng hid (n) = 2νc sinc(2nνc ), |N | ≤ (L − 1)/2 Tính đáp ứng xung lọc thiết kế h(n) = w(n)hid (n) Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 29 / 78 (30) Ví dụ: Thiết kế lọc FIR thông thấp cửa sổ Hanning DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Ta muốn thiết kế lọc FIR có đặc tả sau: Fp = kHz, Fs = kHz, Ap = dB, As = 40 dB, tần số lấy mẫu Fs = 20 kHz I Đây là lọc số thông thấp có các tần số số đặc trưng sau: Fp = = 0, FS 20 Fs νs = = = 0, FS 20 νp = Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I Với độ suy giảm As = 40 dB, đối chiếu với Bảng ta có thể chọn cửa sổ Hanning mức suy giảm thấp hơn, là 44 dB 30 / 78 (31) DSP FIR Filter Design I Với dải chuyển tiếp ∆ν = νs − νp = 0, − 0, = 0, Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng thì chiều dài lọc vào khoảng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao C 3, 21 L= ≈ ≈ 33 ∆ν 0, Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan I Tần số cắt là Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc νc = 0, 5(νp + νs ) = 0, 15 Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I Do vậy, đáp ứng xung lọc lý tưởng là hid (n) = 2νc sinc(2nνc ) = 0, sinc(0, 3n), 31 / 78 (32) DSP FIR Filter Design −2 | H ( e jω )| (dB) Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ −40 Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải −60 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I 0.1 0.15 0.2 0.5 ν Thiết kế lần thứ nhất: L = 33, νc = 0, 15 Kết quả: lọc vừa thiết kế vượt xa đặc tả thiết kế 32 / 78 (33) I Điều chỉnh thiết kế: giảm chiều dài lọc nhằm giảm giá thành sản xuất I Mục tiêu thử và điều chỉnh là thay đổi νc và L nào để đảm bảo đặc tả là độ gợn sóng dải thông nhỏ dB và độ suy giảm dải triệt phải lớn 40 dB Với phương tiện máy tính đại thì phương pháp thử sai và điều chỉnh thực không thì I Từ νc = 0, 15, ta điều chỉnh L, sau đó điều chỉnh νc Kết quả: chọn νc = 0, 1313 và L = 23 thì các thông số hoàn toàn thỏa mãn DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 33 / 78 (34) “./figures/FIR_18” — 2012/7/5 — 4:49 — page xxiii — #1 DSP FIR Filter Design | H ( e jω )| (dB) −2 Phương pháp cửa sổ −40 Thiết kế lần thứ nhất: L = 33, νc = 0, 15 −60 Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải 0.1 0.15 0.2 0.5 ν — 2012/7/5 — 4:49 — page xxiii — #1 “./figures/FIR_19” −2 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế | H ( e jω )| (dB) Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax −40 Điều chỉnh thiết kế: L = 23, νc = 0, 1313 −60 0.1 0.15 0.2 Phương pháp thiết kế 0.5 ν 34 / 78 (35) Content Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan (36) DSP FIR Filter Design Thiết kế lọc thông cao I hlp (n), Hlp (ejω ): đáp ứng xung và đáp ứng tần số thông thấp I Nếu dịch chuyển Hlp (ejω ) khoảng π thì có đáp ứng tần số thông cao là Hhp (ejω ) Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải “./figures/FIR_22” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxv — #1 | Hlp ( e jω )| Hhp (ejω ) = Hlp (ej(ω−π) ) hhp (n) = (−1)n hlp (n) ν νp νs— 2012/7/5 — 4:50 “./figures/FIR_23” 0, — page xxv — #1 jω | Hhp ( e )| Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế νs νp 0, ν I Vì vậy, để thiết kế lọc thông cao thỏa đặc tả cho trước, ta có thể thiết kế lọc thông thấp tương ứng 36 / 78 (37) DSP FIR Filter Design Ví dụ Thiết kế lọc FIR có đặc tả sau: Fp = kHz, Fs = kHz, Ap = dB, As = 40 dB, tần số lấy mẫu FS = 20 kHz I Từ đặc tả, lọc cần thiết kế là lọc thông cao I Do đó, các thông số đặc tả tần số số là νp = Fs Fp = = 0, 2, νs = = = 0, FS 20 FS 20 ∆ν = νp − νs = 0, − 0, = 0, Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I Với As = 40 dB, ta dùng bảng để chọn cửa sổ Hanning Hamming I chọn cửa sổ Hanning L= 3, 21 C = ≈ 33 ∆ν 0, I chọn cửa sổ Hamming L= 3, 47 ≈ 35 0, 37 / 78 (38) I Có thể thiết kế lọc thông cao hai cách sau I Cách 1: Chọn tần số cắt νc lọc thông thấp DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ νc = 0, 5(νp + νs ) = 0, 15 Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao I Đáp ứng xung lọc thông thấp tương ứng hlp (n) = 2νc sinc(2nνc ) = 0, sinc(0, 3n) I Nếu đáp ứng tần số lọc lý tưởng có biên gốc thì − Hlp (ejω ) là đáp ứng tần số lọc thông cao Do đó đáp ứng xung lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế hhp (n) = δ(n) − hlp (n) = δ(n) − 0, sinc(0, 3n) 38 / 78 (39) I Cách 2: Chọn tần số cắt lọc thông thấp νc = 0, − 0, 5(νp + νs ) = 0, 35 DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ I đáp ứng xung lọc thông thấp lý tưởng là Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải hid (n) = 2νc sinc(2nνc ) = 0, sinc(0, 7n) I đáp ứng xung lọc thông thấp thiết kế là Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế hlp (n) = hid (n)w(n) Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax I Như vậy, đáp ứng xung lọc thông cao thiết kế là Phương pháp thiết kế hhp (n) = (−1)n hlp (n) = (−1)n 0, sinc(0, 7n)w(n) 39 / 78 (40) DSP FIR Filter Design “./figures/FIR_24” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1 Cách Hai cách thiết kế trên cho cùng kết | Hhp ( e jω )| (dB) −2 −40 −80 0.1 0.2 0.5 ν Thông thường người ta hay sử dụng cách thứ hai vì dễ tính toán và bảo đảm chất lượng lọc Cách này thường sử dụng cho lĩnh vực thiết kế dàn lọc “./figures/FIR_25” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1 Cách Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế | Hhp ( e jω )| (dB) −2 −40 −80 0.1 0.2 0.5 ν 40 / 78 (41) DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 41 / 78 (42) Content Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan (43) DSP FIR Filter Design Thiết kế lọc thông dải Bộ lọc thông dải có đặc tả cho trước: ν1 , ν3 , ν3 , ν4 “./figures/FIR_27” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1 | Hbp ( e jω )| Hbp (ejω ) = Hlp (ej(ω+ω0 ) ) ν1 ν2 ν3 ν4 0, ν j(ω−ω0 ) + Hlp (e ) ν2 + ν3 ν1 + ν4 ν0 = = 2 Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế Do đó, lọc thông thấp có “./figures/FIR_26” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1 các đặc tả: | H ( e )| lp jω ν3 + ν4 − ν0 ; ν3 − ν2 νp = ν3 − ν0 = ; ν4 − ν1 νs = ν4 − ν0 = νc = νp νs 0, ν 43 / 78 (44) DSP FIR Filter Design Ví dụ Phương pháp cửa sổ Example Bộ lọc lý tưởng Thiết kế lọc số FIR thỏa các đặc tả: dải thông khoảng đến kHz, dải triệt khoảng F < kHz và F > 10 kHz, Ap = dB, As = 45 dB và FS = 25 kHz Đây là lọc thông dải có các tần số số chuẩn hóa: = 0, 08; ν1 = 25 Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan ν2 = 0, 16; ν3 = 0, 32; ν4 = 0, Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế Suy 0, 16 + 0, 32 = 0, 24; νp = ν3 − ν0 = 0, 32 − 0, 24 = 0, 08; ν0 = νs = ν4 − ν0 = 0, − 0, 24 = 0, 16; ν3 + ν4 0, 32 + 0, νc = − ν0 = = 0, 12 2 44 / 78 (45) Đối chiếu bảng với độ suy giảm As = 45 dB: I lọc thông thấp tương ứng cần chọn thuộc loại Hamming với độ suy giảm dải triệt là 53 dB I độ dài lọc DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế 3, 47 C = 43, 375 ≈ 44 L= = νs − νp 0, 16 − 0, 08 chọn L = 45 “./figures/FIR_28” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxix — #1 Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc −3 Tiêu chí sai số minmax | Hlp ( e jω )| (dB) Phương pháp thiết kế −45 −60 0.08 0.16 0.5 ν 45 / 78 (46) Do cần độ suy giảm dải triệt 45 dB, ta điều chỉnh thiết kế cách giảm chiều dài lọc Kết thử nghiệm: L = 27 và νc = 0, 956 “./figures/FIR_29” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxix — #1 DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ L = 27, ν c = 0, 956 Thiết kế Thiết kế lọc thông cao | Hlp ( e jω )| (dB) −3 Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế −45 Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax −60 Phương pháp thiết kế 0.08 0.16 0.5 ν 46 / 78 (47) Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số I Ý tưởng: Do đáp ứng tần số tuần hoàn với chu kì 2π, ta lấy N mẫu đáp ứng tần số Hid (ejω ) lọc lý tưởng (thông thấp, thông cao, v.v.) chu kì [0; 2π] và áp dụng biến đổi Fourier ngược rời rạc N mẫu này để có chuỗi miền thời gian: h(n) = {h(0), h(1), , h(N − 1)} I Theo lý thuyết, biến đổi Fourier rời rạc chuỗi h(n) là hàm theo ω có chu kì 2π và có giá trị trùng khớp với các mẫu lấy miền tần số I Nếu xem h(n) là đáp ứng xung hệ thống FIR thì biến đổi Fourier nó là đáp ứng tần số H(ejω ) hệ thống DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 47 / 78 (48) DSP FIR Filter Design Ví dụ Thiết kế lọc thông thấp có tần số cắt νc = 0, 25 có chiều dài L = 20 I Lấy mẫu đáp ứng tần số Hid (ejω ) lọc lý tưởng thông thấp L điểm cách trên khoảng [0; 1) củaxxxi ν — #1 “./figures/FIR_31” — 2012/7/5 — 4:51 — page Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Bộ lọc lý tưởng Lấy mẫu miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Bộ lọc thiết kế 1.5 Phương pháp cửa sổ Ý tưởng thiết kế | H ( e jω )| Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.4 1.6 1.8 ω /π ( 1, |Hid (e )| = 0, jω < ω ≤ 2πνc 2π(1 − νc ) ≤ ω < 2π, 2πνc < ω < 2π(1 − νc ) 48 / 78 (49) I Tại điểm bất liên tục νc ta có H(ej2πνc ) = 1, nên có dao động khá mạnh I Độ trễ pha: Khi thiết kế hệ thống nhân quả, ta chấp nhận trễ N = (L − 1)/2, nên độ trễ pha xác định e−jω(L−1)/2 Chu kỳ lấy mẫu ω đến 2π là 2π/N Do đó, độ trễ pha các mẫu H(k) miền tần số là −k(L − 1)/L I Tính đối xứng pha: lọc có giá trị thực miền thời gian, nên đáp ứng biên độ có tính đối xứng và đáp ứng pha có tính phản đối xứng Do đó, pha các mẫu miền tần số từ L/2 trở là pha các mẫu trước đó ngược dấu, tức ta có H(k) = H ∗ (L − k) I Để giảm bớt tác động tượng Gibbs, ta có thể thay biên độ đáp ứng tần số điểm bất liên tục 0, thay vì Lúc đó ta có 1, |Hid (ejω )| = 0, 5, 0, DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế < ω < 2πνc 2π(1 − νc ) < ω < 2π, ω = 2πνc ω = 2π(1 − νc ), 2πνc < ω < 2π(1 − νc ) 49 / 78 (50) “./figures/FIR_32” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxxi — #1 1.5 DSP FIR Filter Design Có điểm bất liên tục Không có điểm bất liên tục Phương pháp cửa sổ | H ( e jω )| Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế 0.5 Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ν Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc I Cần điều chỉnh νc và dải thông νp để có kết thỏa mãn các đặc tả thiết kế Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 50 / 78 (51) DSP FIR Filter Design Ví dụ Thiết kế lọc thông dải lý tưởng có tần số cắt ν1 = 0, 25 và ν2 = 0, 75 I Lấy L mẫu cách H(ejω ) miền tần số trên khoảng [0; 1): “./figures/FIR_33” — 2012/7/5 — 4:51 — page Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao xxxiiThiết—kế bộ#1lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số 0.8 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan | H ( e jω )| Ý tưởng thiết kế 0.6 Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 ν ( jω |H(e )| = 1, 0, 2πν1 ≤ ω ≤ 2πν2 , ω < 2πνc ω > 2πν2 51 / 78 (52) DSP FIR Filter Design I Chọn mẫu điểm bất liên tục: I 1: kết cho dao động tương đối lớn Phương pháp cửa— sổ # “./figures/FIR_34” xxxii I 0.5: giảm thiểu độ dao động — 2012/7/5 — 4:51 — page Bộ lọc lý tưởng 1.5 Phương pháp thiết kế cửa sổ Có điểm bất liên tục Thiết kế Không có điểm bất liên tục Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số | H ( e jω )| Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc 0.5 Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 0.2 0.4 0.6 0.8 ν 52 / 78 (53) Content Phương pháp cửa sổ Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế (54) DSP FIR Filter Design Ý tưởng thiết kế Parks-McClellan I Phương pháp thiết kế FIR cửa sổ mặc dù dễ dàng và tương đối linh hoạt, nó có ràng buộc độ gợn sóng dải thông và dải triệt là I Parks và McClellan đề xuất phương pháp thiết kế có thể sử dụng cho tình mà độ ràng buộc chặt chẽ nhiều, độ gợn sóng các dải tần khác I Phương pháp Parks-McClellan chủ yếu sử dụng phương pháp xấp xỉ Chebyshev để áp đặt các gợn sóng I H(ejω ) có pha tuyến tính mở rộng, nếu: jω jω H(e ) = A(e )e −j(n0 ω+φ) Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế đó A(ejω ) là hàm thực chẵn Khi thiết kế, cần chọn nào để A(ejω ) có giá trị âm không đáng kể thì đáp ứng tần số H(ejω ) có pha tuyến tính Chọn φ nào để hữu ích cho quá trình thiết kế đồng thời có kết thích ứng với thực tiễn (tức là đáp ứng xung phải là số thực) I Chiều dài lọc có thể là chẵn hay lẻ (khác với ràng buộc phải lẻ phương pháp thiết kế cửa sổ) 54 / 78 (55) Content Phương pháp cửa sổ Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế (56) Phân loại lọc I Xét h(n) nhân và hữu hạn, có giá trị từ đến L Hàm truyền FIR có bậc là N = L − Để có thể có pha tuyến tính, h(n) cần có số tính chất đối xứng nào để đáp ứng tần số xuất hai hàm mũ có pha ngược dấu Phân loại các lọc sau: Loại Loại Loại Loại I: h(n) đối xứng, L lẻ; II: h(n) đối xứng, L chẵn; III: h(n) phản đối xứng, L lẻ; IV: h(n) phản đối xứng, L chẵn DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 56 / 78 (57) DSP FIR Filter Design Loại I I Đáp ứng xung h(n) đối xứng và L lẻ: h(n) = h(N − n), Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ n = 0, , N (chẵn) Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải I Đáp ứng tần số H(ejω ) = Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số N X Phương pháp thiết kế Parks-McClellan h(n)e−jωn Ý tưởng thiết kế n=0 Phân loại lọc N/2−1 = X h(n)e−jωn + h n=0 N + N X Tiêu chí sai số minmax h(n)e−jωn Phương pháp thiết kế N/2+1 N/2 N X = exp −jω an cos(ωn) n=0 đó a0 = h N , an = 2h N −n , n = 1, 2, , N 57 / 78 (58) DSP FIR Filter Design I Đặt N/2 A(ejω ) = X an cos(ωn), n=0 A(ejω ) là hàm thực chẵn theo ω và H(ejω ) có dạng mong muốn N H(ejω ) = A(ejω ) exp −jω Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 58 / 78 (59) DSP FIR Filter Design Loại II I Đáp ứng xung h(n) đối xứng, L chẵn: h(n) = h(N − n), Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng n = 0, , N (lẻ) Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao I Đáp ứng tần số biểu diễn dạng (N +1)/2 X N jω H(e ) = bn cos ω n − exp −jω 2 n=1 Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế đó bn = 2h N +1 −n , n = 1, 2, , N +1 59 / 78 (60) DSP FIR Filter Design Loại III I Đáp ứng xung h(n) phản đối xứng, L lẻ: h(n) = −h(N − n), Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng n = 0, 1, , N (chẵn) Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải I Đáp ứng tần số: Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số N/2 H(e ) = X jω N π cn sin(ωn) exp −j(ω − ) 2 n=0 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế đó cn = 2h N −n , n = 1, 2, , N 60 / 78 (61) DSP FIR Filter Design Loại IV I Đáp ứng xung h(n) phản đối xứng, L lẻ: h(n) = −h(N − n), Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng n = 0, 1, , N (lẻ) Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải I Đáp ứng tần số: Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế (N +1)/2 X exp −j(ω N − π ) Parks-McClellan H(ejω ) = dn sin ω n − Ý tưởng thiết kế 2 Phân loại lọc n=1 Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế đó dn = 2h N +1 −n , n = 1, 2, , N +1 61 / 78 (62) Tiêu chí thiết kế I Tùy thuộc ta chọn loại lọc có pha tuyến tính mở rộng I, II, III hay IV đề cập trên đây mà xác định các thông số A(ejω ) và từ đó suy h(n) tương ứng I A(ejω ) bốn loại lọc FIR có pha tuyến tính mở rộng chứa hàm lượng giác theo ω, và chính đặc tính này đã cho phép McClellan sử dụng phương pháp tối ưu hóa sử dụng tiêu chí minmax I Phương pháp này thường gọi là thiết kế lọc FIR có gợn sóng đều, hay thiết kế lọc FIR có pha tuyến tính tối ưu, hay thiết kế lọc FIR sử dụng xấp xỉ Chebyshev DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 62 / 78 (63) I Chẳng hạn, xét trường hợp lọc FIR không nhân (có pha mở rộng triệt tiêu) đã tìm hiểu phương pháp cửa sổ Đáp ứng tần số A(ejω ) là hàm thực chẵn DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ N/2 A(ejω ) = h(0) + X h(n) cos(nω) n=1 Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Bộ lọc này thuộc loại I với pha mở rộng triệt tiêu Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 63 / 78 (64) “./figures/FIR_35” — 2012/7/23 — 20:34 — page 48 — #1 | A ( jω )| DSP FIR Filter Design + δp Phương pháp cửa sổ − δp Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao ω δs ωp ωs π “./figures/FIR_36” — 2012/7/23 — 20:35 — page 48 — #1 A ( jω ) Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan + δp Ý tưởng thiết kế − δp Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế δs −δs ω ωp ωs π 64 / 78 (65) Content Phương pháp cửa sổ Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế (66) DSP FIR Filter Design Tiêu chí sai số minmax I Đa thức Chebyshev bậc k: Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Tk (cos θ) = cos(kθ), Phương pháp thiết kế cửa sổ k > 0, Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải I Đặt ( g(n) = h(n), 2h(n), n=0 n = 1, , N2 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số (4) Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc I Viết lại A(ejω ): Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế A(ejω ) = N/2 N/2 X X n=0 g(n) cos(nω) = g(n)Tn (x)|x=cos(ω) n=0 I Gọi Ad (ejω ) là đáp ứng tần số ta mong muốn, W (ejω ) là hàm trọng số phụ thuộc đặc tả lọc Hàm sai số miền tần số là E(ejω ) = W (ejω ) Ad (ejω ) − A(ejω ) 66 / 78 (67) I Tiêu chí minmax quá trình thiết kế là tìm đáp án g(n) bài toán tối sau đây DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ g ∗ (n) = arg max E(ejω ) Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ g(n) ω∈Sν Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Với x = cos(ω), bài toán trở thành minmax theo đa thức Chebyshev theo x: g ∗ (n) = arg max W (ejω ) Ad (ejω ) − g(n) x∈F N/2 X g(n)Tn (x) Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax n=0 Phương pháp thiết kế (5) đó F là ảnh Sν ánh xạ x = cos(ω) I Định lý xen kẽ: g(n) đạt giá tối ưu g ∗ (n) và hữu M + tần số số tối ưu cục ν0 , ν1 , , νM +1 tập Sν nào để E(νk+1 ) = −E(νk ) và |E(νk )| = δ, với k = 0, , M + 67 / 78 (68) DSP I Ví dụ: Bộ lọc hình có gợn sóng với độ gợn sóng dải FIR Filter Design thông là δp = 0, 06, độ suy giảm dải triệt δs = 0, 04 và Phương pháp cửa sổ bậc lọc là L − = 12 (tức là M = 6) Có bốn tần số Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa tối ưu cục dải thông và bốn tần số tối ưu cục sổ “./figures/FIR_37” —+20:35 dải triệt Như số tần số tối— ưu 2012/7/23 cục là M = 8.— page Thiết kế 50 — #1 Thiết kế lọc thông cao ν3 ν1 | H ( e jω )| ν2 Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số ν4 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc 0.5 Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế ν5 −0.1 ν7 ν6 0.1 0.2 0.3 ν8 0.4 0.5 0.6 ν 68 / 78 (69) I Với Sp và Ss là dải thông và dải triệt, chọn hàm trọng số là ( , ω ∈ Sp , jω W (e ) = δ1p δs , ω ∈ Ss , DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế chuẩn hóa Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải ( W (ejω ) = δs δp , ω ∈ Sp , 1, ω ∈ Ss Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Bảng: Tập hợp các dải tần có đặc tả Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế Loại lọc Sν = Sp ∪ Ss Thông thấp [0, νp ] ∪ [νs , 1/2] Thông cao [0, νs ] ∪ [νp , 1/2] Thông dải [0, νs1 ] ∪ [νp1 , νp2 ] ∪ [νs2 , 1/2] Triệt dải [0, νp1 ] ∪ [νs1 , νs2 ] ∪ [νp2 , 1/2] 69 / 78 (70) DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 70 / 78 (71) Content Phương pháp cửa sổ Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế (72) DSP FIR Filter Design Phương pháp thiết kế Phương pháp cửa sổ Algorithm Thiết kế lọc FIR phương pháp Parks– McClellan 1: Khởi động M + giá trị νk ; 2: Dựa trên các giá trị E(ej2πνk ), điều chỉnh các tần số νk lúc các E(ej2πνk ) thỏa mãn điều kiện xen kẽ định lý, và cho kết tối ưu g ∗ (n) theo (5); 3: Dùng mối quan hệ (4) để suy đáp ứng xung h(n) Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I Dùng lập trình để thiết kế (như MATLAB) I Công thức Kaiser ước lượng chiều dài lọc thông thấp: L=1+ −10 log10 (δp δs ) − 13 , 2, 324∆ω (6) đó ∆ω = 2π(νs − νp ) 72 / 78 (73) I Công thức Herman có ước lượng L sát với thực tiễn (và MATLAB sử dụng): DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng L≈1+ K(δ1 , δ2 , ∆ν), ∆ν (7) Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số K(δ1 , δ2 ,∆ν) = C1 (δ1 ) log(δ2 ) + C2 (δ1 ) + C3 (δ1 , δ2 )(∆ν)2 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan C1 (δ1 ) = (0, 0729 log δ1 ) + 0, 07114 log δ1 − 0, 4761, Ý tưởng thiết kế C2 (δ2 ) = (0, 0518 log δ2 )2 + 0, 59410 log δ2 − 0, 4278, Tiêu chí sai số minmax Phân loại lọc Phương pháp thiết kế C3 (δ3 ) = 11, 01217 + 0, 541244(log δ1 − log δ2 ) I Công thức Herman đưa ước lượng thông thường nhỏ cần thiết, cần phải điều chỉnh thêm số đơn vị Lúc thiết kế ta bắt đầu với L nhỏ xem có thỏa mãn đặc tả không Nếu không thỏa mãn, ta tăng dẫn chiều dài lên I Công thức Herman cho thấy chiều dài lọc tỷ lệ nghịch với dải chuyển tiếp Như vậy, để thỏa mãn các lọc có dải chuyển tiếp hẹp, ta cần sử dụng bậc lọc lớn 73 / 78 (74) DSP FIR Filter Design Ví dụ Thiết kế lọc thông thấp có (i) tần số cắt thông dải là νp = 0, 2, (ii) tần số cắt triệt dải là νs = 0, 3, (iii) độ uốn lượn thông dải là δp = 0, 01, (iv) độ suy giảm dải triệt là δs = 0, 001 Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế “./figures/FIR_38” —27 2012/7/23 — 23:48 — I Áp dụng công thức Thiết page kế lọc thông40 dải Herman suy ra: L = Thiết kế lọc thông cao Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế A ( e jω ) Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ν 74 / 78 (75) DSP FIR Filter Design 1.01 Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải 0.99 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số 0.05 0.1 ν 0.15 0.2 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 75 / 78 (76) ·10−3 DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số −1 0.35 0.4 0.45 0.5 ν I Kết quả: độ gợn sóng và độ suy giảm không thỏa mãn đặc tả thiết kế: δp > 0, 01, δs > 0, 001 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế I Vì thế, cần tăng chiều dài lúc kết thiết kế thỏa mãn điều kiện đặc tả 76 / 78 (77) DSP I Tăng chiều dài lọc thêm (L = 28) FIR Filter Design I Kết quả: thõa mãn các đặc tả “./figures/FIR_41” — 2012/7/24 — 0:05 — p δp < 0, 01, δs < 0, 001 Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng 1.01 Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số Phương pháp thiết kế Parks-McClellan 0.99 Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế ν 77 / 78 (78) ·10−3 DSP FIR Filter Design Phương pháp cửa sổ Bộ lọc lý tưởng Phương pháp thiết kế cửa sổ Thiết kế Thiết kế lọc thông cao Thiết kế lọc thông dải Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số −1 0.35 0.4 ν 0.45 0.5 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan Ý tưởng thiết kế Phân loại lọc Tiêu chí sai số minmax Phương pháp thiết kế 78 / 78 (79)
