Slide Xử lý tín hiệu số

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG1.1.1 TÍN HIỆU − Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất không khí theo thời gian − Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian

BÀI GIẢNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương 1: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

1.1.1 TÍN HIỆU

− Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất không khí

theo thời gian

− Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian và

thời gian

− Tín hiệu điện là sự thay đổi điện áp, dòng điện theo thời gian

a Khái niệm tín hiệu

- Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin

Tín hiệu được biểu diễn một hàm theo một hay nhiều biến số độc lập.

Ví dụ :

b Phân loại tín hiệu

 Theo các tính chất đặc trưng:

- Tín hiệu xác định & tín hiệu ngẫu nhiên

Tín hiệu ngẫu nhiên: không thể dự kiến trước hành vi

- Tín hiệu tuần hoàn & tín hiệu không tuần hoàn

Tín hiệu không tuần hoàn: không thoả tính chất trên

- Tín hiệu nhân quả & không nhân quả

Tín hiệu không nhân quả: không thoả tính chất trên

Tín hiệu xác định: biểu diễn theo một hàm số

Tín hiệu tuần hoàn: x(t)=x(t+T)=x(t+nT)

Tín hiệu nhân quả: x(t)=0 : t<0

- Tín hiệu thực & tín hiệu phức

Tín hiệu thực: hàm theo biến số thực

Tín hiệu phức: hàm theo biến số phức

- Tín hiệu năng lượng & tín hiệu công suất

Tín hiệu năng lượng: 0<E<∞

Tín hiệu công suất: 0<P<∞

- Tín hiệu đối xứng (chẵn) & tín hiệu phản đối xứng (lẻ)

Tín hiệu đối xứng: x(-n)=x(n)

Tín hiệu phản đối xứng: -x(-n)=x(n)

 Theo biến thời gian:

 Tín hiệu liên tục: có biến thời gian liên tục

 Tín hiệu rời rạc: có biến thời gian rời rạc

Tín hiệu rời rạc (lấy mẫu)

Tín hiệu lượng tử hóa

x d (n)

n

0 Ts 2Ts …

9q 8q 7q 6q 5q 4q 3q 2q q

Tín hiệu số

 Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và ra là tương tự

 Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và ra là rời rạc

 Hệ thống số: Tín hiệu vào và ra là tín hiệu số

1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC

1.2.1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC

 Tín hiệu rời rạc được biểu diễn bằng một dãy các giá trị với phần tử thứ n được ký hiệu x(n).

Với T s – chu kỳ lấy mẫu và n – số nguyên

 Dãy số:  - Gốc thời gian n=0

1 2

1

1 , , , )

n ( x

30

:)5.0

()

x

n

1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN

 Dãy xung đơn vị:

0

0

:

1 )

0

0

:

1 )

u

n

: 0 n N - 1

: )

n (

: 0

0

: )

e

n

) sin(

)

0 :

0

0

: )

r

1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HIỆU

, , )

n ( x

4 3 2

3 2 1

1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU

- Năng lượng của dãy được định nghĩa là

2 2

0

2 )

lân n

- Công suất trung bình của dãy x(n) được định nghiã :

-Năng lượng của dãy x(n) trong khoảng hữu hạn –N ≤ n ≤ N được định

nghĩa là :

- Vậy ta có:

Và:

- Dãy năng lượng :Nếu năng lượng của dãy x(n) là hữu hạn ( tức là 0 <

E x < ∞, thì x(n) gọi là dãy năng lượng.

- Dãy công suất :Nếu P x là hữu hạn ( tức là 0 < P x <∞ ), thì x(n) gọi là

dãy công suất.

 

2

1 2

N P

E

xN N

N

P

1 2

Ví dụ : Hãy tính công suất trung bình của dãy u(n) và rect N (n).

-Giải

còn u(n) là dãy công suất.

2

1 1

2

1 lim

1 1

2

1 lim

| ) (

| 1

N

N n N

0 1

2

lim

| ) (

| 1

2

1 lim

M N

TÓM LẠI:

Năng lượng dãy x(n):

Công suất trung bình dãy x(n):

Nếu ∞>E x >0 thì x(n) gọi là tín

hiệu năng lượng

1

)

( )

(

2 10

1 2

1

n N

( u ) n ( y );

n ( rect )

n (

0 1

) N

2 1

( u

1.3 CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN

1.3.1.Hệ thống tuyến tính

a Khái niệm

- Ký hiệu hệ thống

- Kích thích đáp ứng : Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích

thích), dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống với kích thích đang khảo sát.

- Đặc trưng của của hệ thống T : Một hệ thống xử lý số được đặc trưng

bởi một toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào x(n) thành dãy ra

y(n) Chúng ta có thể sử dụng 2 loại kí hệu toán tử sau đây :

Có thể biểu diễn hệ thống này bằng sơ đồ:

Đáp ứng y(n)

Hệ thống

(Bộ trễ n 0 mẫu)

Kích thích x(n)

Đáp ứng y(n)= T[x(n)] = x(n-n 0 )

) 2 ( )

1 (

) 1 (

) ( ) 0 ( )

1 (

) 1 ( )

2 (

) 2 ( )

n x

n x

n x

n x

k x n

)

2 (

5

) 1 (

4 )

( 3 )

1 (

2 )

2 (

1 )

n n





Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

T

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính là đáp ứng khi tín hiệu

vào là dãy xung đơn vị, ký hiệu h k (n)

k x T

n x T n

k x n

T k

) k ( x )

n ( y

h k (n) x(n)

h k (n) đặc trưng hòan tòan cho hệ thống tuyến tính và là hàm

) k ( x )

n ( y

) k ( x )

n ( y

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến

a Định nghĩa

Nếu y(n) là đáp ứng với kích thích x(n), thì hệ thống tuyến tính gọi là bất biến khi y(n-k) là đáp ứng của kích thích x(n-k), ở đây k là số nguyên dương hoặc âm.

Nếu biến số là thời gian, thì ta nói hệ thống bất biến theo thời gian.

Ví dụ :

Hệ thống y(n) = 2x(n) + 3x(n-1)

Có y(n-k) = 2x(n-k) + 3x(n-1-k)

 hệ thống tuyến tính bất biến.

Như vậy, h k (n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính Còn h(n) là đáp

ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ không phụ thuộc vào k, tức là nếu biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến luôn là h(n) Đến đây ta

có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ đặc trưng hoàn toàn cho một hệ

k n x k h n k h

k x n

y ( ) ( ) ( ) ( )

 Nhân các mẫu 2 dãy x(k) & h(n-k) và cộng lại được y(n)

n>0 dịch sang phải

n<0 dịch sang trái

k x

y

k

70

0)  ( ) (  ) 

(

k h

k x

y

k

161

1)  ( ) (  ) 

(

k h

k x

y

k

172

2)  ( ) (  ) 

(

123

k

k h

k x

21

k

k h

k x

01

k

k h

k x

(

*)()

k n x k h k

n h k

x( ) ( ) ( ) ( )

Chứng minh tính chất giao hoán

h k x n

:

:

l k

l k

)(

*)()

(

)(

)()

()(

n x n

h n

y

l n x l h l

h l n

x

l l

k x k n

h k

n h k x n

h n

x n

k h k n

x k

n x k h n

x n

h n h n

(

* ) ( )

(

) (

* ) (

) (

2 1

2 1

1 2

1 2

n h n

h n x

l h k l n h k x

l k n h l h k

x

k n h k n h k x

l k

n h k x n

h n

h n

x( ) * 1( ) 2( ) ( ) 1( ) 2( )

 ( ) * ( )  ( ) * ( )

) (

) ( )

( ) (

2 1

2 1

n h n

x n

h k

x

k n h k x k

n h k

x

k k

Ví dụ

-Cho ba hệ thống tuyến tính bất biến h 1 (n), h 2 (n) và h 3 (n) được

ghép nối theo sơ đồ sau :

- Hãy tính h(n) của hệ tổng quát.

2 n 0

víi 2

1

1

n n

h

) ( )

(

) 6 ( ) 2 (

) 1

( 2

1 ) (

11 3

2

n rect n

h

n u n

u n

n h

15 n

11 víi n - 16

10 n

5 i ví

6

5 n 0 víi 1

n

n

h

1.3.3 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB

1.3.3 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB

) n ( u a )

n ( h

1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TTHSH

1.4.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Với: N – gọi là bậc của phương trình sai phân: N,M>0

a k (n), b r (n) – các hệ số của phương trình sai phân

1.4.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH

Với: a k , b r – không phụ thuộc vào biến số n

) (

) ( )

( )

a Nghiệm của PTSP thuần nhất: y h (n)

Giả thiết n là nghiệm của PTSP thuần nhất:

Phương trình đặc trưng có dạng:

1.4.3 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH

 Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất: y h (n)

 Tìm nghiệm riêng của PTSP: y p (n)

 Nghiệm tổng quát của PTSP: y(n) = y h (n) + y p (n)

1 1

0 N  a N   a N  a N 

a Nghiệm của PTSP thuần nhất (tt)

 Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn 1 ,  2 ,…N

 Phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội r

b Nghiệm riêng của PTSP: y p (n)

 Thường chọn y p (n) có dạng giống với x(n)

n N N

n n

r r

y ( )  ( 0  1    1 1) 1  22    

Ví dụ 1.4.1: Giải PTSP: y(n)- 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) (*)

với n0, biết y(n)=0: n<0 và x(n)=3 n

 Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất y h (n)

y h (n) là nghiệm của phương trình:

y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 0

 Nghiệm tổng quát của PTSP:

y(n) = (A 1 1 n + A 2 2 n )+ 4,5 3 n

Dựa vào điều kiện đầu: y(n)=0: n<0:

Từ: y(n)= 3y(n-1) - 2y(n-2) + x(n) với x(n)=3 n

 Hệ thống không đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung

độ dài hữu hạn – FIR (Finite Impulse Response)

1

: ) (

n x b n

r

r

) (

) ( )

( )

(

0

r n

x r h n

y b

 Hệ thống không đệ qui luôn luôn ổn định do:

 Hệ thống đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài

vô hạn – IIR (Infinite Impulse Response)

M

r

r r

b r

h S

) (

)

(

0 0

r n

x b k

n y

Ví dụ 1.5.1: Xét tính ổn định của hệ thống cho bởi:

y(n) - ay(n-1) = x(n) , biết y(n)=0:n<0

 /a/< 1 -> S=1/(1-/a/): hệ ổn định

 /a/ 1 ->S=∞: hệ không ổn định

) 1 (

) ( )

( )

( )

( )

n y n

0 :

) ( n  a n 

: )

a n

h S

1

)()

(

b Sơ đồ thực hiện hệ thống không đệ qui

+

D

+ +

)

(

0

r n

x b n

) 1 (

Ví dụ 1.5.2: Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi:

c Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ qui

+

D

+ +

1 a

: ) (

) (

)

1 0

y a r

n x b n

k

k

M r

r

D 3

+

Ví dụ 1.5.3: Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi:

y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 4x(n) - 5x(n-2)

y(n) = 4x(n) - 5x(n-2) + 3y(n-1) - 2y(n-2)

1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU

 Tương quan các tín hiệu dùng để so

sánh các tín hiệu với nhau

1.6.1 TƯƠNG QUAN CHÉO 2 TÍN HIỆU

1.6.2 TỰ TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU

 Tương quan chéo 2 dãy năng lượng x(n) & y(n) định nghĩa:

 Tự tương quan của dãy x(n) được định nghĩa:

 Tự tương quan của dãy x(n) nhận giá trị lớn nhất tại n=0

Chương 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z

• Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)

• Ký hiệu:

x(n) X(z) hay X(z) = ZT[x(n)]

X(z) x(n) hay x(n) = ZT -1 [X(z)]

2.1 BIẾN ĐỔI Z

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía

• Biến đổi Z của dãy x(n):

Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):

z ( X

Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z của các tín hiệu có chiều dài hữu hạn sau đây:

) 1 (

) 4 (

3 ) (

) 1 (

3 ) ( )

2 (

2 ) (

n x

n n

n n

2

1 2

1

3 )]

1 ( ) 4 ( 3 [δ(n)] = )

(

3 1

2 )]

1 ( 3 ) ( ) 2 ( 2 [δ(n)] = )

(

Z Z

Z n

n Z

X

Z Z

Z n

n n

Z X

n

n n

0

0 n )

(

-2 n

0

-2 n

)

(

5 , 0 4

5 , 0 3

n

n

e n

x

e n

x

Z

vãi

0 Z

vµ Z

vãi

5 , 0 1

5 , 0

0

1 5 , 0 0

5 , 0 4

4

5 , 0 1

5 , 0

5 , 0 2

0

1 5 , 0 5

, 0 2 2

5 , 0 3

3

1

1

) ( )

(

1

1 eZ

)

( )

e

Z e Z

e Z

n x Z

X

e Z

e

Z e

Z e Z

e Z e Z

e Z

n x Z

X

n

n n

n n n

n

n

n n

n n n

n

-2 n

)

(

) 1 ( 3 ) ( ) 2 ( 2 ) (

5 , 0 3

1

n

e n

x

n n

n n

0

0 n

)

(

) 1 (

) 4 (

3 ) (

5 , 0 4

2

n

e n

x

n n

0

5 , 0 0

4

1 4

5 , 0 1

0

5 , 0 0

3

1 3

0 0

2

1 2

1 0

0 1

1 1

1 )

( )

(

1 )

( )

(

0 )

1 (

) 4 (

3 )

( )

(

3 1 )

1 ( 3 ) ( )

2 (

2 )

( )

Z e

Z n x Z

X

e Z

Z e

Z n x Z

X

Z n

n Z

n x Z

X

Z Z

n n

n Z

n x Z

X

n

n n n

n n

n n n

n n

n n

n n

n n

n

Z víi

e

1

-Z víi

e

1

Z mäi víi

0 Z víi

0,5 -

0,5 -

a- Định nghĩa miền hội tụ của biến đổi Z

Định nghĩa:

- Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi

hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi Z hai phía.

Định nghĩa:

Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi :

hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi Z một phía.

2.1.2 Sự tồn tại của biến đổi z

)]

( [δ(n)] = )

( )

( )

Cho tín hiệu rời rạc:

Hãy xác định biến đổi Z hai phía, một phía và xác định miền hội tụ của chúng.

0

2 n -

víi

2 )

(

n

n x

2

2

2 1

2

4 2

) ( )

(

n

n n n

n n n

Z n x Z

X

2 1

1

4 2

1 2

X

m

m m

0 Z víi

Z íi v

2

1 1 1

1

4 2

1 ) (

2 2

2 1

2 2

) (

Z Z

Z X

Z

Z Z

Z Z

Z

X

m

m m

0

vµ ZZ

víi  

)

( Z 1 Z 2

Z

Z Z

X

Miền hội tụ của X(Z) trong mặt phẳng Z:

Miền hội tụ của X(Z) là miền nằm bên trong vòng tròn

có bán kính là 2 trừ gốc toạ độ.

Im[δ(n)] = Z]

Re[δ(n)] = Z]

2

Biến đổi Z một phía của x(n)

0 Z víi 

1 (Z) x(n)Z 2 Z 1 2Z 4Z

X

n

n n n

n

Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy :

Tiêu chuẩn Cauchy khẳng định rằng một chuỗi

có dạng :

hội tụ nếu điều kiện sau dây được thỏa mãn :

b Tiêu chuẩn Cauchy

x x

0 0

x





Để áp dụng tiêu chuẩn Cauchy chúng ta có thể chia chuỗi X(Z) thành hai

chuỗi như sau:

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi X 1 (Z):

0 1

2 1

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

( )

( )

(

n

n n

n n

n

Z n x Z

X

Z n x Z

X

Z X Z

X Z

n x Z

X

1 )

n x n Z

1 )

x x

0 0

x

lim n / n





chuỗi X1(Z) sẽ hội tụ với tức là bên ngoài vòng

tròn, tâm là gốc tạo độ, có bán kính là trong mặt phẳng phức Z

Tương tự đối với chuỗi X2(Z) ta có :

( )

( )

( )

Chuỗi X2(Z) sẽ hội tụ với bên trong vòng

tròn, tâm là gốc toạ độ, có bán kính là trong mặt phẳng phức Z



 R x Z

RC: Miền hội tụ (Region of convergence).

Miền hội tụ của X(Z):

)]]

Z ( X [ RC )]

Z ( X [ RC )

Z ( X [

R Z

Nhận xét :

-Vì được xác định từ x(n) vậy hai giới hạn này đặc

trưng cho tín hiệu x(n).

-Đối với tín hiệu nhân quả có chiều dài vô hạn L [δ(n)] = x(n)] = [δ(n)] = 0, ], miền hội tụ của biến đổi Z hai phía X(Z) nằm ngoài vòng tròn có

bán kính

Đối với tín hiệu phản nhân quả có chiều dài vô hạn L[δ(n)] = x(n)] = [δ(n)] =

-, 0], miền hội tụ của biến đổi Z hai phía X(Z) nằm trong vòng tròn có bán kính

Ví dụ 3: Tìm biến đổi Z & ROC của:

a z

az

n n

a az

z



  ; ROC : Z 1

1 )

Ví dụ 4: Tìm biến đổi Z & ROC của:

) (n  a u  n 

 m

m

z a

1 lim

z a z

2.1.3 Cực và không ( poles and zeros )

Trong thực tế chúng ta thường gặp các biến đổi Z, X(Z), dưới dạng là hàm

hữu tỷ của Z :

a Định nghĩa không

Tại các điểm Z = Z 0r ta có X(Z 0r ) = 0 thì các điểm đó gọi là các không

của X(Z).

Vậy nghiệm của tử số N(Z) chính là không của X(Z).

Nếu D(Z) là đa thức của Z bậc N thì X(Z) có N cực.

b Định nghĩa cực

Tại các điểm Z = Z pk ta có X(Z pk ) =  thì các điểm đó gọi là các cực

của X(Z).

Vậy nghiệm của mẫu số D(Z) chính là cực của X(Z).

Nếu D(Z) là đa thức của Z bậc N thì X(Z) có N cực

)

(

)

( )

(

z D

z

N Z

X 

c Biểu diễn X(Z) dưới dạng cực và không

Nếu N(Z) là đa thức của Z bậc M

b b

Z

N( )  0  1  

) (

) ) (

)(

( )

1 0

02

M r M M

M Z Z Z Z Z Z b Z Z b

a a

Z

D ( )  0  1  

) (

) ) (

)(

( )

(

1 2

N k N pN

p p

a Z



(2.2.3.2)

)

(

) (

) (

) (

) (

) ( )

(

1

0 1

1

0 1

pk

N k

r

M r

pk

N k N

r

M r M

Z Z

Z

Z C

Z Z a

Z Z b

Z D

Z N Z

C 

Biểu diễn X(Z) theo đa thức của Z-1 :

Trong mặt phẳng phức Z các cực sẽ được ký hiệu bằng các dấu gạch chéo

(x), còn các không được ký hiệu bằng dấu khuyên nhỏ (o).

)

1 (

) 1

( )

1 (

) 1

( )

(

1 1

1 0 1

1 1

1 0 1

Z

Z CZ

Z Z Z

Z Z

Z C Z

X

pk

N k

r

M r N M

pk

N k N

r

M r M

)

( )

X

Z n u a Z

X n

x ZT

n

n n

n n

1

0

1

1

1 )

(

) ( )

( )]

( [δ(n)] =

a Z

Z Z

X



 )

(



x

R

RC[δ(n)] = X(Z)] và giá trị của Z01 và Zp1 với giá trị a > 0

2.2 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.2.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt

phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ

 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng

• Các phương pháp biến đổi Z ngược:

 Thặng dư

 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản

X j

) n (

2 1



• Thặng dư tại điểm cực Z ci bội r của F(z) được định nghĩa:

• Thặng dư tại điểm cực đơn Z ci của F(z) được định nghĩa:

a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:

ci r

r Z

dz

d r

z F

1 )

(

) 1 (

Re

• Z ci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C

• Res[X(z)z n-1 ] z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci

Trong đó:

 Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n)

Ví dụ: Tìm biến đổi Z ngược của:

(*)

Giải:

Thay X(z) vào (*), ta được

) 2 (

z

X j

n

2

1)

(

i

z z X

z

X j

n

2

1)

z j

1

)2(

z X

n n

2

)2(

()2

z z





)2(

1)

z

z 2)(

1Res

()

2(

z

()!

1(

1 2

2 )

( n  n 

x n x ( n )  2nu ( n )

0

)2(

1Res

1)!

1(

m

z z z

dz d m

2.2.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA

Giả thiết X(z) có thể khai triển:

Theo định nghĩa biến đổi Z

(*)(**)

na n

x ( ) 

)3

21)(

1(





 z ROC 0:

2 1

2 2 4 2 3 )

x

,-2,3}

4 {1,-2, )

(





n x