Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 1 có nội dung bao gồm các khái niệm nền tảng của toán học như: Giới hạn của hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân của hàm số một biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học. Đây là phần kiến thức toán học cần thiết cho sinh các ngành: Kinh tế, Kỹ thuật,...của các trường Đại học.
UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng - 2021 LỜI NÓI ĐẦU "Bài giảng Giải tích 1" có nội dung bao gồm khái niệm tảng toán học như: Giới hạn cuả hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân hàm số biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Đây phần kiến thức tốn học cần thiết cho sinh ngành: Kinh tế, Kỹ thuật, trường Đại học Với mục đích ý nghĩa trên, biên soạn giới thiệu tài liệu: "Bài giảng tích 1" nhằm giúp cho sinh viên, giáo viên giảng dạy bạn yêu thích mơn Tốn làm tài liệu học tập tham khảo Tài liệu chia làm chương: Chương 1: Giới hạn tính liên tục Chương 2: Đạo hàm vi phân hàm số biến số Chương 3: Nguyên hàm tích phân bất định Chương 4: Tích phân xác định Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Chương Chúng tơi trình bày hàm số biến số thực; giới hạn hàm số hàm số liên tục Chương Chúng tơi trình bày đạo hàm vi phân hàm số biến; Đạo hàm vi phân cấp cao Khai triển Taylor; Sử dụng quy tắc L'Hơpital để tính giới hạn hàm số; Khảo sát hàm số, hàm số cho phương trình tham số phương trình cho hệ tọa độ cực Chương Chúng tơi trình bày nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định hàm số hữu tỉ; Tích phân hàm số lượng giác; Tích phân hàm số vơ tỉ Chương Chúng tơi trình bày Tích phân xác định; Các phương pháp tính tích phân xác định; Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Chương Chúng tơi trình bày Định nghĩa hàm số nhiều biến; Đạo hàm vi phân; Cực trị hàm số nhiều biến số Chương Chúng tơi trình bày Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học phẳng; Tiếp tuyến đường cong; Độ cong đường cong phẳng; Đường tròn khúc -Khúc tâm; Đường cong phụ thuộc tham số Đường túc bế, thân khai Hàm vectơ; Độ cong không gian; Mặt không gian Sau chương chúng tơi có giới thiệu hệ thống tập phù hợp với nội dung kiến thức vừa trình bày, nhằm giúp cho sinh viên luyện tập, củng cố khắc sâu kiến thức Chúng hy vọng rằng, tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên, nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu Đây lần viết đầu tiên, chắn tài liệu cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét bạn đọc phương diện để nội dung tài liệu ngày tốt ThS Phan Bá Trình MỤC LỤC Lời nói đầu .2 Mục lục Chương 1.Giới hạn tính liên Bài Hàm số biến số Bài 2.Giới hạn hàm .17 Bài Hàm số liên tục 25 Bài tập chương 36 Chương Đạo hàm vi phân hàm số Bài Khái niệm đạo hàm 39 Bài Các quy tắc tính đạo hàm 45 Bài Vi phân 49 Bài Các định lý hàm khả vi 54 Bài Công thức Taylor 58 Bài Một số ứng dụng đạo hàm vi phân 63 Bài tập chương .90 Chương Nguyên hàm tích phân bất định Bài Nguyên hàm tích phân bất định 93 Bài 2.Các phương pháp tính tích phân bất định 96 Bài tập chương .108 Chương Tích phân xác định Bài Khái niệm tích phân xác định 109 Bài 2.Phương pháp tính tích phân xác định 117 Bài 3.Ứng dụng tính tích phân xác định .123 Bài 4.Tích phân suy rộng 131 Bài tập chương 139 Chương Hàm số nhiều biến số Bài Định nghĩa hàm số nhiều biến số 141 Bài Giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số 147 Bài Đạo hàm riêng vi phân toàn phần 151 Bài Cực trị hàm số nhiều biến số 163 Bài tập chương .169 Chương Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Bài Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học phẳng 171 Bài Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học không gian 177 Tài liệu tham khảo .181 Bài giảng Giải tích Chương GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Bài 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 1.1.1.1 ĐỊNH NGHĨA Hàm số ánh xạ f từ tập D R vào tập R Người ta thường viết gọn hàm số: f :DR x y f ( x) Trong đó: x gọi biến số (đối số) y f (x) : gọi giá trị hàm số x D: gọi miền xác định hàm số f (x) (Tập tất giá trị x cho hàm số có nghĩa) f ( D) y R : x D; y f ( x) R miền giá trị hàm số Nếu x x0 D y0 f ( x0 ) gọi giá trị hàm số x0 Ví dụ 1.1 a Hàm số y có miền xác định D R \ 0 x b Hàm số y x 3x hàm bậc hai, có miền xác định D R c Hàm số y x có miền xác định D x R : x x R : 1 x 1 d Hàm số y f ( x) x hàm đồng nhất, thường ký hiệu: id(x) e Hàm số y f ( x) E ( x) hàm số phần nguyên x (nghĩa E(x) số nguyên lớn không lớn x Chẳng hạn: E (2,8) 3; E(0) 0; E(3) 3; E(2,4) Ví dụ 1.2 Cho hàm số y f ( x) x ln( x 3x 2) i Tìm miền xác định hàm số ii Tìm giá trị hàm số x 1; x Giải i Hàm số xác định khi: 4 x x 2 x x 3x ( x 1) (x 2) ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Vậy miền xác định hàm số cho tập: D 2; 1 ii Tại x 1 , ta có y f (1) (1) ln (1) 3(1) 2 ln Tại x , ta có y f (0) ln 0 3.0 ln 1.1.1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO HÀM SỐ (1) Phương pháp giải tích: Cho hàm số biểu thức giải tích a Cho biểu thức Ví dụ 1.3 i y f ( x) x 3x ii y f ( x) sin x cos x y b Cho nhiều biểu thức Ví dụ 1.4 x ; x 2 x ; x i y f ( x) ; x ii y f (x) ; x ; x x -1 Hình 1.1 Đây hàm dấu x (Hình 1.1) Ký hiệu: sign x Đọc là: signum x (2) Phương pháp cho theo bảng: Phương pháp giải tích thường dùng nghiên cứu lý thuyết, nhiều khơng tiện lợi thực hành phải tính đủ phép tốn tính giá trị hàm số Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng sau Cho dãy giá trị tương ứng x dãy giá trị tương ứng y Ví dụ 1.5 Cho hàm số f(x) theo bảng giá trị sau: x f(x) 16 (3) Phương pháp đồ thị Đồ thị hàm số cho ta có hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất hàm số Vì thế, kinh tế kỹ thuật người ta cho hàm số cách cho đồ thị Nhược điểm phương pháp cho theo bảng phương pháp cho hàm số đồ thị thiếu xác 1.1.1.3 PHÉP TỐN TRÊN CÁC HÀM SỐ Cho hàm số y f (x) có miền xác định D1 g g (x) có miền xác định D2 Đặt D D1 D2 , hàm số F xác định D gọi tổng (hiệu, tích, thương) hàm số f g với x D ta có: ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích F ( x) f ( x) g ( x); ( f ( x) g ( x); f ( x).g ( x); f ( x) với g ( x) 0) g ( x) 1.1.2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y f (x) có miền xác định D Tập hợp điểm M ( x; y ) với x D mặt phẳng Oxy thoả mãn đẳng thức y f (x) gọi đồ thị hàm số y f (x) Chú ý 1.1 Đồ thị hàm số tập điểm rời rạc hữu hạn vơ hạn, tập mảnh cung đứt đoạn cung liền Ví dụ 1.6 i Đồ thị hàm số y x đường thẳng (Hình 1.2) ii Đồ thị hàm số y x parabol (Hình 1.3) y y y x y x 1 Hình 1.2 x 1 -1 Hình 1.3 x 1.2 HÀM SỐ HỢP - HÀM SỐ NGƯỢC 1.2.1 Hàm số hợp: Giả sử X R; Y f ( X ) R Z R Cho hàm số f : X Y g : Y Z Xét hàm số h : X Z xác định h( x) g f ( x); x X Khi đó, h gọi hàm số hợp hai hàm số f g Ký hiệu: g f hay g f Vậy: h( x) g f ( x) g f ( x) Ví dụ 1.7 Cho hai hàm số f ( x) x g ( x) cos x Khi đó: i g f ( x) g f ( x) g (3 x ) cos x ii f g ( x) f g ( x) f (cos x) 3cos x iii g g ( x) g g ( x) g (cos x) cos(cos x) 1.2.2 Hàm số ngược: Cho hàm số: f : X Y R x y f (x) Nếu tồn hàm số: g :Y X R y g ( y) x hàm số g hàm số ngược hàm số f Ký hiệu: g f 1 Ta có: g ( y ) f 1 ( y ) f 1 f ( x) x ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Đồ thị hàm số ngược f 1 đối xứng với đồ thị hàm số f qua đường phân giác thứ Ví dụ 1.8 i Cho hàm số f : R R x y f ( x) x f có hàm số ngược là: f 1 : R R y x f 1 ( y ) y (Thường viết lại là: y f 1 ( x) x ) ii Cho hàm số: f : R \ 1 R x y f ( x) Ta có: y f ( x) y 3x x 1 3x y x ; ( y 3) x 1 y 3 Vậy hàm ngược là: y f 1 ( x) x , có miền xác định là: R \ 3 x3 iii Cho hàm số: y a x ; (a 0; a 1) Khi đó, hàm số là: y log a x Vì f 1 ( y ) log a (a x ) x 1.3 CÁC LOẠI HÀM ĐẶC BIỆT 1.3.1 Hàm số bị chặn (hàm giới nội) a Hàm số y f (x) gọi bị chặn (dưới) tập X D (D miền xác định), tồn k R cho x X , ta có: f ( x) k ; f ( x) k b Hàm số y f (x) gọi bị chặn tập X vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Nghĩa là: tồn k cho f ( x) k ; x X Ví dụ 1.9 Hàm số y sin x; y cos x hàm số bị chặn R Vì sin x 1; cos x 1; x R 1.3.2 Hàm số đơn điệu (tăng: đồng biến; giảm: nghịch biến) a Hàm số y f (x) gọi đơn điệu tăng (giảm) miền xác định D, x1 ; x2 D : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ); f ( x1 ) f ( x2 ) b Hàm số y f (x) gọi tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) miền xác định D, x1 ; x D : x1 x f ( x1 ) f ( x ); f ( x1 ) f ( x ) Ví dụ 1.10 i Hàm số y đơn điệu giảm khoảng (;0) ; (0;) x ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích ii Hàm số y x giảm khoảng (;0) tăng khoảng (0;) iii Hàm số y ax b đơn điệu tăng với a ; đơn điệu giảm với a số với a 1.3.3 Hàm số chẵn, lẻ Cho hàm số y f (x) xác định tập D đối xứng, nghĩa x, x D , x D a Hàm số y f (x) gọi hàm số chẵn tập D đối xứng nếu: f ( x) f ( x) , x D b Hàm số y f (x) gọi hàm số lẻ tập D đối xứng nếu: f ( x) f ( x) , x D Nhận xét 1.2 i Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ii Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ví dụ 1.11 i Hàm số y f ( x) x hàm số chẵn R Vì x R ta có: x R f ( x) ( x) x f ( x) ii Hàm số y f ( x) x hàm số lẻ R Vì x R ta có: x R f ( x) 2( x) 2 x f ( x) Tính chất hàm chẵn, lẻ i Tổng, hiệu hai hàm số chẵn (lẻ) hàm số chẵn (lẻ) ii Tích hai hàm số chẵn (hoặc lẻ) hàm số chẵn iii Tích hàm số lẻ với hàm số chẵn hàm số lẻ iv Mọi hàm số f(x) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Cụ thể: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 2 1.3.4 Hàm số tuần hoàn a Định nghĩa Cho hàm số y f (x) xác định tập D Hàm số y f (x) gọi hàm số tuần hoàn, x D; L cho x L D f ( x L) f ( x) b Chu kỳ hàm tuần hoàn Giả sử y f (x) hàm số tuần hoàn Nếu tồn số dương T nhỏ cho: f ( x kT ) f ( x); x X ; k Z gọi chu kỳ hàm tuần hoàn y f (x) Ví dụ 1.12 i Hàm số y f ( x) sin x hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 2 ii Hàm số y f ( x) x x x (phần thập phân x), gọi hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=1 Đồ thị hàm số y f ( x) x x x (Hình 1.4) 10 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích định y x ) Khi đó: z x y xy x y x x có điểm dừng x 1 z ;0 x=0 (2) - Xét đoạn OB (OB xác định x y ) Khi đó: - Trên đoạn AB (AB xác định x y y 3 x z x y xy x y y y có điểm dừng y 1 z 0; (3) 2 x ) Khi đó: 3 z x y xy x y 3x x có điểm dừng x ; y 2 3 z ; 2 (4) Tại đỉnh: A 3;0 : z 3;0 ; B0;3 : z 0;3 ; C 0;0 : z 0;0 (5) - So sánh giá trị (1); (2); (3); (4); (5), ta có kết luận: Z max ; (Tại A 3;0; B0;3 ); Z 1 ; (Tại M 1;1 ) 4.4 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT Trong thực tế ta gặp nhiều toán lập cơng thức liên hệ đại lượng biến thiên phụ thuộc vào mà ta xác định số hữu hạn số thỏa mãn đại lượng qua thực nghiệm N ếu từ kết thực nghiệm ta xác lập công thức liên hệ đại lượng cơng thức gọi cơng thức thực nghiệm biểu thị mối liên hệ đại lượng Một phương pháp thực nghiệm hay sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất, dựa vào lý thuyết tìm cực trị hàm số nhiều biến Ta xét trường hợp hai đại lượng x, y biến thiên có liên hệ bậc với (hay gọi x, y có tương quan tuyến tính nhau) biểu diễn cơng thức (lý thuyết) y ax b Trong đó: a, b hai số chưa biết cần phải tìm Giả sử qua thực nghiệm ta tìm cặp giá trị tương ứng x y ghi theo bảng: x x1 x2 x3 xi xn y y1 y2 y3 yi yn Các cặp giá trị xi ; yi biểu thị giá trị gần x; y ta xác định chúng qua thực nghiệm độ xác khơng đảm bảo, cặp giá trị 167 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích xi ; yi khơng hồn tồn thỏa mãn công thức y ax b mà thoả mãn cách gần đúng, nghĩa là: y1 ax1 b y ax b 2 hay i y i axi b n y n ax n b y1 ax1 b y ax b 2 yi axi b i y n ax n b n Trong đó, ; ; .; n sai số mắc phải thực nghiệm ta cần phải chọn cho sai số i ; i 1; n có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất, hay hàm hai biến: u 12 22 n2 y1 ax1 b y ax b y n ax n b 2 theo a, b đạt giá trị nhỏ Như toán dẫn đến việc tìm giá trị nhỏ hàm hai biến u theo a, b Ta có: u a/ 2 y1 ax1 b x1 2 y ax2 b x2 2 y n axn b xn n n n 2 xi y i 2a xi2 xi i 1 i 1 i 1 u 2 y1 ax1 b 2 y ax b 2 y n ax n b / b n n 2 y i 2a xi 2nb i 1 i 1 n n n a x b x xi y i i i u a/ i 1 i 1 i 1 n / n u b a x nb yi i i 1 i 1 Giải hệ phương trình ta tìm a, b Tương tự trên, x, y có quan hệ phi tuyến tính dạng: y ax bx c Bài tốn dẫn đến việc tìm giá trị nhỏ ba biến a, b, c sau: n u a, b, c y i axi2 bxi c i 1 Khi a, b, c nghiệm hệ: u a/ 0; u b/ 0; u c/ 168 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Bài Tìm miền xác định hàm số sau: b) Z 2 a) Z x y x2 y2 x c) Z arcsin xy 2 d) Z ln 2 e) Z x y ln(4 x y ) f) u x2 y2 x2 y2 2z 6x2 3y Bài Tìm giới hạn sau: a) lim (1 xy) 2 x xy b) lim x4 y4 x 0 x y y 0 x 0 y 2 c) lim ( x y ) sin xy x 0 d) lim x2 y2 x 0 x y y 0 y 0 e) lim ( x y )e ( x y ) x y f) lim x 0 y 2 x ( y 2) x ( y 2) Bài Khảo sát tính liên tục gián đoạn hàm số: x y y a) Z Z arcsin b) x x3 y3 c) Z x xy d) Z f ( x, y ) cos y 2x e) u f ( x, y, z ) x y x2 y2 z Bài Tìm đạo hàm riêng vi phân tồn phần hàm số sau: a) Z arctan x M(1;1) y b) Z ln( x x y ) M(-1; ) y c) Z e x M(1;0) d) Z = ln(x2y + y2x) M(1;1) 169 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích x2 x f) Z e e) Z = y M(2;e) Bài Tính gần số: a) A = (1,003)1,995 y M(1;-1) b) B = sin32o.cos59o c) C ln 1,002 0,998 d) D (1,009) (0.008) e) E (1,04)1,99 ln(1,02) f) F arctan 1,97 1 1,02 x ; v xy Tìm Z x' ; Z 'y y x b) Cho Z e 2u ln v ; u x y ; v cos Tìm Z x' ; Z 'y y Bài a) Cho Z u sin v ; u c) Cho Z y arctan x ; y cos x Tìm Z x' y Bài Chứng minh rằng: a) Nếu Z f ( x y ) với hàm khả vi yZ x' xZ 'y b) Nếu Z = ln(x2 + xy + y2) xZ x' yZ 'y 170 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀO HÌNH HỌC Bài 1: ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀO HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Phương trình tiếp tuyến đường cong Phương trình tiếp tuyến đường cong y f x; y M( x ; y ) có dạng x x f x/ x , y y y f y/ x , y 1.2 Độ cong C đường cong phẳng điểm 1.2.1 Nếu đường cong cho phương trình y f x; y thì: C y // 1 y / 1.2.2 Nếu cho phương trình tham số x x ( t ); y yt thì: C x / y // y / x // x y / / 1.2.3 Nếu đường cong cho hệ toạ độ cực r r : r2 r/ C r 2 r.r // r / Ví dụ 1.1 Tính độ cong đường trịn cho phương trình sau: x R cos t y R sin t a) x y R b) c) r = R Giải a) Từ x y R suy ra: y R x Xét phương trình y f x R x Ta có: y / x R2 // R2 x2 ; y R x2 Độ cong C đường tròn là: C y // 1 y / b) Ta có: R2 R x x2 1 2 R x R2 R x R2 2 R x R x /t R sin t x //t R cos t x R cos t / // y t R cos t y t R sin t y R sin t Độ cong C đường tròn là: 171 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích C x / y // y / x // x y / / R sin t R cos t R sin t R cos t R c) Trong toạ độ cực r = R, tức là: r r R suy ra: r/ r// Độ cong C đường tròn là: r2 r/ C r 2 r.r // r/ R 2.0 R.0 R 2 02 R 1.2.4 Độ cong đường cong điểm M: T/ (C) MT, M T / C M lim / / Trong M M M/ MM / T MT, M / T / góc hai tiếp tuyến M MM / độ dài cung MM / Hình 1.1 C TB MM / MT, M / T / MM gọi độ cong trung bình (Hình 1.1) / Ví dụ 1.2 Tính độ cong điểm M đường trịn bán kính R Giải Độ cong điểm M đường trịn bán kính R tính theo công thức: MT, M T / C M lim / M M MM / / / Với: M M R. nên độ cong trung bình là: C TB MM / MM / .R R 1 ; M M M R R Vậy CM lim / Chú ý 1.1 Đường thẳng có độ cong là: CM 0; M 1.3 Đường trịn khúc - Khúc tâm - Đường cong tham số 1.3.1 Định nghĩa đường trịn khúc - Khúc tâm Cho C độ cong điểm M , R gọi khúc bán kính (bán C kính độ cong) M Trên pháp tuyến M hướng phía lõm lấy điểm 172 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích N cách M đoạn R Điểm N gọi khúc tâm (tâm độ cong) ứng với M Đường trịn tâm N bán kính R gọi đường trịn khúc (Đường trịn độ cong) M Rõ ràng, đường trịn khúc tiếp xúc với M Ta tìm tọa độ khúc tâm N 1.3.2 Tọa độ Đề- các: Cho có phương trình y f x , M x0 , y0 N có tọa độ X , Y Khi đó, phương trình pháp tuyến M là: y y0 x x0 y 0/ Y y0 X x0 y 0/ Vì N thuộc pháp tuyến nên: nên Từ (1) (2) ta thu được: MN R X x0 2 Y y 2 R Y y 2 R2 (2) (3) y 0/ (1) / 2 ?/ 1 y Thế R vào (3) ta được: C y Y y0 y 0/ (4) y 0// Nếu y0// đường cong lõm M, nghĩa Y y phải lấy dấu + (4) Nếu y0// đường cong lồi M, nghĩa Y y phải lấy dấu - (4) Xét hai trường hợp sau bỏ dấu trị tuyệt đối ta thu được: y 0/ Y y0 y 0// Thế (5) vào (1) ta có: (5) y / y 0/ X x0 y 0// (6) Nếu ký hiệu lại: x, y tọa độ M, X , Y tọa độ N ta viết (5), (6) dạng: 173 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích X x , Y y y / y / y // 1 y/ (7) y // 1.3.3 Đường cong tham số: Thế y t/ xtt// y t/ y tt// xt/ // y / ; y xx xt xt/ / x vào (7) ta tọa độ khúc tâm đường cong cho phương trình tham số: X x y/ x/ y , Y y x x y / x / y // y / x // / / / x / y // y / x // (8) Ví dụ 1.3: Xác định khúc tâm đường trịn khúc điểm M(1, 0) đường y ln x Giải x x2 Tại M(1, 0) ta y 0; y / 1; y // 1 Vậy ta có tọa độ khúc tâm x 3; y 2 Ta có: y / ; y // Khúc bán kính M: / 2 R 1 y y ?/ 2 Vậy phương trình đường trịn khúc là: x 32 y 2 1.4 Đường túc bế , thân khai 1.4.1 Định nghĩa đường túc bế, thân khai Quỹ tích khúc tâm đường cong gọi túc bế đường Khi đó, ta nói thân khai Vậy công thức (7) (8) cho ta phương trình túc bế biết thân khai Ví dụ 1.4 Tìm túc bế Xicloit x at sin t ; y a 1 - cost Giải Lấy dạo hàm tính theo cơng thức (8) ta có phương trình túc bế: Đặt t , ta được: x a sin a ; y a 1 - cos 2a 174 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Vậy túc bế Xicloit Xicloit dịch chuyển xuống 2a đơn vị sang trái a đơn vị 1.4.2 Các tính chất túc bế, thân khai 1) Pháp tuyến điểmM thân khai tiếp xúc với túc bế khúc tâm N tương ứng M 2) Độ dài cung N1 N túc bế trị tuyệt đối hiệu khúc bán kính R1 R2 thân khai hai M3 M2 M1 điểm tương ứng M ; M dọc cung khúc bán kính biến thiên đơn điệu Từ đó, ta có quy tắc xây dựng thân khai theo túc bế Cho đường thẳng lăn không trượt theo đường quỹ đạo điểm đường thẳng thân khai Một túc bế có vơ số thân khai (Hình 1.2) Ví dụ 1.5 Xây dựng thân khai đường tròn: N1 N2 N3 Hình 1.2 x a cos t ; y asint Giải Cho đường thẳng tiếp xúc đường tròn A(a, 0), sau cho lăn khơng trượt theo đường tròn với chiều ngược chiều kim đồng hồ Quỹ tích điểm M (lúc ban đầu trùng với A) thân khai đường trịn Tìm tọa độ (x, y) M (Hình 1.3) B F tD t A M(x,y) C Hình 1.3 175 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Nhưng Vậy Ta có x OC OD DC a cos t BM cos t 2 BM AB at x a cos t at sin t y CM CF MF a sin t BM sin t 2 Vậy y a sin t a cos t Tóm lại, ta có phương trình thân khai x acos t t sin t y asin t cos t 176 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Bài 2: ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Hàm vectơ + Giả sử I khoảng R Ánh xạ t I r (t ) R n gọi hàm vectơ biến số t xác định I Trong phần này, xét với n = Nếu xt ; yt ; z t ba z z(t) M thành phần r (t ) R gọi i ; j ; k lần y(t) lượt ba vectơ đơn vị ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz Ta có: x(t) r (t ) xt i y t j z t .k Hình 2.1 Đặt OM r (t ) Điểm M có tọa độ x xt ; y t ; z t (Hình 2.1) Quỹ tích M t biến thiên I đường L R3 , gọi tốc đồ hàm vectơ r (t ) Người ta nói đường L có phương trình tham số là: x xt ; y yt ; z z t + Người ta nói hàm vectơ r (t ) có giới hạn là: a t dần đến t0 nếu: r (t ) a t t ,tức là: Nếu 0, cho t t r (t ) a Kí hiệu y lim r (t ) a t t0 Hàm vectơ r (t ) xác định I gọi liên tục t I lim r (t ) r (t ) t t0 Tính liên tục r (t ) t0 tương đương với tính liên tục thành phần xt ; y t ; z t cuae t0 + Giả sử hàm vectơ r (t ) xác định I t I Giới hạn, có, cuả tỉ số: r t h r t r h h h gọi đạo hàm r (t ) t0 Ký hiệu là: r / (t ) hay d r t Đó vectơ dt Nếu đạo hàm r / (t ) tồn tại,ta nói hàm vectơ khả vi t0 177 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích h r / (t ) Trên tốc đồ r (t ) (Hình 2.2) ta thấy: r (t ) OM ; r (t h) OM ; r M M Khi h ,M dần đến M0 tốc đồ, dây M0M dần đến với tiếp tuyến tốc đồ M0 Vậy r / (t ) vectơ tiếp tuyến tốc đồ M0 Ta có: M0(t0 + h) M0(t0) Hình 2.2 x t h xt y t h y t z t h z t r i j k h h h h Do đó, hàm xt ; yt ; z t khả vi t0 r (t ) khả vi t ta có: r / (t ) x / t i y / t j z / t .k Khi h nhỏ ta xấp xỉ vectơ r M M vectơ tiếp tuyến h r / (t ) 2.2 Đường cong không gian Trong không gian cho đường cong có phương trình tham số: x x t ; y yt ; z zt (1) Phương trình tiếp tuyến đường cong M0 ứng với tham số t0 có dạng: x x y y0 z z0 x 0/ y 0/ z 0/ (2) Phương trình pháp diện đường cong M0: x x x 0/ y y y 0/ z z z 0/ (3) Độ cong đường cong M0: x/ y/ C x // y // y/ z/ y // z // z/ x/ z // x // x y z / / / Ví dụ 2.1 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong khơng gian có phương trình tham số là: x t; y t ; z t t0 = Giải Ta có: x0 = t0 = 3; y0 = (t0)2 = 32 = 9; z0 = (t0)3 = 33 = 27 x t x / t / nên x 0/ , y t2 y/ t / 2t nên y 0/ t , z t z / ( t ) / 3t nên z 0/ 3.3 27 178 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích a) Phương trình tiếp tuyến đường cong M0 ứng với tham số t0 có dạng: x x y y0 z z0 x 0/ y 0/ z 0/ x y z 27 27 b) Phương trình pháp diện đường cong không gian là: x x x 0/ y y y 0/ z z z 0/ x 3.1 y 9.6 z 27 .27 Ví dụ 2.2 Tính độ cong đường cong sau: x e t ; y e -t ; z t Giải Ta có: x e t x / e t ; x // e t ; y e t y / e t ; y // e t ; z t z / ; z // Độ cong đường cong M: x/ y/ C x // y // z/ x/ y // z // / 2 e t - e -t et e t / e t e t 2 et C 1 12 e t e C e e t t et e 2t t 2 e 2t 3 e 2 t 2 x y t 2 et e et z // x // x y z / C y/ z/ 2.3 Mặt không gian Trong khơng gian cho mặt có phương trình: f x, y, z , đó: (1) Phương trình pháp tuyến mặt M0 có dạng: x x0 y y0 z z0 f x/ M f y/ M f z/ M (2) Phương trình tiếp diện mặt M0 có dạng: x x f x/ M y y f y/ M z z f z/ M 179 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Ví dụ 2.3 Trong khơng gian Oxyz cho mặt có phương trình: x y 2z Viết phương trình pháp tuyến phương trình tiếp diện mặt điểm M 2,2,3 Giải f x, y, z x y 2z Ta có: Suy ra: f x/ x f x/ M 2.2 ; f y/ 8 y f y/ M 8.2 16 ; f z/ 4z f z/ M 4.3 12 a) Phương trình pháp tuyến mặt M0 có dạng: x x0 y y0 zz / / / f x M f y M f z M x 2 y2 z3 16 12 b) Phương trình tiếp diện mặt M0 có dạng: x x f x/ M y y f y/ M z z f z/ M 4x 2 16y 2 12z 3 180 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Murray R.Spiegel Ph.D, Shaum,s outline of Theory and problems of Real variables [2] Piotr Biler Alfred Witkowski, Problems in Mathematica Analysis [3] Walter Rudin, Principles of Mathematica Analysis,Mc Graw-Hill book company [4] A V Ephimơp; B P Đemiđơvich, Tuyển tập tốn cao cấp (Tập1), Người dịch:Trần Lưu Cường; Nguyễn Bá Thi; Nguyễn Nam Bắc; Huỳnh Bá Lân, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [5] A V Ephimôp; B P Đemiđôvich, Tuyển tập toán cao cấp (Tập 2) Người dịch:Trần Lưu Cường; Nguyễn Bá Thi; Nguyễn Nam Bắc; Huỳnh Bá Lân, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [6] Murray R.Spiegel, Lý thuyết tập toán cao cấp ( Tập I ), Người dịch: Lê Xuân Thọ, Nhà xuất Thống kê [7] P.E Đankô; A.G Popôp; T.Ia.Côgiepnhicôva, Bài tập tốn học cao cấp (Phần I), Người dịch: Hồng Đức Nguyên, Nhà xuất Giáo dục, 1994 [8] Y.Y Liasko; A.C Boiatruc; IA G Gai; G P Golovac, Giải tích tốn học Các ví dụ tốn- Phần I (Tập I), Người dịch: Hoàng Đức Nguyên, Đoàn Văn Bản, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979 [9] Y.Y Liasko; A.C Boiatruc; IA G Gai; G P Golovac, Giải tích tốn học Các ví dụ tốn- Phần II (Tập II), Người dịch: Đặng Huy Ruận, Lê Trọng Vinh, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979 [10] Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập giải tích - (Tập I &Tập II), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2002 [11] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích - (Tập I &Tập II), Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2008 [12] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp (Tập II &Tập III), Nhà xuất Gio dục, 2012 [13] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bi tập Toán cao cấp (Tập II &Tập III), Nhà xuất Gio dục, 2012 181 ... điểm (1; 0) (Hình 1. 6) Đặc biệt: i Nếu a 10 ta viết log10 x lg x a >1 x y a >1 x 0