Giải tích 2 là phần kiến thức toán học tiếp nối chương trình Giải tích 1 dành cho sinh viên đại học năm thứ nhất ngành Kinh tế và Kỹ thuật. Nội dung gồm có 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân bội; Tích phân đường và tích phân mặt; Chuỗi số và chuỗi hàm; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng - 2020 Quảng Ngãi, Tháng - 2020 MỤC LỤC Mục lục ……………………………………………………………… Lời nói đầu ………………………………………………………………… Chương TÍCH PHÂN BỘI…………………… …………………… Bài Tích phân hai lớp…………………………… …………………… Bài Tích phân ba lớp…………………………….……………………… 18 Bài tập chương 1…………………………………………… …………… 29 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT…….…… 31 Bài Tích phân đường loại I……………………………………………… 31 Bài Tích phân đường loại II…………………………………………… 35 Bài Tích phân mặt loại I………………………………………………… 44 Bài Tích phân mặt loại II……………………………………………… 48 Bài Ứng dụng tích phân mặt ……………………………………… 54 Bài tập chương 2…………………………………………………………… 58 Chương CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM…………………………… 60 Bài Chuỗi số …………………………………………………………… 60 Bài Chuỗi hàm………………………………………………………… 69 Bài tập chương 3…………………………………………………………… 82 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ……………………………… 84 Bài Phương trình vi phân cấp 1………………………………………… 84 Bài Phương trình vi phân cấp 2………………………………………… 93 Bài tập chương 4…………………………………………………………… 101 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 103 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích phần kiến thức tốn học tiếp nối chương trình Giải tích dành cho sinh viên đại học năm thứ ngành Kinh tế Kỹ thuật Nội dung chương mục giảng biên soạn theo chương trình Tốn cao cấp dành cho khối ngành phạm Trường Đại học Phạm Văn Đồng sở chương trình khung Bộ Giáo dục - Đào tạo năm gần “ Bài giảng Giải tích 2” gồm chương: Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường tích phân mặt Chương Chuỗi số chuỗi hàm Chương Phương trình vi phân Bài giảng trình bày nội dung của: Tích phân bội; Tích phân đường, tích phân mặt; Chuỗi số, chuỗi hàm Phương trình vi phân Đặc biệt, sau chương có phần tập phong phú để sinh viên củng cố kiến thức rèn luyện kỹ tính tốn Các kiến thức giảng có nhiều điểm sinh viên Do đó, sinh viên phải tập trung nỗ lực để tiếp thu khái niệm, định nghĩa nắm công thức, phương pháp nội dung để vận dụng tính tốn cách thành thạo, nhằm mang lại kết tốt Kinh nghiệm cho thấy, sinh viên không hiểu đầy đủ quy tắc suy luận logic, khơng nắm vững cơng thức tốn học gặp nhiều khó khăn tiếp thu học vận dụng vào việc giải tập Bài giảng giới thiệu ví dụ minh hoạ, tốn ứng dụng hình học, học giúp ích cho bạn sinh viên có cách nhìn đa dạng việc ứng dụng tốn học Trong q trình giảng dạy, tùy theo ngành cụ thể mà chương dành thời lượng thích hợp Chúng tơi hy vọng “Bài giảng Giải tích 2” tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu Là lần biên soạn, chắn giảng nhiều thiếu sót Chúng tơi chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét bạn đọc nhiều phương diện để nội dung giảng ngày hoàn chỉnh Tác giả CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP HAY TÍCH PHÂN BỘI HAI) 1.1.1 KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1.1.1 Bài tốn dẫn đến tích phân hai lớp Xét vật thể hình trụ giới hạn mặt phẳng Oxy chứa miền đóng D, bị chặn biên L; mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa L; mặt cong z f ( x, y ) f ( x, y ) hàm xác định, không âm, liên tục miền D (Miền D gọi đáy vật thể hình trụ này) Hãy tính thể tích V vật thể hình trụ Z=(x,y) z (xi,yi) Giải toán: + Chia miền D thành n phần nhỏ, đóng (khơng dẫm lên nhau) Gọi tên diện tích là: S1; S2; .; Sn Lấy miền nhỏ Si làm đáy dựng yi O vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có y đường sinh song song với Oz phía xi giới hạn mặt cong z f ( x, y ) (Hình 1.1) Gọi thể tích n vật thể hình trụ nhỏ x Si Mi D : L Hình 1.1 V1; V2; .; Vn + Trong miền nhỏ Si chọn điểm Mi(xi, yi) tuỳ ý Vì (x,y) liên tục nên giá trị (x,y) sai khác bé Si Si bé Do đó: Vi (xi,yi).Si , với i = 1, n Và miền Si (i = 1, n) bé thì: n V f ( xi , yi ).S i i 1 + Gọi di đường kính Si Cho n cho maxdi0 thể tích vật thể hình trụ là: V lim max d i n f ( x , y ).S i 1 i i i 1.1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Z = (x,y) bị chặn miền hữu hạn D + Chia miền D thành n phần nhỏ đóng (khơng dẫm lên nhau) có tên diện tích là: S1; S2; .; Sn + Trong miền nhỏ Si chọn tuỳ ý điểm Mi(xi, yi) lập tổng tích phân: n I n f ( xi , yi ).Si i 1 Gọi di đường kính Si + Nếu n cho maxdi0 mà tồn giới hạn: I lim I n max d i không phụ thuộc vào cách chọn điểm (xi,yi) cách chia miền D, gọi tích phân hai lớp hàm (x, y) lấy miền D ký hiệu là: I f ( x, y ).dS D Trong đó: - (x, y) hàm dấu tích phân - D miền lấy tích phân - dS yếu tố diện tích y Vậy: n f ( xi , yi ).Si f ( x, y).dS maxlim d 0 D i (1) y Si i 1 x Nếu (x, y) có tích phân hai lớp miền D ta x nói (x,y) khả vi miền D Hình 1.2 Chú ý 1.1.1 i Vì giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia miền D nên chia D lưới đường song song với Ox, Oy (Hình 1.2) Khi đó, hầu hết miền Si hình chữ nhật với cạnh x, y Do đó, ta có dS = dx.dy Từ đó, tích phân hai lớp ký hiệu dạng: f ( x, y)dxdy D ii Dựa vào định nghĩa tích phân hai lớp thể tích hình trụ tốn là: V f ( x, y )dxdy D 1.1.1.3 Sự tồn tích phân hai lớp Định lý 1.1.2 Nếu hàm (x,y) liên tục miền đóng bị chặn D khả tích miền D 1.1.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP Dựa vào định nghĩa ta thấy tích phân hai lớp có tính chất tương tự tích phân xác định Chẳng hạn: ( f g ) f g c f c f D D D D D f f f D D1 D2 (D1, D2 không dẫm lên nhau: D1D2=D; D1D2 = ) dxdy S ( D) ; (S(D): diện tích miền D) D Nếu g(x,y) (x,y); (x,y)D thì: g ( x, y )dxdy f ( x, y)dxdy D D Đặc biệt, (x,y) ; (x,y)D thì: f ( x, y)dxdy D Nếu m M giá trị nhỏ lớn hàm (x,y) miền D ta có: m.S ( D) f ( x, y )dxdy M S ( D) D Định lý giá trị trung bình: Nếu (x,y) liên tục miền D tồn (,)D cho: f ( , ) f ( x, y )dxdy S ( D) D Khi đó: f ( x, y )dxdy S ( D) D gọi giá trị trung bình (x,y) D 1.1.3 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN LỚP TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES Giả sử cần tính tích phân: I = f ( x, y )dxdy D với D miền hữu hạn (x,y) liên tục D 1.1.3.1 Trường hợp D hình thang cong loại D hình thang cong loại D phẳng giới hạn bởi: x1 = a; x2 = b; y1 = 1(x); y2 = 2(x) (a < b; 1(x) 2(x)) (Hình 1.3) Với 1,2 liên tục đơn trị [a;b] a Xét (x,y) 0; (x,y)D Ta thấy: y y1= 1(x) D y2= 2(x) O a Hình 1.3 b x f ( x, y)dxdy D mặt trụ có đường sinh song song Oz; đáy D; giới hạn phía mặt z f ( x, y ) (Hình 1.4) Cắt vật thể mặt phẳng vng góc với Ox x[a; b] Thiết diện thu có diện tích là: S ( x) ( x) f ( x, y)dy 1 ( x ) Khi thể tích vật thể là: V D 2 ( x ) b 2 ( x ) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx dx f ( x, y )dy (1) a 1 ( x ) a 1 ( x ) b z Z = (x,y) y 2 S(x) 1 a x b Hinh 1.4 x b Xét (x,y) ; (x,y)D: Cơng thức cịn Vậy: b ( x) V f ( x, y )dxdy dx D a f ( x, y )dy (2) 1 ( x ) 1.1.3.2 Trường hợp D hình thang cong loại D hình thang cong loại D phẳng giới hạn đường: y1 = c; y2 = d; x1 = 1(y); x2 = 2(y); (c < d; 1(y) 2(y)) Với 1(y); 2(y) hàm liên tục đơn trị [c;d] Tương tự trường hợp 1.3.1, ta có: d ( y) f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx D c (3) 1 ( y ) Chú ý 1.1.2 1/ Nếu D hình chữ nhật giới hạn bởi: x1= a; x2 = b; y1 = c; y2 = d (a < b; c < d) thì: b d d b a c c a f ( x, y)dxdy dx f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx D Đặc biệt, (x, y) = 1(x).2(y) thì: b d a c f ( x, y)dxdy f1 ( x)dx f ( y)dy D 2/ Các cơng thức (2), (3) chứa tích phân có dạng vế phải gọi tích y phân lặp 3/ Trường hợp D miền bất kỳ: D3 Nếu D miền ta chia D thành D4 D2 số hữu hạn miền phẳng khơng dẫm D1 lên có dạng hình thang cong loại loại Khi đó, tích phân lấy D tổng tích phân lấy miền O x chia (Hình 1.5) Hình 1.5 1.1.4 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1.1.1 Tính: I e x y dxdy D Trong D hình giới hạn x= 0; x= 1; y= 0; y= Giải 1 I dx e 0 x y 1 dx e dx e dy et dt (e 1) 0 0 1 x y Ví dụ 1.1.2 Tính thể tích hình trụ có đáy hình vuông xác định 0 x 1; 0 y giới hạn mặt paraboloit: z f ( x, y ) x y (tròn xoay) Giải 1 y 1 V ( x y )dxdy dx ( x y )dy x y dx 0 D 0 x3 x 1 x dx (đvtt) 3 3 0 Ta có: x Ví dụ 1.1.3 Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau: I dx f ( x, y )dy Giải Ta thấy miền lấy tích phân D đường cong loại giới hạn đường thẳng y = x parabol y = x2 Nhưng xem đường cong loại giới hạn y = 0; y = 1; x = y (Hình 1.6) Do đó, tích phân viết lại: y y2 I dx f ( x, y )dy x y y=x O x Hình 1.6 Ví dụ 1.1.4 Tính e x y dxdy Trong đó, D miền tam giác giới hạn đường D y = 0; y = x; x = Giải Miền lấy tích phân giới hạn x 1; y 1, nên: x 0xdx (e 1) x.dx (e 1) x2 10 e 2 I dx e x dy x.e y 0 y x Ví dụ 1.1.5 Tính: I ( x y )dxdy y D Trong đó, D miền giới hạn bởi: y = -1; y = 1; x = y2; y = x + Giải Nếu xem D hình thang cong loại việc tính tích phân đơn giản xem hình thang loại Ta thấy D giới hạn bởi: - y 1; y-1 x y (Hình 1.7) Do đó: y2 -2 -1 O x D Hình 1.7 -1 x2 y2 y4 y2 I dy ( x y )dx xy dy y dy 2 2 15 y 1 1 y 1 1 1 1 1.1.5 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HAI LỚP CÁCH TÍNH TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 1.1.5.1 Trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x, y biểu diễn hàm hai biến u,v phương trình: x = x(u,v); y = y(u,v) (Hình 1.8a,b) Xem phương trình ánh xạ điểm từ mặt phẳng Iuv đến mặt phẳng Oxy Ta nói phép biến đổi (ánh y u= xạ) phép biến đổi - (song v= ánh) từ tập D’ mặt phẳng Iuv (u,v) đến tập D mặt phẳng Oxy (x,y) Nếu: i/ Mỗi điểm D’ có ảnh D D’ điểm D O x I u a) b) ii/ Mỗi điểm D có ảnh Hình 1.8 điểm D’ iii/ Các điểm khác D’ có điểm khác D Chú ý 1.1.3 Nếu x = x(u,v); y = y(u,v) phép biến đổi 1-1 từ D’ đến D giải u,v hàm x,y Phép biến đổi ngược lại: u = u(x,y) v = v(x,y) phép biến đổi 1-1 từ D đến D’ Định lý 1.1.2 Giả sử ta có phép biến đổi: x = x(u,v); y = y(u,v) Trong đó: i/ Đó phép biến đổi 1-1 từ miền D’ Iuv vào miền D Oxy ii/ Các hàm x(u,v); y(u,v) liên tục đạo hàm riêng liên tục D’ iii/ Định thức hàm Jacobian: x ( x, y ) J u y (u , v) u Khi đó, ta có: D x / / v xu xv ; (u,v)D’ y yu/ yv/ v f ( x, y )dxdy f [ x(u , v); y (u , v)] J du.dv D' Chứng minh y Ta tìm cách biểu diễn yếu tố diện tích: u u + du dS = dx.dy mp Oxy qua yếu tố diện tích mp Iuv Với u cố định (u = c) R v + dv phương trình: x = x(u,v); y = y(u,v) xác định đường cong theo v, ta gọi u - đường P Q v cong tương ứng với giá trị u = c O Tương tự, với v cố định phương x trình xác định đường cong theo u, ta Hình 1.9 gọi v - đường cong Xét yếu tố diện tích dS mp Oxy giới hạn u - đường cong gần có giá trị u, u + du đường cong v, v + dv Với du, dv bé, đường cong trơn nên yếu tố xấp xỉ với diện tích hình bình hành Do đó: dS ( PQ, PR ) (Hình 1.9) Ta có: PQ = dx i + dy j , đó: dx = xu' du + xv' dv ; dy = yu' du + yv' dv Mà dv = dọc theo v - đường cong PQ nên: PQ = xu' du i + yu' du j Tương tự: PR = xv' dv i + yv' dv j Do đó: i j k dS x du x dv y du y dv ' u ' u (Với J ' v ' v ( x, y ) du.dv J du.dv (u, v) D O ( x, y ) ) (Hình 1.10 a,b) (u , v) Vậy: [x(u,v);y(u,v)] (x,y) f ( x, y )dx.dy f [( x(u , v); y (u , v)] J du.dv x y D a) I v D’ b) u Hình 1.10 a,b D' Ví dụ 1.1.6 Tính I = ( x y)dx.dy , D miền giới hạn đường: D y = x - 3; y = x + 1; y = x ; 3 y = x 10 Bước 2: Tìm nghiệm riêng y* phương trình (3) phương pháp sau: Biến đổi nghiệm tổng quát y dạng y = C.u(x) với C số tuỳ ý u ( x) e , lúc ta lấy nghiệm riêng y* phương trình khơng (3) dạng y* = C(x).u(x) với C(x) hàm theo biến x chưa biết Để tìm C(x) ta tìm y*/ thay y*/, y* vào phương trình (3) giải tìm C(x), ta được: p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx y* e q ( x)e dx Bước 3: Lập nghiệm tổng quát (3) y = y + y* p ( x ) dx p ( x ) dx dx C e q ( x)e Ví dụ 4.1.8 Giải phương trình vi phân: y’ – 2xy = x Giải Phương trình tương ứng (i) là: y’ – 2xy = Theo thí dụ ) nghiệm tổng quát phương trình y Ce x (i) nghiệm riêng y* phương trình (i) 2 y* e x xe x dx e x e x Vậy nghiệm tổng quát phương trình (i) là: y y y* Ce x , C tuỳ ý Ví dụ 4.1.9 Giải phương trình vi phân y’ + 2xy = xe x Giải Phương trình tương ứng (ii) là: y’ + 2xy = có p ( x) x p ( x) dx xdx x Suy nghiệm tổng quát phương trình là: y Ce x , C tuỳ ý Nghiệm riêng y* (ii) là: 2 y* e x xe x e x dx (ii) x x2 e Vậy nghiệm tổng quát phương trình (ii) là: y y y* Ce x x x2 x e C e x với C số tuỳ ý 4.1.4.4 Phương trình Becnuli a) Định nghĩa Phương trình vi phân cấp có dạng: y’ + p(x)y = q(x).y ; với 0, gọi phương trình Becnuli (4) 89 b) Phương pháp giải Nếu y = với > y’ = 0: Phương trình Becnuli (4) thoả mãn nên y = nghiệm phương trình Becnuli (4) ( > 0) Nếu y 0: (4) y' y p( x) q( x) y y y ' y q ( x ) y 1 q ( x ) Đặt z (4’) y 1 , z hàm theo x z 1 Suy z’ = y’y (4) z’ + (1 – )p(x)z = q(x) (4’’) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp hàm z theo x, áp dụng cách giải phương trình tuyến tính để giải (4”) sau suy nghiệm (4) Ví dụ 4.1.10 Giải phương trình y’ + 2xy = 2x3y3 (i) Giải Nếu y = y’ = 0: phương trình (i) thoả mãn nên y = nghiệm phương trình (i) Nếu y (i) y’y-3 + 2xy-2 = 2x3 (ii) Đặt z y 2 (z hàm theo x, z 0) Suy ra: z’ = y’y-3 : (ii) z’ – 4xz = 2x3 Phương trình tương ứng (iii): z’ – 4xz = nghiệm tổng quát phương trình là: z Ce x , C0 Suy nghiệm riêng (iii) có dạng z* e x 2 x2 2x e (iii) dx 1 1 e x x e x 2 2 1 1 x 2 2 Suy nghiệm tổng quát phương trình (iii) là: 1 1 z z z* Ce x x , C tuỳ ý 2 2 Suy nghiệm tổng quát phương trình (i) là: 2 1 1 y Ce x x 2 2 1 2Ce x x , C tuỳ ý y Vậy nghiệm phương trình vi phân (i) là: 1 x2 Ce x2 y , với C số tuỳ ý y0 90 4.1.4.5 Phương trình vi phân tồn phần a) Định nghĩa Phương trình vi phân tồn phần phương trình có dạng: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = (5) P Q y x b) Phương pháp giải Cách 1: Do điều kiện P Q nên vế trái (5) vi phân toàn phần hàm y x u = u(x, y) Do (5) có dạng du = tích phân tổng quát tương ứng u = C Có thể tìm hàm u = u(x,y) theo công thức: x y xo o P( x, y )dx y Q( x y )dy u o xo, yo chọn cho tích phân có nghĩa Ví dụ 4.1.11 Tìm tích phân tổng qt phương trình: (ex + y + siny)dx + (ey + x + xcosy)dy = (*) Giải Ta có P(x, y) = ex + y + siny; Q(x, y) = ey + x + xcosy P Q cos y y x Do (*) phương trình vi phân tồn phần Tích phân tổng qt (*) có dạng: x y xo yo P( x, y )dx Q( xo y)dy C1 Chọn xo = 0; yo = 0, ta có: x e x y sin y dx e x xy x sin y y e y dy e y y 0x e x xy x sin y e y 1 Vậy tích phân tổng quát phương trình (*) là: ex+ xy + xsiny + ey -2 = C1 hay ex + xy + xsiny + ey = C Cách 2: Tương tự cách 1, điều kiện P Q nên vế trái (5) vi phân y x toàn phần hàm u = u(x, y) (5) có tích phân tổng qt u = C Ta xác định u qua hệ phương trình sau: u x P (i ) u Q (ii ) y 91 Lấy tích phân hai vế (i) theo x ta được: u P ( x, y ) dx C ( y ) (iii ) C(y) hàm theo y Lấy đạo hàm hai vế (iii) theo y ta được: u P ( x, y ) dx C ' ( y ) y y Từ đây, (ii) ta suy ra: C ' ( y ) Q( x, y ) P ( x, y )dx (iv) y Lấy tích phân hai vế (iv) ta tìm C(y) từ suy biểu thức hàm u phải tìm Chú ý điều kiện P Q nên vế phải (iv) phụ thuộc y y x Ví dụ 4.1.12 Xét lại phương trình vi phân thí dụ trên, gọi u = u(x, y) hàm thoả hệ phương trình: u x x P e y sin y (i ) u Q e y x x cos y (ii ) y Lấy tích phân hai vế (i) theo x ta u e x y sin y dx e xy x sin y C ( y ) (iii) x Lấy đạo hàm hai vế (iii) theo y ta được: u x x cos y C ' ( y ) y Từ đây, (iii) ta tìm được: C’(y)=ey Suy C(y)=ey + C1 x Thay vào (iii) ta được: u = e + xy + xsiny + ey + C1 Vậy tích phân tổng quát (*) là: ex+ xy + xsiny + ey + C1 = C2 hay ex + xy + xsiny + ey = C (C = const) === 92 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 4.2.1 ĐỊNH NGHĨA Phương trình có dạng F(y”, y’, y, x) = (II) hay y” =f(y’, y, x) (IIo) y hàm số theo biến x; y’, y” đạo hàm cấp 1, y, gọi phương trình vi phân cấp Ví dụ 4.2.1 Các phương trình sau phương trình vi phân cấp 2: a) y” + 2xy’ + y = 3x ; b) (y”)2 + y’ = x + 4.2.2 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 4.2.2.1 Định nghĩa a) Nếu có hàm y = (x) hay (x, y) = thoả mãn phương trình vi phân (II) hay (IIo) y = (x) hay (x, y) = gọi nghiệm phương trình b) Hàm y = (x, C1, C2) (x, y, C1, C2) = thoả mãn phương trình (II) hay (IIo) với C1, C2 số tuỳ ý lấy tập R với điều kiện y(xo)=yo y’(xo) = y 'o ta tìm cặp số C1o, C2o cho y = (x, C1o, C2o) hay (x, y, C1o, C2o) = thoả phương trình (II) (IIo) gọi nghiệm tổng qt phương trình c) Nếu y = (x, C1, C2) (x, y, C1, C2) = nghiệm tổng quát (II) hay (IIo), ta cho C1 = Co1, C2 = Co2 với Co1, Co2 hai số xác định cụ thể y = (x, Co1, Co2) (x, y, Co1, C02) = gọi nghiệm riêng phương trình (II) hay (IIo) 4.2.2.2 Định lý (tồn nghiệm tồn nghiệm nhất) Cho phương trình vi phân y” = f(y’, y, x) (IIo) Nếu hàm f(y’, y, x) liên tục miền chứa điểm (y 'o , yo, xo) tồn nghiệm y = y(x) phương trình (IIo) cho yo = y(xo), y 'o = y’(xo) f y' , f y' ' liên tục nằm miền chứa diểm (y 'o , yo, xo) nghiệm 4.2.3 CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP THƯỜNG GẶP 4.2.3.1 Phương trình vi phân cấp giảm cấp a) Phương trình vi phân dạng y” = f(x) Phương pháp giải: y” = f(x) y’ = f ( x)dx y f ( x)dx dx Ví dụ 4.2.2 Giải phương trình y” = x + Giải (i ) y ' x 1dx (i) x2 x C1 x2 x3 x2 y x C1 dx C1 x C ; C1, C2 số tuỳ ý b) Phương trình vi phân dạng y”= f(y’,x) Phương trình vi phân cấp thiếu y Phương pháp giải Đặt y’ = z (z hàm theo biến x) y” = z’ Khi y” = f(y’,x) z’ = f(z,x) 93 phương trình vi phân cấp hàm z theo x Giải phương trình ta tìm nghiệm tổng quát: z = (x,C1) Thay z = y’ ta phương trình y’ = (x,C1), giải phương trình ta tìm nghiệm tổng quát phương trình ban đầu Ví dụ 4.2.3 Giải phương trình: y” = y’ + x (ii) Giải Đặt y’ = z (z hàm theo x) y” = z’ (ii) z’ – z = x (iii) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp hàm z theo x với p(x)=-1, q(x) = x nên nghiệm tổng quát phương trình (iii) p ( x ) dx p ( x )dx z q ( x )e dx C1 e xe x dx C1 e x =(-(x+1)e-x+ C1)ex = C1ex - (x+1) Thay z = y’ ta có y’ = C1ex – (x+1) = C1ex – x – y C1e x x dx C1e x x2 x C2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y C1e x x2 x C với C1, C2 số tuỳ ý c) Phương trình dạng y” = f(y,y’) (Phương trình vi phân cấp thiếu x) Phương pháp giải: Đặt y’ = z (z hàm theo y), đạo hàm vế theo x, ta có: y”= z y y’= z’.z Khi y” = f(y,y’) z’.z = f(y,z) Đây phương trình vi phân cấp hàm z theo biến y Giải phương trình ta tìm nghiệm z = (y, C1) Thay z = y’ ta có phương trình y’ = (y,C1), giải tiếp phương trình ta tìm nghiệm tổng quát phương trình cho Ví dụ 4.2.4 Giải phương trình vi phân (1 – y)y” + 2(y’)2 = (iv) Giải Đặt y’ = z (z hàm theo y), suy ra: y” = z’y = z’z (với z’= dz ) dy (iv) (1 – y)z’z +2z2 = (v) Nếu z = o z’= 0: Phương trình (v) thoả mãn nên z = nghiệm (v) suy y’= y = C1, C1 số tuỳ ý, nghiệm (iv) Nếu – y = y = y’= 0: Phương trình (iv) thoả mãn nên y = nghiệm phương trình (iv) trường hợp riêng nghiệm y = C1 Nếu y C1 ( z 0): (v) (1 y ) dz dz 2 z dy dy z y 1 94 dz dy ln z ln y ln C1 , C1 z y 1 ln z ln C1 ( y 1) z C1 ( y 1) ; C1 dy C1 dx ( y 1) dy C1 dx C1 x C , C1 0, C tuyø yù y 1 ( y 1) y 1 C1 x C y ' C1 ( y 1) Vậy nghiệm phương trình (iv) là: y C x C 1; C1 0, C tuỳ ý y C1 , C1 tuỳ ý 4.2.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp a) Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp có dạng: y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (II2) gọi phương trình vi phân tuyến tình cấp Nếu f(x) = 0, phương trình (II2) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Nếu f(x) 0, phương trình (II2) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp không b) Phương pháp giải ) Đối với phương trình y” + p(x).y’ + q(x).y = (II2) Định nghĩa Giả sử y1(x), y2(x) nghiệm riêng phương trình (II2), ta nói y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính với y1 ( x) y ( x) khác số, y2 ( x ) y2 ( x ) số ta nói y1(x), y2(x) phụ thuộc tuyến tính với Định lý 4.2.1 Nếu y1(x), y2(x) hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình (II2) : y = C1y1(x) + C2y2(x) (*), với C1, C2 hai số tuỳ ý, nghiệm tổng quát phương trình (II2) Định lý 4.2.2 Nếu y1(x) nghiệm riêng (II2) ln ln tồn nghiệm riêng độc lập tuyến tính với y1(x) là: y2(x) = u(x).y1(x) (**), với u(x) hàm số Thông thường, người ta đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp hai vế phương trình (**) thay vào phương trình (*) để tìm hàm số u(x) Khơng có phương pháp chung để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp dạng tổng quát, biết nghiệm riêng ta tìm nghiệm tổng qt cách dựa vào hai định lý Ví dụ 4.2.5 Tìm nghiệm tổng quát phương trình y" 1 y ' y x x (i) 95 x Biết có nghiệm riêng y1(x) = Giải Gọi y2(x) nghiệm riêng (1) độc lập tuyến tính với y1(x) Khi y2(x) = u(x).y1(x) = u(x) x với u(x) hàm theo x chưa biết 1 y2 ( x ) u( x) u ( x) x x 1 y2( x) u( x) u( x) u( x) u ( x) x x x x 2 u( x) u( x) u ( x) x x x Thay y”2(x), y’2(x), y2(x) vào phương trình (i) ta được: 2 1 u ( x) u ( x) u ( x) u ( x) u ( x) u ( x) x x x x x x 1 u ( x) u ( x) u ( x) u ( x) (ii) x x x Đặt z = u’(x) z’ = u”(x) x (ii) z z , PT có nghiệm là: z = x u’(x) = x u ( x) x2 Suy nghiệm riêng y2(x) độc lập tuyến tính với y1(x) y2 x2 x x Vậy nghiệm tổng quát phương trình (ii) là: x y C1 C với C1, C2 số tuỳ ý x ) Đối với phương trình khơng y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (II2) Định lý 4.2.3 Nếu y nghiệm tổng quát phương trình y” + p(x).y’ + q(x).y = y* nghiệm riêng phương trình (II2) y = y + y* nghiệm tổng quát (II2) Định lý 4.2.4 (Nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu y1(x) nghiệm phương trình y” + p(x).y’ + q(x).y = f1(x) y2(x) nghiệm riêng phương trình y” + p(x).y’ + q(x).y = f2(x) y1(x)+y2(x) nghiệm riêng của phương trình y” + p(x).y’ + q(x).y = f1(x) + f2(x) 96 Cũng phương trình nhất, khơng có phương pháp giải phương trình tuyến tính cấp khơng nhất, tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng dạng y = C1 y1(x) + C2y2(x) ta tìm nghiệm riêng y* phương trình (II2) sau: (Phương pháp gọi phương pháp biến thiên số Lagrăng)(Các định lý độc giả tự chứng minh) Viết nghiệm riêng y* dạng: y* = C1(x).y1(x) + C2(x).y2(x) C1(x), C2(x) hàm theo x chưa biết, để tìm C1(x), C2(x) ta giải hệ sau: C1 ( x) y1 ( x) C 2 ( x) y ( x) C1 ( x) y1 ( x) C 2 ( x) y 2 ( x) f ( x) Tìm C1 ( x) , C 2 ( x) C1(x), C2(x) nghiệm riêng y* Khi dó theo định lý nghiệm tổng quát phương trình (II2) y = y + y* 4.2.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp có số khơng đổi a) Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến cấp có dạng y” + py’ + qy = f(x) p, q số thực, gọi vi phân tuyến tính cấp có hệ số khơng đổi (hệ số hằng) b) Đối với phương trình y” + p.y’ + q.y = (i) Ta thấy y = ekx y’=kekx, y”= k2ekx (i) k2ekx+p.kekx + q ekx = (k2 + pk + q)ekx = k2 + pk + q = ekx 0, k,x R Như k nghiệm phương trình bậc 2: k2+ k.p + q = ekx nghiệm phương trình (i) Để giải phương trình ta thực sau: Giải phương trình đặc trưng k2 + k.p + q = * Kết luận Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt k1, k2 nghiệm tổng quát phương trình là: y C1e k1x C e k2 x Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1= k2 nghiệm tổng quát phương trình là: kx y (C1 C x)e Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1= + i, k2= - i nghiệm tổng quát phương trình là: 97 y ex (C1 cos x C sin x) c) Đối với phương trình khơng y” + p.y’ +q.y = f(x) (ii) Phương pháp giải Bước 1: Giải phương trình tương ứng tìm nghiệm tổng quát y dạng y = C1.y1(x) + C2.y2(x) Bước 2: Tìm nghiệm riêng y* phương trình không (ii) Cách 1: Dùng phương pháp biến thiên số Lagrăng Cách 2: (Trong trương hợp đặc biệt) ) f(x) có dạng f(x) = Pn(x)eax ; (Pn(x) đa thức bậc n): Nếu a nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm riêng y* có dạng: y* (a n x n a n 1 x n 1 a1 x a )e ax ; Nếu a nghiệm đơn phương trình đặc trưng nghiệm riêng y* có dạng y* x(a n x n a n 1 x n 1 a1 x a )e ax ; Nếu a nghiệm kép phương trình đặc trưng nghiệm riêng y* có dạng y* x (a n x n a n 1 x n 1 a1 x a )e ax ; ) f(x) có dạng f(x) = eax[Pn(x)cosbx + Qm(x)sinbx]: Nếu a + bi khơng phải nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm y* có dạng: y* a h x h a h 1 x h 1 a1 x a cos bx bh x h bh 1 x h 1 b1 x b0 sin bx e ax (A), h=max(m,n) Nếu a + bi nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm riêng y* có dạng: y* = x (vế phải (A)) Các số ai, bi số chưa biết, để xác định số ta tìm y*’, y*” thay y*”, y*’, y* vào phương trình khơng (ii), sau đồng thức hai vế ta có hệ phương trình ai, bi đó, giải hệ phương trình ta tìm chúng Phương pháp tìm ai, bi gọi phương pháp hệ số bất định Ví dụ 4.2.6 Giải phương trình y” – 2y’ -3y = e4x (1) Giải Phương trình tương ứng (1) y” – 2y’ – 3y =0 Phương trình đặc trưng phương trình là: k1 1 k 2k k2 nghiệm tổng quát phương trình nhất: -x 3x y =C1e + C2e , với C1 C2 tuỳ ý Vế phải (1) có dạng đặt biệt f(x)=Pn(x)eax = ex với Pn(x) = Po(x) = a = k1, k2 nên nghiệm riêng y* cua (1) có dạng: y* = aoe4x (ao hệ số chưa biết) y*’ = 4ao e 4x y*” = 16 aoe4x, thay y*”, y*’ , y* vào phương trình (1) ta được: 16aoe4x – 8aoe4x – 3aoe4x = e4x 5ao = 98 ao= y* = 4x e Vậy nghiệm tổng quát phương trình (1) là: k = y + y* = C1e-x + C2e3x + e4x ; C1, C2, tuỳ ý Ví dụ 4.2.7 Giải Giải phương trình vi phân y” – 2y’ + y = 6xex (2) Phương trình tương ứng (2) là: y” – 2y’ + y = Phương trình đặc trưng phương trình là: k2 – 2k + = k1 = k2 = Nghiệm tổng quát phương trình là: x y =(C1x + C2)e , C1, C2 tuỳ ý Vế phải (2) có dạng đặc biệt f(x) = 6xex = Pn(x)eax với Pn(x) = P1(x) = 6x, a = = k1 = k2 nên nghiệm riêng y* phương trình (2) có dạng y*= x2(a1x+ao)ex y*’ = [a1x3 + (3a1 + a)x2 + 2aox]ex y*” = [a1x3 + (6a1 + ao)x2 + (6a1 + 4ao)x + 2ao]ex Thay y*”, y*’, y* vào phương trình (2) ta được: (6a1x + 2ao)ex = 6xex, đồng vế, ta 6a1 a1 y* x e x a a Vậy nghiệm tổng quát phương trình (2) là: y = y + y* = (C1x + C2)ex + x3ex = (C1x + C2 + x3)ex , với C1, C2, tuỳ ý Ví dụ 4.2.8 Giải phương trình y” + y = 4xex (3) Giải Phương trình tương ứng (3) là: y” + y = Phương trình đặc trưng phương trình là: k2 + = k = i (i: đơn vị ảo, i2 = -1) ( = 0, = 1) nghiệm tổng quát phương trình la: 0.x y = e (C1sinx + C2cosx) = C1sinx + C2cosx, với C1, C2 số tuỳ ý Vế phải (3) có dạng đặc biệt f(x) = Pn(x)e4x = 4xex Với Pn(x) = P1(x) = 4z, a = a k1, k2 nên nghiệm riêng (3) có dạng y*= (a2x + ao)ex y*’ = a1ex + (a1x + ao)ex = (a1x + a1 + ao)ex 99 y*” = a1ex + (a1x + a1 + ao)ex = (a1x + 2a1 +ao)ex Thay y*”, y*’, y* vào phương trình (3), ta (a1x + 2a1 + ao + a1x + a0) = 4x 2a1x + 2a1 + 2ao = 4x Đồng vế ta a1 = 2a1 + ao = a1 = 2, ao = -2 y* = (2x – 2)ex Vậy nghiệm tổng quát (3) : y = y + y* = C1sinx + C2cosx + (2x – 2)ex, với C1, C2 tuỳ ý Ví dụ 4.2.9 Giải phương trình y” – y = 2ex – x2 (4) Giải Phương trình tương ứng (4) là: y” – y = Phương trình đặc trưng phương trình là: k2 – = k = Nghiệm tổng quát phương trình là: x -x y =C1e + C2e Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm riêng (4) tổng nghiệm riêng phương trình sau: y* - y = 2ex (a) y” – y = -x2 (b) Vế phải (a) có dạng đặc biệt f1(x) = Pn(x)eax , với Pn(x) = Po(x) = a=1 = k1 nên nghiệm riêng y*1 (a) có dạng y*1 = x(a0)ex = aoxex y*1 = aoex + aoxex = (aox + ao)ex y1* " = (aox + 2ao)ex Thay y1* " , y1* vào (a) ta (aox + 2ao = aox)ex 2ex ao = y1* = xex Vế phải (b) có dạng đặc biệt f2(x) = Pn(x)eax = -x2 Với Pn(x) = -x-2-, a = k1 nên nghiệm riêng y*2 (b) có dạng y*2 = a2x2 + a1x + ao y 2* ' = 2a2x + a1 y 2* " = 2a2 Thay y*2, y*2” vào (b) ta được: (2a2 = a2x2 = a1x = ao) = -x2 a2 = 1, a1 = 0, ao=2 y*2 = x2 + từ ta có nghiệm riêng phương trình (4) là: y* = y* + y*2 = xex + x2 + Vậy nghiệm tổng quát (4) là: y = y + y* = C1ex + C2e-x + xex + x2 + ; C1, C2 tuỳ ý === 100 BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài Giải phương trình vi phân sau, với C số khác a x(1 y )dx y (4 x )dy b (1 x)dy xydx Bài Giải phương trình vi phân sau, với C số khác a ydy ( x 1)dx b y (1 x )dy x(9 y )dx Bài Tính tích phân tổng qt phương trình vi phân sau: x(1 y )dy y (1 x )dx với C số khác tùy ý Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân sau: y/ với điều kiện ban đầu là: y 1 y y sin x x Bài Giải phương trình vi phân sau: y y x y cos dx x cos dy x x Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân sau: xy / y 1 ln y ln x với điều kiện ban đầu là: y 1 e Câu Giải phương trình vi phân sau: x y / y xyy / Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân sau: xy / y x arctg y x với điều kiện ban đầu là: y1 Bài Giải phương trình vi phân sau, với C số tùy ý: (1 x ) y / y arctgx Bài 10 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân sau: y/ 2y ex x với điều kiện ban đầu là: y 0 Bài 11 Giải phương trình vi phân sau: a xy / y 1 x b x1 x y / 3x 4y x x Bài 12 Giải phương trình vi phân sau: xy / y x sin x Bài 13 Giải phương trình Becnuli sau: 2y/ y x2 y Bài 14 Giải phương trình Becnuli sau: 101 x a y / y y x 1 y y 2x x sin y x/ x 2y 2y b y / c y / y xy c Bài 15 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân sau: y dx x dy x y với điều kiện ban đầu là: y 1 Bài 16 Giải phương trình vi phân sau: y dx 2 xy 3dy Bài 17 Giải phương trình vi phân sau: e x x y dx 2e x ydy Bài 18 Giải phương trình vi phân sau: y cos x sin x dy y cos x y sin x 1dx Bài 19 Giải phương trình vi phân sau: 2 x 3x y dx 3 y 2 x dy Bài 20 Giải phương trình vi phân sau: xy // y / x Bài 21 Giải phương trình vi phân sau: yy // y / yy / Bài 22 Giải phương trình vi phân sau: y // y / y x sin x Bài 23 Giải phương trình vi phân sau: xy // y / x Bài 24 Giải phương trình vi phân sau: y // y / y ex x Bài 25 Giải phương trình vi phân sau: y // y / e x sin x cos x Bài 26 Giải phương trình vi phân sau: xy / y // y / 1 ============= oOo ============= 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích (tập III), NXBĐH QG HÀ NỘI, H 2000 [2] Đỗ Cơng Khanh, Giải tích nhiều biến, NXBĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN, H 2000 [3] Nguyễn Thủy Thanh - Đỗ Đức Giáo, Hướng dẫn giải tập Giải tích tốn học (Tập II), NXBĐH QG HÀ NỘI, H 1999 [4] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân (Tập I), NXB GIÁO DỤC, H 2001 [5] Thái Xuân Tiên - Đặng Ngọc Dục, Tốn cao cấp (Phần Giải tích), (Lưu hành nội bộ), 1996 [6] Y Y Liaskô - A.C Boiatruc - IA Ggai - GP Golovac, Giải tích tốn học-Các ví dụ tập (Phần I, Tập II), Người dịch: Hoàng Đức Nguyên-Đoàn Văn Bản, NXB ĐẠI HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP, Hà Nội 1979 [7] Y Y Liaskô - A.C Boiatruc - IA Ggai - GP Golovac, Giải tích tốn học Các ví dụ tập (Phần II, Tập II), Người dịch: Đặng Huy Ruận-Lê Trong Vinh , NXB ĐẠI HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP, Hà Nội 1979 [8] Murray R Spiegel, Lý thuyết tập Toán cao cấp (Tập I), Người dịch: Lê Xuân Thọ.Hiệu đính: Lê Vinh Thuận, NXB THỐNG KÊ, H 1996 [9] Jean – Marie Monier, Giáo trình Tốn (Tập 4) Giải tích 4, Người dịch: Đồn Quỳnh – Lý Hoàng Tú, NXB GIÁO DỤC, H 2001 103 ... cos z z y O x2 +y2 +z2 = b2 x2 +y2 +z2 = a2 a x b y O Hình 2. 6 Hình 2. 7 x miền ’ (r,,) xác định 0 2? ??; 0 ; a r b (Hình 2. 7) Trong toạ độ cầu x2 + y2 + z2 = r2 Do đó: I r... cho khối ngành phạm Trường Đại học Phạm Văn Đồng sở chương trình khung Bộ Giáo dục - Đào tạo năm gần “ Bài giảng Giải tích 2? ?? gồm chương: Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường tích phân mặt... M yz 2? ?? 0 2? ?? 2? ?? 0 xds xds a (C) M xz 2? ?? a2 b2 cos tdt xds yds a (C) a2 b2 sin tdt 2? ?? Đường đinh ốc có độ dài: L = ds (C) a2 b2 dt 2? ?? a2 b2 Do trọng