Một số tính chất của môđun baer

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU HỒNG HOÀI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN BAER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU HỒNG HỒI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BAER Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGƠ SỸ TÙNG Nghệ An, 2012 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Một số phần tử đặc biệt vành 1.2 Linh hóa tử số tính chất 1.3 Môđun nội xạ điều kiện Ci Môđun Baer 13 2.1 Định nghĩa số tính chất môđun Baer 13 2.2 Tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun Baer 16 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 MỞ ĐẦU Khái niệm vành Baer Kaplansky đưa vào năm 1968 (xem [7]), lớp vành linh hóa tử phải iđêan trái (hoặc tập con) iđêan phải sinh phần tử lũy đẳng Chúng ta thấy vành tự đồng cấu môđun nửa đơn, vành tự nội xạ phải quy von Neumann, vành nửa di truyền phải (semihereditary) Noether phải, lớp vành thỏa mãn định nghĩa lớp vành Baer Một số tính chất thú vị lớp vành Baer chứng minh Kaplansky số nhà toán học khác giới Trong năm gần đây, tiếp nối hướng nghiên cứu này, nhà toán học như: S K Berberian, G F Birkenmeier, A W Chatters, S M Khuri, J Y Kim, Y Hirano, J K Park, A Pollingher, K G Wolfson, A Zaks nhiều tác giả khác đặc biệt quan tâm nghiên cứu ([4], [5], [6], [8], ) Mở rộng hướng nghiên cứu này, năm 2004, [10] Rizvi S T Roman C S (Ohio State University, USA) đưa khái niệm môđun Baer: Môđun M gọi môđun Baer với N → M , linh hóa tử trái N S hạng tử trực tiếp S -mơđun trái S Hay nói cách khác, môđun M gọi môđun Baer với N → M , linh hóa tử trái N S sinh phần tử lũy đẳng S Trong S vành tự đồng cấu môđun M ([10]) Với số lượng lớn cơng trình cơng bố liên quan đến lớp môđun Baer thời gian gần chứng tỏ quan tâm nhà nghiên cứu lý thuyết vành lớp môđun Từ lý nêu, sở tài liệu tham khảo (xem [9]) lựa chọn đề tài: "Một số tính chất mơđun Baer" nhằm mục đích tìm hiểu tính chất lớp mơđun Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu dành để trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho nội dung chương 2, chẳng hạn như: Kiến thức vành phần tử đặc biệt vành, kiến thức vành môđun CS, Chương Môđun Baer Với việc chứng minh tường minh kết [9], nội dung chương tập trung trình bày tính chất lớp môđun Baer, mối liên hệ lớp mơđun với lớp CS mơđun trình bày tiết sau: 2.1 Định nghĩa số tính chất mơđun Baer Nội dung phần dành để giới thiệu định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp mơđun Baer 2.2 Tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun Baer Một số kết tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp lớp môđun Baer chúng tơi giới thiệu tiết Ngồi ra, chúng tơi lựa chọn trình bày số kết mối liên hệ lớp môđun CS lớp môđun Baer Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2012 hướng dẫn PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người định hướng nghiên cứu, tận tình giúp đỡ, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi tới thầy giáo, cô giáo Bộ mơn Đại số, khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học - trường Đại học Vinh lời cảm ơn chân thành Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Đình Liễn tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn giúp đỡ ủng hộ tinh thần lẫn vật chất gia đình, bạn bè suốt thời gian qua dành cho tác giả Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A →e B : A môđun cốt yếu B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết biết sử dụng trực tiếp đề tài Các khái niệm, tính chất ký hiệu, chủ yếu tham khảo tài liệu [1] [3] Trong suốt luận văn, vành giả thiết vành kết hợp, khơng giao hốn có đơn vị Các mơđun vành ln hiểu unita phải (nếu khơng nói thêm ) 1.1 Một số phần tử đặc biệt vành 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R Một phần tử a ∈ R gọi là: ước không trái (phải) ab = 0(ba = 0), với = b ∈ R ước khơng ước khơng trái phải lũy đẳng a2 = a lũy linh ak = 0, với k ∈ N quy tồn b ∈ R cho aba = a khả nghịch trái (phải) tồn b ∈ R cho ba = 1(ab = 1) khả nghịch khả nghịch trái phải Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R ký hiệu U (R) tâm ab − ba = 0; ∀b ∈ R 1.1.2 Nhận xét Với vành R, phần tử lũy đẳng Với vành R, e ∈ R lũy đẳng (1 − e) lũy đẳng Thật vây Từ e lũy đẳng ta có: e2 = e ⇔ e2 − e = ⇔ e2 − 2e + = − e ⇔ (1 − e)2 = − e Hay (1 − e) phần tử lũy đẳng 1.1.3 Định nghĩa Hai phần tử lũy đẳng e, f ∈ R gọi trực giao ef = f e = Phần tử lũy đẳng R gọi lũy đẳng ngun thủy khơng thể biểu diễn thành tổng hai phần tử lũy đẳng trực giao khác khơng Tiếp theo có số tính chất phần tử 1.1.4 Bổ đề (1) Phần tử lũy đẳng e ∈ R không khả nghịch phải ước (2) Mọi phần tử lũy linh ước không (3) Mọi phần tử khả nghịch phải (trái) a ∈ R phần tử quy (4) Mọi phần tử lũy đẳng quy (5) Nếu a ∈ R phần tử quy với b ∈ R thỏa mãn aba = a, ab ba phần tử lũy đẳng (6) Nếu không phần tử lũy linh R phần tử lũy đẳng e ∈ R lũy đẳng tâm (7) Tập hợp phần tử tâm vành R lập thành vành Kí hiệu Z(R) Nếu R có đơn vị ∈ Z(R) 1.2 Linh hóa tử số tính chất 1.2.1 Định nghĩa Cho vành R A tập khác rỗng R Linh hóa tử trái (phải) A R tập hợp AnlR (A) = {b ∈ R : ba = 0; ∀a ∈ A} (AnrR (A) = {b ∈ R : ab = 0; ∀a ∈ A}) Linh hóa tử A R tập hợp AnR (A) = {AnlR ∩ AnrR (A)} Để tiện sử dụng, ký hiệu l(A) (r(A)) để linh hóa tử trái (phải) tập hợp A R Ta có số tính chất linh hóa tử 1.2.2 Bổ đề Cho A tập khác rỗng R Ta có: (1) l(A) iđêan trái r(A) iđêan phải R (2) Nếu A ∈ Z(R) l(A) = r(A) iđêan R (3) Nếu A iđêan trái (phải) l(A) (r(A)) iđêan R (4) A ⊂ AnR (AnR (A)) Từ phần tử lũy đẳng, ta có định lý phân tích vành sau 1.2.3 Định lý Cho R vành (1) Nếu A iđêan trái R sinh phần tử lũy đẳng e ∈ R, nghĩa A = R (e), R = A ⊕ l(e) phân tích thành iđêan trái (2) Nếu B iđêan R sinh lũy đẳng tâm f ∈ R, R = B ⊕ AnR (f ) phân tích thành iđêan (3) Nếu R có đơn vị 1, iđêan (trái) hạng tử trực tiếp sinh phần tử lũy đẳng tâm f ∈ Z(R) (e ∈ R) Trong trường hợp ta có AnR (f ) = R(1 − f ) (l(e) = R(1 − e)) Với e phần tử lũy đẳng R, ta có định lý phân tích Peirce phát biểu sau: 1.2.4 Định lý (Định lý phân tích Peirce) Cho e phần tử lũy đẳng R Khi đó: R = eRe + el(e) + r(e)e + l(e) ∩ r(e) phân tích vành R thành tổng vành Nếu e ∈ Z(R) phân tích phân tích thành iđêan: R = Re ⊕ AnR (e) 1.3 Môđun nội xạ điều kiện Ci 1.3.1 Định nghĩa Môđun A R-môđun M gọi môđun thực A = A = M 10 1.3.5 Định nghĩa Cho M R- môđun phải Phần tử m ∈ M gọi phần tử suy biến M r(m) →e RR Tập tất phần tử suy biến M môđun M , ký hiệu Z(M ), gọi môđun suy biến M Xét vành R R- môđun phải ta có Z(RR ) iđêan R gọi iđêan suy biến phải (right singular ideal) Tương tự ta có Z(R R) iđêan suy biến trái (left singular ideal) R- môđun M gọi môđun suy biến (không suy biến) Z(M ) = M (t.ư., Z(M ) = 0) Đặc biệt, vành R gọi vành không suy biến phải (trái) Z(RR ) = (t.ư., Z(R R) = 0) 1.3.6 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R Như có, mơđun N nội xạ N RR -nội xạ Môđun N nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: a) Với môđun A với môđun X A, đồng cấu f : X → N mở rộng thành đồng cấu từ A → N ; b)(Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N ; c) Với R-môđun M , đơn cấu f : N → M chẻ Nghiã là, Im f hạng tử trực tiếp M ; d) R-mơđun N khơng có mở rộng cốt yếu thực 1.3.7 Định nghĩa Hai R-môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại 11 1.3.8 Định nghĩa Nếu N môđun cốt yếu mơđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ môđun N Kí hiệu E(N ) Đối ngẫu với khái niệm mơđun nội xạ có khái niệm mơđun xạ ảnh 1.3.9 Định nghĩa Môđun P gọi M -xạ ảnh với toàn cấu g : M → N đồng cấu f : P → N tồn đồng cấu h : P → M cho f = gh Môđun P gọi xạ ảnh P M -xạ ảnh với mơđun M thuộc Mod-R Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như: giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ v.v Ở tiết ta quan tâm hướng mở rộng tính chất nội xạ thông qua điều kiện C1 , C2 , C3 Từ đó, có khái niệm CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục v.v Cho MR R- môđun phải Ta xét điều kiện sau: • (C1 ) : Mọi mơđun MR cốt yếu hạng tử trực tiếp MR Hay nói cách khác, mơđun đóng MR hạng tử trực tiếp MR • (C2 ) : Nếu A B môđun MR đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp MR B hạng tử trực tiếp MR • (C3 ) : Nếu A B hạng tử trực tiếp MR A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp MR • (1 − C1 ) : Nếu U mơđun đóng, MR U hạng tử trực tiếp MR Điều kiện (1 − C1 ) mở rộng điều kiện C1 từ điều kiện C2 suy điều kiện C3 12 1.3.10 Định nghĩa Môđun MR gọi CS-môđun (hay extending module) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) Môđun MR gọi liên tục (continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Môđun MR gọi tựa liên tục (quasi-continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Môđun MR gọi (1 − C1 )- môđun (uniform extending) MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ) Từ định nghĩa có dãy kéo theo sau đây: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) Sử dụng khái niệm cho vành R xét R R-mơđun có khái niệm tương ứng 1.3.11 Định nghĩa Vành R gọi CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải RR CS (liên tục, tựa liên tục) mơđun phải Vành R gọi C1 (C2 , C3 ) vành phải RR thỏa mãn tính chất C1 (t.ư., C2 , C3 ) Tương tự có khái niệm cho phía trái Tiếp theo có kết tổng trực tiếp mơđun nội xạ làm sở cho việc trình bày chứng minh sau 1.3.12 Bổ đề Nếu Mi N -nội xạ, với i = 1, 2, , n (n ∈ N), i≤n Mi N là N -nội xạ Nếu N Mi - nội xạ, với i = 1, 2, , n (n ∈ N) i≤n Mi - nội xạ 13 CHƯƠNG MÔĐUN BAER 2.1 Định nghĩa số tính chất môđun Baer 2.1.1 Định nghĩa Môđun M gọi môđun Baer với N → M , linh hóa tử trái N S hạng tử trực tiếp S -môđun trái S Hay nói cách khác, mơđun M gọi mơđun Baer với N → M , linh hóa tử trái N S sinh phần tử lũy đẳng S Trong S vành tự đồng cấu môđun M 2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa môđun Baer thấy rằng: vành Baer xem R-mơđun Baer nó; mơđun nửa đơn môđun Baer; Zn Z-môđun Baer, với n ∈ N 2.1.3 Định nghĩa Một R-môđun M gọi có tính chất SIP (Summand Intersection Property) giao hai hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Một R-mơđun M gọi có tính chất SSIP (Strong Summand Intersection Property) giao họ tùy ý hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Trước hết chứng minh số tính chất lớp mơđun Baer 2.1.4 Định lý R-môđun M môđun Baer M có tính chất SSIP Ker(ϕ) ⊆⊕ M, ∀ϕ ∈ S 14 Chứng minh Đối với điều kiện cần, trước hết ta thấy tập tất iđêan trái tập tập tất iđêan trái điều kiện Ker(ϕ) ⊆⊕ M, ∀ϕ ∈ S hiển nhiên thỏa mãn Để chứng minh M có tính chất SSIP ta lấy e2i = ei ∈ S (với i ∈ I tập số đó) đặt I = Σi∈I S(1−ei ) Khi đó, với m thuộc M thỏa mãn ϕm = 0, ∀ϕ ∈ I ta có (1 − ei )m = 0, hay (1 − ei ) ∈ I Do ta có Ker((1 − ei )) ⊇ rM (I), ∀i ∈ I Đặt N = ∩i∈I ei M = ∩i∈I Ker((1 − ei )), rM (I) ⊆ N Đối với bao hàm thức ngược lại ta lấy m ∈ M \ N , tồn i0 cho (1 − ei0 )m = m ∈ / rM (I) Vậy rM (I) = N Theo giả thiết, M mơđun Baer ∩i∈I ei M = N = rM (I) ⊆⊕ M Vậy M có tính chất SSIP Để chứng minh điều kiện đủ, lấy I tập S Với ϕ ∈ I , theo giả thiết ta có Ker(ϕ) ⊆⊕ M Mặt khác, M có tính chất SSIP nên rM (I) = ∩ϕ∈I Ker(ϕ) ⊆⊕ M Vậy M môđun Baer 2.1.5 Định nghĩa Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện (∗) với ϕ ∈ S, rM (ϕ) = Kerϕ →e M ϕ = 2.1.6 Nhận xét Về lớp mơđun thỏa mãn điều kiện có mơđun nửa đơn thỏa mãn điều kiện (∗) Đặc biệt, Z-môđun Zp (với p số nguyên tố) môđun nửa đơn nên tất vành tự đồng cấu khác khơng tự đẳng cấu Do Z-môđun Zp thỏa mãn điều kiện (*) Một câu hỏi hiển nhiên đặt là: liệu tính chất (∗) nêu di truyền tới hạng tử trực tiếp hay không? Bổ đề sau câu trả lời 2.1.7 Bổ đề Điều kiện (∗) có tính chất di truyền hạng tử trực tiếp Chứng minh Giả sử M môđun thỏa mãn điều kiện (∗) N ⊆⊕ M Ta phải chứng minh N thỏa mãn điều kiện (∗) 15 Thật vậy, xét ϕ ∈ EndR (N ) cho Kerϕ →e N Đặt ϕ = ϕπN : M → N ⊆ M , πN phép chiếu từ M vào N Khi Ker(ϕ) = N ⊕ Ker(ϕ) Mặt khác, M = N ⊕ N , Ker(ϕ) ⊆⊕ M Do M môđun thỏa mãn điều kiện (∗) nên ϕ = Vậy ϕ = 0, hay nói cách khác, N thỏa mãn điều kiện (∗) Kết cho thấy mối liên hệ lớp môđun Baer với điều kiện (∗) 2.1.8 Bổ đề Môđun Baer thỏa mãn điều kiện (∗) Chứng minh Xét M môđun Baer ϕ ∈ S tự đồng cấu M thỏa mãn Kerϕ →e M Theo giả thiết, M môđun Baer nên Kerϕ = rM (Sϕ) = f M (với f S thỏa mãn f = f ), suy Kerϕ hạng tử trực tiếp M Kết hợp giả thiết Kerϕ →e M ta có Kerϕ = M ϕ = Vậy M thỏa mãn điều kiện (∗) Tiếp theo, tìm hiểu mối liên hệ lớp môđun Baer môđun CS 2.1.9 Định lý Môđun CS thỏa mãn điều kiện (∗) môđun Baer Chứng minh Giả sử M môđun CS thỏa mãn điều kiện (∗) xét N mơđun M Từ tính chất CS M , tồn e2 = e ∈ S cho N →e eM lS (N ) ⊇ lS (eM ) = S(1−e) Giả sử bao hàm thức ngặt, tồn ϕ ∈ lS (N ) \ S(1 − e) Từ S = Se ⊕ S(1 − e) S-môđun trái ta có ϕ = s1 e + s2 (1 − e), với s1 , s2 thuộc S thỏa mãn s1 e = Thay ϕ ϕ − s2 (1 − e) ∈ lS (N ), ta giả sử ϕ phần tử khác không S Khi đó, ϕ(N ) = ϕ((1 − e)M ) = ϕ(N ⊕ (1 − e)M ) = Mặt khác ta lại có N ⊕ (1 − e)M →e M , từ tính chất (∗) M ta có ϕ = 0, điều mâu thuẫn với giả sử Vậy lS (N ) = S(1 − e) M mơđun Baer Từ kết Định lý 2.1.9 có số hệ sau: 16 2.1.10 Hệ Xét M mơđun CS vành R Khi M/Z2 (M ) mơđun Baer Trong Z2 (M ) mơđun suy biến thứ M Chứng minh Từ tính chất CS M ta có M = M ⊕ Z2 (M ), M Z2 (M ) môđun CS Mặt khác, M ∼ = M/Z2 (M ) môđun không suy biến thỏa mãn điều kiện (∗) Sử dụng kết Định lý 2.1.9 ta có M ∼ = M/Z2 (M ) môđun Baer Xét vành R R- mơđun CS M môđun xiclic không suy biến, có tính chất sau: 2.1.11 Hệ Giả RR mơđun CS Khi đó, mơđun xiclic khơng suy biến M môđun Baer Chứng minh Từ giả thiết RR CS mơđun ta có mơđun xiclic không suy biến M môđun CS Do M môđun CS M không suy biến nên ta có M mơđun CS thỏa mãn điều kiện (∗) Sử dụng kết Định lý 2.1.9 ta có M mơđun Baer 2.2 Tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun Baer Mở đầu tiết chúng tơi trình bày số tính chất hạng tử trực tiếp lớp môđun Baer Như biết, tính chất nội xạ, tựa nội xạ, CS, có tính di truyền cho hạng tử trực tiếp Định lý sau câu trả lời cho câu hỏi tương tự môđun Baer 2.2.1 Định lý Mọi hạng tử trực tiếp môđun Baer môđun Baer Chứng minh Giả sử M môđun Baer N ⊆⊕ M Do M môđun Baer nên theo Định lý 2.1.4 ta có M có tính chất SSIP Kerϕ ⊆⊕ M , với ϕ ∈ S 17 Đặt M = N ⊕ N Khi ta có, hạng tử trực tiếp N hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, biết, tập N hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp N Do đó, N có tính chất SSIP Với ψ ∈ End(N ) ta mở rộng ψ tới vành tự đồng cấu M cách đặt ψ = ψπN : M → N ⊆ M Trong πN phép chiếu M tới N Khi ta có Ker(ψ) ⊆⊕ M , Ker(ψ) = N ⊕ Ker(ψ) Kết hợp tính chất SSIP N theo chứng minh ta có Ker(ψ) ⊆⊕ N Như có N có tính chất SSIP Ker(ψ) ⊆⊕ N với ψ ∈ End(N ), thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.4 Vậy N môđun Baer Từ kết định lý kết hợp định lý phân tích vành tổng qt có hệ trực tiếp sau: 2.2.2 Hệ Giả sử R vành Baer e2 = e ∈ R phần tử lũy đẳng R Khi M = eR R-môđun Baer Tiếp theo có đặc trưng mơđun Baer khơng phân tích vành 2.2.3 Bổ đề Mơđun Baer M khơng phân tích tự đồng cấu khác không M đơn cấu Chứng minh Trước hết chứng minh điều kiện cần Giả sử M môđun Baer khơng phân tích = ϕ ∈ End(M ) Do M môđun Baer, sử dụng kết Định lý 2.1.4 ta có Kerϕ ⊆⊕ M , Ker(ϕ) = Ker(ϕ) = M Theo giả thiết, ϕ = nên ta có Ker(ϕ) = 0, hay ϕ đơn cấu Ngược lại, ta giả sử M khơng mơđun khơng phân tích Hay nói cách khác, giả sử có phân tích M = M1 ⊕ M2 , với M1 , M2 = Đặt ϕ = π1 phép chiếu từ M tới M1 Khi Ker(ϕ) = M2 18 môđun thực M , điều mâu thuẫn với giả sử Vậy, để M thỏa mãn môđun Baer hạng tử trực tiếp có M Vậy M mơđun khơng phân tích Kết bổ đề sau cho thấy phân tích mơđun Baer thành mơđun khơng phân tích phân hoạch hữu hạn 2.2.4 Bổ đề Mọi phân tích mơđun Baer thành tổng trực tiếp môđun không phân tích phân tích hữu hạn Chứng minh Giả sử có hai phân tích M sau: M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn , với n ∈ N {Mi }i∈N mơđun khơng phân tích được; M= i∈I Ni , với {Ni }i∈I môđun không phân tích j Lấy = mj ∈ Mj , j = 1, 2, , n Khi mj = Σi∈Ij ni , |Ij | < ∞, ∀j = 1, 2, , n Nhưng Mj ∩ i∈I Ni = 0, M môđun Baer nên theo Định lý 2.1.4 ta có M có tính chất SSIP Hay Mj ∩ Mj mơđun khơng phân tích Mj ∩ Suy Mj ⊆ i∈I Ni ⊆⊕ Mj , i∈I Ni = Mj i∈I Ni Khi ta có M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn ⊆ i∈I1 ∪I2 ∪ ∪In Ni Nhưng tập số I1 , I2 , , In tập hữu hạn phần tử Do có hữu hạn Ni khác không với i ∈ I Như biết, tổng trực tiếp môđun nội xạ (môđun liên tục, môđun CS, ) không môđun nội xạ (môđun liên tục, môđun CS, ) Câu hỏi tương tự đặt cho lớp môđun Baer: Tổng trực tiếp mơđun Baer có mơđun Baer hay không? Nội dung giới thiệu số kết tổng trực tiếp môđun Baer nhằm làm rõ câu hỏi Trước hết xét ví dụ sau: 19 2.2.5 Ví dụ Xét Z-môđun M = Z ⊕ Z2 , ta thấy Z Z2 Z-môđun Baer Tuy nhiên, Z nên đồng cấu ϕ : (n, m) → (0, n) có Ker(ϕ) = 2Z ⊕ Z2 = Z ⊕ Z2 , không hạng tử trực tiếp Vì M khơng mơđun Baer Qua ví dụ cho thấy, tổng trực tiếp mơđun Baer không môđun Baer Để thiết lập điều kiện cần cho tổng trực tiếp môđun Baer mơđun Baer có khái niệm Baer lẫn (relatively Baer ) 2.2.6 Định nghĩa Cho M N mơđun Baer Chúng ta nói M N Baer lẫn với ϕ : M → N ta có Ker(ϕ) ⊆⊕ M với ψ : N → M ta có Ker(ψ) ⊆⊕ N Định lý sau điều kiện cần để tổng trực tiếp hữu hạn môđun Baer môđun Baer 2.2.7 Định lý Giả sử {Mi }i≤n với n ∈ N họ môđun Baer, với i = j ta có Mi nội xạ lẫn Baer lẫn với Mj Khi i≤n Mi môđun Baer Để chứng minh định lý trên, trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 2.2.8 Bổ đề Giả sử M N R-môđun cho M N - nội xạ Khi đó, P ⊆ M ⊕ N cho P ∩ M = tồn P ⊆⊕ M ⊕ N cho P ⊆ P M ⊕ P = M ⊕ N Chứng minh Nếu M ∩ P = πN (p) = với p ∈ P (trong πN phép chiếu từ M ⊕ N vào N ) Suy p ∈ P ∩ M = ⇒ p = Do xây dựng đồng cấu sau: ϕ : πN (P ) → πM (P ) (trong πM phép chiếu từ M ⊕ N vào M ) xác định bới công thức: ϕ(πN (p)) = πM (p) Từ tính chất N - nội xạ M nên đồng cấu ϕ mở rộng thành đồng cấu ϕ : N → M Hơn xây dựng 20 mơđun M ⊕ N sau: P = {n + ϕ(n)|n ∈ N Do ϕ mở rộng ϕ nên ta có P ⊆ P Ta ý P ∩ M = 0, từ n + ϕ(n) ∈ M suy n = ϕ(n) = Mặt khác, từ N ⊆ M + P suy M ⊕ N = M + P , M ⊕ N = M ⊕ P Chúng ta trở lại với việc chứng minh Định lý 2.2.7 Chứng minh Định lý 2.2.7 Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n = hiển nhiên nên bắt đầu chứng minh với n = Với n = 2, đặt {ϕj }j∈J lớp đồng cấu M1 ⊕ M2 , J tập số Đặt K = ∩j∈J Ker(ϕj ), ta phải chứng minh ∩j∈J Ker(ϕj ) ⊆⊕ M1 ⊕ M2 Dễ thấy K có giao với M1 M2 hiển nhiên hạng tử trực tiếp hai hạng tử lại Do giả sử K ∩ M1 = Đặt π1 , π2 phép chiếu đồng cấu bao hàm từ M1 ⊕ M2 tới M1 M2 Khi ta có Ker(ϕj ) ∩ M1 = Ker(π1 ϕj i1 ) ∩ Ker(π2 ϕj i1 ) Tuy nhiên Ker(π1 ϕj i1 ) Ker(π2 ϕj i1 ) hạng tử trực tiếp M1 , M2 thỏa mãn điều kiện Baer lẫn Theo Định lý 2.1.4, M1 có tính chất SSIP đó: K ∩ M1 = (∩j∈J Ker(ϕj )) ∩ M1 = ∩j∈J (Ker(ϕj ) ∩ M1 ) ⊆⊕ M1 Do K = (K∩M1 )⊕K M1 = (K∩M1 )⊕M1 Tương tự, có K ∩M2 ⊆⊕ M2 K = (K ∩M2 )⊕K” M2 = (K ∩M2 )⊕M2 Trong trường hợp K” giao tất Ker(ϕj ) với ϕj hạn chế M1 ⊕ M2 Khi ta có: K” ∩ M1 = K” ∩ M2 ; M1 , M2 (các hạng trực tiếp tương ứng M1 M2 ) môđun Baer Đồng thời M1 , M2 thỏa mãn điều kiện nội xạ lẫn Baer lẫn Khơng làm tính tổng quát, giả sử K” = K , M1 = M1 M2 = M2 21 Từ tính chất nội xạ lẫn M1 M2 , sử dụng Bổ đề 2.2.8, nhúng K vào hạng tử trực tiếp N2 cho: K ⊆ N2 M1 ⊕N2 = M1 ⊕ M2 Từ ta có N2 ∼ = M2 N2 mơđun Baer Hơn nữa, N2 nội xạ lẫn Baer lẫn với M1 Lấy p1 , p2 i1 , i2 phép chiếu đồng cấu bao hàm M1 , M2 Tương tự chứng minh có K = ∩j∈J (Ker(p1 ϕj i1 ) ∩ Ker(p2 ϕj i2 )) Với j , Ker(p1 ϕj i1 ) Ker(p2 ϕj i2 ) hạng tử trực tiếp N2 Hơn nữa, theo chứng minh N2 mơđun Baer, theo Định lý 2.1.4 ta có N2 có tính chất SSIP, hay giao họ hạng tử trực tiếp hạng tử trực tiếp Vậy ta có điều cần chứng minh K ⊆⊕ N2 ⊆⊕ M1 ⊕ M2 Sử dụng Định lý 2.1.4 ta có M1 ⊕ M2 mơđun Baer Bây giả sử có họ môđun Baer {Mi } (i = 1, 2, , n), thỏa mãn điều kiện đôi Baer lẫn nội xạ lẫn i≤n Mi môđun Baer Giả sử Mn+1 môđun Baer thỏa mãn điều kiện Baer lẫn với i≤n Mi Ta phải chứng minh i≤n+1 Mi mô đun Baer Thật vậy, theo Bổ đề 1.3.12 ta có Như có, i≤n Mi i≤n Mi nội xạ lẫn với Mn+1 Mn+1 môđun Baer thỏa mãn Baer lẫn nội xạ lẫn Do đó, theo chứng minh cho trường hợp n = ta có: Baer i≤n Mi ⊕ Mn+1 = i≤n+1 Mi môđun 22 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo, đặc biệt tài liệu [9] Luận văn tập trung tìm hiểu số vấn đề sau: Khái niệm mơđun Baer số tính chất lớp mơđun giới thiệu phần 2.1 Định lý 2.1.4 cho điều kiện cần đủ lớp mơđun Baer thơng qua tính chất SSIP Mối liên hệ lớp môđun Baer lớp môđun CS (Định lý 2.1.9) thiết lập thông qua điều kiện (∗) (Định nghĩa 2.1.5) Các tính chất tổng trực tiếp môđun Baer chứng minh cách tường minh (tiết 2.2) Định lý 2.2.1 cho thấy hạng tử trực tiếp môđun Baer mơđun Baer Tuy nhiên, Ví dụ 2.2.5 lại cho thấy tổng trực tiếp môđun Baer không môđun Baer Định lý 2.2.7 cho ta điều kiện để tổng trực tiếp môđun Baer môđun Baer 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2009), Lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm B Tiếng Anh [3] F.W Anderson and K.R Fuller, Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974 [4] Birkenmeier, G F.; Heatherly, H E.; Kim, J Y; Park, J K., Triangular Matrix Representations, J Algebra 2000, 230, 558-595 [5] Birkenmeier, G F.; Mă uller, B J.; Rizvi, S T., Modules In Which Every Fully Invariant Submodule is Esential In A Direct Summand, Comm Algebra 2002, 30, 1395-1415 [6] Chatters, A W.; Khuri, S M., Endomorphism Rings Of Modules Over Non-singular CS Rings, J London Math Soc, 1980, 25(2), 303308 [7] Kaplansky, I., Rings of Operators, Mathematics Lecture Note Series, W A Benjamin, New York, 1968 [8] Mewborn, A C., Regular Rings And Baer Rings, Math Z, 1971, 121, 211-219 24 [9] Rizvi, S T.; Roman, C S., Baer Property Of Modules And Applications, Advances in Ring Theory, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2004, 225-241 [10] Rizvi, S T.; Roman, C S., Baer And Quasi-Baer Modules, Comm Alg, 2004, 32(1), 103-123 ... sau: 2.1 Định nghĩa số tính chất mơđun Baer Nội dung phần dành để giới thiệu định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp môđun Baer 2.2 Tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun Baer Một số kết tổng trực tiếp... sở 1.1 Một số phần tử đặc biệt vành 1.2 Linh hóa tử số tính chất 1.3 Môđun nội xạ điều kiện Ci Môđun Baer 13 2.1 Định nghĩa số tính chất mơđun Baer. .. câu hỏi tương tự môđun Baer 2.2.1 Định lý Mọi hạng tử trực tiếp môđun Baer môđun Baer Chứng minh Giả sử M môđun Baer N ⊆⊕ M Do M môđun Baer nên theo Định lý 2.1.4 ta có M có tính chất SSIP Kerϕ