Về nhóm tôpô giải được

1 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết nhóm trừu tượng lý thuyết nhóm tơpơ ta thấy lớp nhóm giải được, lớp nhóm giải lớp nhóm ứng dụng rộng rãi tốn học, vật lý, lý thuyết giải phương trình bậc cao (lý thuyết Galoa), cịn cộng cụ đắc lực cho việc nghiên cứu nhóm khác Do nhiều nhà tốn học quan tâm đạt kết phong phú Trong phạm vi khố luận chúng tơi sâu vào nghiên cứu số tính chất nhóm tơpơ giải nhóm tơpơ giải xạ ảnh Nội dung khoá luận gồm hai chương, với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chƣơng Tổng quan nhóm tơpơ nhóm giải đƣợc Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức lý thuyết nhóm tơpơ, nhóm con, ước chuẩn, nhóm thương, đồng cấu nhóm tơpơ, nhóm compact, compact địa phương va compact sinh ra, nhóm liên thơng hồn tồn khơng liên thơng Ngồi chương chúng tơi nghiên cứu số tính chất nhóm trừu tượng giải nhóm hữu hạn địa phương như: - Nhóm con, nhóm thương, tích trực tiếp số hữu hạn nhóm giải nhóm giải - Mở rộng nhóm giải nhờ nhóm giải nhóm giải - Mở rộng nhóm hữu hạn địa phương nhờ nhóm hữu hạn địa phương nhóm hữu hạn địa phương Chƣơng Một số tính chất nhóm tơpơ giải đƣợc nhóm tơpơ giải đƣợc xạ ảnh Đây nội dung khố luận Chương chúng tơi nghiên cứu số tính chất nhóm tơpơ giải được, nhóm tơpơ hữu hạn địa phương nhóm tơpơ giải xạ ảnh : - Bao đóng nhóm giải nhóm tơpơ, nhóm thương nhóm tơpơ giải nhóm tơpơ giải - Trong nhóm tơpơ giải có dãy nhóm giải bao gồm nhóm đóng - Đặc trưng compact nhóm compact địa phương hữu hạn địa phương tơpơ nhóm compact nhóm sinh tập compact - Nhóm xoắn tơpơ giải nhóm hữu hạn địa phương - Nhóm con, nhóm thương, tích trực tiếp hữu hạn nhóm tơpơ giải xạ ảnh nhóm tơpơ giải xạ ảnh - Nhóm tơpơ giải xạ ảnh, liên thơng giải Khố luận hồn thành nhờ hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm thầy giáo– Th.s Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đền Thầy, người dành cho tác giả hướng dẫn, bảo tận tình trình học tập, nghiên cứu thực khoá luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Tổ Đại số thầy Khoa Tốn - Đại học Vinh dạy bảo, dìu dắt tác giả năm Đại học hết lòng giúp đỡ tác giả q trình làm khố luận Vì thời gian có hạn hiểu biết cịn hạn chế nên khóa luận viết chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Vinh, tháng năm 2010 Tác giả CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ NHĨM TƠPƠ VÀ NHĨM GIẢI ĐƢỢC Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất nhóm tơpơ nhóm giải cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau Nội dung chương gồm : §1 Một số lớp nhóm §2 Nhóm giải §3 Nhóm hữu hạn địa phương §1 MỘT SỐ LỚP NHĨM CƠ BẢN 1.1 Nhóm tơpơ 1.1.1 Định nghĩa Nhóm tơpơ tập hợp G, trang bị cấu trúc nhóm cấu trúc tơpơ , thoả mãn hai điều kiện : (i) Ánh xạ (x,y)  xy từ G x G vào G liên tục (ii) Ánh xạ x  x-1 từ G vào liên tục Khi ta nói cấu trúc nhóm cấu trúc tơpơ tương thích với Hai điều kiện (i) (ii) tương đương với điều kiện : Ánh xạ (x , y)  xy-1 từ G xG vào G liên tục 1.1.2 Tính chất Tính chất Giả xử G nhóm tôpô a phần tử xác định G Khi ánh xạ : fa : G → G , ga : G → G x  xa f: G → G x  x-1 x  ax đồng phôi Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp f a Vì G nhóm tơpơ nên ánh xạ (x , y)  xy từ G x G vào G liên tục suy ánh xạ f a liên tục Ta chứng minh f a song ánh Xét tích ( f a  f a )(x) = f a ( f a (x)) = f a (xa)=xa.a-1 = x =1G (x) 1 1 1 ( f a  f a ) (x) = f a ( f a  (x)) = f a (xa-1) = xa-1a = x = 1G(x) 1 suy f a ánh xạ ngược f a 1 Suy f a song ánh với f a 1 = f a 1 Ta chứng minh f a liên tục Vì f a 1 = f a mà ánh xạ f a liên tục thay a 1 1 a-1 ta có f a 1 liên tục f a ánh xạ đồng phôi Các ánh xạ khác chứng minh tương tự Tính chất Giả sử F tập đóng , U tập mở P tập a phần tử tuỳ ý nhóm tơpơ G Khi ta có Fa , aF, F-1 tập đóng tập UP ,PU ,U-1 tập mở Chứng minh Theo tính chất 1, ta có f a , ga, f ánh xạ đồng phơi suy ảnh tập đóng qua ánh xạ đồng phơi tập đóng ảnh tập mở qua ánh xạ đồng phôi tập mở Ta có f a (F)=Fa ; ga (F) =aF ; f (F)= F-1 Vì F đóng nên Fa , aF , F-1 đóng Tương tự f a (U)=Ua ; ga (U)=aU ; f (U)=U-1 Vì U mở nên Ua, aU, U-1 mở Mặt khác ta lại có UP =  Ua ap ; PU=  aU Vì G nhóm tơpơ nên hợp tập a p mở Do UP, PU ,U-1 mở Tính chất Khơng gian tơpơ nhóm tơpơ G khơng gian Chứng minh Không gian tôpô G không gian hai phần tử x y thuộc G tìm phép đồng phơi G cho f (x)= y Vì G nhóm tơpơ nên ánh xạ f a : x  xa phép đồng phôi G Chọn -1 -1 f  f a ; a=x y suy f đồng phơi f (x)=x.x y=y 1.2 Nhóm ƣớc chuẩn, nhóm thƣơng nhóm tơpơ 1.2.1 Nhóm ƣớc chuẩn -Giả sử G nhóm tơpơ Tập H G gọi nhóm nhóm tơpơ G hai điều kiện sau thoả mãn: (i) H nhóm nhóm trừu tượng G (ii) H tập đóng khơng gian tơpơ G -Nhóm tơpơ N nhóm tơpơ G gọi ước chuẩn, N ước chuẩn G 2.2 Tính chất nhóm ƣớc chuẩn Tính chất Giả sử G nhóm tơpơ H nhóm (ước chuẩn) trừu tượng G đó, H nhóm (ước chẩn) tơpơ G Chứng minh Ta có H tập đóng khơng gian tơpơ G Khi ta cần chứng minh H nhóm (ước chuẩn) trừu tượng G -Chứng minh H nhóm trừu tượng G Giả sử a  H , b  H , ab-1  H Thật giả sử W lân cận tuỳ ý ab -1 tồn lân cận U V a b cho UV -1  W Vì a H , b H nên tồn phần tử x  H, y  H cho x  U, y  V H nhóm trừu tượng G nên xy-1  H Mặt khác xy-1  UV-1  W Do xy-1  W  H Từ suy ab-1  H -Chứng minh H ước chuẩn trừu tượng G Ta chứng minh với phần tử h  H phần tử g  G ta có g-1hg  H Thật vậy,  h  H ,  g  G ta có: Nếu V lân cận g-1hg tồn lân cận U h để g-1Ug  V (do phép nhân G liên tục ).Vì h  H nên tồn x -1  H cho x  U g xg  H Do H ước chuẩn trừu tượng G Mặt khác g-1xg  g-1Ug  V nên g-1xg  H  V Vậy lân cận V tuỳ ý g-1hg có giao khác rỗng với H g-1hg  H Tính chất Giả sử C(G) ={ g  G xg =gx ,  x  G } C(G) ước chuẩn tôpô G gọi tâm G Chứng minh Hiển nhiên C(G) ước chuẩn trừu tượng G nên ta cần chứng minh C(G) đóng G Giả sử a  C (G ) tồn x  G cho a  = x-1 ax  a Khi đó, G khơng gian quy nên tồn lân cận không giao U U  a a  Đặt V = C (G)  U thì, a  V nên a  =x-1ax  x-1 V x = x 1Vx = V mâu thuẫn với U   V   Vậy a  =x-1ax=a ;  x  G ,suy a  C(G) Do C (G )  C(G) Mặt khác, C(G)  C (G ) nên C(G) = C (G ) hay C(G) đóng G Tính chất Giả sử H nhóm trừu tượng nhóm tơpơ G H mở Khi H nhóm nhóm tơpơ G Chứng minh Giả sử a  H aH lân cận mở a nên a H  H   Do tồn b  aH  H Vì b  aH nên tồn h  H cho b = ah, a =bh-1.Vậy a  H nên Mặt khác H  H suy H = H hay H đóng Vậy H nhóm nhóm tơpơ G Tính chất Thành phần liên thơng đơn vị Go nhóm tơpơ G ước chuẩn tơpơ G Chứng minh Giả sử a, b  Go liên thông nên aG o1 liên thông e aG0 1 Bởi aG o1  Go Do ab-1  aG o1  Go nên Go nhóm trừu tượng G Giả sử a  Go x  G Khi x-1Gox liên thơng chứa e nên x-1Gox  Go, x-1ax  x-1Gox  Go, nên Go ước chuẩn trừu tượng G Mặt khác, thành phần liên thông khơng gian tơpơ ln ln đóng nên Go ước chuẩn tơpơ G 1.2.3 Nhóm thƣơng Giả sử N ước chuẩn nhóm tơpơ G, ta đưa vào nhóm thương G N nhóm trừu tượng G tơpơ xác định sau : Giả sử  sở G với U   , xét tập U* ={Ng  g  U} G N Khi B* ={U* U  } sở không gian G N G N với tôpô xác định gọi nhóm thương tơpơ nhóm tơpơ G theo ước chuẩn N đựơc ký hiệu G * 1.2.4 Tính chất nhóm thƣơng Tính chất Khơng gian G * khơng gian Tính chất Khơng gian G * khơng gian quy Tính chất Khơng gian G khơng gian compact (compact địa phương ) N G N không gian compact ( compact địa phương ) 1.3 Nhóm compact, compact địa phƣơng compact sinh 1.3.1 Định nghĩa - Nhóm tơpơ G gọi nhóm compact ( compact địa phương ) không gian G không gian compact ( compact địa phương ) - Nhóm tơpơ G gọi nhóm compact sinh tồn tập M compact G vafG bao đóng nhóm sinh M Hay G =  M  - Phần tử g nhóm tơpơ G gọi phần tử compact nhóm A   g  nhóm compact ( A bao đóng nhóm xyclic sinh phần tử g ) - Nhóm tơpơ G mà phần tử phần tử compact gọi nhóm xoắn tơpơ Ngược lại nhóm tơpơ G mà phần tử G khác đơn vị khơng phải phần tử compact G gọi nhóm phi xoắn tơpơ Nếu ta lấy tơpơ rời rạc khái niệm xoắn tơpơ trùng với khái niệm xoắn trừu tượng, phần tử compact phần tử có cấp hữu hạn 1.3.2 Định lý Giả sử G nhóm tơpơ, H ước chuẩn G Khi đó: (i) Nếu G nhóm compact H G H nhóm compact (ii) Nếu G nhóm compact địa phương H G H nhóm compact địa phương Chứng minh (i) Giả sử U phủ mở H, H nhóm G nên U bao hàm G Mặt khác, G compact nên có phủ V phủ G tồn phủ hữu hạn V * phủ G Đặt U * = U  V * Vì V * phủ G nên chứa U U * phủ mở hữu hạn trích từ phủ mở U phủ H Vậy H compact Xét ánh xạ chiếu p: G  G * Khi p ánh xạ mở liên tục Do G compact, nên ảnh G * = G H G qua ánh xạ liên tục mở p compact (ii) Do G nhóm cpmpact địa phương nên điểm thuộc G tồn lân cận compact Mà H nhóm G suy phần tử H tồn lân cận compact, H compact địa phương Giả sử gH  G H , ta phải chứng minh gH có lân cận compact Xét đồng cấu tự nhiên p : G  G H Khi p-1( gH )  G Do G compact địa phương nên tồn lân cận compact V p-1 (gH) mà P liên tục nên p(V) lân cận compact gH Vậy G H = G * compact địa phương 1.3.3 Mệnh đề Giả sử G nhóm tơpơ, P Q hai tập compact nhóm G Khi PQ tập compact Chứng minh Ta xét ánh xạ  : PxQ  PQ ( x , y )  xy Rõ ràng  ánh xạ liên tục PxQ tập compact,  (PxQ) = PQ tập compact 1.3.4 Định lý Giả sử G nhóm compact địa phương sinh tập compact M Khi G tồn lân cận U đơn vị e  G đối xứng compact để G= Chứng minh.Vì G nhóm compact địa phương nên tồn lân cận đối xứng compact V e  G Ta đặt W : = MV  V Khi đó, W W-1 lân cận đối xứng compact nên U : =W  W-1 lân cận đối xứng compact G, chứa e vàG = Thật vậy, giả sử G  = G  nhóm mở G Nhưng nhóm G  mở suy G  nhóm đóng nên G = G  1.3.5 Định lý Nếu G có ước chuẩn compact H nhóm thương G H compact sinh G compact sinh Chứng minh Giả sử f : G  G H đồng cấu tự nhiên Gọi V * tập compact khơng gian G H V = f -1( V * ) tập sinh G đồng thời f -1( V * ) compact nên V compact Vậy G compact sinh 1.4 Nhóm liên thơng hồn tồn khơng liên thơng 1.4.1 Định nghĩa Nhóm tơpơ G gọi liên thơng (hồn tồn khơng liên thông) không gian tôpô G liên thông ( hồn tồn khơng liên thơng) Chú ý - Thành phần liên thơng đơn vị nhóm G thường ký hiệu nhóm Go - Nếu nhóm tơpơ G liên thơng, nghĩa khơng gian liên thông, tức Go = G - Nếu Go ={ e } G gọi nhóm hồn tồn khơng liên thơng 1.4.2 Định lý Giả sử G nhóm tơpơ, Go thành phần liên thơng đơn vị G Khi G G nhóm hồn tồn khơng liên thơng Chứng minh Giả sử  : G  G G đồng cấu tự nhiên, kí hiệu G * = G G Khi 0  đồng cấu mở từ G đến G * Gọi P * thành phần liên thông đơn vị G * Khi  : P  P* ánh xạ mở Thật vậy, giả sử U lân cận khơng gian P Khi tồn lân cận V không gian G cho U = P  V, ta có  (U) = P *  (V )  : G  G* mở nên  ( V ) mở G * Do  (U) mở P * Giả thiết P * chứa phần tử khác đơn vị Khi Go phần tử khác đơn vị Khi G  phần trọn vẹn P nên P khơng liên thơng Do P = A  B, A  B =  , A, B mở P Nếu a  A Goa  A Nếu G  a  B   Goa phân tích thành tổng hai tập đóng khơng giao nên  (A)  (B) không giao Các tập mở P * P * phân tích thành hai tập mở P * , mâu thuẫn với P * liên thơng Suy G G hồn tồn khơng liên thơng 1.4.3 Định lý Nhóm liên thơng G sinh lân cận đơn vị Chứng minh Giả sử V lân cận e  G giả sử G  {V} Kí hiệu  H:= {V} = V i Khi H nhóm mở G suy H đóng Vậy H vừa mở i 1 vừa đóng G 10 Vì G  {V} nên G\H   Vậy G tổng hai tập vừa đóng vừa mở khác rỗng, tức G = H  ( G \ H ) điều mâu thuẫn với tính liên thơng G, chứng tỏ G  i  {V} sai Vậy G ={V} =  V i 1 1.4.4 Định lí Nếu G nhóm compact địa phương liên thơng G nhóm compact sinh Chứng minh Lấy V lân cận của đơn vị e  G mà V compact Xét nhóm G * ={V}, V mở nên G * nhóm mở G , suy G * đóng Từ đẳng thức G  G *  (G \ G * ) vừa đóng vừa mở (do G * vừa đóng vừa mở) G nhóm liên thơng nên G \ G * =  Vậy G  G * hay G nhóm compact sinh §2 NHĨM GIẢI ĐƢỢC 2.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm trừu tượng, x y hai phần tử nhóm G Phần tử z = x-1 y-1 xy gọi hoán tử phần tử x y, kí hiệu z=[x,y] Nếu G nhóm aben hốn tử đơn vị e nhóm G Nhóm G  =  x-1 y-1 xy │ x , y  G  gọi đạo nhóm nhóm G kí hiệu G ' =[G,G] Nếu G nhóm aben G ' ={e },với e đơn vị nhóm G 2.2 Định lý Đạo nhóm G  nhóm G nhóm hoàn toàn đặc trưng Chứng minh Giả sử  tự đồng cấu nhóm G x-1 y-1 xy hốn tử G, :  (x -1 y-1 xy) =  (x)-1  (y)-1  (x)  (y) = x 1 y  1 xy  với x  =  ( x) ; y =  ( y ), hoán tử nhóm G nên  (G)  G Vậy G  nhóm hồn tồn đặc trưng 2.3 Định lý Cho K ước chuẩn G Khi , nhóm thương G K nhóm aben K chứa G  Chứng minh Ta đặt H := G K Xét đồng cấu tự nhiên  : G  H x  xK ta có  ( x-1 y -1 xy) =K( x-1y -1xy) =K , từ suy x-1y -1xy  K hay G   K Vậy H nhóm aben suy G   K Giả sử ngược lại G   K , ta xét hoán tử 16 Bây ta chứng minh H nhóm giải Vì H nhóm giải nên H có dãy đạo nhóm hữu hạn H  H’  …  H(n) = {e} Từ ta suy H  H '  …  H (n ) = {e} ' Trong Mệnh đề 1.2, ta lấy nhóm K=H’ Khi K = H '  H Từ ta suy H (n)  H (n) Nên H (n )  {e} Vậy H nhóm giải Nếu H nhóm aben H có dãy đạo nhóm H  H’={e} mặt khác, ' H '  H ={ e } nên suy H nhóm aben 1.4 Định lý Nếu G nhóm giải G có dãy giải gồm nhóm đóng chứng minh Vì G nhóm giải nên G có dãy đạo nhóm hữu hạn G  G’  …  G(n) = {e} (1) Ta chứng minh dãy G  G'  …  G (n ) = {e} (2) dãy giải Theo Mệnh đề 1.2, nhóm G (i ) nhóm đóng G (i ) Để chứng minh dãy (2) dãy giải ta cần chứng minh G G (i 1) nhóm aben G (i ) ước chuẩn G Thật vậy, giả sử x  G (i ) , gG ta đặt y:=g-1xg W lân cận y Vì yW nên tồn lân cận U  x để g-1Ug  W Mặt khác, x G (i ) nên U  G(i)   có nghĩa tồn kU; kG(i) để g-1kg W G(i) ước chuẩn G nên g-1kgG(i) Vậy G(i)  W   suy y G (i ) Hay G (i ) ước chuẩn nhóm tơpơ G Ta chứng minh G (i ) G minh quy nạp ( i 1) nhóm aben Ta có nhóm G G  nhóm aben Ta chứng 17  Giả sử G ( i 1) G (i ) nhóm aben (2) dãy giải G (i 1) G (i ) nhóm aben suy G(i-1)’=G(i) từ ta có G (i 1)  G (i )  G (i ) Vậy 1.5 Định lý Giả sử G nhóm tơpơ H1, H2 ước chuẩn giải nhóm G Khi H H nhóm giải Chứng minh Theo lý thuyết nhóm ta có H1H2 ước chuẩn nhóm G Đồng thời ta có H H H  H H  H nên H1H2 ước chuẩn giải nhóm trừu tượng 1 G (vì mở rộng nhóm giải nhờ nhóm giải giải được) Theo Định lí 1.3, ta có H H ước chuẩn giải nhóm tơpơ G 1.6 Định lý Giả sử G nhóm liên thơng, giải được, xoắn tơpơ Khi G nhóm aben compact Chứng minh Trước hết ta chứng minh nhận xét sau: Nếu G nhóm liên thơng đạo nhóm G’ G liên thơng Thật vậy, ánh xạ f: G  G  G (x,y)  xyx-1y-1 liên tục Vì G liên thơng nên G  G liên thông suy N=f(G  G ) tập liên thông  chứa đơn vị Mặt khác G’={N} =  N n nên G’ tập liên thông chứa đơn vị i 1 Bây ta chứng minh M tập liên thông nhóm G M tập liên thông Thật vậy, giả sử M không liên thông Khi tồn tập A B khác rỗng cho A  B  A  B  M =  AB= M Ký hiệu A’=AM, B’=BM Vì AB= M nên hai tập A’ B’ tồn tập khác rỗng Không tính tổng quát giả sử A’   Nếu B’   A  B M A  B  M =  nên A  B   M   A’   , B’   điều mâu thuẫn với tính liên thông M Vậy B’=  Từ B’=  suy MA Do A  B  M  A  B  M = M  B  M B   18 Điều mâu thuẫn với A  B  M =  Vậy M liên thơng Vì G nhóm giải nên dãy đạo nhóm G dừng {e} sau số hữu hạn bước Nghĩa tồn số tự nhiên n cho G  G’… G(n-1)G(n)={e} Trong G(i) ước chuẩn G; đặc biệt G(n-1) ước chuẩn giao hốn Do G  G   G    G ( n1)  G ( n ) ={e} Theo nhận xét ta có G(i); i=1,2,…,n liên thơng, G (i ) ;i=1,2,…,n liên thơng Nhóm G ( n1) liên thông aben Hơn phần tử G ( n1) compact Vì ánh xạ f: G  G  G (x,y)  xyx-1y-1 Liên tục f(G(n-1)G(n-1))G(n-1) nên f( G ( n1)  G ( n1) suy G ( n1)  G ( n1) nhóm aben Vì G ( n1) liên thơng nên G ( n1)  G ( n1) liên thông, phần tử G ( n 1)  G ( n 1) compact G ( n 1)  G ( n 1) compact Kết hợp với G ( n1) compact suy G ( n  ) compact Tiếp tục lí luận cuối sau số hữu hạn bước ta có G compact Vì G nhóm giải compact liên thơng nên G nhóm aben §2 NHĨM HỮU HẠN ĐỊA PHƢƠNG TƠPƠ 2.1 Định nghĩa Nhóm tơpơ G gọi nhóm hữu hạn địa phương tơpơ bao đóng nhóm hữu hạn sinh compact Nhận xét -Nếu G ta lấy tôpô rời rạc nhóm hữu hạn điạ phương tơpơ trùng với nhóm hữu hạn địa phương trừu tượng -Nhóm hữu hạn địa phương tơpơ xoắn tơpơ 2.2 Định lý Nhóm compact địa phương nhóm hữu hạn địa phương tơpơ nhóm compact nhóm G sinh tập compact M Chứng minh Nếu G nhóm compact hiển nhiên G nhóm sinh tập compact ( ta lấy tập compact M nhóm G) Ngược lại, giả sử G nhóm sinh tập compact M Khi theo Định lý 1.3.4,  V i Vì G tồn lân cận compact đối xứng V đơn vị e  G để G== U i 1 19 V tập compact nên theo Mệnh đề 1.3.3, V2 tập compact tập tập mở giV phủ V2 Nhưng V2 tập compact nên tồn phủ mở hữu hạn g1V,….,gkV phủ V2 k hay V   g iV Ta kí hiệu A= {g1 , ,g k } ; V2  AV Bằng quy nạp, ta chứng i 1 minh V n  V Thật Vn =Vn-1V  AVV=AV2  AVV=AV Vậy G=AV nhóm compact (theo Mệnh đề 1.3.3) 2.3 Định lý Giả sử G nhóm tơpơ sinh tập compact M, G có nhóm H hữu hạn địa phương tôpô trù mật G ( H =G) Khi G nhóm compact Chứng minh Theo Định lý 1.3.4, G ln có lân cận compact xứng V  V i V ì V tập compact mở nên theo Mệnh đề 1.3.3, V e  G đ ể G== U i 1 tập compact tập hợp giV phủ mở V2 Vì V tập compact nên tồn phủ hữu hạn g1V…gkV phủ V2 Vì H =G nên ta lấy gi, i=1, k phần tử H Thật vậy, gG, gV lận cận g nên gVH  , nên tồn hH,vV để gv=h hay g=hv-1hV, với hH Ta đặt A=  g1 , ,g k  V2AV Bằng quy nạp ta chứng minh VnAV Khi G=AV, H nhóm hữu hạn địa phương tơpơ nên A nhóm compact Vậy G=AV compact ( theo Mệnh đề 1.3.3) 2.4 Định lý Giả sử G nhóm tơpơ, H nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Khi bao đóng H nhóm H nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Chứng minh Vì ta xét nhóm G nhóm compact địa phương, nên nhóm H nhóm compact địa phương nhóm thương H H0 phương hồn tồn khơng liên thơng Khi đó, nhóm H compact Q H0 nhóm compact địa H0 có nhóm mở , từ suy Q nhóm sinh tập compact mở H Nếu g1,…,gk tập hữu hạn H , ta kí hiệu T=  g1 , ,g k , Q  Ta có T nhóm sinh tập compact mở TH nhóm trù mật T ( H nhóm 20 trù mật H ) Theo Định lý 2.3, T nhóm compact Vậy  g1 , ,g k  nhóm compact hay H nhóm hữu hạn địa phương tôpô 2.5 Định lý Giả sử G nhóm compact địa phương, H ước chuẩn hữu hạn địa phương tơpơ nhóm G để G H nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Khi đó, G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Chứng minh Giả sử H G H nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Ta kí hiệu L nhóm mở với nhóm thương L G nhóm compact, G thành phần liên thơng đơn vị e G B nhóm compact cực đại L Vì tích ước chuẩn hữu hạn địa phương tơpơ với nhóm hữu hạn địa phương tơpơ nhóm hữu hạn địa phương tơpơ, nên suy  =B (L  H) nhóm hữu hạn địa phương tôpô Nếu g  H  L  g, B  nhóm compact Vì B nhóm compact cực đại nên suy g  B, =B Vì L nhóm compact sinh nên ta có LH H  L L  H Nhóm L L  H nhóm sinh tập compact hữu hạn địa phương tôpô nên theo Định lí 2.2, L L  H nhóm compact Vậy LH H nhóm compact Ta có  nhóm compact nên LH  nhóm compact, suy nhóm L nhóm compact Giả sử g1,g2,…,gk  G Ta xét nhóm =  g1 , g , g k  , nhóm 1= , nhóm T=1.H nhóm mở G, L nhóm mở G Nhờ nhóm 1 sinh tập compact nên ta có T H  1   H nhóm compact Nếu  =LH tập T  tập rời rạc compact nên T  tập hữu hạn Từ suy tồn nhóm compact mở bất biến  để tập T  nhóm hữu hạn Ta có  = LH nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Vậy  nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Ta lấy phần tử đại diện cho lớp ghép T  gi Giả sử gi.gj= g k wij, nhóm ij 21 k    g i  wij  Nhưng nhóm  wij , (i, j  1, k ) nhóm compact  nhóm hữu i 1 hạn địa phương tơpơ Vậy  nhóm compact hay G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ 2.6 Mệnh đề Giả sử G nhóm aben xoắn tơpơ Khi G nhóm hữu hạn địa phương tôpô Chứng minh Giả sử g1, g2,…,gk tập hữu hạn phần tử nhóm G Ta kí hiệu Ai =  g i  Vì gi phần tử compact nên nhóm Ai, i=1,2,…,n nhóm compact Ta xét nhóm A =  g1 , g g k  Vì G nhóm aben nên nhóm Ai nhóm bất biến compact G nhóm A1A2…Ak nhóm compact G Ta có A=A1A2…Ak , nên A nhóm compact hay G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ 2.7 Định lý Nếu nhóm G xoắn tơpơ, giải G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Chứng minh Theo Định lý 1.4, G có dãy giải gồm nhóm đóng G  A1 A2 … Ak={ e } với Ai = Ai Ai Ai 1 nhóm aben Ta có nhóm Ak-1 nhóm aben theo Mệnh đề 2.6, Ak-1 nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Theo giả thiết Ak 2 A nhóm aben nên Ak 2 A nhóm hữu k 1 k 1 hạn địa phương tơpơ.Vậy theo Định lý Ak-2 nhóm hữu hạn địa phương tôpô Bằng qui nạp ta chứng minh nhóm Ak-1,Ak-2,…,A1, A nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Nhưng A nhóm hữu hạn sinh nên A nhóm compact Vậy G nhóm hữu hạn địa phương tôpô 2.8 Hệ Giả sử G nhóm sinh tập compact M giải xoắn tơpơ Khi G nhóm compact Chứng minh Theo Định lý 2.7, G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Khi theo Định lý 2.3, G nhóm compact 22 2.9 Hệ Giả sử G nhóm xoắn tơpơ giải Khi G xuyến tơpơ, G lân cận đơn vị e  G Chứng minh Vì g nhóm giải xoắn tơpơ nên G nhóm giải , liên thơng, xoắn tơpơ Mặt khác G nhóm compact địa phương liên thơng nên tồn lân cận V compact đối xứng đơn vị eG để G =  V  Vậy G xuyến tôpô 2.10 Định lý G nhóm liên thơng mà nhóm trừu tượng hữu hạn sinh nhóm giải Khi G nhóm giải Chứng minh Trước hết ta chứng minh G nhóm compact Định lý Theo định lý Yamabe G = lim (G,, >) với G nhóm Lie, liên thơng, compact nhóm Lie liên thơng compact G bao đóng nhóm hữu hạn sinh Do G nhóm giải Vậy G xuyến Nếu G khơng phải nhóm compact, theo định lý Yambe G có ước chuẩn K để G K nhóm Lie Theo chứng minh K0 xuyến nhóm đặc trưng nhóm K0 nên suy K0 ước chuẩn G thuộc tâm G Ta có nhóm K K nhóm compact hồn tồn khơng liên thơng nhóm liên G thơng K K K bất biến nên K K thuộc tâm G K Thật ta xét ánh xạ 0 K : G  G K  K   K K 0  0 g   g 1 K  g  Ánh xạ  K ánh xạ liên tục nên  K (G )  K  Vậy K * thuộc tâm G * , K K   nhóm aben Từ suy K nhóm giải Vì G K nhóm liên thơng Lie nên G K có nhóm hữu hạn trù mật Vậy G K nhóm giải theo K nhóm giải nên G nhóm giải (mở rộng nhóm giải nhóm giải được) 23 §3 NHĨM TƠPƠ GIẢI ĐƢỢC XẠ ẢNH 3.1 Định nghĩa Nhóm tơpơ G gọi nhóm tơpơ giải xạ ảnh lân cận V đơn vị e  G, tồn ước chuẩn H  V cho G H nhóm giải 3.2 Định lý Nhóm nhóm thương nhóm giải xạ ảnh nhóm giải xa ảnh Chứng minh Giải sử H nhóm nhóm tơpơ giải xạ ảnh G, W lân cận đơn vị e  H Khi đó, theo định nghĩa tơpơ cảm sinh G tồn lân cận U đơn vị e  G để W = U  H Do G nhóm tơpơ chuẩn giải xạ ảnh U lân cận đơn vị e  G nên G có ước chuẩn K  H để nhóm thương G K nhóm tơpơ giải Đặt K  =K  H Khi K  ước chuẩn H K   W Ta chứng minh H K  nhóm giải đựoc Vì nhóm thương HK K nhóm nhóm giải đựơc H K nên HK K nhóm giải (Định lý 2.15 Chương 1) Xét ánh xạ đồng cấu tự nhiên f : HK  HK K Vì K hạt nhân đống cấu f f ( HK )  f ( H ) f ( K )  f ( H ) nên ta có : Xét ánh xạ f h : HK  HK K Khi fH ánh xạ đồng cấu hật nhân đồng cấu f H H  K Do theo Định lý đồng cấu ta có : HK K  f ( HK )  f ( H )  H H K H K Vậy nhóm H K  nhóm giải đựơc hay H nhóm tơpơ giải xạ ảnh Giả sử K ước chuẩn nhóm tơpơ giải xạ ảnh G Ta chứng minh nhóm thương G K nhóm tơpơ giải xạ ảnh Ta ký hiệu G *  G K , giả sử U * lân cận đơn vị e*  G * Khi đó, theo Định nghĩa tôpô thương, G tồn lân cận U đợn vị e  G cho U * = { xi K / 24 x i  H } Vì U lân cận đơn vị e  G G nhóm tơpơ giải xạ ảnh, nên tồn ước chuẩn H  U để G H nhóm giải đuợc Ta đặt H * = { xi K / xi  H } Khi H * ước chuẩn G * H *  U * ví H  U G Ta có G H  H HK G K * H * , nên G * nhóm tôpô giải xạ ảnh 3.3 Định lý Cho G nhóm compact địa phương H nhóm giải xạ ảnh G Khi H nhóm giải xạ ảnh G Chứng minh Giả sử U lân cận đơn vị e  H Vì H khơng gian tơpơ quy nên tồn lân cận V e  H để V  U Vì H nhóm tơpơ giải đựoc xạ ảnh nên tồn ước chuẩn F  V để H F nhóm giải Ta có H F nhóm giải (Định lý 2.1.3 ) Mà nhóm H F  H tơpơ giải nên H F F nhóm tơpơ giải F  V  U Vậy H nhóm tơpơ giải xạ ảnh 3.4 Định lý Giả sử nhóm G nhóm compact địa phương, H1 H ước chuẩn giải xạ ảnh G Khi H H ước chuẩn giải giải xạ ảnh G Chứng minh Do H1 H2 ước chuẩn G nên theo lý thuyết nhóm H1H2 ước chuẩn G suy H H ước chuẩn G Giả sử Vi lân cận đơn vị e  Hi ; i =1 ,2 Vì H ước chuẩn giải đựơc xạ ảnh nên dãy đạo nhóm H i  H i1   H i2  tồn số 1j 2k cho H (1 )  V1 H ( )  V2 với H / H (1 ) H / H ( ) j j k j nhóm giải Đặt H : =H1H2 Giả sử V lân cận đơn vị e  H Khi đó, tồn lân cận V1 V2 H1 H2 cho V1V2  V Đặt T : = H (1 ) H ( ) Khi T  V1V2  V j k T ước chuẩn H Ta chứng minh H T nhóm giả Xét ánh xạ đồng cấu f : H T  H 1T T 25 Khi hạt nhân đồng cấu f H 2T T Theo định lý đồng cấu nhóm ta có: H T H 1T nên H 2T T  H 1T T , H 1T T ước chuẩn H T vói i= 1,2 Hơn T  H1 H T Hi T H 2T H H  T  H (1 ) ; H H H2 T  H2 nhóm giải j H ( 2k ) nhóm giải Do H T nhóm giải (mở rộng T nhóm giải nhóm giải được) Vậy H nhóm giải xạ ảnh Theo Định lý 2.3, ta suy H  H H nhóm giải xạ ảnh Vậy H H ước chuẩn giải xạ ảnh 3.5 Định lý Giả sử H1, H2 , …Hk tập hợp hữu hạn nhóm tơpơ giải xạ ảnh Khi tích trực tiếp H1,H2,…Hk nhóm giải xạ ảnh Chứng minh Gọi H tích trực tiếp H1,H2,…Hk Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp ta cần chứng minh cho trường hợp k =2 Khi H= H1x H2 Giả sử V lân cận e  H Theo định nghĩa tơpơ tích trực tiếp tồn lân cận V1 e1  H1 V2 e2  H2 để cặp (V1 ,V )  V Ta có H1 nhóm tơpơ giải xạ ảnh dãy H1  H 1  H1  …  H 1( k )  … dãy đạo nhóm H1 Khi tồn H 1( k )  V1 cho H H1 (k ) nhóm giải Tương tự dãy đạo nhóm H2 H  H 2'  H 2''   H 2( n )  Khi tồn H ( n )  V2 cho H H2 ( n) nhóm giải Đặt R = H 1( k )  H 2( n ) Khi R ước chuẩn H H 1( k ) nhóm đặc trưng nhóm H1 H 2( n) nhóm đặc trưng H2 26 * * * Ta có, H R  H1 R R  H 2* R R với H 1*  H  e2 ; H 2*  e1  H H R R H R R ước * * chuẩn giải H1 R R  H1 R  H 1*  H1 H 1( k ) * * H R R  H R  H 2*  H2 H 2( n) Do H R nhóm giải R  H1( k )  H 2( n)  (VV 2) V Vậy H nhóm tơpơ giải xạ ảnh 3.6 Bổ đề Nếu G nhóm Lie, liên thơng giải xạ ảnh thí G nhóm giải 3.7 Định lý Nếu G nhóm tơpơ giải xạ ảnh liên thơng G nhóm giải Chứng minh Trước hết ta chứng minh G nhóm compact, liên thơng giải xạ ảnh G nhóm giải Theo Định lý Yamabe [10] : G= lim (G , G ,    ) với G nhóm compact, Lie liên thông giải xạ ảnh Theo Bổ đề 2.6, ta suy G  nhóm giải nên G  lả xuyến tơpơ Từ ta có G nhóm aben nên G nhóm giải Bây ta chứng minh cho trường hợp G khơng phải nhóm compact Theo Định lý Yamabe [11], G có ước chuẩn compact B để nhóm thương G B nhóm Lie Khi B thành phần liên thông e  B xuyến bất biến với tự động cấu B nhóm G Vậy B ước chuẩn nhóm G nên ta suy B0  C (G) Ta có B B nhóm hồn tồn khơng liên thơng bất biên nhóm liên thơng G B Ta chứng minh B B thuộc tâm G B Với b cố định 0 thuộc B B ta xét xạ ảnh f b : G B  B B 0 x  x 1bx Vì f b xạ ảnh liên tục nên f b (G B) tập liên thông B B Nhưng B B hoàn 0 1 G tồn khơng liên thơng nên x bx  b : x  B Vậy b giao hoán với phần tử G B Vậy B B thuộc tâm G B Suy B B nhóm giải theo 0 0 B nhóm giải nên B nhóm giải Mặt khác, theo Bổ đề 2.6, 27 nhóm thương G B nhóm Lie liên thơng nên G B nhóm giải ( mở rộng nhóm giải nhóm giải ) 3.8 Định lý Giả sử G nhóm liên thơng, giải xạ ảnh xoắn tơpơ Khi đó, G xuyến Chứng minh G nhóm liên thơng giải xạ ảnh theo Định lý 2.7, G nhóm giải Mặt khác theo Định lý 1.6, ta suy G nhóm aben compact Vậy G xuyến tơpơ giải 28 KẾT LUẬN Khóa luận thu đƣợc kết sau Bao đóng nhóm giải nhóm tơpơ nhóm tơpơ giải Trong nhóm tơpơ giải có dãy nhóm giải gồm nhóm đóng Giả sử G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Khi G nhóm compact G nhóm compact sinh Giả sử G nhóm compact sinh G có nhóm hữu hạn trù mật khắp nơi G Khi G nhóm compact Nếu G nhóm xoắn tơpơ giải G nhóm hữu hạn địa phương tơpơ Tích trực tiếp số hữu hạn nhóm tơpơ giải xạ ảnh nhóm tơpơ giải xạ ảnh 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Lê Quốc Hán (1998), Giáo trình lý thuyết nhóm tơpơ, ĐHSP Vinh [2] Trần Văn Hạo, Hồng Kỳ (1978), Bài tập đại số, NXBĐại Học Trung Học Chuyên Nghiệp [3] Bùi Huy Hiền (2001), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [5] Hoàng Xuân Sính (2001), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [6] Sten Hu (1973), Đại số đại, dịch tiếng việt [7] Nguyễn Thị Hải Yến (2005), Một số tính chất nhóm tơpơ giải nhóm tơpơ giải xạ ảnh, luận văn thạc sĩ thư viện Đại học Vinh [8] Nguyễn Thị Thủy (2007), Một số tính chất nhóm tơpơ giải địa phương, khóa luận tốt nghiệp [9] Văn Thị Thảo (2008), Một số tính chất nhóm tơpơ giải xạ ảnh, khóa luận tốt nghiệp 30 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng Tổng quan nhóm tơpơ nhóm giải đƣợc §1 số lớp nhóm §2 Nhóm giải 11 §3 Nhóm hữu hạn địa phương 14 Chƣơng số tính chất tơpơ giải đƣợc nhóm tơpơ giải đƣợc xạ ảnh §1 Nhóm tơpơ giải 17 §2 Nhóm hữu hạn địa phương tơpơ 21 §3 Nhóm tôpô giải xạ ảnh 26 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 ... * , K K   nhóm aben Từ suy K nhóm giải Vì G K nhóm liên thơng Lie nên G K có nhóm hữu hạn trù mật Vậy G K nhóm giải theo K nhóm giải nên G nhóm giải (mở rộng nhóm giải nhóm giải được) 23 §3... T  H2 nhóm giải j H ( 2k ) nhóm giải Do H T nhóm giải (mở rộng T nhóm giải nhóm giải được) Vậy H nhóm giải xạ ảnh Theo Định lý 2.3, ta suy H  H H nhóm giải xạ ảnh Vậy H H ước chuẩn giải xạ... đóng nhóm giải nhóm tơpơ, nhóm thương nhóm tơpơ giải nhóm tơpơ giải - Trong nhóm tơpơ giải có dãy nhóm giải bao gồm nhóm đóng - Đặc trưng compact nhóm compact địa phương hữu hạn địa phương tơpơ nhóm